15/12/30 02:22:26.39 2X+yPHPV.net
【命題】
R^N/～ と R^N は同一視できる。
【証明】
S∈R^N、S'∈R^N、S={sn}、S'={s'n} とする。
同値関係 ～ を次により定義する。
∃n0：n≧n0⇒sn=s'n のとき S～S'
S~∈R^N/～ とする。
S~ に属す全ての実数列が共通の部分列を含まないと仮定すると、
ある S,S'∈S~ が存在して、S∈S~ と S'∈S~ は共通の部分列を含まないはずであるが、
これは ～ の定め方と矛盾する。
よって、S~ に属す全ての実数列は共通の部分列 T∈R^N を含む。
写像 φ:R^N/～→R^N を φ(S~)=T で定義する。
～ の定め方から、φは全単射である。
ゆえに、主張は正しい。■