16/07/10 09:46:13.73 1POR/mwl.net
>>615 補足
「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」を補足しておく
高校数学ではこれで終わりだ。が、前スレで渕野先生を引用したように、大学では無限集合を扱うときに、公理の問題を意識しないといけない場合がある
（つまり、無限集合を扱うとき、そのための公理が必要だと）
１．ペアノ公理：” 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。”（つまり、数学的帰納法の原理が自然数N全体に適用できるを公理にしていると）
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２．ZFC：”無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する”と選択公理 （選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理を使って、数学的帰納法が適用できる）
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３．ZF に ACω（可算）を付け加えた公理系：実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つ。
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以上をまとめると、
１．「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」（高校レベル）
２．無限集合に数学的帰納法を適用するには、無限を扱う公理が必要だ（上記）。逆に