16/06/19 08:24:58.13 suG/dCz5.net
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数学的帰納法に、「位相の開集合で反例がある」を決着さておく
前スレ >>144「１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ、２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」
（「数学的帰納法は不完全であると言える。・・ その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」前スレ >>382）
で、前スレ>>753 集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎 URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
”例10.3. ユークリッド空間Rn の1 点からなる集合{p} は開集合でない．これを示すには，任意の正の数ε
に対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．”
”命題10.5 (開集合の性質). 距離空間(X, d) に対して
(1) φ, X は開集合である．
(2) 任意のX の開集合族{Uλ | λ ∈ Λ } に対して∪λ ∈ ΛUλ は開集合である．
(3) 開集合U1, U2 に対してU1 ∩ U2 は開集合である．
命題10.5 の(3) から有限個の開集合の共通部分は開集合であることがわかる．”
と展開している
そして、>>389の
”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．
集合族{Un | n ∈ N} を考えると
∞∪n=1 Un = (-1, 1),
∞∩n=1 Un = {0}
となり，この集合族の共通部分は開集合ではない（例10.3)．
すなわち，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない．”と
"例10.6は、単に、Un = (-1/n, 1/n) (開区間)という包含関係（Un ⊃Un+1 ）を持つ開集合族が、n→∞で Un = {0}に収束するという数学的事実を示したに他ならない"前スレ>>756