16/06/18 08:46:39.88 PtXTSbRe.net
「スレ主に丁度良い問題をあげよう
１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」>>144か
ほんと悪い冗談だ。位相空間は、開集合の定義から始まる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相空間
定義
位相空間にはいくつかの同値な定義があるが、本項ではまず、開集合を使った定義を述べる。
Xを集合とし、 O をべき集合 P ( X )の部分集合とする。
Oが以下の性質を満たすとき、組 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} (X,{\mathcal {O}}) を X を台集合とし Oを開集合系とする位相空間と呼び、 Oの元を X の開集合と呼ぶ。
1. ? , X ∈ O
2. ∀ O 1 , O 2 ∈ O : O 1 ∩ O 2 ∈ O
3. ∀ { O λ } λ ∈ Λ ⊂ O : ? λ ∈ Λ O
これらの性質の直観的意味は下記の通りである
1. 空集合と全体集合は開集合である。
2. 2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって有限個の開集合の共通部分は開集合 となるが、無限個の合併は開集合とは限らない)
3. 任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。
開集合系 Oを一つ定める事で、集合X が位相空間になるので、 OをX 上の位相(構造)と呼ぶ。