16/05/14 06:54:15.30 WuiW+Tgn.net
>>60
(>>67の続き)
上に挙げたような、前スレで既に書いたレスではどこが矛盾しているか
正確に指摘しなかったから、矛盾の導き方の大雑把な方針だけ書こう。
デデキント切断により有理直線Qから実数直線Rを構成する。
次に、実数の大小や連続性をデデキントの考え方と同様にして議論する。
同じく、実数直線Rが通常の加法ついて加法群をなすことなどを示す。
数列の極限や収束性などを定義して、コーシーの判定法を示したり、極限の加減などについて議論する。
やはり同様に、直線Rに通常の乗法を定義して、Rが群をなすことを示したり、極限の乗除について議論する。
その次に、正と負の無限 ±+∞ を実数直線に付け加えて補完数直線 R∪{±∞} を構成する。
ここで、次の補題を示す。
[補題]：{a_n}、{b_n} を有理数列とするとき、次の(1)、(2)が成り立つ：
(1)、{a_n} が発散し、{b_n} が収束するならば、数列 {a_n・b_n} は或る実数に収束する。
(2)、a＝lim_{n→+∞}(a_n)、b＝lim_{n→+∞}(b_n) のとき、
lim_{n→+∞}(a_n・b_n) はaとbによって一意に決まり、a、b に収束する
有理数列 {a_n}、{b_n} の取り方にはよらない。
証明は面倒だから証略。
この補題により、(±∞)・0 を、次のように定義する。
[定義]：正(負)の無限大 +∞(-∞) を有理数列 {a_n} を用いて +∞(-∞)＝lim_{n→+∞}(a_n) と表わす。
実数0を、有理数列 {b_n} の極限として表わす。このとき、(+∞)・0 ( (-∞)・0 ) を、
(+∞)・0＝lim_{n→+∞}(a_n・b_n) と定義する。(-∞)・0 も同様に定義する。
このようにして考えると、デデキントの実数論と同様にして (±∞)・0＝0 が定義出来る。