15/12/22 14:53:30.27 0+V4LQWC.net
こうか。
無限級数 ζ(3)＝Σ_{n=1,…,+∞}(1/n^3) 、e－1＝Σ_{n=1,…,+∞}(1/n!) の第n項について、
n＝1,2,3,4,5 のとき 1/n!≧1/n^3、また n≧6 のとき 1/n!＜1/n^3。よって、
(e－1)－ζ(3)＝Σ_{n=1,…,+∞}(1/n!)－Σ_{n=1,…,+∞}(1/n^3)
＝Σ_{n=2,…,4}(1/n!)－Σ_{n=2,…,4}(1/n^3)＋{(1/5!)－(1/5^3)}
＋Σ_{n=6,…,+∞}(1/n!)－Σ_{n=6,…,+∞}(1/n^3)
＜Σ_{n=2,…,4}(1/n!)－Σ_{n=2,…,4}(1/n^3)＋{(1/5!)－(1/5^3)}。
X＝Σ_{n=2,…,4}(1/n!)、Y＝Σ_{n=2,…,4}(1/n^3)
とおくと、(e－1)－ζ(3)＜X－Y＋{(1/5!)－(1/5^3)}。 ここで、
X＝(1/2!)＋(1/3!)＋(1/4!)＝(1/2)＋(1/6)＋(1/24)＝17/24、
(1/5!)－(1/5^3)＝(1/120)－(1/125)＝1/(120・25)、 また、
Y＝(1/2^3)＋(1/3^3)＋(1/4^3)＝(1/8)＋(1/27)＋(1/64)
＝(9/64)＋(1/27)＝(243＋64)/(64・27)
＝307/(64・27)。
従って、
(e－1)－ζ(3)＜17/24－307/(64・27)＋1/(120・25)＝(17/24＋1/120・25)－307/(64・27)
＝(85/120 ＋ 1/120・25) － 307/(64・27)
＝(85・5^2＋1)/(120・5^2) － 307/(64・27)
＝2126/(120・5^2) － 307/(64・27)＝1063/(60・5^2) － 307/(64・27)
＝1063/(3・4・5^3) － 307/(16・4・3^3)
＝(1063・16・3^2 － 307・5^3)/(16・4・3^3・5^3)
＝(153072 － 38375)/(16・4・3^3・5^3)＝114697/(16・4・3^3・5^3)
＝114697/216000
で、 e－ζ(3)＜1＋(114697/216000)＝330697/216000。従って、ζ(3)＞e－(330697/216000)。