15/12/06 07:29:34.53 nAIWzbvn.net
ありゃ。もしかして、これだけでよかったりする？
命題 RのQ上の超越基底Sに対して、√2∈R－Q(S) が成り立つ。特に、Q(S)≠R である。
証明 まず、次が成り立つことに注意する。
Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる, f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 }
(固定されたnと固定された s_1,…,s_n を考えるのではなく、nは正整数全体を動き、s_1,…,s_n も任意に取るという意味)
もし√2∈Q(S) が成り立つならば、√2＝g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n) という形に表せるので、
2f(s_1,…,s_n)^2＝g(s_1,…,s_n)^2 となる。しかし、s_1,…,s_n は代数的独立だから、多項式として
2f(X_1,…,X_n)^2＝g(X_1,…,X_n)^2 となるしかない。ここからすぐに矛盾が出る。■