16/06/18 10:57:51.81 haMy4df6.net
>>750
>>746の
＞>>371 "1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。
＞よって、1/∞ ≠ 0 でいいの？"は、帰納法であって、数学的帰納法ではない
についてだが、自然数の命題であれば、数学的に否定の形で書かれた命題でも
何でもかんでも、数学的帰納法が使えるとは限らない。その例が、
自然数nに関する次の命題 P(n)。
命題P(n)：或る人Aが1円持っていないとする。このとき、
任意の自然数nに対して、Aは丁度n円持っていない。
これを数学的帰納法で示すと、
証明]：n＝1 のとき。仮定から、命題 P(1) は正しい。
n＝k のとき命題 P(k) が正しいとする。Aは丁度k円持っていない。
また、k+1はkより大きい自然数である。よって、Aは丁度k+1円持っていない。
命題 P(k+1) は正しいから、n＝k+1 のときも P(n) は正しい。
従って、数学的帰納法により、任意のnに対して命題 P(n) は成り立つ。 (証明終)
となる。だが、この証明は間違いである。どこが間違いかというと、
Aは丁度k円持っていないから、Aは丁度k+1円持っていない
という理屈が間違いで、論理的には、Aが丁度k円持っていないからといって、
Aが丁度k+1円持っていないという保証などどこにもない。
もしかしたら、Aが丁度k+2円持っているかも知れないし、そのような場合、
kは丁度k+1円持っていることになって反例が生じ、命題 P(n) は偽となる。