16/06/12 23:38:48.19 fipUlhuk.net
>>615
＞”アホ、こっちは最初から公理も証明も理解してるわ。” >>552は、てめえの発言じゃないのか？ どう理解しているのか、それを示せよ
はいよ
【定義】
R の部分集合 A が下記条件を満たすとき継承的という。
(1)0∈A
(2)a∈A ⇒ a+1∈A
継承的集合全体の集合をΓと書く。
【命題1】
Λ を空でない添字集合、H_λ(λ∈Λ)を集合族とする。
H_λ∈Γ(for ∀λ∈Λ) ⇒ ∩[λ∈Λ]H_λ:=H∈Γ
【証明】
仮定より、0∈H_λ(for ∀λ∈Λ) であるから、0∈H である。・・・(1)
h∈H ならば、h∈H_λ(for ∀λ∈Λ) であるから、仮定より h+1∈H_λ(for ∀λ∈Λ) である。よって h+1∈H である。・・・(2)
(1),(2)より H は継承的集合の定義を満たす。■
【公理】
自然数全体の集合 N を以下により定義する。
N:=∩[H∈Γ]H
【命題2】
(1)N∈Γ
(2)H∈Γ⇒ N⊂H
【証明】
(1)公理と命題1より主張は正しい。
(2)公理より、n∈N ならば、全ての継承的集合は n を元に持つから、仮定より n∈H である。ゆえに主張は正しい。■
【定理】数学的帰納法の原理
N の部分集合 H が H∈Γ ならば H=N
【証明】
仮定より H⊂N であり、また命題2より、N⊂H だから 主張は正しい。■
【系】
自然数 n に対する命題 P(n) が以下の条件を満たす時、全ての自然数 n に対し P(n) は真である。
(1)P(0)は真
(2)P(n)は真(for ∀n∈N) ⇒ P(n+1)は真
【証明】
H:={n∈N|P(n)は真} とおいたとき、(1),(2)より、H∈Γ である。
よって定理より、H=N である。ゆえに主張は正しい。■