15/12/19 13:38:22.26 VtRJxPeF.net
>>298 つづき
渕野昌 2006より
”(A) 選択公理が悪い．選択公理がなければこんなことは起こらないのではないか？
定理4 (Mycielski, Swierczkowski, Mazur, Banach, Davis, 1964) ZF + AD のもとですべての実数の集合はルベーク可測になる．
AD : （Axiom of Determinacy 決定性公理）すべてのA μ NN に対して，I かII かのどちらかはG(A) の必勝法を持つ．
系． 決定性公理AD は選択公理と矛盾する．
定理5 (Hugh Woodin, 1985) （ZFC の成り立つ世界で）無限個のウディン基数が存在してその上に一つ可測基数が存在するときAD がL(R) で成立する．
L(R) : R から出発して，定義可能な集合をとる操作を超限回繰り返して得られる集合の作るクラス．L(R) ではZF とDC が成り立つ．
ウディン基数，可測基数:到達不可能基数よりはるかに“大きい” が集合論で考察する巨大基数の中では最大のものでないような基数決定性公理AD は選択公理のalternative と見るべきではい．
むしろ選択公理の成り立つ豊かな（ つまり存在してもいいような巨大基数がすべて実際に存在するような）世界の内部世界L(R) で成り立つ原理ととらえるべきである．”