16/06/04 05:05:12.36 CtkyGlEO.net
>>335 つづき
>集合論の公理化
「無限公理」と「選択公理」が出てくる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
ZF 公理系
ツェルメロ＝フレンケルの公理系 (ZF: Zermelo-Fraenkel) とは以下の公理からなる。
（中略）
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A ( ? ∈ A ∧ ∀ x ∈ A ( x ∪ { x } ∈ A ) )
選択公理
上記の ZF に次に述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた公理系を ZFC（Zermelo-Fraenkel set-theory with the axiom of Choice: C は "choice" の頭文字）という。選択公理を仮定しない体系も盛んに研究されている。
・選択公理 X が互いに交わらないような空でない集合の集合であるとき、X の各要素から一つずつ要素をとってきたような集合（選択集合）が存在する：
∀ X ( ( ? ? X ∧ ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ( x ≠ y → x ∩ y = ? ) ) → ∃ A ∀ x ∈ X ∃ t ( x ∩ A = { t } ) )
選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理やツォルンの補題などがある。