16/07/02 20:12:41.43 iPEFMmX1.net
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↑の画像の(3)はどうやって証明するのでしょうか？
以下のような証明を考えましたがあっているでしょうか？
また、 A ∨ A ≡ A のような基本的なトートロジーを使って
形式的に証明するにはどうすればいいのでしょうか？
【証明】
A ≡ B
B ≡ C
がいずれもトートロジーであるとする。
A ≡ B の定義により、 (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A) はトートロジーである。
B ≡ C の定義により、 (B ⊃ C) ∧ (C ⊃ B) はトートロジーである。
v を任意の付値とする。
(ケース1)
v(A) = t の場合。
v(A) = t かつ v(A ⊃ B) = t だから、 v(B) = t である。
v(B) = t かつ v(B ⊃ C) = t だから、 v(C) = t である。
よって、
v(A ⊃ C) = t である。
(ケース2)
v(A) = f の場合。
v(A) = f だから、 v(A ⊃ C) = t である。
明らかに、
C ≡ B
B ≡ A
であるから、同様にして、任意の付値 v に対して、
v(C ⊃ A) = t である。
以上から、
(A ⊃ C) ∧ (C ⊃ A) はトートロジーである。
いいかえると、
A ≡ C はトートロジーである。