16/06/04 05:30:25.58 CtkyGlEO.net
>>342 つづき
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数学的帰納法
(抜粋)
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
超限帰納法
(A , ?) を整列集合とし、P(x) を A の元 x に関する命題とする。
A は整列集合であるから "?" について最小元を持つ。これを 、a0 とする。
もし次の2つの条件が成立するならば、任意の x ∈ A について P (x) が成り立つ。
条件1
P(a0) は真である。
条件2
a を A の任意の元とする。 x < a を満たす A の全ての元 x について P(x) が真ならば、P(a) も真である。
ただし、"<" は a < b ⇔ ( a ? b ∧ a ≠ b) で定義される二項関係とする。（実際には、条件1は条件2に吸収することができる。
なぜなら、条件2において a = a0 と置けば、x < a を満たす A の元は存在しないので、「x < a を満たす A の全ての元 x について P (x ) が真」という命題は無条件に真であり、従って、P (a0 ) が真となることが要求されるからである。
ここでは分かりやすいように自然数についての数学的帰納法と整合を取った[2]。）