16/05/22 18:02:52.19 237XiX1j.net
数学のまともな話をしてないところには爆撃来ないよ
真面目な話が始まるとつぶしに来る
301:１３２人目の素数さん
16/05/22 19:06:31.74 RgnD/tuZ.net
まともかまともじゃないか分かるんだ
302:１３２人目の素数さん
16/05/23 17:09:13.24 8v+E2nth.net
>>263
>>279は取り消し。一応考え直したら、間違いだ。単純に考え過ぎた。第 k+1(k≧1) 項以降が
同じ部分列 {a_m} (m≧k+1) で構成されるようなマクローリン展開 Σ(a_n・x^n) に限っても、
選択公理の仮定次第で、{a_m} (m≧k+1) により 級数 Σ(a_n・x^n) を類別出来るかどうか
が変わるな。例えば、病的な級数は除いて、収束半径が r＞0 のときのマクローリン展開
Σ(a_n・x^n) の集合をAとする。Aの級数の類別の問題は、Aの級数を部分列 {a_m} (m≧k+1) で
類別する話になる。各 a_n (0≦n≦k) の取り方は、c(cは連続体濃度)通りある。だから、{a_n} の
部分列 {a_n} (0≦n≦k) はc個ある。平面 R^2 の部分集合 G＝{a_n∈R | 0≦n≦k} の濃度はcである。
各 n＝0,1,…,k に対して、 I_n＝{a_n∈G} は有界で連結な開集合で、I_n＝(b_n,c_n) b_n, c_n∈Rとおける。
1)、選択公理を認める。G＝{I_n∈G | 0≦n≦k} に対して、選択公理を適用すると、Gの点を直線R上に並べる
ことが出来る。平面 R^2 上で、各 a∈R を通り直線Rに垂直に {a_m} (m≧k+1) の可算個無限の点を並べ、
Rに平行な可算無限個の直線を引く。原点Oを通る直線 R から 任意にn個の点 x_0,x_1,…,x_k を取る。
各 n＝0,1,…,k に対して、B_n＝{(x_n,y)∈R^2 | y∈N} とおく。∪_[n=0,1,…,k](B_n) は R^2 上の零集合である。
よって、B_n の R^2 におけるルベーグ測度は0である。x_0,x_1,…,x_k∈R は任意だから、x_0,x_1,…,x_k を
R 上で走らせると、(B_n)∩R の R 上でのルベーグ測度は +∞ である。従って、Aの級数を部分列 {a_m} (m≧k+1) で
類別出来る確率の測度は1である。任意の 0＜ε＜1 なる ε に対し、ε＞p_n＞p_{n+1}＞0 なるように、確率列 {p_n}
を構成する。ε→+0 とすれば、Aの級数を部分列 {a_m} (m≧k+1) で類別出来る確率は {1-p_n} の項で表せる。
303:１３２人目の素数さん
16/05/23 17:10:30.54 8v+E2nth.net
>>263
(>>286の続き)
2)、選択公理を認めないとする。このとき、部分列 {a_m} (m≧k+1) は0に収束する。card(R^N)＝c に着目すると、
0に収束する数列の
304:取り方はc通りある。よって、Aの級数は部分列 {a_m} (m≧k+1) で類別出来ない。任意の 0＜ε＜1 なる ε に対し、ε＞p_n＞p_{n+1}＞0 なるように、確率列 {p_n} を構成する。すると、ε→+0 とすれば、Aの級数を 部分列 {a_m} (m≧k+1) で類別出来る確率は {p_n} の項 P_n で表せる。 病的な級数の上に、選択公理が絡むとややこしいな。 もっと正確に考えようとすると、収束半径rも絡みそうだ。複雑な話だ。
305:１３２人目の素数さん
16/05/23 17:19:16.67 8v+E2nth.net
>>263
>>287の「{p_n} の項 P_n」は「{p_n} の項 p_n」に訂正。
直観が正しければ、>>286-287のようになるな。選択公理次第で結果が変わるな。
306:１３２人目の素数さん
16/05/25 00:09:01.99 FG+eCKAp.net
【カッシーナ速報】理化学研究所からの開示文書が届きました
URLﾘﾝｸ(www.nantoka.com)
平成２３年０２月２５日入札公告「幹細胞研究開発棟2階交流スペース・ディスカッションルーム２用什器」
リンク先３、４ページ目
物品購入要求
起案年月日 ２０１１年１月１４日
依頼要求元 計算生命科学センター設立準備室 合成生物学研究グループ
納入場所 所在地 神戸 建物 幹細胞研究開発棟
使用者 上田 泰己
件名 幹細胞研究開発棟2階交流スペース及び居室用什器
業者 ２１００４１７ （株） カッシーナ・イクスシー
合計金額 ４，８７２，０００
307:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/27 23:13:55.00 HtldAD+f.net
>>278
どうも。スレ主です。
Tさん、レスありがとう
まさか、いまさら>>235,>>242,>>258,>>274とかを、取り下げる気はないよね？（＾＾；
私は、こんな数学の記号記述に不便な場所で、証明を書く気がないし、まあ>>248に書いたことは基本変わっていないが
証明らしいことを思いついたので、概略を書いてみる
>>260に戻る
時枝の定義：「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」
Tさんの予想： ”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”>>242（＾＾；
さて、Tさん予想が不成立の証明の概略
１．まず、用語統一：”互いに情報を得られない”＝”互いに独立”＝”独立”、と３つの用語が同義であるとする（もし違うというTさんの主張なら、どうぞ自分で好きに定義して自由に語って下さい）（＾＾；
２．同様に、”箱”＝”確率変数”の同義が成り立つとする（ここはおそらく良いんだろうね）
３．そうすると、Tさんの予想の結論部分は、”「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」でしかなく”と言い換えることができる。
４．今、時枝の定義から、確率変数の無限族を考えているから、上記の「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」以外の確率変数は無数にあるはず。その一つを、>>7の記号を借用して、X1としよう
５．そして、X1と上記の「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」との併合、{X1}∪{「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」}を考えると、これにより独立でない有限個の組が構成できたことになる。
６．一方、これは上記の「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」（特に”任意の”）に反する
（証明終わり）
そして、
>>260”「任意の有限部分族が独立のとき」をどう読めば、”「常に有限個の組」でしかなく”が証明できるのか？ さっぱり分からんと言っているだけさ”
>>264"いや、普通に考えると、「任意の有限部分族が独立」から、”「常に無限個の組」”が証明できるんじゃないかい？"
を再度強調しておく
補足：”互いに情報を得られない箱”は、意味が違うとか言い出しそうだな（後出し）（＾＾；
308:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/27 23:28:49.70 HtldAD+f.net
>>290 補足
この証明が正しいとして、別に新しい数学が生まれるとは思わんけどね（＾＾；
時枝の定義：「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」
は、極めて自然な定義だと思うし
>>7みたく
「いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.」
と強調�
309:ｷるほどのこと？ そもそも、「(1)無限を直接扱う」って、なんだ？ それ、定義されていないでしょ？ 意味がわからんよ
310:１３２人目の素数さん
16/05/27 23:45:15.46 UVhMlqM5.net
>>291
有限個のときと同じように無限個を全部眺めて「ああ、こいつらは独立だ」などと考えることはできない
でも無限個の中から有限個を取り出せばそれが独立かどうかはわかる
だからどんな有限個を取り出しても独立のとき、それを無限族の独立としよう、と言ってる
311:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/27 23:46:55.12 HtldAD+f.net
>>290 訂正
酒飲んで書くとだめだな
５．そして、X1と上記の「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」との併合、{X1}∪{「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」}を考えると、これにより独立でない有限個の組が構成できたことになる。
６．一方、これは上記の「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」（特に”任意の”）に反する
↓
５．そして、X1と上記の「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」との併合、{X1}∪{「互いに独立な確率変数は常に有限個の組」}を考えると、定義より”任意の有限部分族が独立”だからこれらも独立な有限部分族になる。
６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
312:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/27 23:53:09.90 HtldAD+f.net
>>292
どうも。スレ主です。
レスありがとう
でもな、哲学になってしまうが
普通の数学では、直感的に語る無限と、帰納ないしlimで定める無限とは、たいがい同一視して、問題ない場合が多いだろう
特別な場合は別として
では、なぜ>>7の場合に、その区別が必要なのか？ その数学的説明がないと思うよ
313:１３２人目の素数さん
16/05/27 23:53:53.12 UVhMlqM5.net
>>293
＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
ここがおかしい
また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ
314:１３２人目の素数さん
16/05/27 23:58:28.44 UVhMlqM5.net
>>294
数学では無限を明確に区別してるはずだよ
哲学の文脈だと可能無限と実無限って言うの？
315:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 00:00:16.24 jEjz5PPC.net
だれかが、上で書いていたが、実数の定義に、コーシー列とか切断とかある
例えば√２と、√２に収束するコーシー列（無限列＝有限列の極限）を同一視しましょうと
それが、普通の数学だろ？
316:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 00:06:48.45 jEjz5PPC.net
>>295-296
”とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”
”数学では無限を明確に区別してるはずだよ”
そこは全く同意見
時枝パラドックスの根源だと思う
そういうことを>>108に書いた
多項式環R[x]と、形式的冪級数環 R[[X]] におけるｎの扱いの差だと
317:１３２人目の素数さん
16/05/28 00:07:17.68 fdHSGwwG.net
>>297
それはだんだん√2に近づいていく数列ではなくて√2にいくらでも近づけられる数列かな
318:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 00:07:52.75 jEjz5PPC.net
で、時枝記事は、そこら（ｎの扱いの差）をぼかしているんだと
319:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 00:09:54.89 jEjz5PPC.net
>>299
どうも。スレ主です。
レスありがとう
いちおう、「収束」と書いたけど？（＾＾；
320:１３２人目の素数さん
16/05/28 00:12:04.95 fdHSGwwG.net
limは別に自然数の無限を考えてない、そういう記号で表現してるだけで
ε-Nの定義を書けば実数の無限だってわかるはず
321:１３２人目の素数さん
16/05/28 00:14:07.09 fdHSGwwG.net
数学的な表現でないから却ってわかりづらくなったかもしれない、すみません
その「収束」という言葉を数学として定式化すれば伝わるはず
322:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 00:16:10.73 jEjz5PPC.net
>>288
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
おっちゃんの証明は、いつも情熱的だね（＾＾；
細かくは追い切れないが（＾＾；
323:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 05:48:42.50 jEjz5PPC.net
>>294-303
どうも。スレ主です。今日は、朝から出かけるので、その前に書いておきます
まず、下記引用
URLﾘﾝｸ(repository.kulib.kyoto-u.ac.jp)
大きな数としての超準数 超準数と厳格有限主義 矢田部 京大 科学哲学科学史研究 2012
Ｐ１より
「古典論理上のペアノ算術（PA）の標準モデルを特権的なものであると考え，超準数の存在を真剣に考慮することを拒�
324:ﾛする傾向があるように見受けられる．」 「もちろん，PA およびその帰納的な拡大では不完全性定 理によって超準モデルの存在が排除できない．従って，標準モデルを指定するためにはω-規則や二階古典論理の採用など，算術を越えた手法が必要となる．」 「自然数と計算を形式化した体系は，PAのような古典的な算術体系以外にも，λ-計算や非古典論理上の算術体系など，数多く存在する． そして，それらの体系の中には，数学的帰納法を仮定すると矛盾を導くものさえ存在する． 数理論理学者にとって，どれが「本当の自然数論の体系か」という問は意味をなさず，それらの諸体系間の相対的な関係（特に相対的無矛盾性）が考慮の対象となる． また，自然数の標準性という概念はモデル相対的なものであり，標準数は超準数に比べて特別な地位を持つわけではない．」 （引用おわり）
325:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 05:55:05.27 jEjz5PPC.net
>>305 つづき
さて、
１．ペアノ算術（PA）から、自然数の集合の濃度が、可算無限であることが証明されるという。ここは、いいだろう
だから、普通の帰納法で、可算無限までは到達できると
２．多項式環R[x]においては、ｎの扱いは抑制的で、「多項式には項の数が有限しかないこと、つまり十分大きな k （ここでは k > m）に関する pk はすべて零であるということは暗黙の了解である。」と>>78。しかし、ｎに上限はないことを注意しておく。
だから、多項式環R[x]のベクトル空間の次元は、可算無限>>125であることも注意しておく
３．ところで、「√２と、√２に収束するコーシー列（無限列＝有限列の極限）の同一視」を拒否したとする。
つまり、いくらでも近づくが、決して等しくならないと
その立場では、簡単に(√２)^2=２と書くことはできない。つねに注意書きが必要だ。「いくらでも近づけられる数列」だが、一致はしないとか？
でも、なんか変だね
４．仮に、時枝の定義：「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」で、”無限”の扱いが上記３だとしよう
その立場を貫徹するなら、>>3の無限数列のしっぽによる同値関係での類別が、あまりに軽すぎでは？ この同値関係での類別こそ、”(1)無限を直接扱う”では？
５．いわゆる、ダブルスタンダード。そこ（とくに”無限数列のしっぽによる同値関係での類別”）が、時枝パラドックスの根源だと思う。このパラドックスの意味は、「論理的な矛盾」>>228だということ
326:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 06:09:08.59 jEjz5PPC.net
>>306 つづき
ともかく、”ペアノ算術（PA）から、自然数の集合の濃度が、可算無限であることが証明される”を認めるならば
>>290-293は、いいだろ？ （除く>>292)
時枝の定義：「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」から
Tさんの予想： ”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”>>242は、導けない（否定が導かれる）
というか、”ペアノ算術（PA）から、自然数の集合の濃度が、可算無限であることが証明される”を認めるならば
時枝の定義：「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」は、極めて自然な定義だと思うよ
327:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/05/28 06:23:55.62 jEjz5PPC.net
>>307 つづき
で、>>236-237に書いたように、”「完全なる乱数列」が数学的に構成できる”と思う
「完全なる乱数列」が、時枝解法で的中できるとするなら、パラドックスが構成されたってこと
そして、不勉強かも知れないが、”無限数列のしっぽによる同値関係での類別”は、過去の数学研究で例が無いように思う
もし、過去の数学研究で例が無いとすれば、ここがくさい
>>173 で引用した渕野昌先生の無限のパラドックスの話
無限を扱うとパラドックスになりやすい。注意が必要なんだ。
このパラドックスの意味は、「論理的な矛盾」ってことで、新しい数学が生まれるとは思わない
新しいパラドックスが生まれたとは、言えるかも（＾＾；
328:１３２人目の素数さん
16/05/28 07:54:24.28 fdHSGwwG.net
>>307
>>293はよくないよ
>>295の通り
329:１３２人目の素数さん
16/05/28 11:04:41.65 rEES5QT5.net
＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ
330:１３２人目の素数さん
16/05/28 11:21:52.78 d3ehqixB.net
>>304
おっちゃんだが、>>287-288は直観的に書いた�
331:｢い加減な話だよ。話が複雑。 私の証明はムダが多いとか長いとか批判されまくっているのだ。 まあ、こうなるに至った理由はあるけどな。計算ミスの多さやら知識不足やらなどもあるが、 基礎論の人には記号だけでは話が通用しない人がいるみたいだな。 昔素朴集合論について質問したとき、「である」か「ではない」かを はっきりさせろとしつこくいわれたことがある。ここの人によると、 そういう「である」か「ではない」かをはっきりさせなくてもいいと。 あと、通常は、熱心な証明といういい回しならまだしも、 情熱的な証明という表現はおかしいと考えるだろう。
332:１３２人目の素数さん
16/05/28 11:27:41.42 d3ehqixB.net
>>304
ちなみに、情熱的というなら、それこそ、
おフランスが好きな猫の方が私よりふさわしいだろう。
333:１３２人目の素数さん
16/05/28 16:09:10.25 d3ehqixB.net
>>308
>このパラドックスの意味は、「論理的な矛盾」ってことで、新しい数学が生まれるとは思わない
>新しいパラドックスが生まれたとは、言えるかも（＾＾；
反例が生じたことから新しい数学が生まれた例はかなりあると思うぞ。
ワイエルシュトラス関数や、ヒルベルトキューブやらシェルピンスキーのガスケット
とかの奇妙な図形も最初は反例扱いされていたが、フラクタルの概念が導入されて
マトモな数学的対象として扱われるようになった。それ以前は病的な対象として
扱われていて、それらを幾何的(解析的)に扱う手法は殆どなかった。
解析も、排中律や選択公理をどのように認めて議論するかで結果が大きく変わって来る。
例えば、排中律を認めなければ、或る命題Aの証明にあたり、Aの結論を偽として
非可算集合の中で条件を満たす点の非存在性から矛盾に導けただけで、
Aが正しいと結論付けることは出来ないようなときがある。そこで、構成的にAの証明をする。
そういう論争が過去にあった。記号だけでは相手に伝わらないことがあると主張する人がいた。
334:１３２人目の素数さん
16/05/28 16:21:10.45 d3ehqixB.net
>>308
解析は、排中律や選択公理を仮定するのが便利だな。
そうせずに議論すると、例えばバナッハ・タルスキ－のパラドックスのように、
選択公理を仮定すれば証明出来るのに、証明出来ないかも知れないような命題が生じる。
335:１３２人目の素数さん
16/05/28 16:36:21.98 d3ehqixB.net
>>308
まあ、排中律や選択公理の仮定については、解析に限らないけどな。
代数や幾何もそうだ。
336:１３２人目の素数さん
16/05/28 16:52:33.78 d3ehqixB.net
>>308
>>313の
>非可算集合の中で条件を満たす点の非存在性から矛盾に導けただけで、
>Aが正しいと結論付けることは出来ないようなときがある。
の部分は
>非可算集合の中で条件を満たす点の非存在性から「条件を満たす点を構成して」矛盾に
>導けただけで、Aが正しいと結論付けることは出来ないようなときがある。
に訂正。
337:１３２人目の素数さん
16/05/29 12:05:01.11 +/TH+Rww.net
理研の税金無駄使い、954万円高級家具カッシーナ・イクスシーの指定購入も大問題 : 千日ブログ ～雑学とニュース～
URLﾘﾝｸ(1000nichi.blog73.fc2.com)
税金の無駄遣い？STAP細胞関連経費1億4500万円 小保方晴子氏の検証実験参加は不要だったで書いた理研の税金の無駄使い。
実は小保方晴子さんらのSTAP細胞関連だけでなく、別の問題にも触れられていました。扱いが小さかったんですけど、こちらもすごく問題だと思います。
(中略)
●本来なら大問題である税金の無駄遣い
この高級家具の件は、小保方晴子さんが買ったのでは？と、STAP細胞疑惑のときにいっしょに話題になったものです。しかし、すぐに東大教授になった別の方のところで購入したものだと、断定されていました。
違っていたら困りますし、名前を出しちゃうとあれかな？と思うので書きませんが、「カッシーナ・イクスシー 東大教授」あたりで検索すると簡単に出ます。もうあだ名
338:が「カッシーナ」という感じになっていました。 「計２８８個の穴があること」など、実質的に特定のブランド以外を排除した購入など認められるはずがないものであり、本来なら非常に問題です。これは小保方さん問題以上に返金を求めやすくないですかね？ マスコミはこっちの問題ももっと追求すべきだと思います。
339:１３２人目の素数さん
16/05/29 13:39:37.00 bpd6OM4Q.net
>>308
今更だが、>>313の「ヒルベルトキューブ」は「ヒルベルト曲線」だった。
あと、>>316の訂正も不要で、
>非可算集合の中で条件を満たす点の非存在性から矛盾に導けただけで、
>Aが正しいと結論付けることは出来ないようなときがある。
のまま。まあ、無限集合の中では、背理法を使わずに構成的に証明を行うというような立場がある。
無限集合では背理法は使えず、「≠ではない」というような書き方による論理も許されたいとする立場。
まあ、何れにしろ基礎論の人には「a∈A。」のように記号だけでは伝わらず
「a∈Aである。」か「a∈Aではない。」のように、記号の後に「である。」か「ではない。」か
をはっきりさせて書けと主張するような人がいることは確か。その辺りが2チャンの人の書き方と違うんだわな。
340:１３２人目の素数さん
16/05/29 13:42:57.27 bpd6OM4Q.net
>>308
>>318の
>無限集合では背理法は使えず、「≠ではない」というような書き方による論理も許されたいとする立場。
の部分は
>無限集合では背理法は使えず、「≠ではない」というような書き方による論理も許され「な」いとする立場。
に訂正。
341:１３２人目の素数さん
16/05/29 13:49:18.21 bpd6OM4Q.net
>>308
>>318-319の「≠ではない」の部分は「2≠0ではない」とでも書いた方がいいか。
「≠」だけでは不十分だな。
342:１３２人目の素数さん
16/05/29 23:31:08.95 vrhbU0dh.net
試しに、紙に正五角形を描いてみると良い。
紙を回転させて正五角形がうまく描けたか確認してみよう。
おそらく、歪んだ五角形になっていると思う。
ところで、正五角を並べていっても平面を埋め尽くすことが出来ない。
隙間ができるのを許容しても、平面上にシンメトリー(回転対称)な図形を描くことは出来ないのである。
それは、五次方程式が解けない理由と同じなのである。これなら小学生でも理解できる。
ちなみに、正六角形は平面を埋め尽くすことが出来るが、正三角形の集合体なのだから当然なのである。
正七角形以降は、重なりができてしまうので平面を埋め尽くすことは出来ない。
343:１３２人目の素数さん
16/05/30 22:15:42.87 CKjT6oyl.net
これは酷い
344:１３２人目の素数さん
16/05/31 21:25:05.69 ZPcKE6nj.net
さすがだ
345:冗談構えの素人
16/06/01 10:16:34.86 vrr56IPC.net
このところ四次方程式について考えていたが、
ようやくふんぎりが付いたので、いよいよ第八節に移ろう。
あとは第八節さえ理解すれば、ガロア原論文は大体分ったことになる。
ガロアは第八節で、素数次方程式が解ける必要十分条件として、
任意の二根が分れば、他の根はすべてその二根の有理式として表されること、
と書いている。
これに関してネットで解説を探しても、
三森明夫氏のPDFくらいしか見つからなかった。
URLﾘﾝｸ(www.jmedj.co.jp)
ここで三森氏はいやに小難しい議論をしているが、
ガロアが果たして三森氏が書いているようなことを考えていたかは疑問である。
私は三森氏とはまったく別のやり方で、
任意の二根が分れば他の根はすべて分ることを確認した。
しかしガロアが私がやったようなことを考えていたかどうかは、やはり疑問である。
というのはガロアは簡単にこう書いているからだ。
なぜなら置換
xk xak+b （k、ak+bは小文字）
は二つの文字を決して同じ場所に置かないから、
方程式に二根を添加することにより、四節によれば、
その群がただ一つの順列になることは明らかである。
アーベルはすでに同じ考えに達していたようだが、
これがどういう意味なのかを、これから考えてみようと思っている。
「ガロアへのレクイエム」の中に説明があったような気もするが、
メモしていないから分らない。
346:１３２人目の素数さん
16/06/03 01:24:18.73 b97tqeRE.net
>>324
相変わらず相手にされてないなｗ
あなたがどのように理解したかは知らないが、俺は下のような感じだと思う。
まず、既知の2根をa,bとする。
係数の体にaを添加したときの群をGaと置くと、Gaは方程式の群の置換のうち
aを不変にする置換からなる。もちろんこの置換の集合は群になる。
係数の体にbを添加したときの群をGbと置くと、Gbは方程式の群の置換のうち
bを不変にする置換からなる。もちろんこの置換の集合は群になる。
係数の体にa､bを添加したときの群をGabと置くと、GabはGa∩Gbである。
Ga∩Gbを言葉で表現すると、a,bという二つの文字を不変にする置換からなる集合である。
しかし、
>なぜなら置換
>xk xak+b （k、ak+bは小文字）
>は二つの文字を決して同じ場所に置かないから、
なので（引用した中のa,bは俺が定義した根a,bとは別の意味なので注意）、
Gab=Ga∩Gb={単位置換}
である。よって、適当なa,bの有理式h(a,b)をとると、単位置換以外では不変ではないかつ
各置換で生じる値が互いに違うものが得られる。
すなわち、V=Aa+Bb+Cc+・・・とh(a,b)の群は同一にな。よって、ラグランジュの定理より、
Vはh(a,b)の有理式で表すことができる。ガロアは任意の根はVの有理式で表せることを
示しているから、問題の方程式の任意の根はh(a,b)すなわちa,bによって表すことができる。
347:相変わらず相手にされてない素人
16/06/03 09:49:48.00 Jxo6SQqP.net
相手にされてないというより、君らが答えられないというのが真相だろう（笑
>>325の男が書いていることは守屋、彌永の解説とまったく同じで、
三森氏の解説も基本的に同じようなものだ。
で、三森氏の解説は具体的だから別として、
>>325のような解説で理解できたと思っているなら、それでいいのである。
私はこんな解説で理解した気にはなりたくないと思っているだけだ。
一体こんな解説で一般人が理解できると思っているのだろうか。
大学の数学科で学んだ者だけが理解できればいいというものではないのだ。
348:相変わらず相手にされてない素人
16/06/03 10:04:24.46 Jxo6SQqP.net
ちなみに私は昨日、任意の二根が分れば他の根はすべて分る、
ということを、また別の方法で確認した。
三森氏の方法とは別で、私がやったもう一つの方法とも別のやり方だ。
しかしこのやり方は、
他の根は、その二根の有理式で表せる、というやり方ではない。
だからガロアが考えていたこととは、たぶん違うのだろう。
というわけで、また思索を続けなければならないが、
今のところまったく手がかりはない（笑
349:相変わらず相手にされてない素人
16/06/03 12:20:56.83 Jxo6SQqP.net
私が思うに>>325の議論は誤りである。
どこが誤りであるかは書かないが（笑
350:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/03 22:47:55.08 bBIh2VLt.net
>>309-310
どうも。スレ主です。
>＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
>＞とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ >>295
>これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ
ありがとう！ 良い助言だった！
私が、帰納法を中途半端にしか理解出来ていなかったってこと
それが分かったよ！
あなたの言いたいことは、これだね？
URLﾘﾝｸ(ameblo.jp)
帰納法は、無限大のときには使えない。2011-10-24 Accademia Nuts:
(抜粋)
この数学的帰納法は、
すべての自然数nでP（n）が成り立つことを証明するのに使いますが、
n→∞ のときの証明には使えません。
すべてといっているのだから、∞でもいいような気がしますが、
∞は自然数ではないのでダメです。
351:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/03 22:52:54.69 bBIh2VLt.net
>>329 つづき
ところで、こんなのもある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法
(抜粋)
直観的説明
高校の教科書等の初等的な解説書�
352:ﾅはドミノ倒しに例えて数学的帰納法を説明しているものも多い。 P(n)を「n枚目のドミノが倒れる」の意味だとすれば、上の論法は以下のようになる： １． 1枚目のドミノが倒れる事を示す。 ２． 任意の自然数 k に対して、「k 枚目のドミノが倒れる ⇒ k+1 枚目のドミノが倒れる」を示す。 ３． 以上の議論から全てのドミノが倒れる事が結論づけられる。 ただし、以上の議論はあくまで数学的帰納法が成り立つ理由の直観的説明であって、1., 2. と 3. の間にはギャップがある。 詳しくは後述の「数学的帰納法の形式的な取り扱い」の項目を参照されたい。 数学的帰納法の形式的な取り扱い 数学的帰納法の原理を説明する前に、まず前述した直観的説明のどこにギャップがあったのかを説明する。 前述の説明では、まず我々は P(1) を結論づけ、次に(a), (b)から P(2) を結論づけ、さらにそれと(c)を組み合わせる事で P(3) を結論づけ、 さらにそれと(d)を組み合わせる事で P(4) を結論づけた。 以上の議論から分かるように、P(2)を結論づける為には2ステップの推論、 P(3) を結論づけるには3ステップの推論、…、P(100) を結論づけるには100ステップの推論が必要となる。 従って有限回のステップでは有限個のn に対してしか P(n) を結論づける事ができず、 「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論について有限の長さの証明が与えられたとはいえない。 これが前述した直観的説明におけるギャップである。 そこで、ペアノ算術などの形式な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。 つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/03 22:57:23.93 bBIh2VLt.net
>>330 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ペアノの公理
（ペアノ算術から転送）
定義
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
（１～４は省略）
・ 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。
354:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/03 23:03:16.10 bBIh2VLt.net
>>331 つづき
>従って有限回のステップでは有限個のn に対してしか P(n) を結論づける事ができず、 「無限個ある自然数全てに対してP(n) が成り立つ」という数学的帰納法の結論について有限の長さの証明が与えられたとはいえない。
>そこで、ペアノ算術などの形式な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。
>つまり、形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。
ここ、良いか？
「無限個ある自然数」＝自然数は、集合として、可算無限の濃度を持つ
ペアノの公理から従う
”自然数”は、限りが無いという意味の”無限”ってこと
355:１３２人目の素数さん
16/06/03 23:16:53.32 umAnjbJF.net
そもそも「任意の二根がわかれば｣という前提条件が無意味である。
根拠の無い前提条件を勝手に作り出して、その前提条件を元で証明したことにするのは、誤魔化しである。
自分で選任した弁護士を第三者と呼ぶのと同じである。
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/03 23:30:42.11 bBIh2VLt.net
>>332 つづき
正直、私は、ペアノの公理もあまり理解できていなかった
>>309-310は、良いヒントだった！ で、いまペアノの公理の意味が理解できた！
ペアノの公理で、「数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定される」>>330ってことだったんだ
それも知らずに、「ともかく、”ペアノ算術（PA）から、自然数の集合の濃度が、可算無限であることが証明される”を認めるならば」>>307なんてね
だからさ、結局>>309-310の君たちも、分かってなかったんだね？
「帰納法は、無限大のときには使えない。」？>>329 そう言いたかったのか？（＾＾；
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/03 23:47:02.57 bBIh2VLt.net
>>334 つづき
ところで、渕野昌先生の良い記事（下記）を見つけた。これは、以前に紹介したような気もするが（これを読むのは２度目だから）
ここで言いたいことは、「無限の存在が集合論の他の公理から独立である」という記述だ
つまりは、無限の存在は、公理として与えなければならないってこと（無限公理）
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
R. Dedekind の数学の基礎付けと集合論の公理化 (数学史の研究) 渕野昌 (Sakae Fuchin
358:o) 数理解析研究所講究録 第1739巻 2011 (抜粋) 3 無限の存在証明 単純無限的体系によって自然数の全体の体系の基礎付けがなされうるためには，そもそも無限集合の存在が大前提となる． しかも，これが，「数の理論を扱かう論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件に証明できなくてはならない． （前略）晩年のDedekind が，無限の存在証明([3] の66.) の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか． ただし，Dedekind の名誉のために付け加えておくと，1911 年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある． 無限公理(無限集合の存在を主張する公理) の集合論の他の公理からの独立性（略） その意味でも，Dedekind が無限公理を要請として付け加えることの必要性が見えなかったことの理由は，彼の手のうちにあった数学技法がそれに必要となる成熟に達していなかった，ということであるより（略）
359:１３２人目の素数さん
16/06/04 00:39:21.30 VnRSADg9.net
>>326
>相手にされてないというより、君らが答えられないというのが真相だろう（笑
エスパーじゃないからあなたがどこでつまづいているのかわからないｗ
360:１３２人目の素数さん
16/06/04 00:47:08.13 sCL4/KGi.net
>>334
じゃあ聞くけど
自然数に対して数学的帰納法が成立つようにするために、自然数をどう定義すればよいか
わかる？
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:04:41.18 CtkyGlEO.net
>>337
>自然数に対して数学的帰納法が成立つようにするために、自然数をどう定義すればよいか
>わかる？
分からんが、>>331に引用した。
別に難しくないみたいだな
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:05:12.36 CtkyGlEO.net
>>335 つづき
>集合論の公理化
「無限公理」と「選択公理」が出てくる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
ZF 公理系
ツェルメロ＝フレンケルの公理系 (ZF: Zermelo-Fraenkel) とは以下の公理からなる。
（中略）
・無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A ( ? ∈ A ∧ ∀ x ∈ A ( x ∪ { x } ∈ A ) )
選択公理
上記の ZF に次に述べる選択公理（Axiom of Choice）を加えた公理系を ZFC（Zermelo-Fraenkel set-theory with the axiom of Choice: C は "choice" の頭文字）という。選択公理を仮定しない体系も盛んに研究されている。
・選択公理 X が互いに交わらないような空でない集合の集合であるとき、X の各要素から一つずつ要素をとってきたような集合（選択集合）が存在する：
∀ X ( ( ? ? X ∧ ∀ x ∈ X ∀ y ∈ X ( x ≠ y → x ∩ y = ? ) ) → ∃ A ∀ x ∈ X ∃ t ( x ∩ A = { t } ) )
選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理やツォルンの補題などがある。
363:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:06:52.05 CtkyGlEO.net
>>339 文字化けあるが、原文リンク見てください
364:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:09:39.74 CtkyGlEO.net
>>339
>「無限公理」
これは、英文だが。>>335 渕野昌先生の記事にも出てくるので
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Axiom of infinity
(抜粋)
Independence
The axiom of infinity cannot be derived from the rest of the axioms of ZFC, if these other axioms are consistent.
Nor can it be refuted, if all of ZFC is consistent.
Indeed, using the Von Neumann universe, we can make a model of the axioms where the axiom of infinity is replaced by its negation.
It is V ω , the class of hereditarily finite sets, with the inherited element relation.
If allowed, the empty domain also satisfies the axioms of this modified theory, as all of them are universally quantified, and thus trivially satisfied if no set exists.
The cardinality of the set of natural numbers, aleph null ( aleph _{0}), has many of the properties of a large cardinal.
Thus the axiom of infinity is sometimes regarded as the first large cardinal axiom, and conversely large cardinal axioms are sometimes called stronger axioms of infinity.
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:29:14.71 CtkyGlEO.net
>>330 もどる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法
(抜粋)
集合論における定式化
集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる。
自然数の部分集合 A が空でないとき、A に属する最小の自然数が存在する。
この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは，次のようにして示せる。
帰納法の仮定 1., 2. を満たす論理式 P(n) が与えられたとする。自然数の部分集合 A を A = { n ∈ N : ￢ P(n) } によって定める。
この A が空集合であるということを示したい。
そうでないと仮定すると、Aに属する最小の自然数 a を取ることができるが、P(0)は成り立っていることから a は0でない。
従って、ある自然数 b について a = b + 1となっているが、a は A に属する最小の自然数であったということから、b ? A であり、P(b) は成り立つことになる。
帰納法の仮定からP(a) も成り立つことになり、これは矛盾である。
逆に、「n以下の任意の自然数kについてk ? A」という形の命題 P(n) を考えることで、数学的帰納法から上の原理を導くことができる。
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:30:25.58 CtkyGlEO.net
>>342 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的帰納法
(抜粋)
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
超限帰納法
(A , ?) を整列集合とし、P(x) を A の元 x に関する命題とする。
A は整列集合であるから "?" について最小元を持つ。これを 、a0 とする。
もし次の2つの条件が成立するならば、任意の x ∈ A について P (x) が成り立つ。
条件1
P(a0) は真である。
条件2
a を A の任意の元とする。 x < a を満たす A の全ての元 x について P(x) が真ならば、P(a) も真である。
ただし、"<" は a < b ⇔ ( a ? b ∧ a ≠ b) で定義される二項関係とする。（実際には、条件1は条件2に吸収することができる。
なぜなら、条件2において a = a0 と置けば、x < a を満たす A の元は存在しないので、「x < a を満たす A の全ての元 x について P (x ) が真」という命題は無条件に真であり、従って、P (a0 ) が真となることが要求されるからである。
ここでは分かりやすいように自然数についての数学的帰納法と整合を取った[2]。）
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:38:02.03 CtkyGlEO.net
>>343 つづき
正直、数学的帰納法 wikipedia の説明では、 ZFC >>339 の公理系との繋がりがいまいち見えないけど
選択公理を使うというのは、分かる。>>343の通り
ZF公理系の中では、やはり主に>>341の「無限公理」を使っているんだろう。
というか、有限集合相手なら、うるさく「公理」を問う必要なしだから
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:46:21.57 CtkyGlEO.net
>>344 つづき
まとめると、無限集合に対して、何かを証明しようとして、数学的帰納法を使う
高校レベルの理解では、>>330一見「ドミノ倒し」で、有限の延長として、無限集合に対する証明が完了したように
369:見える でも、それは違うよと。数学的帰納法が成り立つ背景には、無限を扱う公理が存在すべきなのだと>>334 渕野先生は、「Dedekindも間違っていた！」という ”「数の理論を扱かう論理学の部分の基礎付け」としてなされるためには，無限集合の存在が無条件に証明できなくてはならない．”>>335 そう、Dedekind先生も考えていたのだった！
370:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 05:54:33.29 CtkyGlEO.net
>>345 補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
デデキント無限
通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:
集合A が無限であるとは、ある自然数n について{0,1,2,..., n -1}という形の集合である有限順序数とA の間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。
19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。
しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。
弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性の証明は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。
歴史
デデキント無限という語は、この定義を初めて明確に示したドイツ人のリヒャルト・デデキントにちなんでつけられた。
自然数の定義に依存しない最初の“無限”の定義であったことは明記すべきであろう。
一般化
圏論的な言葉で表現すれば、集合 A は集合の圏においてすべてのモノ射 f: A → A が同型射であるときにデデキント有限である。
フォン・ノイマン正則環 R が（左あるいは右）R-加群の圏において同様の性質を持つことと、R において xy = 1 ならば yx = 1 が成り立つことは同値である。
より一般に、デデキント有限環 (Dedekind-finite ring) は、この条件（xy = 1 ならば yx = 1）を満たす環のことである。
台集合がデデキント無限であっても環はデデキント有限となりうることに注意。
例えば整数環。正則加群 RR がホップ的（すなわち任意の全射自己準同型が同型）であることと R がデデキント有限であることは同値である。
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 06:00:55.30 CtkyGlEO.net
>>346 補足の補足
URLﾘﾝｸ(abrahamcow.hatenablog.com)
デデキントによる無限集合の存在証明のあやまり - 廿TT 2014/10/03
(抜粋)
あらゆる集合の集まりは、「クラス」と呼ばれ、これは集合とは考えない。
なので、デデキントの議論は今日では証明として認められない。
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 06:57:27.89 CtkyGlEO.net
>>345 つづき
>まとめると、無限集合に対して、何かを証明しようとして、数学的帰納法を使う
>高校レベルの理解では、>>330一見「ドミノ倒し」で、有限の延長として、無限集合に対する証明が完了したように見える
>でも、それは違うよと。数学的帰納法が成り立つ背景には、無限を扱う公理が存在すべきなのだと>>334
>渕野先生は、「Dedekindも間違っていた！」という
ここ良いですね。「無限を扱う公理が存在すべきなのだ」と
さて、枝野はいう>>7
"いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である."
はい、間違いです
Dedekindと同じ間違いです。高校レベルの帰納法の理解でしかない
”しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.”
じゃ、「頓挫」です。
無限を扱うには、そのための公理が必須です。
選択公理とは別に必要です。
ZF公理系では、無限公理を使います。>>339
もし、言いたいことは、別の意味だというなら
それなりの説明が必要でしょう
そして、数学なら、証明のあらすじ程度の説明が
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 07:08:10.44 CtkyGlEO.net
>>348 つづき
>>290-293に示したように
「確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義される」
から
普通に数学的帰納法を用いれば、”確率変数の無限族”や”有限部分族”が、集合であるならば、”任意”から無限集合全体がそうだと言え
374:る 成立は、無限を扱う公理で保証されている そして、超限帰納法>>343が適用できるならば、”確率変数の無限族”が連続の濃度を持っていても、成り立つ
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 07:40:06.72 CtkyGlEO.net
>>349 つづき
Tさんの予想： ”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”>>242は、あっさり否定されるということで良いよね
ところで、私は、>>236-239で、琉球大 杉浦誠 先生を引用して、"定理1.3 (Kolmogorov の拡張定理)"を使って、Brown 運動から、”「完全なる乱数列」が数学的に構成できる”だろうと書いた
そうして構成された、数学的に定義されたBrown 運動による数列は、他の情報は一切もらっていない数列になっていると
だから、
結論：上記定義されたBrown 運動から、「他から情報は一切もらっていない数列」が構成されるなら、時枝解法は「パラドックス」だと>>239
そして、「パラドックス」の意味は、>>228の狭義すなわち「論理的な矛盾」の意味だ
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 07:52:50.19 CtkyGlEO.net
>>350 つづき
狭義の「パラドックス」だとすると、時枝解法のどこかにギャップがあるはず
それをうまく、論証できない自分がもどかしいね
いま、疑っているのは、やはり、無限数列のシッポによる同値類分類から、代表元を決めて、決定番号を出すところ
特に、「決定番号」があやしいと見ている
一般の数学で、同値類から商集合を作って、代表を取る。そうすると、well-definedなら、代表を使って演算をしても、結果は代表の取り方に依存しないとできる場合が多い（というか、代表の取り方に依存しないときをwell-definedというのか）
が、時枝解法は、決定番号が代表元の取り方に依存する。だから、ここがあやしいと。おそらく、”無限数列のシッポ”というあたりで、”無限”とからんで「パラドックス」を生じている気がするが、うまく説明できないでいる（＾＾；
まあ、時枝ほどの人が、どういうつもりでこの記事を書いたのか不明だが、もし引っかかったとすれば、それを解きほぐすのに、我々レベルの人間が時間が掛かっても仕方ないだろうね
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 08:11:35.96 CtkyGlEO.net
>>347 さらなる補足
URLﾘﾝｸ(phasetr.com)
『数とは何かそして何であるべきか』 リヒャルト・デデキント 著, 渕野 昌 翻訳, 渕野 昌 解説- 相転移プロダクション: 2013 07.20
(抜粋)
ちくまがまた面白そうな本を出したようだ.
数とは何かそして何であるべきか
リヒャルト・デデキント 著 , 渕野 昌 翻訳 , 渕野 昌 解説
待望の新訳
訳者による充実の解説付き!
「数とは何かそして何であるべきか? 」「連続性と無理数」の二論文を収録.
現代の視点から数学の基礎付けを試みた充実の訳者解説を付す.
新訳.
この辺 から ytb_at_twt さんが感想を書いている.
現代的視点から読み直すというのはまあ批判はあるじゃろな.
でも, デデキンドの実数論を現代的視点から読み直して位置づけ直すというのでお値打ち (フチノさん曰く名古屋弁) な本だと思います.
URLﾘﾝｸ(www.chikumashobo.co.jp)
patho_logic さん分.
「数とは何か, 何であるか」買って来た.
フチノ節前回でゲラゲラ笑いながら読んでる.
（引用おわり）
前回→全開でしょうか
378:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 08:49:30.01 CtkyGlEO.net
>>347 さらなる補足
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
379:uukeiken/math/suugakushi/sympo22/ 第22回数学史シンポジウム 足立 恒雄 （ニュートン、オイラー、コーシーの数概念）*)注：この表題と下記のＰＤＦ表題とが不一致です http://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo22/22_2adachi.pdf デデキントの算術と再帰性定理 足立恒雄 第22回数学史シンポジウム(2011) 結語(抜粋) デデキントの『数とは何か』の欠陥として，この他に無限集合の存在証明と無制限な内包性原理の使用が挙げられる. 現在では，無限集合の存在は公理とされ，また内包性原理は集合に対してのみ認めるという形になっているーつまり， デデキントの考えたような， 「算術は人間の持つ普遍的な論理の合理性に還元できる」という考え方には無理があるということだろう. そうした点を時代性として勘案すれば. 1数とは何か』は数学史上稀に見る名著と言えるだろう. 現代の公理的集合論がこの著作を母胎として巣立つていったということを考えれば，単に昔書かれた名著というに止まらず，後世に与えた影響という意味でも最高の地位を占める著作であると評価されてしかるべきである. http://ci.nii.ac.jp/naid/40019257820 デデキントの算術と再帰性定理 (第22回数学史シンポジウム(2011)) 足立 恒雄 津田塾大学数学・計算機科学研究所報 -(33), 13-21, 2012
380:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 08:58:39.58 CtkyGlEO.net
>>353 つづき
足立恒雄先生のページ
URLﾘﾝｸ(d.hatena.ne.jp)
新刊 『数とは何か そしてまた何であったか』案内 - 足立恒雄のページ:2011-06-19
(抜粋)
『数とは何か そしてまた何であったか』（共立出版）が6月23日に発売されました。
デカルト、ニュートン、オイラー、コーシー、デデキント、フレーゲといった数学史上の偉人たちの個々の業績について言えば、より詳細に分析、紹介した著作はたくさんあるでしょうが、数、とくに自然数という概念に絞って、一貫した通史を述べた書物は世界でも珍しく、少なくとも私は見たことがありません。
本書でオリジナルだと思われる内容の一例を挙げます。
どうして西洋文明では、負の数が数として認められるのに2000年という長大な年月を要したのか、は実に歴史の不思議ですが、西洋から出る本は、西洋文明の中から見ているために、負の数に対する偏見に自ら気が付くことがなく、これまでこの点が明確にされてきませんでした。
本書によって、西洋における数概念の問題点、つまりどうして負数が導入できなかったのかが初めて明らかにされたと思います。
もう一例です。
現在ゴットローブ・フレーゲは論理分析哲学の始祖として哲学の世界ではきわめて有名です。アリストテレス以来と賞賛する声もあります。
フレーゲは数学は論理学に還元できると信じて、それを実現するために、現在数学で普通に使われる述語論理を開発しました。
大学ではイプシロン・デルタ論法に悩まされた記憶をもつ方々も多いでしょう。∀xや∃xという記号が登場するアレです。
このような「論理と数学の一体化」はフレーゲによって実現したのです。
しかし、フレーゲは数学界からは哲学とみなされ、哲学界からは数学と見られ、生前も死後も一切無視されてきました。
そのため述語論理がフレーゲによって創始されたことすら半分忘れられ、フレーゲから学んだバートランド・ラッセルたちの功績であるかのように誤解されてきました。
本書が、数学と哲学、�
381:Lくは数学と知識人との関係を緊密にするきっかけとなることを願っています。 以下に「序言」と「目次」を掲載します。
382:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 09:01:02.05 CtkyGlEO.net
>>354 つづき
新刊 『数とは何か そしてまた何であったか』 VS 『数とは何かそして何であるべきか』 リヒャルト・デデキント 著
なるほど
383:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 09:36:32.09 CtkyGlEO.net
>>236-237 補強
飛田武幸先生のＰＤＦが目に付いたので、ブラウン運動を補強しておきます。
（「独立の意義」なんて書かれても、私らには、禅問答ですが。まあ、ひょっとすると、時枝先生なりの「独立の概念」があるのかも知れませんが、どうもそういう書き方ではない（＾＾； ）
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
第22回数学史シンポジウム 2011
飛田武幸 ノイズの歴史
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
(抜粋)
4.独立の意義。
確率空間を決めても、そこで積分論のみを展開するものではない。
現象を記述する確率変数とその分布があり、もっとも重要なことは独立の概念が主役を占めることである。
ｉ.e.r.v.もノイズの概念もこれに基づく。積分論は手段に過ぎない。
[10]飛田武幸、ブラウン運動、岩波書店。1875、第3刷2007.
[11]飛田武幸、確率輸の基礎と発展。共立出版、2011.
[12]飛田武幸、美しいノイズ、国際高等研究所。選書13，2001.
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 09:47:29.42 CtkyGlEO.net
>>348 訂正 枝野→時枝 ｍ（＿ ＿）ｍ
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:18:19.66 CtkyGlEO.net
これ面白そうなので、貼っておきます
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
集合論ベーシック (2009 年度版) 向井国昭
(抜粋)
1 はじめに
本ノートは現代数学の標準言語でもある公理的集合論ZFC を紹介する．ZFC 公
理系は第2 節で説明するが，ZFC をはじめて読む人のために役立つことを願って，
ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた．お役にたてばさいわいである．
ZFC 集合論は簡潔でわかりやすく，美しく，柔軟性があり，そして強力である．数
学の事実上の標準言語とみなされている．ZFC 公理系は数学的操作として何が許さ
れているのかを規定するものである．いわば数学の国の憲法である．国民はその国
の憲法を読むべきであるように，集合を扱う者はZFC 公理系を一度は読むべきであ
ろう．
V はひとつの有向グラフである．これは公理的集合論の理解のためのコツであろ
う．「広大な」とか「無限」という形容詞に惑わされていけない．たんなる有向グラ
フのようなものと割り切ってZFC の公理系をよんだほうがよい．実際，無限につい
ての公理は，無限公理ただひとつ，つまり，自然数全体に相当する無限の存在を仮定
するところだけである．V はひとつの有向グラフであり，ZFC はこの有向グラフV
の形を規定しているにすぎない．
ここまで書けば，ZFC 集合論をこれからはじめて読むという読者でも，ZFC 集合
論は明快に分かるだろう．つまり，対象はしょせん有向グラフであり，公理系とはこ
の有向グラフにどんなノードがあるのか，あるいはどんなリンクがあるのかという
ことを，一階述語論理という単純明快な言語で述べたものなのであるから．ZFC 集
合論がさっぱりわからないという人には，やはり「難しく考え過ぎてませんか? たか
が有向グラフですよ．もっとシンプルに見てください」とアドバイスしたい．
単純とはいえこの宇宙V は, 本文でも紹介するように，空集合/0，自然数全体N，
N からN への関数全体，等々を含み，その中で代数，幾何，微分積分，確率統計など
どんな数学でも展開できるほど，十分広い舞台であることが実証されている．20 世
紀以降，数学の‘標準言語’ となっている．
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:19:07.33 CtkyGlEO.net
補足
URLﾘﾝｸ(www.hmv.co.jp)
向井国昭 プロフィール
１９７１年東京大学理学部数学科卒業。１９７１年三菱電機株式会社勤務。１９８２年財団法人新世代コンピュータ技術開発機構出向。１９９１年工学博士（東京工業大学）。１９９２年慶応義塾大学環境情報学部助教授。１９９５年慶応義塾大学環境情報学部教授
URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
Mukai Kuniaki URLﾘﾝｸ(web.sfc.keio.ac.jp)
387:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:33:50.78 CtkyGlEO.net
>>356 補足
[10]飛田武幸、ブラウン運動、岩波書店。1875
[10]飛田武幸、ブラウン運動、岩波書店。1975かな？
1875は、岩波自身がなかったような？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波書店
概要
1913年（大正2年）8月5日、岩波茂雄が東京市神田区南神保町16番地（現・東京都千代田区神田神保町）に開いた古書店として出発。正札販売方法を採用し、注目を集めた。
翌1914年（大正3年）に夏目漱石の『こゝろ』を刊行し、出版業にも進出。漱石没後に『夏目漱石全集』を刊行し、躍進する。看板は漱石の筆による[1]。
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 10:53:42.65 CtkyGlEO.net
>>310 戻る
”１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ”>>144
そこらは、旧スレで終わっている。悪いが、説明するのが面倒なので、無視していた。下記でも見てたもれ（＾＾；
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:260-264番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 より(抜粋)
261 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/01(日) 16:59:07.49 ID:KxTJyOv3 [17/31]
第一可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を ...
第二可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第二可算的空間
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二 ...
基本近傍系、可算公理、稠密 - nifty
homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/kasankouri.html
任意の x∈X に対し、x の基本近傍系で、高々可算個の近傍から構成されるものが存在するとする。 このとき、「 X は第1可算公理を満たす 」 という。 定義 （ 第2可算公理 ） （X、O）を位相空間とする。 X の基底で、高々可算個の開集合から構成されるものが存在 ...
おっちゃんには、キーワードだけの方が楽しいだろうが
まあ、ここは初学者もいるので下記テキストでも
＜テキスト＞
幾何学序
389:論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MB http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/note_20140401.pdf
390:１３２人目の素数さん
16/06/04 11:28:13.67 3JFbSmW3.net
>>361
わかってなくてワロタ
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 12:17:34.06 CtkyGlEO.net
>>327
どうも。スレ主です。
”相変わらず相手にされてない素人”さんでは長いので
短く、素人さんと呼ばせて貰おう
>あとは第八節さえ理解すれば、ガロア原論文は大体分ったことになる。>>324
それはご同慶に至りです
>というわけで、また思索を続けなければならないが、
まあ、頑張って下さい
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 12:29:00.87 CtkyGlEO.net
>>362
どうも。スレ主です。
確かに分かってない
>＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
>これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ>>310
で？ >>144の問題とどんな関係が？
数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
393:１３２人目の素数さん
16/06/04 13:30:12.99 Xj/Ms7xg.net
>>364
とりあえず任意のnについて成り立つことをn=∞で成り立つと言うのをやめろよ
394:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 14:44:59.12 CtkyGlEO.net
>>365
>とりあえず任意のnについて成り立つことをn=∞で成り立つと言うのをやめろよ
どうも。スレ主です。悪かった
が、拡張した複素平面とリーマン球（下記）は習ったかい？
URLﾘﾝｸ(hooktail.maxwell.jp)
拡張された複素平面とリーマン球 [物理のかぎしっぽ]: 2006-12-04
拡張した複素平面
有限の複素平面に，無限遠点を足した平面を 拡張された複素平面 と呼びます．取りあえず，普通の複素数 C と，星印をつけて区別することにします．
無限遠点をさらに自然に有限な一点と関連づけるのが，次に紹介するリーマン球という考え方です．
リーマン球
言葉で説明するよりも，まず図を見るのが簡単でしょう．
複素平面の上に，原点で接するように直径 1 の球を考えます．この球を リーマン球 もしくは 数球面 ， 複素球面 などと呼びます．
リーマン球の南極が原点と接していて，原点から一番遠い点を北極と呼ぶことにします．
さて，複素平面( z 平面)上の任意の点に対し，北極とその点を直線で結び，その直線と球面との交点を考えます．
（図では z 平面上の複素数 z に対し，球面上に Z を描いています．）
このような，リーマン球面上の点と z 平面上の点の対応は 一対一 です．
（ z 平面上の点に対しては，必ずリーマン球面上の点が一つ決まり，逆にリーマン球面上に一点決めれば，必ず z 平面上の一点と対応させることが出来ます．）
そして， z 平面上で複素数が無限遠点に発散するとき，どのような向きに発散しようと，対応するリーマン球面上の点は北極に収束します．
（ぜひイメージしてみて下さい！！）
395:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 14:55:43.82 CtkyGlEO.net
>>366
「無限遠点」を持つ射影幾何学は、最近はやらないんだろうね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
射影幾何学
(抜粋)
初等的な直観としては、射影空間はそれと同じ次元のユークリッド空間と比べて「余分な」点（「無限遠点」と呼ばれる）を持ち、射影幾何学的な変換においてその余分な点と通常の点を行き来することが許されると考えることができる。
射影幾何学における種々の有用な性質は、このような変換（射影変換）に関連して与えられる。
初等的な幾何学とのもう一つの違いとして「平行線は無限遠点において交わる」と考えることが挙げられる。
これにより、初等幾何学の概念を射影幾何学へ持ち込むことができる。これもやはり、透視図において鉄道の線路が地平線において交わるといったような直観を基礎に持つ概念である。
二次元における射影幾何の基本的な内容に関しては射影平面の項へ譲る。
歴史
幾何学におけるこのような状況が覆ることになるのは、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる（既存の手法を拡充する）一般の代数曲線に関する研究、そして不変式論の登場による。
世紀の終わりにかけて代数幾何学イタリア学派（エンリケ, セグレ, セヴェリ）はそれまでの古い射影幾何学的手法を打ち破り、より深い手法を要する主題へと昇華させた。
19世紀の後半には、射影幾何学の詳しい研究は流行ではなくなっていたが、いくつか文献が刊行されている。
いくつかの重要な仕事が、特に数え上げ幾何学においてシューベルトによってなされ、これは今では、グラスマン多様体のトポロジーを表すものとして用いられるチャーン類の理論の先駆けと見なされている。
ポール・ディラックも射影幾何学を研究し、それを量子力学における彼の概念を展開する基礎として用いた（ただし、結果を公表する際は常に代数的な形にして述べられている）。
See a blog article referring to an article and a book on this subject, also to a talk Dirac gave to a general audience in 1972 in Boston about projective geometry, without specifics as to its application in his physics.
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 15:10:32.85 CtkyGlEO.net
>>366
>>305で紹介した、超準解析とか、超準モデルとかは？ （”実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる”）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
算術の超準モデルとは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
(抜粋)
可算超準モデルの構造
レーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な算術の超準モデルが存在する（構成法の一つとしてHenkin semanticsを用いた方法がある）。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超準解析（ちょうじゅんかいせき、Nonstandard analysis）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。
(抜粋)
概要
超準解析ではイプシロン-デルタ論法によって一度は数学から追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、いわゆる実数論にもとづかないライプニッツ流の古典的な微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
このような古典的な微積分におけるオリジナルな無限小解析学とは区別されることもある。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。
超実数（ちょうじっすう、hyperreal numbers）は実数を拡張した数概念である。実数体に無限小・無限大を加えたものは体をなし、超実数体と呼ばれる。
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 15:14:30.63 CtkyGlEO.net
>>366 補足
リーマン球から、無限遠点の１点を除くと、位相的に複素平面と同相になるという
天才リーマン。�
398:ｾわれて見ればコロンブスというか、数学的には「言われて見ればリーマン球」というくらい、発想が天才的だね
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 15:16:44.72 CtkyGlEO.net
>>366 補足
確かに、院試でも受けようという人たちは、ここらの”n=∞”みたいな”ノンスタンダード”（非教科書的）書き方は、普段からしないようにしておいた方が良いだろうね
すまんかった
400:１３２人目の素数さん
16/06/04 15:45:51.88 OjM1/xAJ.net
1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0
でいいの？
401:１３２人目の素数さん
16/06/04 15:56:24.96 EdJlY4u6.net
おっちゃんだが、今週は素通りかw
まあ、>>311-316、>>318-320でいいたかったのは、
標準的な考えになっているヒルベルトの公理主義と対立した直観主義の話な。
ペアノの公理とかを持ち出しているスレ主は、こういう話が好きそうだろう。
>320の例では標数が2の有限体 F＝{-1,0,1} の話だが。
「2≠0 ではない」を記号で書くと ￢(￢(￢(2＝0))) と書ける。
402:１３２人目の素数さん
16/06/04 16:02:13.60 EdJlY4u6.net
>>372の記号の訂正：
￢(￢(￢(2＝0))) → ￢(￢(2＝0))
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:06:27.69 CtkyGlEO.net
>>371
どうも。スレ主です。
砂山のパラドックスを連想させるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
砂山のパラドックス
基本的には相対的で定義がはっきりしないことを扱う学問領域である言語哲学に属する問題である。
一方数学では、全ての用語が明確な定義を持っている。
このパラドックスは不明確な用語を数学的な論理式に持ち込む際に常に付きまとう問題であり、定義不能な不明確な概念に論理を適用する際の問題である。
404:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:24:59.83 CtkyGlEO.net
>>374 つづき
下記拡大実数の記事が参考になるだろう
要するに、1/∞ ＝ 0 は定義で別扱い
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
拡大実数
(抜粋)
数学における拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real; 拡大実数）は、実数の全てに加えて、さらに無限大を加えた数である。アフィン拡張実数 (affinely extended real number) では正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の2つを、射影拡張実数（しゃえいかくちょうじっすう、英: projective extended real number）では1つの無限大 ∞（正と負の区別がない（できない）無限遠点）を付け加える。
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。
拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。
（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line; 拡張実数直線）と呼ばれ、 R や [?∞, +∞] と書かれる。
文脈から意味が明らかな場合には、正の無限大の記号 +∞ はしばしば単に ∞ と書かれる。
意義
極限
仮に、実数の集合 R に二つの元 +∞ と ?∞ を添加するとすれば、「無限遠における極限」を R におけると同様の位相的性質を以って定式化することができる。
代数的性質
今までの定義に従えば、拡張実数の全体 R は体にも環にもならない。それでも以下のような十分扱いやすい性質が成立する：
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:29:31.59 CtkyGlEO.net
>>372-373
406: どうも。スレ主です。 おっちゃん、レスありがとう が、おっちゃんの話はいつも難しいから ついて行くのた大変だよ（＾＾；
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:36:52.97 CtkyGlEO.net
>>372
直観主義
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学的直観主義
ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に対し排中律を守り、数学の無矛盾性を示すためのものと考えることができる[1]。
ブラウワーの主張は、感覚的で分かりにくかったが、その後ハイティング等によって整備され、結果的には古典論理から排中律を除いた形で形式化されたものが今日、直観主義論理として受け入れられている。
現代では直観主義論理は、数学の証明は全て構成的に為されなければならないという主張（数学的構成主義）と関連が深いと考えられている。
直観主義は単なる思想としてだけではなく、数学基礎論や計算機科学に様々な影響を与えている。
408:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:48:34.23 CtkyGlEO.net
>>372
直観論理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
直観論理
(抜粋)
直観主義論理の色々な意味論が研究されている。ひとつの意味論は古典的なブール代数値意味論を写しとったものでブール代数の代わりにハイティング代数を用いる。別の意味論ではクリプキ・モデルを用いる。
直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。
非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。
形式化された直観主義論理はアレン・ハイティングによってヤン・ブラウワーの直観主義プログラムの形式的な基礎として発展せられたものである。
目次
1 構文論と証明体系
1.1 シークエント計算
1.2 ヒルベルト流の計算
1.2.1 オプションの結合子
1.2.1.1 否定
1.2.1.2 同値
1.2.2 古典論理との関係
1.3 結合子の定義不可能性
2 意味論
2.1 ハイティング代数意味論
2.2 クリプキ意味論
2.3 タルスキ流のモデル論
2.4 他の論理との関係
2.4.1 多値論理との関係
2.4.2 中間論理との関係
2.4.3 様相論理との関係
2.5 ラムダ計算
3 関連項目
4 注釈
5 参考文献
6 外部リンク
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:50:34.63 CtkyGlEO.net
英文wikipediaの方が充実しているね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 19:51:31.37 CtkyGlEO.net
>>372
ペアノの公理は、引用元に書いてあったからね（＾＾；
411:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:00:02.72 CtkyGlEO.net
>>363 訂正 同慶に至りです → 同慶の至りです
412:１３２人目の素数さん
16/06/04 20:00:07.35 sCL4/KGi.net
>>364
＞数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
これは酷い
数学的帰納法の主張は、「n∈N ⇒ P(n)は真」である。
∞∈/N なるものに対して、数学的帰納法は何も言っていない。
＞で？ >>144の問題とどんな関係が？
(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
お前の理解が少しでも進むために。別に嫌なら無理にとは言わん。勝手にしろ。
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:10:37.37 CtkyGlEO.net
>>378-379 関連
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Brouwer?Heyting?Kolmogorov interpretation
In mathematical logic, the Brouwer?Heyting?Kolmogorov interpretation, or BHK interpretation, of intuitionistic logic was proposed by L. E. J. Brouwer, Arend Heyting and independently by Andrey Kolmogorov.
It is also sometimes called the realizability interpretation, because of the co
414:nnection with the realizability theory of Stephen Kleene. Contents 1 The interpretation 2 Examples 3 What is absurdity? 4 What is a function? 5 References
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:39:08.30 CtkyGlEO.net
>>382
これどうよ？
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
公理論的集合論 矢田部俊介 お茶の水女子大学2012年度集中講義「情報科学特別講義III」2013
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
(抜粋)
公理的集合論ZFC の特徴を一言で言うと、以下の通りである。
? 超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの、によ
り集合を構成していく。大まかに言うと、空集合から始め、無限ステップの帰納的
構成により集合を構成する。
? その際、超限帰納法による構成の「天井」、すなわちこれ以上構成を続けていけない限界が存在する。
その典型例は不完全性定理による「ZFC の無矛盾性が証明できてしまうぐらいの大きな整列順序は
ZFC では存在を証明できない」というものである。これらの限界は「巨大基数」と呼ばれる、真に大
きな無限の大きさの整列順序である。
本講義の構成は以下の通りである。まず、2 章では、公理的集合論がどのような問題意識の中で産まれてき
たのかを説明する。
3 章において、ZFC の公理とそのモデル理
論の初歩を説明する。ZFC の研究はそのモデルの研究であるが、不完全性定理の結果、ZFC がモデルを持
つことをZFC で証明することはできない。上述のように、この不完全性をどう乗り越えるかが、ZFC の研
究を行う上での鍵となる。また、4 章においては、上述の集合の超限帰納法による構成法の詳細について述べ
る。超限帰納法を行うための順序を表現する順序数を構成するとともに、代表的な反復的集合観を表したモデ
ルである集合の累積的階層V、内部モデルL 等を紹介する。そして5 章では、不完全性定理の天井を超えて
集合を構成するための代表的方法として、巨大基数を紹介する。ここでは、代表的な巨大基数として到達不能
基数と可測基数を紹介する。可測基数があると、その上で超フィルターを定義することができ、その結果、超
冪を定義し自身の初等的部分モデルを構成する事ができる。そのエレガントな世界に注目されたい。最後の6
章では、付録として、理論計算機科学で使用されるZFC 以外の公理的集合論を紹介する。
416:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:49:54.65 CtkyGlEO.net
>>382
ID:sCL4/KGiさんね、あなたは
「これは酷い
数学的帰納法の主張は、「n∈N ⇒ P(n)は真」である。
∞∈/N なるものに対して、数学的帰納法は何も言っていない。」という
一方、>>384で矢田部俊介先生（下記）は、「公理的集合論ZFC の特徴を一言で言うと、以下の通りである。
・ 超限帰納法、つまり通常の数学で使われる帰納的構成法を無限の長さの整列順序に拡張したもの、によ
り集合を構成していく。大まかに言うと、空集合から始め、無限ステップの帰納的
構成により集合を構成する。」と言われる
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
矢田部俊介
経歴
2014年4月 - 現在 京都大学大学院文学研究科 応用哲学・倫理学教育研究センター（CAPE） 研究員
2013年4月 - 現在 西日本旅客鉄道株式会社 技術部
2012年4月 - 2013年3月 産業技術総合研究所セキュアシステム研究部門 研究員（2号）
2010年4月 - 2012年3月 産業技術総合研究所組込みシステム技術連携研究体 研究員（2号）
2009年4月 - 現在 京都大学文学部 非常勤講師
2007年9月 - 2010年3月 産業技術総合研究所システム検証研究センター 特別研究員
2007年4月 - 2007年8月 神戸大学大学院工学研究科 助手
2004年7月 - 2007年3月 神戸大学工学部情報知能工学科 教務職員
2003年6月 - 2004年6月 神戸大学工学部情報知能工学科 教務補佐員
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 20:57:07.35 CtkyGlEO.net
>>385
"１３２人目の素数さん"(ID:sCL4/KGi)と、矢田部俊介先生のお茶の水女子大学
418:集中講義とどちらを信用するのか まあ、普通に考えれば、明白だわな かつ、数学的帰納法については、私も>>345に書いた。矢田部俊介先生の講義内容と同趣旨だ
419:１３２人目の素数さん
16/06/04 21:04:28.57 sCL4/KGi.net
>>385
お前は本当に飽きれるほどわかってない
何をどうわかってないのか、俺はもう十分なヒント（というか答えかｗ）を与えた
あとは自分で考えろ、何もかも手取り足取り教えてもらおうとするなバカモノ
420:１３２人目の素数さん
16/06/04 21:09:32.32 3JFbSmW3.net
間違った引用をして責任をなすりつけるとか根性腐り切ってるな
421:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:16:06.42 CtkyGlEO.net
>>387-388
えーと、>>144 だったね
> １．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ
> ２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ
で、下記で良いか？ （文字化けしているから、原文読んでくれ）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
山田光太郎
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
集合と位相第一 （2011年度）
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎
(抜粋)
10 開集合・閉集合
例10.3. ユークリッド空間Rn の1 点からなる集合{p} は開集合でない．
注意10.4. 例10.3 は，任意の距離空間(X; d) の一点集合が開集合でない，ということを言っているわけではない．演習問題10-3 参照．
命題10.5 の(3) から有限個の開集合の共通部分は開集合であることがわかる．
例10.6. 自然数n に対してUn = (?1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．
集合族{Un | n ∈ N} を考えると∞∪n=1 Un = (?1, 1),∞∩n=1 Un = {0}
となり，この集合族の共通部分は開集合ではない（例10.3)．
すなわち，無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らない．
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:31:40.81 CtkyGlEO.net
>>389 つづき
で>>382
>(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
>実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
>お前の理解が少しでも進むために。別に嫌なら無理にとは言わん。勝手にしろ。
だった？
これな、おれの理解は反例でない。>>371 ”1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0”と同じだろ？
>>375 "要するに、1/∞ ＝ 0 は定義で別扱い"（無限（極限）の場合は定義が必要） と類似
>>389 "例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合"
n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”でも、これある意味定義だろ？
あなたたちが言っている通り、有限の範囲では開集合。有限の間ずっとそうだよ。
で、無限（極限）で、一点集合（ ユークリッド距離空間では閉集合）に収束するというのは、定義であり、別の言い方では、無限を扱う公理からの帰結だろ？
因みに、>>389 演習問題「10-3 集合X の任意の部分集合は離散距離ddisc に関する開集合であり，かつ閉集合でもある．」を引用しておく
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:36:34.91 CtkyGlEO.net
>>390 つづき
>(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
>実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。
という視点からすれば、批判されるべきは
時枝の>>7
"いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である."
こそが批判されるべきじゃないのか？
”(2)有限の極限として間接に扱う，”という方針に反例があるよという主張でしょ？
424:１３２人目の素数さん
16/06/04 23:47:26.41 CUjQMami.net
五次方程式は解けないことが証明できなければ、五次以降の方程式が解けないことを証明できない。
しかし、超弦理論で宇宙は最低でも11次元で出来ているというから、現代の数学的手法は全く役に立たない。
宇宙は何次元であろうと実際に存在するわけだから、実は何次元の方程式であろうと解は必ず存在するのである。
現在の学問は、知識の共有を重視するあまり、ほとんど意味のない観念を用いて凡人でもわかるように説明しようとする。しかし、凡人は、4次元までしか感覚的に理解出来ないのである。
このスレで、素人を名乗る男、この男は天才である。
その才能は、東大出のボンクラには理解し難いかもしれない。
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:51:02.29 CtkyGlEO.net
>>391 つづき
おれの時枝に対する主張も同じだ
”(2)有限の極限として間接に扱う，”という方針には無理があって、結局極限は、なんらかの形で、定義か公理として、外から与える必要がある
それが、ペアノでは帰納法の公理であり、ZFCなら無限公理と選択公理
その上に、個別のケースとして
>>371のケースなら”1/∞ ＝ 0”という定義が必要だし
>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）という定義が必要だと思うけど
まあ、まさか、”(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。”などという人が、
上記”Un = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）が自明とか、言わんよね（＾＾；
（実際には反例が存在するから不完全ではない→実際には反例が存在するから完全ではない かな？）
426:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/04 23:54:59.18 CtkyGlEO.net
>>392 どうも。スレ主です。あんたも天才だな
427:１３２人目の素数さん
16/06/05 01:08:38.39 Agq/0mSk.net
>>390
＞>>375 "要するに、1/∞ ＝ 0 は定義で別扱い"（無限（極限）の場合は定義が必要） と類似
1/∞ ＝ 0 なんて定義が書かれている本を教えてくれ。
お前さあ、解析の教科書読んだことあるの？
428:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 06:38:58.87 i9VZxB8i.net
>>395
へへ（＾＾；
429:１３２人目の素数さん
16/06/05 09:27:40.13 Agq/0mSk.net
>>364
超限帰納法を持ち出した所で
＞数学的帰納法は、ZFCの選択公理と無限公理を認めるなら、”n=∞でも成り立つ”>>330で良いということは、ご理解いただけましたか？（＾＾；
が大間違いだってことは理解できたのか？
430:１３２人目の素数さん
16/06/05 10:53:18.29 416O3imx.net
>>394
真の「天才」に値する人物は滅多に現れない。
「天才」という言葉をむやみに使用すると、
何人もの天才が存在することになり、「天才」の言葉が陳腐化する。
「天才」という言葉は余り使わない方がいい。
431:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 11:31:36.29 i9VZxB8i.net
>>397
へへ（＾＾；
> 1/∞ ＝ 0 なんて定義が書かれている本を教えてくれ。
拡大実数>>375 の中にある
なお、 URLﾘﾝｸ(mathworld.wolfram.com) の(7)式だ
ああ、本ね。本では無いが、数学演習V・VI 浜中真志 名古屋大 理学部数理学科2年生 第9回 2012 URLﾘﾝｸ(www.math.nagoya-u.ac.jp)
で、”(リーマン球面) 複素平面C に無限遠点∞ を付け足してコンパクト化した空間をC^ またはP^1 と記し、リーマン球面と呼ぶ．
C 上の直線は無限遠点∞ を付けたすとP^1 上の円となる．問題1 の写像f はf^(z) =f(z) (z≠0,∞のとき),0 (z = ∞のとき),∞ (z = 0 のとき)
と定めることによってP^1 からP^1 への写像にまで自然に延長できる.
(この f^ は値域がC に収まらないので, もはや関数とは呼べないのであるが, 実は正則写像と呼ばれる, 非常に良い性質を持った写像である.)"とあるよ
で、話は逆だ。>>393「>>371のケースなら”1/∞ ＝ 0”という定義が必要だし」>>393で、合っているだろ？
そして、>>393東工大 山田光太郎先生「>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）」は、”1/∞ ＝ 0”という定義からだと直ちに従うってことじゃないのかい？
あなたの主張は、>>390「数学的帰納法は不完全であると言える。実際には反例が存在するから完全ではない」だったろ？
で、>>389「２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」で、上記山田光太郎先生の反例について、『「無限個の開集合の共通部分」が”{0}（一点集合に収束）”になる』というのを、”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義でなく、また数学的帰納法も使わずに、示せるという主張でしょ？
どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ
どうぞ。ぐだぐだ、文学的な修辞で逃げるなよ！
432:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 11:33:45.62 i9VZxB8i.net
>>398 やはりあなたは天才だ
434:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:00:31.16 i9VZxB8i.net
>>399 追加
おい、まさか、>>371「1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0」と同じ発想をしているのか？
それな、数学的帰納法の反例ではなく、誤用だろ？
435:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:03:27.06 Agq/0mSk.net
>>399
＞(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
＞実際には反例が存在するから不完全ではない。（>>382）
をどう読めば
＞あなたの主張は、>>390「数学的帰納法は不完全であると言える。実際には反例が存在するから完全ではない」だったろ？
になるのだ？真逆ではないか。数学以前だ。国語から勉強し直せ。
で、お前は解析の教科書を一冊でも勉強したことが有るのか無いのか？
俺は無いと見てるが、そうであればまずは勉強して基礎を身に付けろ。
数学に関するちょっとした一文でさえその背後には多くの（教科書で言うところの何十ページにも渡る）基礎があるのだ。
お前は基礎がガタガタだから会話が成立たん。
436:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:11:48.70 416O3imx.net
>>400
「天才」という言葉のそのような多用はやめた方がいいと。
一見「天才」に見える多くの人は、実は大体「秀才」なのだ。努力して「秀才」になった人なのだ。
ここは、日本の教育システムを見れば、いわなくても分かるよな。
真の「天才」に値する人物は、リーマンやアーベルのような人をいう。
リーマンはいい加減で直観的な推論をしながら正しい結論に至ったり、
幾何学では滅多に人を評価しなかった多くの人から「天才」と
称されるガウスを驚愕させたりした人なのだ。天性の何かを持っていた。
今ではアーベルは「天才」扱いだが、ガウスもアーベルの意図は見抜けなかった。
リーマンやアーベルは、「天才」と称されているガウスを超えた人だ。
437:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:13:26.59 i9VZxB8i.net
>>401 追加
逃げ道を塞いでおく
>>393東工大 山田光太郎先生「>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）」
これを示すには、>>399に書いたように、”1/∞ ＝ 0”と定義するか
あるいは、正統な位相空間論から言えば、>>389にあるように、ユークリッド空間Rnには、普通の（我々が良く知る）距離が定義できる
その距離を使って、数学的帰納法を適用して、「>>389のケースなら”自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) "で、n→∞で共通部分 ”∞∩n=1 Un = {0}”（一点集合に収束）」を示すことになる
私は寡聞にして、それ以外の論証をしらない
だから、>>389「> ２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」は、おそらく数学的帰納法の適用例にほかならない
（”1/∞ ＝ 0”という定義は、上記数学的帰納法の論証と矛盾しないように「拡張実数」の体系内で定義しているだけのこと。”定義できない”とされている演算も多いよ。詳しくは>>375の「拡大実数」のリンクをご参照）
繰り返す、ぐだぐだ、文学的な修辞で逃げるなよ！
438:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:16:21.34 i9VZxB8i.net
>>402
へへ（＾＾；
どうぞ。ぐだぐだ、文学的な修辞で逃げるなよ！>>399
おい、まさか、>>371「1/1 ≠ 0, 1/2 ≠ 0, 1/3 ≠ 0, 1/4 ≠ 0, ... , 1/n ≠ 0, ... 。よって、1/∞ ≠ 0」と同じ発想をしているのか？ それな、数学的帰納法の反例ではなく、誤用だろ？>>401 >>404
439:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:18:17.88 416O3imx.net
>>404
>”1/∞ ＝ 0”という定義は、上記数学的帰納法の論証と
>矛盾しないように「拡張実数」の体系内で定義しているだけのこと。
こういう定義は出来ない。このような体系は、体ではない。
440:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:24:33.01 Agq/0mSk.net
それともう一つ。
お前は数学的帰納法が公理だ公理だと言ってるが、それは数学的帰納法そのものを公理としている流派が有ると言ってるのか？
それとも或る公理から出発して数学的帰納法が証明されると言ってるのか？
後者だとしたらその公理と証明をお前は書けるのか？つまり理解した上で一連の発言をしているのか？
441:１３２人目の素数さん
16/06/05 12:30:41.66 Agq/0mSk.net
>>405
バカモノ。誰が数学的帰納法に反例が存在すると言った。
お前は人の書き込みを真逆にする癖があるな。数学以前だなお前は。
442:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:43:11.61 i9VZxB8i.net
>>406-407
へへ（＾＾；
「どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ」>>399
そう逃げ回らないで、なんか数学的な論証書いて見なよ、”おっちゃん”みたく。そうすりゃ、あんたの数学的レベルがすぐ分かるからさ（＾＾；
「こういう定義は出来ない。このような体系は、体ではない」か？ 面白い主張だね。「集合と位相第一 講義ノート 東京工業大学 理学部 2011 年度前期 山田光太郎」>>389を、読んでみな。位相って体限定だったんだ・・・、初耳！（＾＾；
>お前は数学的帰納法が公理だ公理だと言ってるが、それは数学的帰納法そのものを公理としている流派が有ると言ってるのか？
>それとも或る公理から出発して数学的帰納法が証明されると言ってるのか？
両方Yes。さんざん書いてきたろ？ 例えば、>>384のリンクのPDFを読んでみな >後者だとしたらその公理と証明をお前は書けるのか？つまり理解した上で一連の発言をしているのか？ あんたレベルの相手ができるくらいの理解はしているさ（＾＾； が、なにか見ないと公理と証明は書けないから、院試は通らないだろう（＾＾；
444:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
16/06/05 12:46:34.77 i9VZxB8i.net
>>408
へへ（＾＾；
ぐだぐだは、いいからさ
”どうぞ、やってみて下さい。おれは、山田光太郎先生の反例は「”1/∞ ＝ 0”という（又はそれと同値な）定義からだと直ちに従う」と言っている
そうじゃないというなら、きちんと数学的な筋を通して（数学の主張として（数学的帰納法も使わずに）論証して）貰えば結構だ”>>399
445:１３２人目の素数さん
16/06/05 13:04:15.18 Agq/0mSk.net
>>409
＞両方Yes。さんざん書いてきたろ？ 例えば、>>384のリンクのPDFを読んでみな
お前はわかってないな。そのPDFの著者は”公理図式”の説明をしたいだけだよ。
数学的帰納法は一例として使っただけ。そんなものをもって、「数学的帰納法そのものを公理とする流派が存在する」だの勘違いも甚だしい。
で、後者がYESなら、公理と証明を書け。お前は絶対にわかって発言してない。