16/06/04 10:18:19.66 CtkyGlEO.net
これ面白そうなので、貼っておきます
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集合論ベーシック (2009 年度版) 向井国昭
(抜粋)
1 はじめに
本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．ZFC 公
理系は第2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．
ZFC 集合論は簡潔でわかりやすく，美しく，柔軟性があり，そして強力である．数
学の事実上の標準言語とみなされている．ZFC 公理系は数学的操作として何が許さ
れているのかを規定するものである．いわば数学の国の憲法である．国民はその国
の憲法を読むべきであるように，集合を扱う者はZFC 公理系を一度は読むべきであ
ろう．
V はひとつの有向グラフである．これは公理的集合論の理解のためのコツであろ
う．「広大な」とか「無限」という形容詞に惑わされていけない．たんなる有向グラ
フのようなものと割り切ってZFC の公理系をよんだほうがよい．実際，無限につい
ての公理は，無限公理ただひとつ，つまり，自然数全体に相当する無限の存在を仮定
するところだけである．V はひとつの有向グラフであり，ZFC はこの有向グラフV
の形を規定しているにすぎない．
ここまで書けば，ZFC 集合論をこれからはじめて読むという読者でも，ZFC 集合
論は明快に分かるだろう．つまり，対象はしょせん有向グラフであり，公理系とはこ
の有向グラフにどんなノードがあるのか，あるいはどんなリンクがあるのかという
ことを，一階述語論理という単純明快な言語で述べたものなのであるから．ZFC 集
合論がさっぱりわからないという人には，やはり「難しく考え過ぎてませんか? たか
が有向グラフですよ．もっとシンプルに見てください」とアドバイスしたい．
単純とはいえこの宇宙V は, 本文でも紹介するように，空集合/0，自然数全体N，
N からN への関数全体，等々を含み，その中で代数，幾何，微分積分，確率統計など
どんな数学でも展開できるほど，十分広い舞台であることが実証されている．20 世
紀以降，数学の‘標準言語’ となっている．