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1021:924
17/06/13 22:07:03.78 zBNTSmch.net
(4)
1は任意のa_nと互いに素。
2はa_1=10と互いに素ではない。
3はa_2=48と互いに素ではない。
5以上の素数pで、任意のa_nと互いに素になるものは無いことを示す。
以下、pを法として
6(a_(p-2))
=6(2^(p-2)+3^(p-2)+6^(p-2)-1)
=3*2^(p-1)+2*3^(p-1)+6^(p-1)-6 …★
≡3*1+2*1+1-6 （∵フェルマーの小定理）
≡0
6とpは互いに素であるから
a_(p-2)≡0
（例えばp=5ならば、a_3=250≡0でa_3はpの倍数であり、pと互いに素ではない。）
素数で、任意のa_nと互いに素になるものは無いことが示された。よって、素数の積で表せる合成数についても、任意のa_nと互いに素になるものは無い。
以上より、与条件を満たすのは1のみ。
フェルマーの小定理（の系）：素数p、pと互いに素な自然数aについてa^(p-1)≡1 mod p
★で2,3,6がそれぞれpと互いに素であるのを利用した。
出典：IMO2005-4
1022:924
17/06/13 22:12:15.39 zBNTSmch.net
(5)
i) m=nのとき
(与式)=n+1/(n-1)が整数になるのはn=2、すなわち(m,n)=(2,2)
ii) m>nのとき
n=1のときm=2,3、すなわち(m,n)=(2,1),(3,1)
n≧2のときを考える。
以下、nを法として
与式が整数のとき
n^3+1≡1, mn-1≡-1より(与式)≡-1であり …☆
(与式)=kn-1 （kは自然数）
とおける
kn-1=(n^3+1)/(mn-1)<(n^3+1)/(n^2-1)=n+1/(n-1)
∴(k-1)n<1+1/(n-1)≦2
よってk=1、n^3+1=(mn-1)(n-1)
∴m=(n^2+1)/(n-1)=n+1+2/(n-1)
これが整数になるのはn=2,3、すなわち(m,n)=(5,2),(5,3)
iii) m<nのとき
与式の対称性よりiiと同じ議論ができ
(m,n)=(1,2),(1,3),(2,5),(3,5)
以上より、(m,n)=(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,5),(3,1),(3,5),(5,2),(5,3)
このスレが埋まりそうなので、もう一問解答発表。
元々の問題をそのまま出したら出したで難易度が高すぎるんだよなぁ…
出典：IMO1994-4
1023:924
17/06/13 22:26:06.41 zBNTSmch.net
（☆でさらっと1/(-1)=-1を行っているが、これは自明じゃない気がするなあ）
1024:１３２人目の素数さん
17/06/14 00:47:36.86 dVHDblbx.net
(5) i) が何言ってんのかサッパリ判らない。
1025:１３２人目の素数さん
17/06/14 00:51:37.16 gIYuB+NN.net
>>989
m=nだから
(与式)
=(n^3+1)/(n^2-1)
=(n+1)(n^2-n+1)/(n+1)(n-1)
=(n^2-n+1)/(n-1)
={n(n-1)+1}/(n-1)
=n+1/(n-1)
だと思う
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1035:猫
17/06/14 05:43:08.76 6+DmjjrM.net
★★★忖度と処世術に汚染された日本人：権威主義的な支配と損したくない人達★★★
～～～芳雄氏が言う『研究者としての基本的態度』とは一体何だろうか～～～
佐藤幹夫：自分自身の素朴な疑問に真剣に耳を傾ける。⇒不滅の金字塔を打ち立てる。
糞父芳雄：人間関係を駆使し他人を操り根回しを行う。⇒ハリボテお教授として君臨。
隠蔽の財務省、嘘吐きの文科省、そして問答無用に屈服させる官邸。コレでも先進国？
（佐藤師がしてたのは本物の研究だ。だが）芳雄氏がしてたのはケケケ、ケンキュウ。
外見を繕って偉そう見せさえすれば何でもヨロシ。ほんで教授になりさえすれば研究の
中身なんて何でもヨロシ。そもそも論文なんてモンは、外国の権威ある雑誌に掲載され
さえすれば、その中身のギロンなんて何でもヨロシ。そやし適当に書いてしまえ～～～
中身がダメだと知ってて、ソレでもSTAP論文を外国に投稿して受理される。発覚したら
適当に言い逃れる醜い態度。オツムのダメな大学院生に「虚偽の良品ラベル」を貼って
世間に出荷するハリボテ大学は詐欺行為そのもの。世間に媚びを売って客商売に徹し、
『売れさえすれば学生の脳の質なんて何でもヨロシ』と居直る大学。そしてブランド名
だけを見て仕入れる世間。●●は一流大学やさかい、きっと優秀なエリートやろｗｗｗ
中身を何も説明しないで、問答無用に上から押し付ける。ソレをイチャモンで騒いで、
そして邪魔して潰そうとする周囲の下々。大学教員も国会議事堂も、そして馬鹿板人の
遣ってる事も皆同じだ。日本人はバカ民族であり、今は外国にもちゃんとバレてるので
海外からも軽蔑されるだけであり、そのうちにどの国からも信用されなくなるだろう。
近視眼的で打算的な人生観を息子に押し付ける父親と、大脳に栄養が足りてない連中が
跋扈する永田町や霞が関に支配される国に住む不幸、一体どうしてくれるというのか。
■■■馬鹿板を習慣にすれば脳が悪くなります。そやし数学徒には特にダメです。■■■
猫
1036:1001
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もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。
life time: 380日 9時間 15分 23秒
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