16/06/12 11:50:10.78 3IVp+PZf.net
>>622-623
どうも。スレ主です。
まあ、難しい質問を。
直接の答えになっていないが、まず、それら反例もまた、帰納法から導かれる結論だということを自覚してほしい
つまり、「1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0」>>371は、”数列1/nが、n→∞の極限で0に収束する”という帰納法の結論からの反例だ
また、開集合の反例は、>>389-390の「集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎」にあるように、
”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．
集合族{Un | n ∈ N} を考えると∞∪n=1 Un = (-1, 1),∞∩n=1 Un = {0}
となり，この集合族の共通部分は開集合ではない（例10.3)．
すなわち，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない．”とあるように、n→∞の極限で1/nが、0に収束するという帰納法の結論から従うと
だから、帰納法の反例ではなく、帰納法の適用の仕方に二通りあって、その二通りの帰納法の結論が異なるってこと
そこを、しっかり自覚してほしい
で、「帰納法がn=∞に適用できる条件を明確に教えてほしい。」という問いに答えるのは、おれには無理だ
というか、そこらは、不完全性定理の機微に触れるところじゃないかな。あまり理解していないが。
少なくとも、”帰納法がn=∞に適用できる条件を明確に”については、寡聞にして聞いたことがないから
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ゲーデルの不完全性定理
第2不完全性定理
自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。