16/07/10 15:10:07.44 KRiYWjlx.net
>>718
>>711は間違いだった。次のように訂正。
n≧4 を偶数として n＝4k kは自然数 としたら
x^n-1＝x^{4k}-1＝(x-1)(x^{4k-1}+x^{4k-2}+…+x+1)
＝(x-1){x^{4k-2}(x+1)+x^{4k-4}(x+1)+…+x^2(x+1)+(x+1)}
＝(x-1)(x+1)(x^{4k-2}+x^{4k-4}+…+x+1)
というように、ここまでは簡単に因数分解が出来て
代数方程式 (x+1)(x^{4k-2}+x^{4k-4}+…+x^2+1)＝0 つまりは x^{4k-2}+x^{4k-4}+…+x^2+1＝0 を
考えることに帰着される。n＝4k+2 のときは x^n-1＝x^{4k+2}-1＝(x-1)(x^{4k+1}+x^{4k}+…+x+1)
とここまでは簡単に因数分解出来て、代数方程式 x^{4k+1}+x^{4k}+…+x+1＝0 を考えることに帰着される。
だから、nは奇数として n＝2k+1(∃k∈N) とおき代数方程式 f(x)＝x^{2k-1}+…+1＝0 を考えないと意味がない。
fのQ上の最小分解体Lは L＝Q(e^{(2πi)/(2k+1)},…,e^{(2(2k)πi)/(2k+1)}) で、
Lのガロア群Gが位数(2k-1)!の対称群S_{2k-1}に同型になる。結局Gがfのガロア群になる。
だが、k＝1, つまりは n＝3 のときのfは代数的に解けることになって矛盾が生じる。
だから、k≧2 で n≧5 のときを考えることに帰着される。このときのLのガロア群Gも
位数(2k-1)!の対称群S_{2k-1}に同型で、S_{2k-1}の交代群の正規部分群は自