16/05/15 01:56:37.03 YH9cWQp+.net
P(n)は単調増加だが、その上界は 1/e であることの証明。
log(P(n)) = Σ[k,0,n-1]log(1-k/m) ≒ ∫[0,n-1]log(1-x/m)dx = nlog[0,1]log(1-(x/n)/(m/n))d(x/n)
-n + (n-m) log(1-n/m)) = -n + (n-m)(-n/m - n^2/2m^2 - …)) = -n^2/m + n^2/2m - … → -1 (n→∞)
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P(n)は単調増加だが、その上界は 1/e であることの証明。
log(P(n)) = Σ[k,0,n-1]log(1-k/m) ≒ ∫[0,n-1]log(1-x/m)dx = nlog[0,1]log(1-(x/n)/(m/n))d(x/n)
-n + (n-m) log(1-n/m)) = -n + (n-m)(-n/m - n^2/2m^2 - …)) = -n^2/m + n^2/2m - … → -1 (n→∞)