16/06/04 05:05:12.36 CtkyGlEO.net
>>335 つづき
>集合論の公理化
「無限公理」と「選択公理」が出てくる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
ZF 公理系
ツェルメロ＝フレンケルの公理系 (ZF: Zermelo-Fraenkel) とは以下の公理からなる。
（中略）
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A ( ? ∈ A ∧ ∀ x ∈ A ( x ∪ { x } ∈ A ) )
選択公理
上記の ZF に次に述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた公理系を ZFC（Zermelo-Fraenkel set-theory with the axiom of Choice: C は "choice" の頭文字）という。選択公理を仮定しない体系も盛んに研究されている。
・選択公理 X が互いに交わらないような空でない集合の集合であるとき、X の各要素から一つずつ要素をとってきたような集合（選択集合）が存在する：
∀ X ( ( ? ? X ∧ ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ( x ≠ y → x ∩ y = ? ) ) → ∃ A ∀ x ∈ X ∃ t ( x ∩ A = { t } ) )
選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理やツォルンの補題などがある。
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:06:52.05 CtkyGlEO.net
>>339 文字化けあるが、原文リンク見てください
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:09:39.74 CtkyGlEO.net
>>339
>「無限公理」
これは、英文だが。>>335 渕野昌先生の記事にも出てくるので
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of infinity
(抜粋)
Independence
The axiom of infinity cannot be derived from the rest of the axioms of ZFC, if these other axioms are consistent.
Nor can it be refuted, if all of ZFC is consistent.
Indeed, using the Von Neumann universe, we can make a model of the axioms where the axiom of infinity is replaced by its negation.
It is V ω , the class of hereditarily finite sets, with the inherited element relation.
If allowed, the empty domain also satisfies the axioms of this modified theory, as all of them are universally quantified, and thus trivially satisfied if no set exists.
The cardinality of the set of natural numbers, aleph null ( aleph _{0}), has many of the properties of a large cardinal.
Thus the axiom of infinity is sometimes regarded as the first large cardinal axiom, and conversely large cardinal axioms are sometimes called stronger axioms of infinity.
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:29:14.71 CtkyGlEO.net
>>330 もどる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法
(抜粋)
集合論における定式化
集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる。
自然数の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。
帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ￢ P(n) } によって定める。
この A が空集合であるということを示したい。
そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。
従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b ? A であり、P(b) は成り立つことになる。
帰納法の仮定からP(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
逆に、「n以下の任意の自然数kについてk ? A」という形の命題 P(n) を考えることで、数学的帰納法から上の原理を導くことができる。
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:30:25.58 CtkyGlEO.net
>>342 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法
(抜粋)
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
超限帰納法
(A , ?) を整列集合とし、P(x) を A の元 x に関する命題とする。
A は整列集合であるから "?" について最小元を持つ。これを 、a0 とする。
もし次の2つの条件が成立するならば、任意の x ∈ A について P (x) が成り立つ。
条件1
P(a0) は真である。
条件2
a を A の任意の元とする。 x < a を満たす A の全ての元 x について P(x) が真ならば、P(a) も真である。
ただし、"<" は a < b ⇔ ( a ? b ∧ a ≠ b) で定義される二項関係とする。（実際には、条件1は条件2に吸収することができる。
なぜなら、条件2において a = a0 と置けば、x < a を満たす A の元は存在しないので、「x < a を満たす A の全ての元 x について P (x ) が真」という命題は無条件に真であり、従って、P (a0 ) が真となることが要求されるからである。
ここでは分かりやすいように自然数についての数学的帰納法と整合を取った[2]。）
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:38:02.03 CtkyGlEO.net
>>343 つづき
正直、数学的帰納法 wikipedia の説明では、 ZFC >>339 の公理系との繋がりがいまいち見えないけど
選択公理を使うというのは、分かる。>>343の通り
ZF公理系の中では、やはり主に>>341の「無限公理」を使っているんだろう。
というか、有限集合相手なら、うるさく「公理」を問う必要なしだから
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:46:21.57 CtkyGlEO.net
>>344 つづき
まとめると、無限集合に対して、何かを証明しようとして、数学的帰納法を使う
高校レベルの理解では、>>330一見「ドミノ倒し」で、有限の延長として、無限集合に対する証明が完了したように
369:見える でも、それは違うよと。数学的帰納法が成り立つ背景には、無限を扱う公理が存在すべきなのだと>>334 渕野先生は、「Dedekindも間違っていた！」という ”「数の理論を扱かう論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件に証明できなくてはならない．”>>335 そう、Dedekind先生も考えていたのだった！
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:54:33.29 CtkyGlEO.net
>>345 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:
集合A が無限であるとは、ある自然数n について{0,1,2,..., n -1}という形の集合である有限順序数とA の間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。
しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。
弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性の証明は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。
歴史
デデキント無限という語は、この定義を初めて明確に示したドイツ人のリヒャルト・デデキントにちなんでつけられた。
自然数の定義に依存しない最初の“無限”の定義であったことは明記すべきであろう。
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。
フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。
台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。
例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 06:00:55.30 CtkyGlEO.net
>>346 補足の補足
URLﾘﾝｸ(abrahamcow.hatenablog.com)
デデキントによる無限集合の存在証明のあやまり - 廿TT 2014/10/03
(抜粋)
あらゆる集合の集まりは、「クラス」と呼ばれ、これは集合とは考えない。
なので、デデキントの議論は今日では証明として認められない。
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 06:57:27.89 CtkyGlEO.net
>>345 つづき
>まとめると、無限集合に対して、何かを証明しようとして、数学的帰納法を使う
>高校レベルの理解では、>>330一見「ドミノ倒し」で、有限の延長として、無限集合に対する証明が完了したように見える
>でも、それは違うよと。数学的帰納法が成り立つ背景には、無限を扱う公理が存在すべきなのだと>>334
>渕野先生は、「Dedekindも間違っていた！」という
ここ良いですね。「無限を扱う公理が存在すべきなのだ」と
さて、枝野はいう>>7
"いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である."
はい、間違いです
Dedekindと同じ間違いです。高校レベルの帰納法の理解でしかない
”しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.”
じゃ、「頓挫」です。
無限を扱うには、そのための公理が必須です。
選択公理とは別に必要です。
ZF公理系では、無限公理を使います。>>339
もし、言いたいことは、別の意味だというなら
それなりの説明が必要でしょう
そして、数学なら、証明のあらすじ程度の説明が
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 07:08:10.44 CtkyGlEO.net
>>348 つづき
>>290-293に示したように
「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」
から
普通に数学的帰納法を用いれば、”確率変数の無限族”や”有限部分族”が、集合であるならば、”任意”から無限集合全体がそうだと言え
374:る 成立は、無限を扱う公理で保証されている そして、超限帰納法>>343が適用できるならば、”確率変数の無限族”が連続の濃度を持っていても、成り立つ
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 07:40:06.72 CtkyGlEO.net
>>349 つづき
Tさんの予想： ”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”>>242は、あっさり否定されるということで良いよね
ところで、私は、>>236-239で、琉球大 杉浦誠 先生を引用して、"定理1.3 (Kolmogorov の拡張定理)"を使って、Brown 運動から、”「完全なる乱数列」が数学的に構成できる”だろうと書いた
そうして構成された、数学的に定義されたBrown 運動による数列は、他の情報は一切もらっていない数列になっていると
だから、
結論：上記定義されたBrown 運動から、「他から情報は一切もらっていない数列」が構成されるなら、時枝解法は「パラドックス」だと>>239
そして、「パラドックス」の意味は、>>228の狭義すなわち「論理的な矛盾」の意味だ
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 07:52:50.19 CtkyGlEO.net
>>350 つづき
狭義の「パラドックス」だとすると、時枝解法のどこかにギャップがあるはず
それをうまく、論証できない自分がもどかしいね
いま、疑っているのは、やはり、無限数列のシッポによる同値類分類から、代表元を決めて、決定番号を出すところ
特に、「決定番号」があやしいと見ている
一般の数学で、同値類から商集合を作って、代表を取る。そうすると、well-definedなら、代表を使って演算をしても、結果は代表の取り方に依存しないとできる場合が多い（というか、代表の取り方に依存しないときをwell-definedというのか）
が、時枝解法は、決定番号が代表元の取り方に依存する。だから、ここがあやしいと。おそらく、”無限数列のシッポ”というあたりで、”無限”とからんで「パラドックス」を生じている気がするが、うまく説明できないでいる（＾＾；
まあ、時枝ほどの人が、どういうつもりでこの記事を書いたのか不明だが、もし引っかかったとすれば、それを解きほぐすのに、我々レベルの人間が時間が掛かっても仕方ないだろうね
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 08:11:35.96 CtkyGlEO.net
>>347 さらなる補足
URLﾘﾝｸ(phasetr.com)
『数とは何かそして何であるべきか』 リヒャルト・デデキント 著, 渕野 昌 翻訳, 渕野 昌 解説- 相転移プロダクション: 2013 07.20
(抜粋)
ちくまがまた面白そうな本を出したようだ.
数とは何かそして何であるべきか
リヒャルト・デデキント 著 , 渕野 昌 翻訳 , 渕野 昌 解説
待望の新訳
訳者による充実の解説付き!
「数とは何かそして何であるべきか? 」「連続性と無理数」の二論文を収録.
現代の視点から数学の基礎付けを試みた充実の訳者解説を付す.
新訳.
この辺 から ytb_at_twt さんが感想を書いている.
現代的視点から読み直すというのはまあ批判はあるじゃろな.
でも, デデキンドの実数論を現代的視点から読み直して位置づけ直すというのでお値打ち (フチノさん曰く名古屋弁) な本だと思います.
URLﾘﾝｸ(www.chikumashobo.co.jp)
patho_logic さん分.
「数とは何か, 何であるか」買って来た.
フチノ節前回でゲラゲラ笑いながら読んでる.
（引用おわり）
前回→全開でしょうか
378:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 08:49:30.01 CtkyGlEO.net
>>347 さらなる補足
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
379:uukeiken/math/suugakushi/sympo22/ 第22回数学史シンポジウム 足立 恒雄 （ニュートン、オイラー、コーシーの数概念）*)注：この表題と下記のＰＤＦ表題とが不一致です http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo22/22_2adachi.pdf デデキントの算術と再帰性定理 足立恒雄 第22回数学史シンポジウム(2011) 結語(抜粋) デデキントの『数とは何か』の欠陥として，この他に無限集合の存在証明と無制限な内包性原理の使用が挙げられる. 現在では，無限集合の存在は公理とされ，また内包性原理は集合に対してのみ認めるという形になっているーつまり， デデキントの考えたような， 「算術は人間の持つ普遍的な論理の合理性に還元できる」という考え方には無理があるということだろう. そうした点を時代性として勘案すれば. 1数とは何か』は数学史上稀に見る名著と言えるだろう. 現代の公理的集合論がこの著作を母胎として巣立つていったということを考えれば，単に昔書かれた名著というに止まらず，後世に与えた影響という意味でも最高の地位を占める著作であると評価されてしかるべきである. http://ci.nii.ac.jp/naid/40019257820 デデキントの算術と再帰性定理 (第22回数学史シンポジウム(2011)) 足立 恒雄 津田塾大学数学・計算機科学研究所報 -(33), 13-21, 2012
380:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 08:58:39.58 CtkyGlEO.net
>>353 つづき
足立恒雄先生のページ
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
新刊 『数とは何か そしてまた何であったか』案内 - 足立恒雄のページ:2011-06-19
(抜粋)
『数とは何か そしてまた何であったか』（共立出版）が6月23日に発売されました。
デカルト、ニュートン、オイラー、コーシー、デデキント、フレーゲといった数学史上の偉人たちの個々の業績について言えば、より詳細に分析、紹介した著作はたくさんあるでしょうが、数、とくに自然数という概念に絞って、一貫した通史を述べた書物は世界でも珍しく、少なくとも私は見たことがありません。
本書でオリジナルだと思われる内容の一例を挙げます。
どうして西洋文明では、負の数が数として認められるのに2000年という長大な年月を要したのか、は実に歴史の不思議ですが、西洋から出る本は、西洋文明の中から見ているために、負の数に対する偏見に自ら気が付くことがなく、これまでこの点が明確にされてきませんでした。
本書によって、西洋における数概念の問題点、つまりどうして負数が導入できなかったのかが初めて明らかにされたと思います。
もう一例です。
現在ゴットローブ・フレーゲは論理分析哲学の始祖として哲学の世界ではきわめて有名です。アリストテレス以来と賞賛する声もあります。
フレーゲは数学は論理学に還元できると信じて、それを実現するために、現在数学で普通に使われる述語論理を開発しました。
大学ではイプシロン・デルタ論法に悩まされた記憶をもつ方々も多いでしょう。∀xや∃xという記号が登場するアレです。
このような「論理と数学の一体化」はフレーゲによって実現したのです。
しかし、フレーゲは数学界からは哲学とみなされ、哲学界からは数学と見られ、生前も死後も一切無視されてきました。
そのため述語論理がフレーゲによって創始されたことすら半分忘れられ、フレーゲから学んだバートランド・ラッセルたちの功績であるかのように誤解されてきました。
本書が、数学と哲学、�
381:Lくは数学と知識人との関係を緊密にするきっかけとなることを願っています。 以下に「序言」と「目次」を掲載します。
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 09:01:02.05 CtkyGlEO.net
>>354 つづき
新刊 『数とは何か そしてまた何であったか』 VS 『数とは何かそして何であるべきか』 リヒャルト・デデキント 著
なるほど
383:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 09:36:32.09 CtkyGlEO.net
>>236-237 補強
飛田武幸先生のＰＤＦが目に付いたので、ブラウン運動を補強しておきます。
（「独立の意義」なんて書かれても、私らには、禅問答ですが。まあ、ひょっとすると、時枝先生なりの「独立の概念」があるのかも知れませんが、どうもそういう書き方ではない（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
第22回数学史シンポジウム 2011
飛田武幸 ノイズの歴史
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
(抜粋)
4.独立の意義。
確率空間を決めても、そこで積分論のみを展開するものではない。
現象を記述する確率変数とその分布があり、もっとも重要なことは独立の概念が主役を占めることである。
ｉ.e.r.v.もノイズの概念もこれに基づく。積分論は手段に過ぎない。
[10]飛田武幸、ブラウン運動、岩波書店。1875、第3刷2007.
[11]飛田武幸、確率輸の基礎と発展。共立出版、2011.
[12]飛田武幸、美しいノイズ、国際高等研究所。選書13，2001.
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 09:47:29.42 CtkyGlEO.net
>>348 訂正 枝野→時枝 ｍ（＿ ＿）ｍ
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:18:19.66 CtkyGlEO.net
これ面白そうなので、貼っておきます
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
集合論ベーシック (2009 年度版) 向井国昭
(抜粋)
1 はじめに
本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．ZFC 公
理系は第2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．
ZFC 集合論は簡潔でわかりやすく，美しく，柔軟性があり，そして強力である．数
学の事実上の標準言語とみなされている．ZFC 公理系は数学的操作として何が許さ
れているのかを規定するものである．いわば数学の国の憲法である．国民はその国
の憲法を読むべきであるように，集合を扱う者はZFC 公理系を一度は読むべきであ
ろう．
V はひとつの有向グラフである．これは公理的集合論の理解のためのコツであろ
う．「広大な」とか「無限」という形容詞に惑わされていけない．たんなる有向グラ
フのようなものと割り切ってZFC の公理系をよんだほうがよい．実際，無限につい
ての公理は，無限公理ただひとつ，つまり，自然数全体に相当する無限の存在を仮定
するところだけである．V はひとつの有向グラフであり，ZFC はこの有向グラフV
の形を規定しているにすぎない．
ここまで書けば，ZFC 集合論をこれからはじめて読むという読者でも，ZFC 集合
論は明快に分かるだろう．つまり，対象はしょせん有向グラフであり，公理系とはこ
の有向グラフにどんなノードがあるのか，あるいはどんなリンクがあるのかという
ことを，一階述語論理という単純明快な言語で述べたものなのであるから．ZFC 集
合論がさっぱりわからないという人には，やはり「難しく考え過ぎてませんか? たか
が有向グラフですよ．もっとシンプルに見てください」とアドバイスしたい．
単純とはいえこの宇宙V は, 本文でも紹介するように，空集合/0，自然数全体N，
N からN への関数全体，等々を含み，その中で代数，幾何，微分積分，確率統計など
どんな数学でも展開できるほど，十分広い舞台であることが実証されている．20 世
紀以降，数学の‘標準言語’ となっている．
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:19:07.33 CtkyGlEO.net
補足
URLﾘﾝｸ(www.hmv.co.jp)
向井国昭 プロフィール
１９７１年東京大学理学部数学科卒業。１９７１年三菱電機株式会社勤務。１９８２年財団法人新世代コンピュータ技術開発機構出向。１９９１年工学博士（東京工業大学）。１９９２年慶応義塾大学環境情報学部助教授。１９９５年慶応義塾大学環境情報学部教授
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
Mukai Kuniaki URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
387:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:33:50.78 CtkyGlEO.net
>>356 補足
[10]飛田武幸、ブラウン運動、岩波書店。1875
[10]飛田武幸、ブラウン運動、岩波書店。1975かな？
1875は、岩波自身がなかったような？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波書店
概要
1913年（大正2年）8月5日、岩波茂雄が東京市神田区南神保町16番地（現・東京都千代田区神田神保町）に開いた古書店として出発。正札販売方法を採用し、注目を集めた。
翌1914年（大正3年）に夏目漱石の『こゝろ』を刊行し、出版業にも進出。漱石没後に『夏目漱石全集』を刊行し、躍進する。看板は漱石の筆による[1]。
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:53:42.65 CtkyGlEO.net
>>310 戻る
”１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ”>>144
そこらは、旧スレで終わっている。悪いが、説明するのが面倒なので、無視していた。下記でも見てたもれ（＾＾；
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:260-264番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 より(抜粋)
261 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/01(日) 16:59:07.49 ID:KxTJyOv3 [17/31]
第一可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を ...
第二可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第二可算的空間
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二 ...
基本近傍系、可算公理、稠密 - nifty
homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/kasankouri.html
任意の x∈X に対し、x の基本近傍系で、高々可算個の近傍から構成されるものが存在するとする。 このとき、「 X は第1可算公理を満たす 」 という。 定義 （ 第2可算公理 ） （X、O）を位相空間とする。 X の基底で、高々可算個の開集合から構成されるものが存在 ...
おっちゃんには、キーワードだけの方が楽しいだろうが
まあ、ここは初学者もいるので下記テキストでも
＜テキスト＞
幾何学序
389:論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MB http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/note_20140401.pdf
390:１３２人目の素数さん
16/06/04 11:28:13.67 3JFbSmW3.net
>>361
わかってなくてワロタ
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 12:17:34.06 CtkyGlEO.net
>>327
どうも。スレ主です。
”相変わらず相手にされてない素人”さんでは長いので
短く、素人さんと呼ばせて貰おう
>あとは第八節さえ理解すれば、ガロア原論文は大体分ったことになる。>>324
それはご同慶に至りです
>というわけで、また思索を続けなければならないが、
まあ、頑張って下さい
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 12:29:00.87 CtkyGlEO.net
>>362
どうも。スレ主です。
確かに分かってない
>＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
>これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ>>310
で？ >>144の問題とどんな関係が？
数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
393:１３２人目の素数さん
16/06/04 13:30:12.99 Xj/Ms7xg.net
>>364
とりあえず任意のnについて成り立つことをn=∞で成り立つと言うのをやめろよ
394:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 14:44:59.12 CtkyGlEO.net
>>365
>とりあえず任意のnについて成り立つことをn=∞で成り立つと言うのをやめろよ
どうも。スレ主です。悪かった
が、拡張した複素平面とリーマン球（下記）は習ったかい？
URLﾘﾝｸ(hooktail.maxwell.jp)
拡張された複素平面とリーマン球 [物理のかぎしっぽ]: 2006-12-04
拡張した複素平面
有限の複素平面に，無限遠点を足した平面を 拡張された複素平面 と呼びます．取りあえず，普通の複素数 C と，星印をつけて区別することにします．
無限遠点をさらに自然に有限な一点と関連づけるのが，次に紹介するリーマン球という考え方です．
リーマン球
言葉で説明するよりも，まず図を見るのが簡単でしょう．
複素平面の上に，原点で接するように直径 1 の球を考えます．この球を リーマン球 もしくは 数球面 ， 複素球面 などと呼びます．
リーマン球の南極が原点と接していて，原点から一番遠い点を北極と呼ぶことにします．
さて，複素平面( z 平面)上の任意の点に対し，北極とその点を直線で結び，その直線と球面との交点を考えます．
（図では z 平面上の複素数 z に対し，球面上に Z を描いています．）
このような，リーマン球面上の点と z 平面上の点の対応は 一対一 です．
（ z 平面上の点に対しては，必ずリーマン球面上の点が一つ決まり，逆にリーマン球面上に一点決めれば，必ず z 平面上の一点と対応させることが出来ます．）
そして， z 平面上で複素数が無限遠点に発散するとき，どのような向きに発散しようと，対応するリーマン球面上の点は北極に収束します．
（ぜひイメージしてみて下さい！！）
395:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 14:55:43.82 CtkyGlEO.net
>>366
「無限遠点」を持つ射影幾何学は、最近はやらないんだろうね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影幾何学
(抜粋)
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。
射影幾何学における種々の有用な性質は、このような変換（射影変換）に関連して与えられる。
初等的な幾何学とのもう一つの違いとして「平行線は無限遠点において交わる」と考えることが挙げられる。
これにより、初等幾何学の概念を射影幾何学へ持ち込むことができる。これもやはり、透視図において鉄道の線路が地平線において交わるといったような直観を基礎に持つ概念である。
二次元における射影幾何の基本的な内容に関しては射影平面の項へ譲る。
歴史
幾何学におけるこのような状況が覆ることになるのは、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる（既存の手法を拡充する）一般の代数曲線に関する研究、そして不変式論の登場による。
世紀の終わりにかけて代数幾何学イタリア学派（エンリケ, セグレ, セヴェリ）はそれまでの古い射影幾何学的手法を打ち破り、より深い手法を要する主題へと昇華させた。
19世紀の後半には、射影幾何学の詳しい研究は流行ではなくなっていたが、いくつか文献が刊行されている。
いくつかの重要な仕事が、特に数え上げ幾何学においてシューベルトによってなされ、これは今では、グラスマン多様体のトポロジーを表すものとして用いられるチャーン類の理論の先駆けと見なされている。
ポール・ディラックも射影幾何学を研究し、それを量子力学における彼の概念を展開する基礎として用いた（ただし、結果を公表する際は常に代数的な形にして述べられている）。
See a blog article referring to an article and a book on this subject, also to a talk Dirac gave to a general audience in 1972 in Boston about projective geometry, without specifics as to its application in his physics.
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 15:10:32.85 CtkyGlEO.net
>>366
>>305で紹介した、超準解析とか、超準モデルとかは？ （”実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる”）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
算術の超準モデルとは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
(抜粋)
可算超準モデルの構造
レーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な算術の超準モデルが存在する（構成法の一つとしてHenkin semanticsを用いた方法がある）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超準解析（ちょうじゅんかいせき、Nonstandard analysis）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。
(抜粋)
概要
超準解析ではイプシロン-デルタ論法によって一度は数学から追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、いわゆる実数論にもとづかないライプニッツ流の古典的な微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
このような古典的な微積分におけるオリジナルな無限小解析学とは区別されることもある。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。
超実数（ちょうじっすう、hyperreal numbers）は実数を拡張した数概念である。実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる。
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 15:14:30.63 CtkyGlEO.net
>>366 補足
リーマン球から、無限遠点の１点を除くと、位相的に複素平面と同相になるという
天才リーマン。�
398:ｾわれて見ればコロンブスというか、数学的には「言われて見ればリーマン球」というくらい、発想が天才的だね
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 15:16:44.72 CtkyGlEO.net
>>366 補足
確かに、院試でも受けようという人たちは、ここらの”n=∞”みたいな”ノンスタンダード”（非教科書的）書き方は、普段からしないようにしておいた方が良いだろうね
すまんかった
400:１３２人目の素数さん
16/06/04 15:45:51.88 OjM1/xAJ.net
1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0
でいいの？
401:１３２人目の素数さん
16/06/04 15:56:24.96 EdJlY4u6.net
おっちゃんだが、今週は素通りかw
まあ、>>311-316、>>318-320でいいたかったのは、
標準的な考えになっているヒルベルトの公理主義と対立した直観主義の話な。
ペアノの公理とかを持ち出しているスレ主は、こういう話が好きそうだろう。
>320の例では標数が2の有限体 F＝{-1,0,1} の話だが。
「2≠0 ではない」を記号で書くと ￢(￢(￢(2＝0))) と書ける。
402:１３２人目の素数さん
16/06/04 16:02:13.60 EdJlY4u6.net
>>372の記号の訂正：
￢(￢(￢(2＝0))) → ￢(￢(2＝0))
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:06:27.69 CtkyGlEO.net
>>371
どうも。スレ主です。
砂山のパラドックスを連想させるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
砂山のパラドックス
基本的には相対的で定義がはっきりしないことを扱う学問領域である言語哲学に属する問題である。
一方数学では、全ての用語が明確な定義を持っている。
このパラドックスは不明確な用語を数学的な論理式に持ち込む際に常に付きまとう問題であり、定義不能な不明確な概念に論理を適用する際の問題である。
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:24:59.83 CtkyGlEO.net
>>374 つづき
下記拡大実数の記事が参考になるだろう
要するに、1/∞ ＝ 0 は定義で別扱い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
(抜粋)
数学における拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real; 拡大実数）は、実数の全てに加えて、さらに無限大を加えた数である。アフィン拡張実数 (affinely extended real number) では正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の2つを、射影拡張実数（しゃえいかくちょうじっすう、英: projective extended real number）では1つの無限大 ∞（正と負の区別がない（できない）無限遠点）を付け加える。
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。
（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line; 拡張実数直線）と呼ばれ、 R や [?∞, +∞] と書かれる。
文脈から意味が明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。
意義
極限
仮に、実数の集合 R に二つの元 +∞ と ?∞ を添加するとすれば、「無限遠における極限」を R におけると同様の位相的性質を以って定式化することができる。
代数的性質
今までの定義に従えば、拡張実数の全体 R は体にも環にもならない。それでも以下のような十分扱いやすい性質が成立する：
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:29:31.59 CtkyGlEO.net
>>372-373
406: どうも。スレ主です。 おっちゃん、レスありがとう が、おっちゃんの話はいつも難しいから ついて行くのた大変だよ（＾＾；
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:36:52.97 CtkyGlEO.net
>>372
直観主義
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的直観主義
ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に対し排中律を守り、数学の無矛盾性を示すためのものと考えることができる[1]。
ブラウワーの主張は、感覚的で分かりにくかったが、その後ハイティング等によって整備され、結果的には古典論理から排中律を除いた形で形式化されたものが今日、直観主義論理として受け入れられている。
現代では直観主義論理は、数学の証明は全て構成的に為されなければならないという主張（数学的構成主義）と関連が深いと考えられている。
直観主義は単なる思想としてだけではなく、数学基礎論や計算機科学に様々な影響を与えている。
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:48:34.23 CtkyGlEO.net
>>372
直観論理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直観論理
(抜粋)
直観主義論理の色々な意味論が研究されている。ひとつの意味論は古典的なブール代数値意味論を写しとったものでブール代数の代わりにハイティング代数を用いる。別の意味論ではクリプキ・モデルを用いる。
直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。
非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。
形式化された直観主義論理はアレン・ハイティングによってヤン・ブラウワーの直観主義プログラムの形式的な基礎として発展せられたものである。
目次
1 構文論と証明体系
1.1 シークエント計算
1.2 ヒルベルト流の計算
1.2.1 オプションの結合子
1.2.1.1 否定
1.2.1.2 同値
1.2.2 古典論理との関係
1.3 結合子の定義不可能性
2 意味論
2.1 ハイティング代数意味論
2.2 クリプキ意味論
2.3 タルスキ流のモデル論
2.4 他の論理との関係
2.4.1 多値論理との関係
2.4.2 中間論理との関係
2.4.3 様相論理との関係
2.5 ラムダ計算
3 関連項目
4 注釈
5 参考文献
6 外部リンク
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:50:34.63 CtkyGlEO.net
英文wikipediaの方が充実しているね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:51:31.37 CtkyGlEO.net
>>372
ペアノの公理は、引用元に書いてあったからね（＾＾；
411:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:00:02.72 CtkyGlEO.net
>>363 訂正 同慶に至りです → 同慶の至りです
412:１３２人目の素数さん
16/06/04 20:00:07.35 sCL4/KGi.net
>>364
＞数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
これは酷い
数学的帰納法の主張は、「n∈N ⇒ P(n)は真」である。
∞∈/N なるものに対して、数学的帰納法は何も言っていない。
＞で？ >>144の問題とどんな関係が？
(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
お前の理解が少しでも進むために。別に嫌なら無理にとは言わん。勝手にしろ。
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:10:37.37 CtkyGlEO.net
>>378-379 関連
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Brouwer?Heyting?Kolmogorov interpretation
In mathematical logic, the Brouwer?Heyting?Kolmogorov interpretation, or BHK interpretation, of intuitionistic logic was proposed by L. E. J. Brouwer, Arend Heyting and independently by Andrey Kolmogorov.
It is also sometimes called the realizability interpretation, because of the co
414:nnection with the realizability theory of Stephen Kleene. Contents 1 The interpretation 2 Examples 3 What is absurdity? 4 What is a function? 5 References
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:39:08.30 CtkyGlEO.net
>>382
これどうよ？
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
公理論的集合論 矢田部俊介 お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」2013
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
(抜粋)
公理的集合論ZFC の特徴を一言で言うと、以下の通りである。
? 超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの、によ
り集合を構成していく。大まかに言うと、空集合から始め、無限ステップの帰納的
構成により集合を構成する。
? その際、超限帰納法による構成の「天井」、すなわちこれ以上構成を続けていけない限界が存在する。
その典型例は不完全性定理による「ZFC の無矛盾性が証明できてしまうぐらいの大きな整列順序は
ZFC では存在を証明できない」というものである。これらの限界は「巨大基数」と呼ばれる、真に大
きな無限の大きさの整列順序である。
本講義の構成は以下の通りである。まず、2 章では、公理的集合論がどのような問題意識の中で産まれてき
たのかを説明する。
3 章において、ZFC の公理とそのモデル理
論の初歩を説明する。ZFC の研究はそのモデルの研究であるが、不完全性定理の結果、ZFC がモデルを持
つことをZFC で証明することはできない。上述のように、この不完全性をどう乗り越えるかが、ZFC の研
究を行う上での鍵となる。また、4 章においては、上述の集合の超限帰納法による構成法の詳細について述べ
る。超限帰納法を行うための順序を表現する順序数を構成するとともに、代表的な反復的集合観を表したモデ
ルである集合の累積的階層V、内部モデルL 等を紹介する。そして5 章では、不完全性定理の天井を超えて
集合を構成するための代表的方法として、巨大基数を紹介する。ここでは、代表的な巨大基数として到達不能
基数と可測基数を紹介する。可測基数があると、その上で超フィルターを定義することができ、その結果、超
冪を定義し自身の初等的部分モデルを構成する事ができる。そのエレガントな世界に注目されたい。最後の6
章では、付録として、理論計算機科学で使用されるZFC 以外の公理的集合論を紹介する。
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:49:54.65 CtkyGlEO.net
>>382
ID:sCL4/KGiさんね、あなたは
「これは酷い
数学的帰納法の主張は、「n∈N ⇒ P(n)は真」である。
∞∈/N なるものに対して、数学的帰納法は何も言っていない。」という
一方、>>384で矢田部俊介先生（下記）は、「公理的集合論ZFC の特徴を一言で言うと、以下の通りである。
・ 超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの、によ
り集合を構成していく。大まかに言うと、空集合から始め、無限ステップの帰納的
構成により集合を構成する。」と言われる
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
矢田部俊介
経歴
2014年4月 - 現在 京都大学大学院文学研究科 応用哲学・倫理学教育研究センター（CAPE） 研究員
2013年4月 - 現在 西日本旅客鉄道株式会社 技術部
2012年4月 - 2013年3月 産業技術総合研究所セキュアシステム研究部門 研究員（2号）
2010年4月 - 2012年3月 産業技術総合研究所組込みシステム技術連携研究体 研究員（2号）
2009年4月 - 現在 京都大学文学部 非常勤講師
2007年9月 - 2010年3月 産業技術総合研究所システム検証研究センター 特別研究員
2007年4月 - 2007年8月 神戸大学大学院工学研究科 助手
2004年7月 - 2007年3月 神戸大学工学部情報知能工学科 教務職員
2003年6月 - 2004年6月 神戸大学工学部情報知能工学科 教務補佐員
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:57:07.35 CtkyGlEO.net
>>385
"１３２人目の素数さん"(ID:sCL4/KGi)と、矢田部俊介先生のお茶の水女子大学
418:集中講義とどちらを信用するのか まあ、普通に考えれば、明白だわな かつ、数学的帰納法については、私も>>345に書いた。矢田部俊介先生の講義内容と同趣旨だ
419:１３２人目の素数さん
16/06/04 21:04:28.57 sCL4/KGi.net
>>385
お前は本当に飽きれるほどわかってない
何をどうわかってないのか、俺はもう十分なヒント（というか答えかｗ）を与えた
あとは自分で考えろ、何もかも手取り足取り教えてもらおうとするなバカモノ
420:１３２人目の素数さん
16/06/04 21:09:32.32 3JFbSmW3.net
間違った引用をして責任をなすりつけるとか根性腐り切ってるな
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:16:06.42 CtkyGlEO.net
>>387-388
えーと、>>144 だったね
> １．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
> ２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ
で、下記で良いか？ （文字化けしているから、原文読んでくれ）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
山田光太郎
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
集合と位相第一 （2011年度）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎
(抜粋)
10 開集合・閉集合
例10.3. ユークリッド空間Rn の1 点からなる集合{p} は開集合でない．
注意10.4. 例10.3 は，任意の距離空間(X; d) の一点集合が開集合でない，ということを言っているわけではない．演習問題10-3 参照．
命題10.5 の(3) から有限個の開集合の共通部分は開集合であることがわかる．
例10.6. 自然数n に対してUn = (?1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．
集合族{Un | n ∈ N} を考えると∞∪n=1 Un = (?1, 1),∞∩n=1 Un = {0}
となり，この集合族の共通部分は開集合ではない（例10.3)．
すなわち，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない．
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:31:40.81 CtkyGlEO.net
>>389 つづき
で>>382
>(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
>実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
>お前の理解が少しでも進むために。別に嫌なら無理にとは言わん。勝手にしろ。
だった？
これな、おれの理解は反例でない。>>371 ”1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0”と同じだろ？
>>375 "要するに、1/∞ ＝ 0 は定義で別扱い"（無限（極限）の場合は定義が必要） と類似
>>389 "例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合"
n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”でも、これある意味定義だろ？
あなたたちが言っている通り、有限の範囲では開集合。有限の間ずっとそうだよ。
で、無限（極限）で、一点集合（ ユークリッド距離空間では閉集合）に収束するというのは、定義であり、別の言い方では、無限を扱う公理からの帰結だろ？
因みに、>>389 演習問題「10-3 集合X の任意の部分集合は離散距離ddisc に関する開集合であり，かつ閉集合でもある．」を引用しておく
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:36:34.91 CtkyGlEO.net
>>390 つづき
>(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
>実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
という視点からすれば、批判されるべきは
時枝の>>7
"いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である."
こそが批判されるべきじゃないのか？
”(2)有限の極限として間接に扱う，”という方針に反例があるよという主張でしょ？
424:１３２人目の素数さん
16/06/04 23:47:26.41 CUjQMami.net
五次方程式は解けないことが証明できなければ、五次以降の方程式が解けないことを証明できない。
しかし、超弦理論で宇宙は最低でも11次元で出来ているというから、現代の数学的手法は全く役に立たない。
宇宙は何次元であろうと実際に存在するわけだから、実は何次元の方程式であろうと解は必ず存在するのである。
現在の学問は、知識の共有を重視するあまり、ほとんど意味のない観念を用いて凡人でもわかるように説明しようとする。しかし、凡人は、4次元までしか感覚的に理解出来ないのである。
このスレで、素人を名乗る男、この男は天才である。
その才能は、東大出のボンクラには理解し難いかもしれない。
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:51:02.29 CtkyGlEO.net
>>391 つづき
おれの時枝に対する主張も同じだ
”(2)有限の極限として間接に扱う，”という方針には無理があって、結局極限は、なんらかの形で、定義か公理として、外から与える必要がある
それが、ペアノでは帰納法の公理であり、ZFCなら無限公理と選択公理
その上に、個別のケースとして
>>371のケースなら”1/∞ ＝ 0”という定義が必要だし
>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）という定義が必要だと思うけど
まあ、まさか、”(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。”などという人が、
上記”Un = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）が自明とか、言わんよね（＾＾；
（実際には反例が存在するから不完全ではない→実際には反例が存在するから完全ではない かな？）
426:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:54:59.18 CtkyGlEO.net
>>392 どうも。スレ主です。あんたも天才だな
427:１３２人目の素数さん
16/06/05 01:08:38.39 Agq/0mSk.net
>>390
＞>>375 "要するに、1/∞ ＝ 0 は定義で別扱い"（無限（極限）の場合は定義が必要） と類似
1/∞ ＝ 0 なんて定義が書かれている本を教えてくれ。
お前さあ、解析の教科書読んだことあるの？
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 06:38:58.87 i9VZxB8i.net
>>395
へへ（＾＾；
429:１３２人目の素数さん
16/06/05 09:27:40.13 Agq/0mSk.net
>>364
超限帰納法を持ち出した所で
＞数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
が大間違いだってことは理解できたのか？
430:１３２人目の素数さん
16/06/05 10:53:18.29 416O3imx.net
>>394
真の「天才」に値する人物は滅多に現れない。
「天才」という言葉をむやみに使用すると、
何人もの天才が存在することになり、「天才」の言葉が陳腐化する。
「天才」という言葉は余り使わない方がいい。
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 11:31:36.29 i9VZxB8i.net
>>397
へへ（＾＾；
> 1/∞ ＝ 0 なんて定義が書かれている本を教えてくれ。
拡大実数>>375 の中にある
なお、 URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) の(7)式だ
ああ、本ね。本では無いが、数学演習V・VI 浜中真志 名古屋大 理学部数理学科2年生 第9回 2012 URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
で、”(リーマン球面) 複素平面C に無限遠点∞ を付け足してコンパクト化した空間をC^ またはP^1 と記し、リーマン球面と呼ぶ．
C 上の直線は無限遠点∞ を付けたすとP^1 上の円となる．問題1 の写像f はf^(z) =f(z) (z≠0,∞のとき),0 (z = ∞のとき),∞ (z = 0 のとき)
と定めることによってP^1 からP^1 への写像にまで自然に延長できる.
(この f^ は値域がC に収まらないので, もはや関数とは呼べないのであるが, 実は正則写像と呼ばれる, 非常に良い性質を持った写像である.)"とあるよ
で、話は逆だ。>>393「>>371のケースなら”1/∞ ＝ 0”という定義が必要だし」>>393で、合っているだろ？
そして、>>393東工大 山田光太郎先生「>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）」は、”1/∞ ＝ 0”という定義からだと直ちに従うってことじゃないのかい？
あなたの主張は、>>390「数学的帰納法は不完全であると言える。実際には反例が存在するから完全ではない」だったろ？
で、>>389「２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」で、上記山田光太郎先生の反例について、『「無限個の開集合の共通部分」が”{0}（一点集合に収束）”になる』というのを、”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義でなく、また数学的帰納法も使わずに、示せるという主張でしょ？
どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ
どうぞ。ぐだぐだ、文学的な修辞で逃げるなよ！
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 11:33:45.62 i9VZxB8i.net
>>398 やはりあなたは天才だ
434:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:00:31.16 i9VZxB8i.net
>>399 追加
おい、まさか、>>371「1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0」と同じ発想をしているのか？
それな、数学的帰納法の反例ではなく、誤用だろ？
435:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:03:27.06 Agq/0mSk.net
>>399
＞(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
＞実際には反例が存在するから不完全ではない。（>>382）
をどう読めば
＞あなたの主張は、>>390「数学的帰納法は不完全であると言える。実際には反例が存在するから完全ではない」だったろ？
になるのだ？真逆ではないか。数学以前だ。国語から勉強し直せ。
で、お前は解析の教科書を一冊でも勉強したことが有るのか無いのか？
俺は無いと見てるが、そうであればまずは勉強して基礎を身に付けろ。
数学に関するちょっとした一文でさえその背後には多くの（教科書で言うところの何十ページにも渡る）基礎があるのだ。
お前は基礎がガタガタだから会話が成立たん。
436:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:11:48.70 416O3imx.net
>>400
「天才」という言葉のそのような多用はやめた方がいいと。
一見「天才」に見える多くの人は、実は大体「秀才」なのだ。努力して「秀才」になった人なのだ。
ここは、日本の教育システムを見れば、いわなくても分かるよな。
真の「天才」に値する人物は、リーマンやアーベルのような人をいう。
リーマンはいい加減で直観的な推論をしながら正しい結論に至ったり、
幾何学では滅多に人を評価しなかった多くの人から「天才」と
称されるガウスを驚愕させたりした人なのだ。天性の何かを持っていた。
今ではアーベルは「天才」扱いだが、ガウスもアーベルの意図は見抜けなかった。
リーマンやアーベルは、「天才」と称されているガウスを超えた人だ。
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:13:26.59 i9VZxB8i.net
>>401 追加
逃げ道を塞いでおく
>>393東工大 山田光太郎先生「>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）」
これを示すには、>>399に書いたように、”1/∞ ＝ 0”と定義するか
あるいは、正統な位相空間論から言えば、>>389にあるように、ユークリッド空間Rnには、普通の（我々が良く知る）距離が定義できる
その距離を使って、数学的帰納法を適用して、「>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）」を示すことになる
私は寡聞にして、それ以外の論証をしらない
だから、>>389「> ２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」は、おそらく数学的帰納法の適用例にほかならない
（”1/∞ ＝ 0”という定義は、上記数学的帰納法の論証と矛盾しないように「拡張実数」の体系内で定義しているだけのこと。”定義できない”とされている演算も多いよ。詳しくは>>375の「拡大実数」のリンクをご参照）
繰り返す、ぐだぐだ、文学的な修辞で逃げるなよ！
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:16:21.34 i9VZxB8i.net
>>402
へへ（＾＾；
どうぞ。ぐだぐだ、文学的な修辞で逃げるなよ！>>399
おい、まさか、>>371「1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0」と同じ発想をしているのか？ それな、数学的帰納法の反例ではなく、誤用だろ？>>401 >>404
439:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:18:17.88 416O3imx.net
>>404
>”1/∞ ＝ 0”という定義は、上記数学的帰納法の論証と
>矛盾しないように「拡張実数」の体系内で定義しているだけのこと。
こういう定義は出来ない。このような体系は、体ではない。
440:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:24:33.01 Agq/0mSk.net
それともう一つ。
お前は数学的帰納法が公理だ公理だと言ってるが、それは数学的帰納法そのものを公理としている流派が有ると言ってるのか？
それとも或る公理から出発して数学的帰納法が証明されると言ってるのか？
後者だとしたらその公理と証明をお前は書けるのか？つまり理解した上で一連の発言をしているのか？
441:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:30:41.66 Agq/0mSk.net
>>405
バカモノ。誰が数学的帰納法に反例が存在すると言った。
お前は人の書き込みを真逆にする癖があるな。数学以前だなお前は。
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:43:11.61 i9VZxB8i.net
>>406-407
へへ（＾＾；
「どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ」>>399
そう逃げ回らないで、なんか数学的な論証書いて見なよ、”おっちゃん”みたく。そうすりゃ、あんたの数学的レベルがすぐ分かるからさ（＾＾；
「こういう定義は出来ない。このような体系は、体ではない」か？ 面白い主張だね。「集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎」>>389を、読んでみな。位相って体限定だったんだ・・・、初耳！（＾＾；
>お前は数学的帰納法が公理だ公理だと言ってるが、それは数学的帰納法そのものを公理としている流派が有ると言ってるのか？
>それとも或る公理から出発して数学的帰納法が証明されると言ってるのか？
両方Yes。さんざん書いてきたろ？ 例えば、>>384のリンクのPDFを読んでみな >後者だとしたらその公理と証明をお前は書けるのか？つまり理解した上で一連の発言をしているのか？ あんたレベルの相手ができるくらいの理解はしているさ（＾＾； が、なにか見ないと公理と証明は書けないから、院試は通らないだろう（＾＾；
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:46:34.77 i9VZxB8i.net
>>408
へへ（＾＾；
ぐだぐだは、いいからさ
”どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ”>>399
445:１３２人目の素数さん
16/06/05 13:04:15.18 Agq/0mSk.net
>>409
＞両方Yes。さんざん書いてきたろ？ 例えば、>>384のリンクのPDFを読んでみな
お前はわかってないな。そのPDFの著者は”公理図式”の説明をしたいだけだよ。
数学的帰納法は一例として使っただけ。そんなものをもって、「数学的帰納法そのものを公理とする流派が存在する」だの勘違いも甚だしい。
で、後者がYESなら、公理と証明を書け。お前は絶対にわかって発言してない。
446:１３２人目の素数さん
16/06/05 13:08:12.81 Agq/0mSk.net
＞が、なにか見ないと公理と証明は書けないから、院試は通らないだろう（＾＾；
数学では、自力で証明できないのを”わかっている”とは言わないと思うが
447:１３２人目の素数さん
16/06/05 13:21:04.41 416O3imx.net
>>409
「1/∞＝0」という式の定義は出来るが、「1/∞＝0」と定義するときは
「∞」は無限遠点の扱いになって、実数の無限「+∞」の扱いではなくなる。
複素平面上で考えて定義することになる。
448:１３２人目の素数さん
16/06/05 13:31:19.33 416O3imx.net
>>409
但し、複素数列の極限と合うような形での定義になる。
449:１３２人目の素数さん
16/06/05 13:54:51.07 416O3imx.net
>>409
>>413では、正確には「複素平面上での定義」ではなく「リーマン球面上での定義」だな。
450:１３２人目の素数さん
16/06/05 14:11:07.14 416O3imx.net
>>409
>「こういう定義は出来ない。このような体系は、体ではない」か？ 面白い主張だね。
実数直線に実数の範囲での正負の無限大±∞を加えた R∪{±∞} には実数の大小が定義されて、
体ではなくなる。実数の範囲での無限大∞と無限遠点∞は意味が違う。
前者は +∞ か -∞ と書けるが、後者はそのようなことが出来ず ∞ でしかない。
451:１３２人目の素数さん
16/06/05 14:20:46.47 416O3imx.net
>>409
>>415の訂正：
リーマン球面上での定義 → リーマン球上での定義
452:１３２人目の素数さん
16/06/05 14:30:25.29 416O3imx.net
>>409
>>417はどっちでもいいよ。
無限遠点がリーマン球の北極、複素平面 C 上の点0が南極で、
北極の無限遠点からリーマン球面上の点に直線を引き
複素平面との交点を考えることで、C に無限遠点 ∞ を加えた C∪{∞} が構成される。
453:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 17:01:17.05 i9VZxB8i.net
>>411-412
へへ（＾＾；
ぐだぐだは、いいからさ
そのダブルスタンダードを自分に適用してみろよ！
「数学では、自力で証明できないのを”わかっている”とは言わないと思う」だっけ？ どうぞ！
”どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ”>>399
454:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 17:09:02.35 i9VZxB8i.net
>>413-418
へへ（＾＾；
「このスレで、素人を名乗る男、この男は天才である。その才能は、東大出のボンクラには理解し難いかもしれない。」>>392
と宣うあなた。あなたもやはり天才ですね！（＾＾；
私は、東大出ではないけれど
455:１３２人目の素数さん
16/06/05 17:15:24.01 Agq/0mSk.net
>>419
おいアホ
証明しろと言うならしてやるから命題を書け
456:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 19:17:46.36 i9VZxB8i.net
>>421
どうも。スレ主です。
やる気になった？
では
問題「２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」>>389
で、一例としては、>>389の集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎 で
”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．
集合族{Un | n ∈ N} を考えると∞∪n=1 Un = (-1, 1),∞∩n=1 Un = {0}
となり，この集合族の共通部分は開集合ではない（例10.3)．
すなわち，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない．”
を示したが、これ使っても良いし、自分のやりやすい別の反例と方法でも可だ
但し条件がある>>399
"おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ"と
この条件を付ける理由は、>>382であなたが
>＞で？ >>144の問題とどんな関係が？
>(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
>実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
と宣うから
つまり>>144
> １．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
> ２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ
で、１は「任意の有限個の開集合の共通部分は開集合」、２は「無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない」というんでしょ
”数学的帰納法は不完全である”、”反例が存在する”と主張したかったんでしょ
どうぞ。数学的帰納法を使わずにお願いします（＾＾；
457:１３２人目の素数さん
16/06/05 21:31:46.43 IrY0uZDQ.net
すいません、ぼくは中2でガロア読みましたが、群と対称性はどう関係あるんだ？？
458:１３２人目の素数さん
16/06/05 23:09:14.49 Agq/0mSk.net
>>422
命題になっていないから没
＞”数学的帰納法は不完全である”、”反例が存在する”と主張したかったんでしょ
既に何度も同じ指摘をしてやってるのに未だ理解できんのか？アホタレ。
誰かさんの気持ちがよくわかる。こいつは人の指摘を聞く耳持たず、同じ誤り�
459:ｽ度も繰り返すオオバカモノだ。
460:１３２人目の素数さん
16/06/06 00:39:35.12 MNZzhW3S.net
楕円関数についてなのですが、
ps − qr = 1 を満たす整数 p, q, r,s を用いて a′ = pa + qb, b′ = ra + sb とした周期 a′ 、b′ 。これは下記の行列を通る楕円と考えることが出来ます。
／p q＼
＼r s／
つまり、この行列がモジュラー変換群に属するということです。
この考え方を拡張し、5点を通る楕円について考えてみましょう。
任意のp,q,r,s,tを通る楕円、それは平面上には存在しないことは見当がつきます。
しかし、これをラグビーボール型の楕円球体に置き換えれば5点を通るモジュラー変数群は存在します。
さらに拡張すれば、何次元であっても同じことなのです。
ただし、それを数式で表すことも、5次元以上の空間を観念的に理解することも難しいかもしれません。
461:モジュラー変換素人
16/06/06 09:27:32.95 mLDJWvI6.net
>>392は私のネット上の知り合いが書いた投稿だから気にしなくていい（笑
いうまでもなく私は天才でも何でもない（笑
天才でも何でもないが、一知半解のくせに分ったような顔はしたくないのである。
第八節に関しても、守屋や彌永や倉田の、体論による、詐欺かペテンのような
証明には納得したくないのである。
三森氏の説明は、具体的だし、それはそれで正しいのだろう。
しかし私は、ガロアが、三森氏が説明しているようなことを考えていた
とは思っていないのである。ガロアは、
方程式に二根を添加すれば、その群がただ一つの順列になることは明らかだ。
とだけ書いた。それだけ言えば、他の根はその二根から有理的に導かれることは、
ガロアにとっては、おそらく、説明するまでもない自明のことだったのだろう。
というわけで、私は、ガロアが何を考えていたかを探りたいのである。
そのためには代数学の歴史の本でも読む必要があるかな、と思い始めている。
三森氏は、どうやら数学の門外漢のようで、代数学に通じている人ではなさそうだ。
だからあのような独自の説明を自分で考えたのだろう。
その説明自体は間違いではないが、代数学に通じた人なら、
第八節の意味はおそらく簡単に分かるはずなのだ。
462:１３２人目の素数さん
16/06/06 23:32:48.55 jAIHacu9.net
自演乙
463:１３２人目の素数さん
16/06/06 23:51:45.06 frtD47uN.net
永田の可換環、可換体はどう？
藤崎の体とガロアはあるけど、永田さんの数学書読んでみたいと考えてる。
ホモロジーの議論なくても構わない
464:１３２人目の素数さん
16/06/07 23:25:23.55 wBtk7C+Y.net
コテも無いのに何故知り合いとわかるのか？
ネット上の知り合いと素人の共通点：発言内容がトンデモ
ネット上の知り合いの投稿時間が日替わり直前
誰も素人を天才と思ってない、それどころか普通の大学生以下
もし自演じゃないと言い張るなら、しめし合わせて同じ日にここで彼と会話してみ？
しっかし「この男は天才である」って、よくこんな歯の浮くような自演ができるもんだ、ヘドが出るぜ
465:１３２人目の素数さん
16/06/07 23:53:22.40 iosSwRAB.net
文面からして同一人物だと思うよ。
だってこんなセリフは間違いなく仕事クビニートおじさんに決まってるだろwwwwwwww
だろ？天才ニートおじさん
466:１３２人目の素数さん
16/06/08 05:37:57.15 uduZ6L2k.net
>>420
ハズレだw
>だってこんなセリフは間違いなく…に決まってる
って、これだけを根拠にして文面から推測したのか。他の人が書いた可能性もあるだろうが。
>>392が書かれた時間帯は日付が変わる頃だ。文面からの推測をするなら、
>>392と>>425が同一人物としか推測出来ない。
この2つは5次元以上の空間の話が出て来るなど内容も似ている。
sageて書かれている点も同じ。書かれた時間帯、話の内容、sage と何点か共通点がある。
書かれた時間帯と5次元以上の空間の話が決定的かも知れない。
それでもこの推測が絶対に正しいとはいい切れない。
それに対して、お前さんの文面からの推測は、共通点を1つも挙げず、
「こんなセリフは…に決まってる」と短絡的な読みによる推測である。
お前さんのオツムは、文面からの推測以前の問題だ。
おっちゃんが書いたのは、>>398、>>403、>>406、>>413-418だよ。
>>392とは「天才」に対する考え方が違う。
>だろ？天才ニートおじさん
上のような短絡的でしようもない文面の読み取りやスレ主の「天才」という
言葉の多くの使用からすると、このセリフはスレ主だろうか。
467:１３２人目の素数さん
16/06/08 05:59:06.73 uduZ6L2k.net
>>430
(>>431は取り消して、レス相手間違えたから再掲)
ハズレだw
>だってこんなセリフは間違いなく…に決まってる
って、これだけを根拠にして文面から推測したのか。他の人が書いた可能性もあるだろうが。
>>392が書かれた時間帯は日付が変わる頃だ。文面からの推測をするなら、
>>392と>>425が同一人物としか推測出来ない。
この2つは5次元以上の空間の話が出て来るなど内容も似ている。
sageて書かれている点も同じ。書かれた時間帯、話の内容、sage と何点か共通点がある。
書かれた時間帯と5次元以上の空間の話が決定的かも知れない。
それでもこの推測が絶対に正しいとはいい切れない。
それに対して、お前さんの文面からの推測は、共通点を1つも挙げず、
「こんなセリフは…に決まってる」と短絡的な読みによる推測である。
お前さんのオツムは、文面からの推測以前の問題だ。
おっちゃんが書いたのは、>>398、>>403、>>406、>>413-418だよ。
>>392とは「天才」に対する考え方が違う。
>だろ？天才ニートおじさん
上のような短絡的でしようもない文面の読み取りやスレ主の「天才」という
言葉の多くの使用からすると、このセリフはスレ主だろうか。
468:天才ニートおじさん素人
16/06/08 09:00:57.69 cTeITIrS.net
>>429-430
アホレス乙（笑
さて、また質問を書いておこう。第五節の最後にこう書かれている。
というのは、第三の平方根は二つの平方根から有理的に導かれるからである。
これは具体的にどういうことなのか。
四次方程式に関する初歩的な知識があれば答えられる質問だろう。
一流大学の数学科を出て、俺は頭が良いと自認している君らなら
当然答えられるだろう（笑
469:１３２人目の素数さん
16/06/08 11:02:31.35 395iOr6B.net
悪かったよ。おじさん。
だけどまず一流大学の定義からだな。
神戸大あたりからなのか、数学板に多い理科大あたりも入るのか？
もしくは京大東大なのか
470:天才ニートおじさん素人
16/06/08 12:30:19.52 cTeITIrS.net
一流大学の定義なんかどうでもいい（笑
ここの参加者が一流大学の数学科を出ていなくてもいい。
私は有益な答えが得られれば、それでいいのだ（笑
ちなみに私は文学部の国文科を出ている人間だから、
君らが恐れる必要はまったくないのだ（笑
何度も言うが、私は行列や合同式も分らないのである（笑
合同式だけは少し齧ったが、未だに合同式で説明されると、
何のことやらよく分らないのである（笑
私がなぜ上のような質問をしたかというと、
第八節と同じようなことが書かれているからである。
というのは、第三の平方根は二つの平方根から有理的に導かれるからである。
これは第八節の思想とまったく同じだ。だから、
他の根は任意の二根から有理的に導かれる、ということは、
ガロアにとって代数学の常識みたいなものだったのではあるまいか、
と私は思っているのである。
だから、三森氏の説明は、間違いではないが、
ガロアは三森氏のような小難しいことを考えていたのではないだろう、と。
471:１３２人目の素数さん
16/06/08 12:41:10.77 sanE//s6.net
マ イ ン ド コ ン ト ロ ー ル の手法
・沢山の人が、偏った意見を一貫して支持する
偏った意見でも、集団の中でその意見が信じられていれば、自分の考え方は間違っているのか、等と思わせる手法
・不利な質問をさせなくしたり、不利な質問には答えない、スルーする
誰にも質問や反論をさせないことにより、誰もが皆、疑いなど無いんだと信じ込ませる手法
偏った思想や考え方に染まっていたり、常識が通じない人間は、頭が悪いフリをしているカルト工作員の可能性が高い
靖 国 参 拝、皇 族、国
472: 旗 国 歌、神 社 神 道を嫌う カ ル ト 10人に一人は カ ル ト か 外 国 人 「ガ ス ラ イ テ ィ ン グ」 で 検 索 を ！
473:１３２人目の素数さん
16/06/08 19:18:02.51 AMVpL6Jd.net
おい自演坊や 言っただろ？
＞もし自演じゃないと言い張るなら、しめし合わせて同じ日にここで彼と会話してみ？
できるもんならやってみな？
474:１３２人目の素数さん
16/06/08 19:21:31.09 AMVpL6Jd.net
まあ天才と呼ばれるほどの仲なら簡単なことだし、それをガン無視ってことは
自演を白状したも同然
自分を「この男は天才である」ってキモ過ぎるよお前
475:１３２人目の素数さん
16/06/08 19:23:20.72 AMVpL6Jd.net
一体何の天才なんだか
数学も自演も素人以下なのに
476:１３２人目の素数さん
16/06/08 20:21:29.25 xbQVChfO.net
>>429
実は、この｢天才ニート｣と呼ばれる男は多彩な能力を持っていて、その一つが個体識別能力なのです。
大勢が参加するスレに名無しで書いていても、誰が書いたものか直ぐにわかってしまう。
恐らく、あなたのレスも過去の書き込みの特徴から、何番と何番を書いた人物と同一人物だと瞬時に理解したはず。
ガロア理論に対するこの男の関心事も、数学的な興味ではなく、ましてや宇宙物理学への展開ではないのです。
この男の関心ごとは、実は、ガロア理論の書かれた文書そのものなのです。数学は、ガロア理論を理解するために必要な予備知識にすぎません。
この男は、文学部出身と書いていますが、ガロア理論はフランス語の原文を読んでいるようです。
確認はしていませんが、他にもドイツ語、ラテン語、中国語の古典も本人が興味を持った範囲で読みこなすことが出来るらしいです。
少なくとも、この男のガロア理論についの理解度は、このスレの｢ちょっと数学ができる人間」とは次元が違うということです。
やはり、天才としか言いようがありません。
477:１３２人目の素数さん
16/06/08 20:25:12.58 AMVpL6Jd.net
うわああああああああああああああ キショい
478:１３２人目の素数さん
16/06/08 21:29:21.25 0a2LbSZV.net
原文で読むとか流石やな。天才とは言わずも優秀な方ですね
479:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:22:53.26 qOgoDwjT.net
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480:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:23:14.82 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:23:37.89 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:24:00.10 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:25:05.40 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:25:27.06 qOgoDwjT.net
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16/06/08 22:25:49.12 qOgoDwjT.net
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488:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/08 22:26:13.18 qOgoDwjT.net
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489:キショい素人
16/06/09 08:28:23.48 6L0FRaqw.net
>>440は>>392を書いた男で、われわれが某スレで○○男と呼んでいる男である。
あることないこと、ごちゃまぜのデタラメ投稿だから気にしなくて良い(笑
もちろん私はガロア原論文をフランス語で読んでいたりはしない。
そんな面倒な、あるいは本格的な研究をしているのではない(笑
もともと私はガロアを理解したくて勉強を始めただけであって、
ガロア解説書を書いてやろうと思って始めたわけではないのだ。
やっているうちに、平明な解説本が一冊もないことが分ってきたので、
それなら私が書いてやろうと思い始めただけである。
三森氏の解説は、これまで読んだ中では最も優れた解説だ。
しかし三森氏の解説でも一般人にはやや難しいのだ。
「13歳の娘に語る…」は平易だが、肝要な点はスルーしているし、
正規部分群は二階建てだから良いのだ、などと訳の分からない解説をしている。
「数学ガール」も肝腎要の部分の説明はスルーしているからダメだ。
その他の解説本も、たとえば>>433の私の質問箇所の説明はスルーしている。
だからダメなのだ。だからここの参加者さえ>>433の質問に答えられないのである。
いや、もう少し待っていれば誰かが回答を寄せる可能性があるから、
もう少し待ってみようとは思っているが。
490:キショい素人
16/06/09 08:36:08.58 6L0FRaqw.net
>>433の質問箇所はオイラーの解法に関するものであるらしい。
オイラーの解法とはチルンハウス変換した四次方程式を
Ｘ＾４＋ｐＸ＾２＋ｑＸ＋ｒ＝０とし、その四根を
ｓ＋ｔ＋ｕ
ｓ－ｔ－ｕ
－ｓ＋ｔ－ｕ
－ｓ－ｔ＋ｕ
とおくと、ｓ、ｔ、ｕの２乗の基本対象式が有理数になり、
そこからｓ、ｔ、ｕの２乗を根とする三次方程式を作ることができ、
そこからｓ、ｔ、ｕを求めるという方法である。
しかしｓ、ｔ、ｕの２乗の値が分ればｓ、ｔ、ｕの値はすぐに分るのだから、
ガロアが何を言っているのか、やや不分明である。
ガロアはたとえば、ｓ、ｔ、の値が分れば、
ｕの値は、ｓ、ｔから有理的に導ける、と言っているのだろうか。
たしかにたとえば
ａ＝ｓ＋ｔ＋ｕ
ｂ＝ｓ－ｔ－ｕ
ｃ＝－ｓ＋ｔ－ｕ
ｄ＝－ｓ－ｔ＋ｕ
とすると、ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ（＝ｐ）はｕの二次式になるから、
ｕはｕの二次方程式の根として求めることができるということは分る。
しかしガロアが言っているのは、たぶん、そんなことではないだろう。
491:VHR12JC10V1
16/06/09 09:43:06.23 0PNJ69aN.net
Que veut cette horde d'esclaves,
De traîtres, de rois conjurés?
Pour qui ces ignobles entraves,
Ces fers dès longtemps préparés?
Ces fers dès longtemps préparés?
Français, pour nous, ah! quel outrage
Quels transports il doit exciter!
C'est nous qu'on ose méditer
De rendre à l'antique esclavage!
/⌒/ l⌒l l⌒l＿＿＿_（）（）
/ / | | / ＿_ ＿）
/ / | | （__ノ / /
/ / | | / /
（__ノ （___） （__ノ
12301866845301177551304949583849627207728535695953347921973224521517264005
07263657518745202199786469389956474942774063845925192557326303453731548268
50791702612214291346167042921431160222124047927473779408066535141959745985
6902143413
=
33478071698956898786044169848212690817704794983713768568912431388982883793
878002287614711652531743087737814467999489
X
36746043666799590428244633799627952632279158164343087642676032283815739666
511279233373417143396810270092798736308917
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16/06/09 10:00:24.41 8aYbGgjJ.net
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16/06/09 10:03:27.45 8aYbGgjJ.net
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502:キショい素人
16/06/10 09:48:26.01 cQDZL4sq.net
さて>>433の私の質問の引用の、もう少し上から引用しよう。
なぜなら三次の補助方程式を解くことに次いで、
後者[オイラーの解法]は三つの平方根を開くにもかかわらず、
二つの平方根で十分であることが知られている。
というのは、第三の平方根は二つの平方根から有理的に導かれるからである。
ここでガロアははっきりと
二つの平方根で十分であることが知られている。
と書いている。つまり当
503:時の数学者にとっては既知の事柄だったのだ。 ところがこの箇所を日本のガロア解説本はスルーしているし、 ここで質問しても誰も答えられないのである（呆 尤も私も答えられないのだから大きなことは言えないが（笑
504:キショい素人
16/06/10 09:56:26.06 cQDZL4sq.net
もとより、数学には多くの分野があり、学ぶべき膨大な事柄があるから、
ガロア原論文の些末な個所などにかまっていられないということもあるだろう。
だからこの箇所について誰も答えられなくても責めるべきではない。
しかし数学には数学史の研究という分野もあるはずだ。
世の中、ギリシャ数学について研究している学者だっているのだ。
だからもう少し代数学の歴史に通じている者がいても良さそうなものだ。
そういう人なら、ガロアが述べている箇所の意味が分るはずなのである。
505:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 12:43:48.72 EP9hO/vo.net
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16/06/10 12:44:05.58 EP9hO/vo.net
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16/06/10 12:44:23.09 EP9hO/vo.net
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16/06/10 12:44:39.91 EP9hO/vo.net
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16/06/10 12:46:10.39 EP9hO/vo.net
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16/06/10 12:46:29.28 EP9hO/vo.net
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515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 21:14:22.33 SzOTDmNl.net
￥さんか、お元気そうでなによりだ
まあ、遊んで行ってください
>>283-285とか、”数学のまともな話をしてないところには爆撃来ないよ”、”真面目な話が始まるとつぶしに来る”か・・（＾＾；
まあ、別に”つぶしに来る”とか、そんな大げさな（＾＾；
昔は、なんとか詩織ちゃんも出没していたんだ。まあ、ゆっくり遊んで行ってもらえれば、結構だよ
516:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 21:24:03.82 SzOTDmNl.net
>>424
どうも。スレ主です。
「命題になっていないから没」か。
あんたのギブアップ宣言よく分かったよ！ 半分「どんな証明をしてくれるのか」期待していたので、がっかりしたけどね
で、良いヒントを貰ったお礼を言っておく（＾＾；
数学的帰納法は、公理だったんだ。私の理解が浅かった。無限を扱うには、そのための公理が必須だ。>>404で逃げ道を塞いだ通りです（＾＾；
数学的帰納法が分かっていなかったという意味では、あんたも同レベルだったとカミングアウトしたのが、>>424なのだ・・
（>>399に書いた通りです。）
517:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 21:34:59.77 SzOTDmNl.net
>>423
どうも。スレ主です。
以下などを読んでみては？
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
鏡の国へ行ってみよう！ ～対称性のはなし～
名古屋大学大学院多元数理科学研究科 伊藤 由佳理
以下は，2010年秋に名古屋大学で開催された市民講演会の講演内容をまとめたものです．
(抜粋)
「．おわりに
以上が，市民講演会でお話しした内容です．今回は，市民講演会ということで，群の初歩的な内容を視覚的に説明しましたが，高校生向けには，群の定義や正多面体群の話も取り
入れると，大学数学を身近に感じてもらえるようです．
参考文献を少し挙げておきます．対称性に関する面白い啓蒙書は他にもたくさんあります．
・ヘルマン・ヴァイル（遠山 啓訳）「シンメトリー」紀伊国屋書店
・伊藤 由佳理「対称性の美?結晶群の分類」：「この定理が美しい」（共著）数学書房P. 3 0 - 3 9 . 」
URLﾘﾝｸ(www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp)
綿村 哲 (わたむら さとし) 東北大学 大学院 理学研究科 量子基礎物理学講座
URLﾘﾝｸ(www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp)
518:ugi/ 対称性と物理 http://www.tuhep.phys.tohoku.ac.jp/~watamura/kougi/GP2012_11.pdf 群とは (抜粋) 1.1 対称性と群 この節ではまず，対称性の概念が群の概念を導くことを見てみよう． まず対称性の定義とは何なのか？ ここで考えている対称性とは，ある種の変換に関する不変性を意味する.
519:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 21:47:13.13 SzOTDmNl.net
>>454
どうも。スレ主です。
”>>433の質問箇所はオイラーの解法に関するものであるらしい。”というので、合ってると思うよ。たしか記憶では
ガロアは、オイラーの解法を当然良く理解していたんだ
当時、四次方程式は知られていた
で多分、ガロアの伝記を読めば書いてあるだろうが、ガロアは当初五次方程式が代数的に解けると思っていたんだ。が、途中で、おそらくアーベルなどを読んで、方向転換したんだよ
素人さんが、ガロアを読みこなすのは、もうすぐかな（＾＾；
520:１３２人目の素数さん
16/06/10 21:54:35.45 zxNvKdIQ.net
素人氏が来たスレは荒れる。
これだけが唯一の真実です。
521:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 22:02:34.69 SzOTDmNl.net
>>466-467
どうも。スレ主です。
素人さんも、高木貞治の名を聞いたことがあるだろう
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
代数学講義 改訂新版 単行本 ? 1965/11/25
高木 貞治 (著)
トップカスタマーレビュー
5つ星のうち 5.0代数の古典的名著を読もう
投稿者 数学進履橋 投稿日 2006/12/24
著者がかって東京大学で講義した内容をまとめて１９４８年に初版を出版した古典的な代数学の著作です。
しかし全く古くは感じられなく複素数の解説から始まって多項式の性質が丁寧に解説されています。
実係数の代数方程式の実数解を計算するSturmの定理の説明も丁寧であり、学校で教えられていないおもしろい数学を知ることができます。
三次、四次方程式の解の公式を説明した後、五次以上の代数方程式の代数的な解の公式がないことの証明を述べています。
ガロア理論によらないで、１８２６年にAbelが証明した方法を知ることは興味深いことです。
後半に入り行列式の解説に入ります。
ここでも天下り式に行列式の説明をしないで、LeibnitzやCramerが扱った方法から説明しているので行列式を考える意義が良くわかります。
続いて行列式から行列を登場させていく進め方は、さすがに著者ならではと納得しました。
抽象的な代数学を学ぶのと並行してこの著作を読むと現代にいたる代数学の経緯を知る上で大変参考になり良い本です。
問題も適宜入っておりそれを解きながらじっくり読むことを薦めます。
522:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 22:03:51.42 SzOTDmNl.net
>>482
この程度で荒れるとは言わないし
そもそも、数学板でまともなスレはほとんどないだろうよ（＾＾
523:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 22:08:05.51 SzOTDmNl.net
>>483
代数学講義 改訂新版
手元にあるが、P181から、オイラーの解法について、丁寧に解説されている
図書館（大きな図書館から取り寄せかも）か、大きな書店に行けばあると思うよ
524:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:41:09.97 EP9hO/vo.net
￥
525:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:41:28.68 EP9hO/vo.net
￥
526:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:41:48.68 EP9hO/vo.net
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527:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:42:06.61 EP9hO/vo.net
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528:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:42:23.22 EP9hO/vo.net
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529:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:42:40.68 EP9hO/vo.net
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530:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:42:58.68 EP9hO/vo.net
￥
531:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:43:19.63 EP9hO/vo.net
￥
532:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:43:37.81 EP9hO/vo.net
￥
533:￥ ◆2VB8wsVUoo
16/06/10 22:43:57.32 EP9hO/vo.net
￥
534:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 22:55:10.85 SzOTDmNl.net
そういえば、前スレ 585で紹介した
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数III方式 ガロアの理論 単行本（ソフトカバー） 矢ヶ部巌 (著)出版社: 現代数学社; 新装版 (2016/2/25)
これの第４章にオイラーの解法があり、
535:第５章で例題を解いているよ どこか図書館か、大きな書店で見て下さい
536:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 22:55:56.64 SzOTDmNl.net
￥さんか、お元気そうでなによりだ
537:１３２人目の素数さん
16/06/10 23:03:10.86 HtTHwxQm.net
＞数学的帰納法は、公理だったんだ。私の理解が浅かった。無限を扱うには、そのための公理が必須だ。>>404で逃げ道を塞いだ通りです（＾＾；
＞数学的帰納法が分かっていなかったという意味では、あんたも同レベルだったとカミングアウトしたのが、>>424なのだ・・
＞（>>399に書いた通りです。）
オオバカタレ
>>407に対しお前は両者だと答えた。
前者はお前の勘違いだと指摘した。それは理解できたのか？
そして後者でもあると言うなら後者を具体的に書いてみろと言ったが、お前はできていない。
俺から言わせればお前の数学的帰納法に対する理解は０点だ。
まずは後者を書け。話はそれからだ。オオバカタレ
538:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 23:03:29.17 SzOTDmNl.net
>>479
"数学的帰納法は、公理だったんだ。"を補強しておこう
ロビンソン算術
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
数理論理学においてロビンソン算術(英: Robinson arithmetic)あるいはQとはペアノ算術(PA)の有限部分理論であり、Robinson (1950)において最初に導入された。
Qは本質的にはPAから帰納法の公理図式を取り除いたものである。それゆえQはPAよりも弱いが同一の言語を持つ不完全な理論である。Qは重要かつ興味深い対象である。
というのもQは本質的決定不能かつ有限公理化可能なPAの部分理論だからである。
Qの特徴は帰納法の公理図式の不在にある。すなわちQはしばしば個々の具体的な自然数に対する事実を証明することが可能であるが、任意の自然数に対する普遍的な事実の多くを証明できない。
例えば 5 + 7 = 7 + 5 はQで証明可能だが、一般的な言明 x + y = y + x は証明できない。同様に Sx ≠ x は証明できない(Burgess (2005))。
539:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 23:04:52.58 SzOTDmNl.net
>>498
負け犬が
良い犬ほどよく吠えるか
540:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/10 23:05:45.33 SzOTDmNl.net
>>500
もとい
負け犬が
弱い犬ほどよく吠える
541:１３２人目の素数さん
16/06/10 23:10:08.69 HtTHwxQm.net
いいか、もう一度だけ言うぞ？
ある公理を設定し、そこから出発して数学的帰納法を証明せよ
大学一年生用の教科書に載ってるよ。これができなきゃお前は大学一年生未満だ
542:１３２人目の素数さん
16/06/11 00:22:05.62 6ZeM11eX.net
帰納法の証明、っていうのは
(ⅰ)n=1のとき、P(1)が真である
(ⅱ)P(n)が真ならば、P(n+1)も真である
"(ⅰ),(ⅱ)が成り立つならば、任意の自然数nに対してP(n)は真である"
""を証明しろってこと？
543:１３２人目の素数さん
16/06/11 00:31:14.87 VGLvBdIb.net
YES
544:１３２人目の素数さん
16/06/11 00:32:54.62 VGLvBdIb.net
て言うか、それ以外に解釈のし様無いだろ
545:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/11 07:50:18.51 S8u3bicV.net
>>499-505
「"数学的帰納法は、公理だったんだ。"を補強しておこう」の追加をする。いつもお世話になっている渕野先生の登場
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
渕野 日本数学会『数学』 公理的集合論 特別企画 －－－これから学ぶ人のために－－－ 数学，Vol.65, No.4 (2013), 411--420. （このPDF過去スレで紹介したが）
このPDFのP2の中程『集合論の公理系(たとえば現在標準になっているツェルメロ・フレンケルの公理系
(ZF) に選択公理(AC) を加えたもの(ZFC)) には，(実質的には) N が集合であることを主張する「無限
公理」とよばれる公理が含まれている．』辺りから
P2の最後�
546:wこのことから，順序数上の帰納法(超限帰納法) による証明や，再帰的定義 (超限再帰法) が可能となる．』辺りを見てもらえば良い。 この記事で不十分な人は、参考文献も上がっているので、それを見て欲しい アスキー文字に制限されて、普通の数学記号が使えないところで、読みにくい証明をだらだら書くのはやぼってこと そういうバカを主張するやつほど、この制限された板で証明を書いたことがないやつなんだ
547:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/11 08:01:41.91 S8u3bicV.net
>>356
戻る
飛田武幸先生って、不勉強だったが、ものすごくえらい先生みたい（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
飛田 武幸（ひだ たけゆき、1927年11月12日 - ）は、日本の数学者。専門は、確率論、関数解析学。名古屋大学名誉教授。
ホワイトノイズ解析の基礎を確立。確率過程論国際学会会長、国際研究発表ジャーナル「Infinite dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics」の編集長等を務めた。
1967年より1年間 プリンストン大学客員教授
主な著書、訳書
1973 一確率論研究者の回想: 岩波書店
1975 ブラウン運動: 岩波書店
1976 ガウス過程: 紀伊国屋書店
1981 誤差論: 紀伊国屋書店
1994 ゆらぎの科学〈4〉: 森北出版
2001 美しいノイズ・数学を身近かに（高等研選書；13）
2011 確率論の基礎と発展: 共立出版