16/08/10 19:58:52.38 MyJ9wG2L.net
>>131
定理3.3：
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定理3.3を使えば以下のように証明できます。
多項式 f(x) が (x-a)^k で割り切れると仮定する。
q(x) = f(a) + {f’(a)/1!} * (x-a) + … + {f^(k-1)(a)/(k-1)!} * (x-a)^(k-1)
とおく。
多項式 f(x) は (x-a)^k で割り切れるから、 g(x) を多項式として、
f(x) = (x-a)^k * g(x)
と書ける。
一方、定理1より、
f(x) = (x-a)^k * h(x) + q(x)
と書ける。
よって、
(x-a)^k * g(x) = (x-a)^k * h(x) + q(x)
が成り立つ。式変形して、
(x-a)^k * {g(x) - h(x)} = q(x)
今、 g(x) - h(x) がゼロ多項式ではないと仮定すると、左辺の多項式の次数は、
k 次以上、右辺の多項式の次数は、 k 次未満となってしまうが、それは、定理3.3と
矛盾する。よって、 g(x) - h(x) はゼロ多項式である。
以上から、左辺はゼロ多項式である。再び、定理3.3より q(x) もゼロ多項式
でなければならない。
q(x) がゼロ多項式であるならば、
f(a) = f'(a) = … = f^(k-1)(a) = 0
であることは明らかである。【証明終わり】