15/11/28 11:47:42.18 MbzCMBhi.net
ガロア理論の話してくれませんか？
べき根によって解けないってどういう意味なの？
3:１３２人目の素数さん
15/11/28 12:01:48.83 COOxW6wd.net
多項式のガロア群が可解でないって意味さ
4:１３２人目の素数さん
15/11/28 12:15:20.87 COOxW6wd.net
と言ってもわからないだろうな。
多項式の係数に対して、足し算操作・引き算操作・掛け算操作・割り算操作・べき根を取る操作 を自由に使って
根を表せるとき、つまり多項式を代数的に解けるとき、（代数的な）根の公式が存在すると云う。
そしてそのことと>>2は同値であることが、ガロア理論の（最も代表的な）結論。
5:１３２人目の素数さん
15/11/28 12:51:31.62 novsUjda.net
ところで、前スレ 682より
私が、超越基底が分かっていないのだろうが
超越基底Sのそもそもは、二つ前のスレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:564番)
564 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 07:34:36.14 ID:ikZEN+WS [1/3]
>>562
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。
証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を
Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の
集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
（引用おわり）
から始まっているのだった
6:１３２人目の素数さん
15/11/28 13:08:10.11 novsUjda.net
>>5 つづき
>複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。
これは、下記と同じ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
例
・拡大が代数的であることとその超越次数が 0 であることは同値である。このとき空集合が超越基底である。
・n 変数の有理関数体 K(x1,...,xn) は K 上超越次数 n の純超越拡大である。超越基底として例えば {x1,...,xn} をとることができる。
・Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
・Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。
（引用おわり）
「複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ」とか
「Q 上 C あるいは R の超越次数は連続の濃度である。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）」
について
まず、複素数で考えよう（その方が代数的にすっきりする）
私の理解は、前スレ674で書いたように
超越数全体⊂Q(S)⊂Rだと理解しているが、違う？
超越数全体の集合が、非加算で連続の濃度を持つ。また、Rは当然、非加算で連続の濃度を持つ。
だから、間のQ(S)が、非加算で連続の濃度を持つ。
従って、基底のSも、非加算で連続の濃度を持つ。（これは Q 自身が可算だから任意の元は Q において可算個の代数的な元しかもたないことからしたがう。）
この理解で合っている？ 間違っている？（もちろん、合っていると思っているが）
7:１３２人目の素数さん
15/11/28 13:10:54.20 novsUjda.net
>>6 訂正
「まず、複素数で考えよう（その方が代数的にすっきりする）」と書いたから
超越数全体⊂Q(S)⊂Rだと理解しているが、違う？
↓
超越数全体⊂Q(S)⊂Cだと理解しているが、違う？
超越数全体の集合が、非加算で連続の濃度を持つ。また、Rは当然、非加算で連続の濃度を持つ。
↓
超越数全体の集合が、非加算で連続の濃度を持つ。また、Cは当然、非加算で連続の濃度を持つ。
だな
8:１３２人目の素数さん
15/11/28 13:22:45.69 novsUjda.net
>>7 補足
「まず、複素数で考えよう（その方が代数的にすっきりする）」と書いたこころは、Q(S)上の代数拡大などを考えるときに、複素数で考えた方がすっきりすと思ったからだが
ここで、記号を導入しておこう
複素数における超越基底Sを、Scとする。実数における超越基底Sを、Srとする。
なお、両者の区別が明らかなときは、単にSと書く場合もあるとする
（記号を導入したが、使わないかも・・・（＾＾； ）
9:１３２人目の素数さん
15/11/28 13:35:27.33 uE6gqWVx.net
>>7
> 超越数全体⊂Q(S)⊂Cだと理解しているが、違う？
違う。前スレ>>675に書いたとおり。
10:１３２人目の素数さん
15/11/28 13:39:30.54 novsUjda.net
>>6-8 つづき
この理解のもとで、
前スレ675
「>命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
それも間違いだよ。Sが超越基底のとき、Q(S)は一般にすべての超越数を含むとは限らない。
Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる。Sをハメル基底としたならQ(S)=Rとなり命題は正しいが。
代数拡大がわかってないのか、ハメル基底と超越基底の違いがわかってないのか、どちらかだ。」
うーん、わからん
超越数全体は、ここでは、当然実数限定だ
”Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる”？
Sが、実数の超越基底なのに、なんで？ 「基底」が意味を成していないように思えるが
もし、”Q(S)に含まれない超越数が存在しうる”という命題を認めるならば
>>6で示した単純な議論では、「Q(S)が、非加算で連続の濃度を持つ」は言えなくなるよ
となると、次の「基底のSも、非加算で連続の濃度を持つ」に影響すると思うのだが？
そもそも、現代数学では、
「Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。」>>6
というレベルでしかない
つまり、具体的に超越基底を構成して、仮にSを作ったとして、そのSが確かに超越基底かどうかを判断する具体的基準を、現代数学はまだ有していないってこと
つまり、そのような段階で、「Q(S)が、非加算で連続の濃度を持つ」や「基底のSも、非加算で連続の濃度を持つ」をいうためには
”Sが超越基底のとき、Q(S)は一般にすべての超越数を含むとは限らない。”を認めたら、まずいと思わないか？
11:１３２人目の素数さん
15/11/28 13:47:39.27 novsUjda.net
>>9
どうも。スレ主です。
自信ありそうだね・・・（＾＾；
なるほど・・・
代数的拡大を考えろと言いたいのか？
では問う、超越基底Sの要素sを具体的に決める手順は、>>669で書いた
”もし、ある超越数t∈Tで、tがQ(S)が含まれないとすれば、Sは t を含むように拡張されるべき(例えばそれをS'とする)
この操作を、超越数全体に達するまで繰り返すべし
プログラミング的には、そういうこと
そして、その実現を保証するのが選択公理だろ？”
についてはどう思う？
12:１３２人目の素数さん
15/11/28 14:03:05.79 novsUjda.net
>>10 つづき
話が長くなりそうなので、結論を急ぐよ
前スレ675
「>命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
それも間違いだよ。Sが超越基底のとき、Q(S)は一般にすべての超越数を含むとは限らない。
Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる。Sをハメル基底としたならQ(S)=Rとなり命題は正しいが。
代数拡大がわかってないのか、ハメル基底と超越基底の違いがわかってないのか、どちらかだ。」
”Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる”か
言いたいことが少し分かってきたが、超越次数が有限の超越拡大と、実数の超越基底としてのQ(S)（無限超越次数を持つ）とを、混同してないか？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
13:１３２人目の素数さん
15/11/28 14:03:08.95 uE6gqWVx.net
>>11
(タブレットからの入力しんどいな)
その操作は可能だけど、それが超越基底になるとは限らない。
なぜならSの代数的独立性が保証されないから。
14:１３２人目の素数さん
15/11/28 14:05:23.51 uE6gqWVx.net
>>12
言ってる意味がよく分からない。
15:１３２人目の素数さん
15/11/28 14:12:14.37 uE6gqWVx.net
試しにこういう説明をしてみる。分かっているなら無視してくれ。
たとえば√2はQに含まれないがQ上代数的な(超越的でない)元。
したがってQの代数拡大体を考えるとき、√2を生成するのに超越基底を考える必要はない。
これと同様に、あるQ上の超越数xがQ(S)に含まれていなくても、
Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。
逆にxをSに加えてしまうとSの代数的独立性が失われるのでSは超越基底にならなくなってしまう。
16:１３２人目の素数さん
15/11/28 15:50:21.32 novsUjda.net
>>12-15
どこで、すれ違いになっているか分かってきたけど
１．>>5の”複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。”ってことを良く考えてみて
２．この超越基底Sは、単なるQ上超越拡大に
17:あらず。複素数体Cに対する超越基底Sだと。だ か ら、Sは非可算濃度を持つってこと で個別レス >>13 >その操作は可能だけど、それが超越基底になるとは限らない。 >なぜならSの代数的独立性が保証されないから。 では、それがSから代数的独立性な数だとした？ それは、Sに付け加えるべきだろ？ 代数的独立性は加える必要なく、代数的独立性で取りこぼしがある数は、Sに付け加えるべき。それが定義だろ >>14 Q上超越次数が有限の超越拡大の場合、それに含まれない超越数は当然存在する しかし、Q(S)はすべての超越数を含む。それが定義だから >>15 >これと同様に、あるQ上の超越数xがQ(S)に含まれていなくても、 >Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。 >逆にxをSに加えてしまうとSの代数的独立性が失われるのでSは超越基底にならなくなってしまう。 勘違いしていると思う Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。なぜなら、その数は本来Q(S)に含まれている数だ
18:１３２人目の素数さん
15/11/28 15:52:35.80 novsUjda.net
>>16 訂正
代数的独立性は加える必要なく、代数的独立性で取りこぼしがある数は、Sに付け加えるべき。それが定義だろ
↓
代数的独立でない数は加える必要なく、代数的独立で取りこぼしがある数は、Sに付け加えるべき。それが定義だろ
19:１３２人目の素数さん
15/11/28 15:54:13.96 novsUjda.net
>>16 訂正追加
では、それがSから代数的独立性な数だとした？ それは、Sに付け加えるべきだろ？
↓
では、それがSから代数的独立な数だとした？ それは、Sに付け加えるべきだろ？
20:１３２人目の素数さん
15/11/28 16:17:50.24 uE6gqWVx.net
>Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。なぜなら、その数は本来Q(S)に含まれている数だ
"なぜなら"以下が違う。Q(S)上代数的な数がすべてQ(S)に含まれているとは限らない。>>15の√2の説明で分かってくれよ。
21:１３２人目の素数さん
15/11/28 16:33:19.80 uE6gqWVx.net
> では、それがSから代数的独立性な数だとした？ それは、Sに付け加えるべきだろ？
その通り。代数的独立な数がすべてSに取り込まれていなければ拡大R/Q(S)は代数的ではない。
スレ主が>>11で書いた構成方法は余計な元(代数的従属な超越数)までSに取り込む可能性がある。
取り込んでしまったらSは超越基底にならないと言っている。
22:１３２人目の素数さん
15/11/28 16:55:05.14 novsUjda.net
>>19
>>Q(S)上代数的ならばxをSに加える必要はない。なぜなら、その数は本来Q(S)に含まれている数だ
>"なぜなら"以下が違う。Q(S)上代数的な数がすべてQ(S)に含まれているとは限らない。>>15の√2の説明で分かってくれよ。
複素数体Cの数の種類で３種。
Qと、Q上代数的数A（超越数ではない）と、Q上超越数Tとしかない
確かに、Q上超越数Tの上の代数拡大の要素xが、果たして超越数なのか、代数的数なのかが問題かも知れない
が、もし、超越数なら、x∈Tとなるだけの話だ。それは、本来の定義から、Q(S)の要素でもあるべき。T⊂Q(S)になんの影響もない
もし、代数的数なら？ それは、Q(S)の要素ではない（Tの要素でもない）。しかし、単に、x∈Aなだけ。T⊂Q(S)になんの影響もない
もし、x∈Qなら？ 空集合が超越基底に含まれるのが流儀とすれば、Q⊂Q(S)なので問題なし
23:１３２人目の素数さん
15/11/28 17:02:29.66 novsUjda.net
>>20
どうも。スレ主です。
それでは、>>11のアルゴリズムを以下のように変えよう
もし、ある超越数t∈Tで、tがQ(S)が含まれないとする。
tがQ(S)上代数独立でないなら、tは加える必要なし（∵ 本来t∈Q(S)）
tがQ(S)上代数独立ならば、Sは t を含むように拡張されるべき
この操作を、超越数全体に達するまで繰り返すべし
Q(S)は、そうやって構成されるべき集合（それがQ(S)およびSの定義）
プログラミング的には、そういうこと
そして、その実現を保証するのが選択公理だろ？
24:１３２人目の素数さん
15/11/28 17:05:04.30 uE6gqWVx.net
>>21
> が、もし、超越数なら、x∈Tとなるだけの話だ。それは、本来の定義から、Q(S)の要素でもあるべき。T⊂Q(S)になんの影響もない
なんの定義からQ上の超越数がQ(S)に含まれるべきと言ってるんだ？
明確に答えてみて。この答えで決着がつくと思う。
> もし、代数的数なら？ それは、Q(S)の要素ではない（Tの要素でもない）。しかし、単に、x∈Aなだけ。T⊂Q(S)になんの影響もない
このレスは、Q上代数的な数とQ(S)上代数的な数を区別できていないのではと思わせる。
とにかく上の質問に答えてみてくれ。
25:１３２人目の素数さん
15/11/28 17:39:34.17 uE6gqWVx.net
>>22
>それでは、>>11のアルゴリズムを以下のように変えよう
>
>もし、ある超越数t∈Tで、tがQ(S)が含まれないとする。
>
>tがQ(S)上代数独立でないなら、tは加える必要なし（∵ 本来t∈Q(S)）
>tがQ(S)上代数独立ならば、Sは t を含むように拡張されるべき
もちろんQ(S)に含まれない超越数tを吟味してもいいんだが、
"Q(S)の代数拡大体"に含まれない超越数(つまりQ(S)上超越的な数)を考えれば十分だ。
RがQ(S)の代数拡大体になるような代数的に独立なSの元を求めたとき、そのSを超越基底というのだ。
したがってすべてのQ上超越的な数が"Q(S)"の元とは限らない。
すべてのQ上超越的な数が"Q(S)の代数拡大体K"の元であればよく、このときK＝Rとなる。
スレ主は代数拡大体の理解が曖昧なのではと思う。
26:１３２人目の素数さん
15/11/28 18:58:45.86 novsUjda.net
>>23
どうも。スレ主です。
なかなか議論がかみ合わないね
”なんの定義からQ上の超越数がQ(S)に含まれるべきと言ってるんだ？
明確に答えてみて。この答えで決着がつくと思う。”か
自分が、自明だと思っていることを、人に説明するのはなかなか難しいもんだ
どっかに説明が落ちてないか、検索したが無かった（＾＾；
しかたない
以下、自力で少し整理して、Q(S)について説明してみるよ
27:１３２人目の素数さん
15/11/28 19:04:22.84 COOxW6wd.net
スレ主自身が言った”本来の定義”とは何か？を聞かれてるだけなのに何故スッと答えない？
見ててイライラする
28:１３２人目の素数さん
15/11/28 19:15:01.87 novsUjda.net
>>24
どうも。スレ主です。
>"Q(S)の代数拡大体"に含まれない超越数(つまりQ(S)上超越的な数)を考えれば十分だ。
>RがQ(S)の代数拡大体になるような代数的に独立なSの元を求めたとき、そのSを超越基底というのだ。
同じ理解ですが
>したがってすべてのQ上超越的な数が"Q(S)"の元とは限らない。
？
>すべてのQ上超越的な数が"Q(S)の代数拡大体K"の元であればよく、このときK＝Rとなる。
それで良いと思うよ。些末だが、K＝R＼A ｜Aは代数的数かな
だから、すべてのQ上超越的な数が"Q(S)"の元でしょ。Q(S)＝Kじゃない？
29:１３２人目の素数さん
15/11/28 19:16:09.28 novsUjda.net
>>26
どうも。スレ主です。
いまから答えるよ
30:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 19:25:58.84 novsUjda.net
>>24 （ああ、コテとageが抜けていたね（＾＾； ）
どうも。スレ主です。
一つ気になるのだが、下記超越拡大で、”超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる”に同意する？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
体の拡大
超越拡大 T/k に対し、T の k 上代数的独立な元からなる部分集合 B で拡大 T/k(B) が代数的となるとき、B は T / k のあるいは T の k 上の超越基または超越基底（ちょうえつきてい、transcendencial basis）という。
ツォルンの補題（T が k 上有限生成の場合は帰納法）により、超越基底は常に存在する。
とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。
また、超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できるので、これを T の k 上の超越次数（ちょうえつじすう、transcendencial degree）あるいは次元（じげん、dimension）といい、degkT あるいは trans.degkT などと表す。
31:１３２人目の素数さん
15/11/28 19:54:47.69 V49WFVhA.net
>>29
>一つ気になるのだが、下記超越拡大で、”超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる”に同意する？
何が言いたいんだまったく。同意するに決まってるだろ。
スレ主こそ有限次拡大のときに納得するのか？
スレ主は>>10で下の文言をwikiから引っ張ってきたよな。
「Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。」
πもeもQ上超越的な数だ。
スレ主の論理ではQ(S)がπとeの両方を含まなければならないらしいが、
wikiはQ上の超越次数は2ではなく1かもしれないと言っている。
これはS={π}もしくはS={e}で代数拡大Q(π, e)/Q(S)が得られるかもしれない、という意味だ。
Q(π,e）という代数拡大体を得るために、Q(S)が必ずしもすべての超越数（ここではπとe）を含むとは限らないんだよ。
32:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 19:56:10.65 novsUjda.net
>>25 つづき
記号を整備しよう。複素数体C、有理数体Q、超越数T
有理数体Qから複素数体Cへの体の拡大で、超越基底S、QにSを添加した代数拡大体をQ(S)
代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) (wikipediaに合わせる。以前はAと記した)
としよう
C＝Q∪Q~∪T
Q⊂Q~、Q⊂Q(S)
また、定義から、明らかにQ~∩T＝φ（空集合）である
そこで、代数的数全体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
T⊂Q~（S）＝C
Q(S)は？
T⊂Q~（S）は言えても、T⊂Q(S)は言えないか・・・
Q~＝Q＋有理数以外の代数的数だから
超越次数は同じになるけど・・・
33:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:00:14.04 novsUjda.net
そうか、そうすると前スレ >>662 「スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。」って
当たっているね・・・
失礼しました。ｍ（＿ ＿）ｍ
34:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:02:15.49 novsUjda.net
うーん、大失態でした。大変失礼しました ｍ（＿ ＿）ｍ
35:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:06:16.51 novsUjda.net
>>30
どうも。スレ主です。
失礼しました。QとQ~>>31を取り違えてましたｍ（＿ ＿）ｍ
36:１３２人目の素数さん
15/11/28 20:06:38.90 V49WFVhA.net
>>31-32
>QにSを添加した代数拡大体をQ(S)
うう・・。ちょっとくらい愚痴らせてくださいｗ
前スレ>>673で注意したじゃないか・・
Q(S)と、Q(S)の代数拡大体をごっちゃにするなよと・・。
>Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
>QにSを添加した体Q(S)の代数拡大体を同じ記号"Q(S)"で表してしまったわけではないよな？
まあ、この問いかけはおっちゃんに対するものでスレ主に対するものではなかった。
スキップされても仕方ない。
とりあえず納得してくれたなら良かった。
自分も勉強になりました。
37:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:07:21.77 novsUjda.net
そういう目で、前スレのおっちゃんの証明を見るとどうなんかね～
まんざらでもないのかね？（＾＾；
38:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:09:26.37 novsUjda.net
>>35
どうも。スレ主です。
長時間、辛抱強くご指導ありがとうございましたｍ（＿ ＿）ｍ
勉強になりました！
39:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:11:42.90 novsUjda.net
>>35 補足
>Q(S)と、Q(S)の代数拡大体をごっちゃにするなよと・・。
>>Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
>>QにSを添加した体Q(S)の代数拡大体を同じ記号"Q(S)"で表してしまったわけではないよな？
なるほど
そういう意味だったのか！ 全然理解できてなかったな～（＾＾；
40:１３２人目の素数さん
15/11/28 20:14:57.34 V49WFVhA.net
>>36
>そういう目で、前スレのおっちゃんの証明を見るとどうなんかね～
>まんざらでもないのかね？（＾＾；
おっちゃんの証明は滅茶苦茶だと思います。
41:１３２人目の素数さん
15/11/28 20:26:47.81 V49WFVhA.net
>>39
ただし、ハメル基底Hを経由するアプローチは俺と一緒だ。
おっちゃんもなかなか目の付け所がよいなどと思っていたんだが、
スレ主によればほとんど高校数学の範囲でできるとのこと。
もしそうならおれもおっちゃんも完敗です。
42:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 20:29:47.22 novsUjda.net
>>36
前スレの最後のおっちゃんの証明で
>>650 [第１段]は、良い線行っている気もするけど（主張が明確でないが）。証明が成立しているかは別として
>>651 [第２段]は、[第１段]が明確になれば、自動的にＯＫと思う
私スレ主がひっかかった
>>653 [第６段](Q(S)は零集合)? これ言えるんかねー。Sが零集合だから・・・。けど、Q~(S)は零集合ではないよね・・。微妙だな・・。すぐに判断できない（＾＾；
43:１３２人目の素数さん
15/11/28 20:47:13.45 V49WFVhA.net
おっちゃんの[第１段]は
『ハメル基底が任意の開区間に含まれるか？』だけど、これはそのとおり。
こんなのは長々と証明する必要もなく明らかなのでおっちゃんの証明は読んでない。
[第2段]は要するに[第1弾]で構成したハメル基底が超越基底を含むかという命題だけど、これも真だ。
途中はすっとばす。
肝心の[第6弾]は明らかにおかしい。
よって>>655で以下のように質問した。
>>超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。
>なぜm(K)＜m(R)とできるのか説明してもらえますか。
これに対して>>665-667でおっちゃんがすぐに間違いを認めてくれたのでよかった。
今回はうまくいって良かったが。メンターがいないと大変だ。
44:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 21:13:33.78 novsUjda.net
>>42
どうも。スレ主です。
[第6弾]の証明はともかく、(Q(S)は零集合)?
これは、命題としては、言えるような気がしてきたんだが、間違っている？
T⊂Q~（S）なので、Q~（S）は零集合ではない。が、Q(S)が零集合でなく有限の値を持つとすると、矛盾が出るような気がする。証明は出来ていないが・・
45:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 21:28:46.72 novsUjda.net
>>42
どうも。スレ主です。
>おっちゃんの[第１段]は
>『ハメル基底が任意の開区間に含まれるか？』だけど、これはそのとおり。
>こんなのは長々と証明する必要もなく明らかなのでおっちゃんの証明は読んでない。
>[第2段]は要するに[第1弾]で構成したハメル基底が超越基底を含むかという命題だけど、これも真だ。
うん、これは、[第1弾]を経由せず、[第2段]が直接言えると思う
前スレの312 で”>>250 問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在可能定理」とします！”と書いた。証明は、前スレ250辺りを見て貰えればあるよ
簡単に言えば、ある超越基底の要素sがあって、sを無限小数で表現したときに、例えば少数第ｎ位の桁で打ち切れば、それは有理数だ
だから、超越基底の要素sの本質は、少数第ｎ＋１位以下の小さい数の部分にある。よって、超越基底の本質を変えずに、局在させることが可能だと
そして、「超越基底Sの局在可能定理」が言えれば、実質、零集合の証明は終わっている
超越基底Sが零集合ということが、[第2段]から直接言えるだろう。[第6弾]などは、不要だろう。というか、[第6弾]は元の問題より難しいと思う
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 21:36:06.05 novsUjda.net
だから、おっちゃんにアドバイスするとすれば
超越基底Sが零集合ということが、[第2段]から直接言えるだろう、その筋で証明することをお薦めする
[第6弾](Q(S)は零集合)は、これが成り立つとしてだが、別問題として解く方がいいと思うよ
47:１３２人目の素数さん
15/11/28 21:40:53.84 V49WFVhA.net
>>43
>T⊂Q~（S）なので、Q~（S）は零集合ではない
スレ主、くどいようだがQ~（S）はQの超越数t∈Tをすべて含むとは限らないよ。
>代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) (wikipediaに合わせる。以前はAと記した)
このQ~はQ上代数的な数の集合。Q~(S)はQ~にSを添加してできた体だ。
Q(S)とQ~(S)の違いは、Q上代数的な数（たとえば√2とか）が含まれているかどうかの違いしかしない。
Q~はQ上代数的な数の集合であって、Q(S)上代数的な数の集合(つまりR)ではないので注意してください。
48:１３２人目の素数さん
15/11/28 21:46:38.75 V49WFVhA.net
>>44
確認だが、スレ主は「命題：超越基底Sは零集合」は真だということでOK？
この命題は任意の超越基底Sがルベーグ可測であることも要求するが、それが真だということでよいのか？
49:１３２人目の素数さん
15/11/28 22:02:04.48 V49WFVhA.net
>>44の
>そして、「超越基底Sの局在可能定理」が言えれば、実質、零集合の証明は終わっている
を読んで思ったんだけど、おっちゃんの数多ある証明の1つと、
スレ主の>>44の論法はかなり似通っているように見える。
要するにスレ主はこう考えているのではないか？
間違っていたら指摘してくれるとありがたい。
『任意の1次元開球U(ε)は超越基底を含む。
ε→0で開球の測度0になる。
よって超越基底はゼロ集合。』
しかしε=0で開球は空集合であり、測度0の空集合は超越基底を含まない。
正のルベーグ測度をもつ集合（この場合は開区間U(ε)）の中に超越基底を構成する方法では、
証明はうまくいかないのではと思っている。
50:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 23:37:17.69 novsUjda.net
>>48
どうも。スレ主です。
ご指摘の通りです。そう考えてます
でも、、「超越基底Sが、可測集合か？」ってところが問題なのか
零集合は、必ずしもルベーグ可測には限らないようだが、ルベーグ可測と密接に関係している・・（下記）
いやー、むずいねー（＾＾；
「超越基底Sが、可測集合」が言えれば、”Given any positive number ε, there is a sequence {In} of intervals in R such that N is contained in the union of the {In} and the total length of the union is less than ε. ”みたいな論法が使えるかも（＾＾；
どうなんだろ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In set theory, a null set N ⊂ R is a set that can be covered by an countable union of intervals of arbitrarily small total length. The notion of null set in set theory anticipates the development of Lebesgue measure since a null set necessarily has measure zero.
Lebesgue measure
The Lebesgue measure is the standard way of assigning a length, area or volume to subsets of Euclidean space.
A subset N of R has null Lebesgue measure and is considered to be a null set in R if and only if:
Given any positive number ε, there is a sequence {In} of intervals in R such that N is contained in the union of the {In} and the total length of the union is less than ε.
For instance:
With respect to Rn, all 1-point sets are null, and therefore all countable sets are null. In particular, the set Q of rational numbers is a null set, despite being dense in R.
The standard construction of the Cantor set is an example of a null uncountable set in R; however other constructions are possible which assign the Cantor set any measure whatsoever.
51:１３２人目の素数さん
15/11/29 00:06:07.10 2P6DAj1m.net
>>49
wikiのゼロ集合の定義を改めて読んでみたところ、>>47-48の発言に自信が持てなくなってきた。
それはさておき、示すのは任意の超越基底がゼロ集合であることだ。
開区間Iε内で構成される超越基底のみを対象にしたのでは証明にはならない。
(事実、ゼロ集合の超越基底が存在することを示すのは簡単だ。)
スレ主の書き込みを読むと、この辺りをうまく記述する方法があるようだ。
スレ主の解答を楽しみにしています。
52:１３２人目の素数さん
15/11/29 00:25:09.92 2P6DAj1m.net
スレ主、いまさらだがゼロ集合の確認をさせてくれ。
下はwikiの測度論から引っ張ってきたものだ。
>可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合という。
これに異論はないと思うが、我々の命題では上の測度はルベーグ測度のこととしたい。
おっちゃんとオレはそう認識していた。スレ主も同意してくれるだろうか。
すでに過去に確認されていたことなら申し訳ない。
53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 07:42:25.73 SasjpBzo.net
>>50-51
どうも。スレ主です。
レスありがとう！
整いました（＾＾；
ルベーグ測度、μ(S) = 0 で合意します。
さて、本題
ルベーグ測度を確認すると、定義が「・・Rn の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、Rn の区間塊という。」などと、非加算には直接使えない。URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
そこで、非加算零集合のカントール集合の扱いを参考にしようと思いつく
日wikiは、あまり詳しく書かれていないので、下記enwikiへ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cantor set
Topological and analytical properties
Although "the" Cantor set typically refers to the original, middle-thirds Cantor described above, topologists often talk about "a" Cantor set, which means any topological space that is homeomorphic (topologically equivalent) to it.
As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets,
it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Since it is also totally bounded, the Heine?Borel theorem says that it must be compact.
For any point in the Cantor set and any arbitrarily small neighborhood of the point, there is some other number with a ternary numeral of only 0s and 2s, as well as numbers whose ternary numerals contain 1s.
Hence, every point in the Cantor set is an accumulation point (also called a cluster point or limit point) of the Cantor set, but none is an interior point.
A closed set in which every point is an accumulation point is also called a perfect set in topology, while a closed subset of the interval with no interior points is nowhere dense in the interval.
つづく
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 08:02:05.78 SasjpBzo.net
>>52
つづき
Every point of the Cantor set is also an accumulation point of the complement of the Cantor set.
For any two points in the Cantor set, there will be some ternary digit where they differ ? one will have 0 and the other 2.
By splitting the Cantor set into "halves" depending on the value of this digit, one obtains a partition of the Cantor set into two closed sets that separate the original two points.
In the relative topology on the Cantor set, the points have been separated by a clopen set. Consequently the Cantor set is totally disconnected. As a compact totally disconnected Hausdorff space, the Cantor set is an example of a Stone space.
引用おわり
nowhere dense >>52 も
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a nowhere dense set in a topological space is a set whose closure has empty interior.
In a very loose sense, it is a set whose elements aren't tightly clustered close together (as defined by the topology on the space) anywhere at all.
The order of operations is important. For example, the set of rational numbers, as a subset of R, has the property that the interior has an empty closure, but it is not nowhere dense; in fact it is dense in R.
Equivalently, a nowhere dense set is a set that is not dense in any nonempty open set.
Nowhere dense sets with positive measure
A nowhere dense set is not necessarily negligible in every sense.
For example, if X is the unit interval [0,1], not only is it possible to have a dense set of Lebesgue measure zero
(such as the set of rationals), but it is also possible to have a nowhere dense set with positive measure.
引用おわり
55:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 08:44:51.61 SasjpBzo.net
>>53 つづき
totally bounded >>52
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Totally bounded space
In topology and related branches of mathematics, a totally bounded space is a space that can be covered by finitely many subsets of any fixed "size" (where the meaning of "size" depends on the given context).
The smaller the size fixed, the more subsets may be needed, but any specific size should require only finitely many subsets.
A related notion is a totally bounded set, in which only a subset of the space needs to be covered. Every subset of a totally bounded space is a totally bounded set; but even if a space is not totally bounded, some of its subsets still will be.
Definition for a metric space
A metric space (M,d) is totally bounded if and only if for every real number ε >0, there exists a finite collection of open balls in M of radius ε whose union contains M .
Equivalently, the metric space M is totally bounded if and only if for every ε >0, there exists a finite cover such that the radius of each element of the cover is at most ε.
This is equivalent to the existence of a finite ε-net.[1]
参考 日wiki
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全有界空間
位相幾何学および関連する数学の分野において、全有界空間（ぜんゆうかいくうかん、英: totally bounded space）とは、・・・
56:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:09:47.28 SasjpBzo.net
>>54 つづき
complete metric space
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。
引用おわり
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:26:20.44 SasjpBzo.net
>>55 つづき
さて、非加算零集合のカントール集合の扱いを参考にすると
”As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets,
it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Since it is also totally bounded, the Heine-Borel theorem says that it must be compact.”
ってところが使えそうだと
そこで、the Cantor set→任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48に置き換えて考えてみると
１）the complement of a union of open sets：yes
２）closed subset of the reals:yes
３）therefore a complete metric space：よく分かりません。完備距離空間なのか。ただ、超越基底では不要
４）totally bounded：yes （∵1次元開球U(ε)に閉じ込めたから）
５）compact：？ ３）に同じ
なので、”Lebesgue measure 0”のうち、超越基底のルベーグ可測はyesだろう。
まあ、思うに、カントール集合は非加算だが、可算な
58:小さい被覆を取って、その和と考えられる。だから、ルベーグ可測。 可算な小さい被覆でカバーできるところは、nowhere denseなので、ゼロだけど、可算無限和の場合に、ゼロと有限値の場合とがある。 中央1/3を除く場合は、ゼロだと。 正直なところ、細部まで詰め切れていない。疑問があったら指摘してください。一緒に考えましょう（＾＾； 0については、次で
59:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:47:18.29 SasjpBzo.net
>>56 つづき
超越基底のルベーグ可測はyesについては、上でカントール集合にならって示した
さて、それが0についてだが
１．任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48が、ある有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする
２．簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[r-ε, r+ε](ｒは開球の中心)のルベーグ測度は、2εとなる
３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
５．よって、m=0。つまり、零集合となる、ある超越基底が存在する
６．ところで、超越次数を思いだそう。”すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。”>>29や下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
７．従って、零集合となる、ある超越基底が存在するならば、すべての超越基底も同じ性質を持ち、零集合となる。
（ここ細部は詰めてないけど、”すべての超越基底は同じ濃度をもつ”と同じ筋で証明できるよ、多分（＾＾； ）
60:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:51:45.84 SasjpBzo.net
>>57 つづき
以上です。
私は、本格的な（記号を多用した教科書的）証明を、ここで書く気は無いんだよね（そんなのここでは読みにくいだけでしょ）
かつ、細部は詰め切れていない
ルベーグ可測も詳しくないから
が、大筋合っていると思うよ
細かい点は、指摘して頂ければ、一緒に考えましょう（＾＾；
61:１３２人目の素数さん
15/11/29 09:54:34.44 2P6DAj1m.net
>>56
>５）compact：？ ３）に同じ
スレ主、超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。
62:１３２人目の素数さん
15/11/29 09:59:27.09 2P6DAj1m.net
>>59
ああ"?"は分からんという意味か。
>>57
>３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
>４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
>５．よって、m=0。つまり、零集合となる、ある超越基底が存在する
ここの論理は良く分からんです。
"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
なぜmが1つの値にとどまっているのか。
63:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:01:12.85 2P6DAj1m.net
>>60
誤:"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
真:"U(ε)のε＜ m/2 と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
m(_ _)m
64:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:10:21.05 2P6DAj1m.net
>>60
>"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
>なぜmが1つの値にとどまっているのか。
言いたかったことは、超越基底をU(ε)に閉じ込めたというなら、
その空間への閉じ込められ方によってmは変化する可能性があるのでは、
ということです。あとでεを変えるのであれば注意が必要だということです。
スレ主の論法で矛盾が引き出せたとしても、暗黙のいくつかの仮定のうち、
どれが誤った仮定だったのかを論じなければならない、と思うのです。
65:１３２人目の素数さん
15/11/29 11:39:40.36 4wl9a+n9.net
>>56
>１）the complement of a union of open sets：yes
カントール集合はこのようして構成されるからyesだけど、
超越基底もこのように構成できるというならそれを示す必要がある。
結論から言うと答えはnoだと思う。
yesだと超越基底はコンパクトになってしまう。
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 12:01:34.64 SasjpBzo.net
>>59-60
どうも。スレ主です。
>超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。
なるほど
>>62
"言いたかったことは、超越基底をU(ε)に閉じ込めたというなら、
その空間への閉じ込められ方によってmは変化する可能性があるのでは、
ということです。あとでεを変えるのであれば注意が必要だということです。
スレ主の論法で矛盾が引き出せたとしても、暗黙のいくつかの仮定のうち、
どれが誤った仮定だったのかを論じなければならない、と思うのです。"
１．確かに、そういうところが、甘いかも
２．だから、「超越基底はコンパクトではない」とか、「超越基底は連続した区間を占めない」＊）とか、少し超越基底の性質を論じておく方がすっきりするかも
＊）s1≠s2 | s1,s2 ∈{超越基底}ならば、有理数の稠密性から、s1とs2の間にかならずある有理数が入るから、「超越基底は連続した区間を占めない」
３．あと、２のように、連続しない（離散した）超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる＊＊）ってことも
＊＊）s1≠s2 | s1,s2 ∈{超越基底}で、s1-s2=Lとして、有理数qで割れば、s1/q-s2/q=L/q。つまり、s1とs2の間隔が、1/qに相似形で圧縮できる
（有理数qで割っているから、{超越基底}としての本質は変わっていない）
４．ここらをすっきりさせる数学的表現を私ができないだけで、”{超越基底}は零集合”の証明は、実質終わっていると思います
追伸
・εとmの関係は、δεみたいな関係でもあり、>>54のTotally bounded space のεの使い方も同じようなものと理解しています
・いま思うと、上記３の「超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる」を先に証明しておく方が良いかと思います。
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 12:29:39.20 SasjpBzo.net
>>63
>>１）the complement of a union of open sets：yes
>結論から言うと答えはnoだと思う。
>yesだと超越基底はコンパクトになってしまう。
ああ、そうなのか。よく分からんので、代案として
>>54 Totally bounded space を使いたいがどうですか？
Definition for a metric space
A metric space (M,d) is totally bounded if and only if for every real number ε >0, there exists a finite collection of open balls in M of radius ε whose union contains M .
Equivalently, the metric space M is totally bounded if and only if for every ε >0, there exists a finite cover such that the radius of each element of the cover is at most ε.
This is equivalent to the existence of a finite ε-net.[1]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全有界空間
例と例外
実数直線、あるいはより一般の（有限次元）ユークリッド空間の部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。これはアルキメデスの性質より従う。
コンパクト性と完備性の関係
全有界性とコンパクト性の間には、次の良い関係が存在する：
すべてのコンパクト距離空間は、全有界である。
一様空間がコンパクトであるための必要十分条件は、それが全有界であって、コーシー完備であることである。これはユークリッド空間から任意の空間へのハイネ・ボレルの被覆定理の一般化と見なされる：その場合、有界性を全有界性に（そして閉性をコンパクト性に）代える必要がある。
全有界性とコーシー完備化の間には相互補完的な関係がある。すなわち、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、そのコーシー完備化が全有界であることである（これは、ユークリッド空間においてある集合が有界であることと、その閉包が有界であることは同値という事実に対応する）。
68:１３２人目の素数さん
15/11/29 12:36:30.27 4wl9a+n9.net
>>64
おれは懐疑的です。
任意の超越基底は開区間Iε内の集合としてよい、というのはOK。
しかしその集合の測度的性質が皆同じとは限らない。
そして前にも言ったが1番の問題は超越基底の測度を正のルベーグ測度をもつ開区間Iεで評価しようとしているところ。
今の場合ε＝0ではIεは空集合となり、たしかに測度ゼロではあるものの、もはや超越基底を内包できない。
超越基底が内包されるという性質がε＝0で不連続ということだ(変な言い回しだが)。
結局結論できることといったら、任意のIεは超越基底をもつということだけだ。
ここはカントール集合がゼロ測度を持つことを示す論法とは根本的に違う。
カントール集合の場合、可算の分割除去を無限に細かくした極限こそがカントール集合であり、行き着く極限値がゼロだと結論づけている。
69:１３２人目の素数さん
15/11/29 12:46:50.38 4wl9a+n9.net
>>65
有界であることは使っていいと思う。
70:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 14:38:39.95 SasjpBzo.net
>>66-67
どうも。スレ主です。
ありがとう
やっぱ、数学系の人は、思考が深いね（＾＾；
高校レベルで終わりとはいかない>>39
>有界であることは使っていいと思う。
正直、ルベーグ可測はあまり理解出来ていないが・・・
1次元開球U(ε)に閉じ込めた超越基底Sは、Totally bounded spaceで→ルベーグ可測が言えるとする
（証明のあらすじ）
１．あるの1次元開球U(ε)に閉じ込めた超越基底S>>48は、Totally bounded spaceで→ルベーグ可測であり、有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする
２．>>64で書いたように「超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる」＊）
３．一般性を失わず開球U(ε)の中心を０とし、簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[-ε, +ε]を考えると、閉区間のルベーグ測度は、2εとなる
４．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
５．有理数 q > ε/(m/2) なるqを取り、開球U(ε)をqで割って（(m/2)/εを掛けても同じ）、圧縮する。
６．上記２で述べたように、超越基底のルベーグ測度は mで不変。一方、対応する圧縮された閉区間[-ε/q, +ε/q]のルベーグ測度は、m未満となる
７．ルベーグ測度 mの超越基底が、ルベーグ測度 m未満の閉区間[-ε/q, +ε/q]に入っていることになり、m >0とすると矛盾＊＊）。従ってm=0となる
＊）超越基底Sが、nowhere dense >>53 みたいなことを、しっかり証明する必要があるという気がしてきた（＾＾；
＊＊）ルベーグ測度の加法性に反する？
こんなのでどうですか？
71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 14:43:49.89 SasjpBzo.net
>>68 訂正
１．あるの1次元開球U(ε)に閉じ込めた
↓
１．ある1次元開球U(ε)に閉じ込めた
補足
この後は、>>57の６～７で書いた、超越基底の性質から、「零集合となる、ある超越基底が存在するならば、すべての超越基底も同じ性質を持ち、零集合となる」とすれば、証明完成かな
72:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 14:52:48.51 SasjpBzo.net
>>43 ここに戻る
>[第6弾]の証明はともかく、(Q(S)は零集合)?
>これは、命題としては、言えるような気がしてきたんだが、間違っている？
超越基底Sが、ルベーグ可測であることを示すのに、Totally bounded space（有界）を使った
が、Q(S)は、ルベーグ可測かどうかを示すところが大変かも
かつ、思うに中途半端な有限値は、取らない（取れない）だろう
もしルベーグ可測として、ゼロか、∞かだろうね
73:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:01:56.50 4wl9a+n9.net
>>68-69
スレ主も気付いてるようだけど、圧縮で測度が変わらないというならそれを示さないといけない。
同じ圧縮を閉区間に施したら測度も圧縮されてしまう。
超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか。
74:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:10:53.54 4wl9a+n9.net
>>68
> ７．ルベーグ測度 mの超越基底が、ルベーグ測度 m未満の閉区間[-ε/q, +ε/q]に入っていることになり、m >0とすると矛盾＊＊）。従ってm=0となる
任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。
測度m>0がいけないのか、m>0が圧縮操作で一定と仮定したのがいけないのか、分からないように思う。
75:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:17:18.10 2P6DAj1m.net
>>66
>任意の超越基底は開区間Iε内の集合としてよい、というのはOK。
このコメントは迂闊でした。取り消させてください。
76:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:28:35.92 2P6DAj1m.net
>>67
>有界であることは使っていいと思う。
これも取り消す。
やはり非可算な任意の超越基底というのは得体がしれない。
安易に有界だの完備だのと決め付けると間違いを犯す。
しかし、まずは区間I(ε)に含まれる有界な超越基底に議論を絞ろうと
いうのであれば、それはかまわない。
77:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:32:38.16 2P6DAj1m.net
>>68
>やっぱ、数学系の人は、思考が深いね（＾＾；
おれは数学系ではないよ。
知識がなく分からないことだらけだ。
このスレを利用して勉強させてもらっている。
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 15:35:50.96 SasjpBzo.net
>>46 戻る
ここは初心者も来ると思うので、整理しておきたい
>>31より
記号を整備しよう。複素数体C、有理数体Q、超越数T
有理数体Qから複素数体Cへの体の拡大で、超越基底S、QにSを添加した代数拡大体をQ(S)
代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) (wikipediaに合わせる。以前はAと記した)
としよう
C＝Q∪Q~∪T
Q⊂Q~、Q⊂Q(S)
また、定義から、明らかにQ~∩T＝φ（空集合）である
そこで、代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
T⊂Q~（S）＝C
（引用おわり）
で違う？ 下記、ベクトル空間の次元とのアナロジーで考えると、ベクトル空間の基底は、そのベクトル空間を基底の線形結合で表現するために取られる。
もし、そのベクトル空間の要素で、基底の線形結合で表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことだろ？
そのアナロジーで、先にQ~ →Cへの体の拡大があって、それを表現する超越基底Sを取るわけだから、基底から代数的に表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことではないだろうか？
ここは、当初の問題とは関係ないが、はっきりさせて置いた方がこちらも助かるので
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。
任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
このアナロジーは次のことを観察することによってより形式的にできる。ベクトル空間における一次独立と体の拡大における代数的独立はともにマトロイドの例であり、それぞれ線型マトロイドと代数的マトロイドと呼ばれる。
したがって、超越次数は代数的マトロイドのランク関数（英語版）である。
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 15:52:13.41 SasjpBzo.net
>>71-75
どうも。スレ主です。
レスありがとう
私は、ここらが限界だな
１．ある1次元開球U(ε)に閉じ込めた超越基底Sが、ルベーグ可測か否かってことね。厳密な証明は、私の手に余るよ（＾＾；
２．「超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか」は、>>64の２～３だな
３．「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」か・・。無限大の処理か・・？。そうすると、いままでの筋が成り立たないね。ところで、出典があるなら示してください
４．もしそうなら「まずは区間I(ε)に含まれる有界な超越基底に議論を絞」るしかないね。うかつに無限大を扱うと、手に負えない
命題から見直さないと行けないね
では
80:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:06:46.18 2P6DAj1m.net
>>76
代数拡大体と超越基底の関係はしっかり理解いただきたい。
そのためにはいくらでもつき合わせてもらうよ。
なぜかというと『超越基底ならばゼロ集合』に対する俺のアプローチと密接に関わっているからだ。
しっかり理解していないと俺の証明について議論ができないということになる。
>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
ここが間違っている。
まずQ~(S)とQ~(S)の代数拡大体の違いを明確にしたい。
Q~(S)はQ~にSを添加した体だ。これは代数拡大体ではない。
Q~(S)の代数拡大体は、Q~(S)に含まれない元を持ちうる。
なぜならQ~(S)の代数拡大体は、Q~にSを添加しただけの体Q~(S)の元に加え、
Q~(S)係数多項式の根までもカバーするからだ。ここがポイントだ。
再度wikiの例を引っ張る。
「Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。」
ここでは超越次数を1としよう。
するとQ(π,e）の超越基底は1つの元で構成されることになる。たとえばそれをπとする。
Q(π,e）の超越基底が{π}ということは、Q(π,e)/Q(π)が代数的であることを意味する。
言い換えると、Qにπを添加した体Q(π)を係数とする多項式の根としてeを生成できるという意味だ。
Q(π,e）を代数拡大で構成するのにすべての超越数(ここではπ,e）を超越基底に加える必要があるとは限らない。
このように、単に元を添加した体Q(S)ではなく、Q(S)の代数拡大体を考えるとき、
"Q(S)"⊂"Q(S)の代数拡大体"である。
（続く）
81:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:09:17.09 2P6DAj1m.net
(>>78の続き）
> ベクトル空間の基底は、そのベクトル空間を基底の線形結合で表現するために取られる。
> もし、そのベクトル空間の要素で、基底の線形結合で表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことだろ？
これはベクトル空間のとき、基底の線形結合を考えるのはそのとおり。
Q上のベクトル空間でRを張る基底Sを取り、それをQ(S)で書くことにすれば、Q(S)=Rだ。
しかし今話題にしているのはベクトル空間ではない。
線形結合ではなく代数拡大体を考えなければならない。
超越基底SによるQの代数拡大体がR(あるいはC)に等しいことを
スレ主はQ(S)=R(あるいはC)と書いていることを間違いだと言っている。
繰り返すが超越基底SによるQの代数拡大体はQ(S)ではない。
Q(S)はQにSを添加した体でしかない。
引き続き、理解できなければ質問してください。
82:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:23:16.67 2P6DAj1m.net
> ３．「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」か・・。無限大の処理か・・？。そうすると、いままでの筋が成り立たないね。ところで、出典があるなら示してください
>>77で余計な文「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」を書いたためにスレ主を混乱させてしまった。
これは単純に、ε>0を仮定してもこの事実と矛盾しないことを言いたかっただけ。
ε>0がいけないのではなく、圧縮で測度不変という仮定がいけない可能性があることを伝えたかっただけ。
無限大をどうこうとは考えていなかった。
任意の区間に超越基底が存在することはスレ主もよく分かっていたんじゃなかったっけ？
任意の開区間をIとするとIの元と有理数の積で任意のRの元が表せる。
したがってIから余計なものを除けばハメル基底が取れる。
ハメル基底から余計なものを除けば超越基底が取れるよ。
83:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:27:34.96 2P6DAj1m.net
>>77
>２．「超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか」は、>>64の２～３だな
すまんが>>64の２～３から測度不変が導かれるというのは理解できなかった。
84:１３２人目の素数さん
15/11/30 02:15:10.12 c1Picbtv.net
前スレ668のおっちゃんの証明が素通りされていた。再掲しておく。
668 １３２人目の素数さん sage 2015/11/28(土) 08:54:42.73 ID:gImjm0uw
>>655
体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を
完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して
何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する
ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に
可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を
任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。
しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、
(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、
体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は
自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる
自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包
は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
85:１３２人目の素数さん
15/11/30 02:25:19.27 c1Picbtv.net
>>81
>体 Q(S) は完全集合だから、
前スレ651-652の第5段「Q(S)が完全集合」ではQ(S)が孤立点のない閉集合であることを示す必要があるが、閉であることが示せていない。
86:１３２人目の素数さん
15/11/30 02:57:58.90 c1Picbtv.net
>>83はあまり本質的な指摘ではなかった。
>>82
> 体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包
は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
>これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
ここはまったく意味わからん。
なんでm(K)＝0になるんだ？
>Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。従って、
Kの1点部分集合xの閉包が1点集合になるという一般的事実と、Kのルベーグ測度との間になんの関係があるんだ？
87:１３２人目の素数さん
15/11/30 08:46:49.01 EI/m42sT.net
>>84
>>82の主に前半(「ところが」までの部分)は、
>体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
>仮に或る開区間 I に対して、K∩I を完備とすると、体Kは通常の加減乗除について
>閉じているから、K∩I のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、
>或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な閉区間 [-ε,ε] を構成
>出来る。従って、加減乗除の操作を任意に可算無限回施すと、[-ε,ε] から
>実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を任意に可算無限回施すと
>KからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。しかし、KはRの真部分集合で
>Rとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、矛盾が生じる。
>従って、如何なる開区間 I⊂R に対しても、(Q(S))(k) と I の共通部分 K∩I は完備とはならない。
と訂正。単に開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0)を一般の開区間 I にしただけ。
本題に戻る。任意の完備な順序体は実数体Rに同型である。上の議論から、Kは完備ではなく、
Rに同型ではない順序体。距離空間としてのKは、直線R上完備ではなく かつ 連結ではないから、
Kは直線R上至る所不連結な体である。しかし、体 Q(S)、K＝(Q(S))(k) は自己稠密集合である。
従って、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
従って、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
これは、はじめに背理法の枠組みで m(Q(S))＞0 と仮定していることに反する。
88:１３２人目の素数さん
15/11/30 12:56:25.02 c1Picbtv.net
>>85
>従って、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、
申し訳ないが、何によってm(K)=0が従うのか、もう少し明確に書いてもらえないだろうか？
> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
これからm(K)=0が従うと言っているのか。それとも
> Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
これからm(K)=0が従うと言っているのか。あるいは上の両方があれば従うのか。
説明よろしく。
89:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:20:55.59 EI/m42sT.net
>>86
はじめに、後者の
＞> Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
だけから m(K)＝0 が従うことはない。これだけから m(K)＝0 が
従う論理を認めると、K＝R のときも同様な議論が成り立ち、反例が出る。
上の後者についての「＞」以降の行と前者の
＞> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
とがあれば、m(K)＝0 は確実に従うが、直線R上で順序体Kを考えているから、定義上は、前者の
＞> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
だけでいいだろうな。K＝R と置き換えても、この場合は距離空間Rは
完全不連結な順序体とはならず、議論の反例にはならない。この場合、直線R上で、
m(K) は距離空間としてのKを被覆する可算無限個の右半開区間の和の下限だが、
Kは直線R上稠密で、距離空間としては完全不連結だから、その下限は、
(+∞)・0＝0 で、m(K)＝0 になる。
90:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:28:58.80 c1Picbtv.net
>>87
> Kは直線R上稠密で、距離空間としては完全不連結だから、
> その下限は、(+∞)・0＝0 で、m(K)＝0 になる。
(+∞)・0というのは、つまるところ測度ゼロの点を可算無限個足し合わせたという意味か？
91:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:32:55.22 EI/m42sT.net
>>86
>>87の下から3行目の訂正：
「右半開区間の和の下限」→「右半開区間の長さの和の下限」
92:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:44:39.27 EI/m42sT.net
>>88
距離空間としてのKを被覆する右半開区間の長さの和を、選択公理により
直線R上で小さい方(-∞の方)から大きい方(+∞の方)へと非可算個取って、
その非可算個の長さの和を足し合わせた総和だと思ってもらえればいい。
これから、可算個の長さの下限が0になることは直ちに従う。
93:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:51:18.04 EI/m42sT.net
>>88
>>90の訂正：
「足し合わせた総和だと…」→「足し合わせた総和の下限だと…」
94:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:52:12.84 c1Picbtv.net
>>90
>その非可算個の長さの和を足し合わせた総和だと思ってもらえればいい。
>これから、可算個の長さの下限が0になることは直ちに従う。
意味が分からん。非可算をそのまま足せよ。なんの理由があって可算個を抜き出すんだよ。
> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
これだけからm(K)=0がいえるわけないだろ。
無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
しかし無理数全体の測度は0ではない。
95:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:00:48.04 EI/m42sT.net
>>92
あ～、無理数全体の反例があったか。
>なんの理由があって可算個を抜き出すんだよ。
外測度の定義の式の「∞」は濃度でいうと「ℵ_0」にあたり、
総和は可算無限和だと解釈していたが、違うのか？
96:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:20:36.54 EI/m42sT.net
>>92
ちょっと待った。
>無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
確かにそうではあるが、無理数全体は順序体ではないから、
無理数全体は、反例にならないのではないか？
97:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:28:00.78 rA4BNgs0.net
>>93
> 無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
とオレは書いた。たしかに順序体には言及してない。
じゃあ順序体という条件が加われば非加算ではなく加算個の足し合わせで済ませられるのか？そんなわけないだろ。
98:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:57:07.76 EI/m42sT.net
>>95
外測度の定義式の「∞」は、濃度でいうと連続体濃度cにあたるのか。
じゃあ、無理数全体は、論理の反例になっているのか。
何か、「Σ_{i＝1,…,∞}」という定義式の表記法が引っ掛かるな。
基本的な無限和の「Σ_{i＝1,…,∞}」と、表記上は余り変わりがない。
99:１３２人目の素数さん
15/11/30 16:02:48.37 rA4BNgs0.net
以下は俺の妄想なので読み流してくれ。
参考になれば参考にしてくれ。
第3段で、RはQ(S)の代数拡大体ということからQ(S)はRの真部分集合と結論づけているけど、これは正確ではないよ。
Q上の超越数がすべてQ上代数的に独立なら、SはQ上の超越数をすべて含むのでR＝Q(S)。Q(S)の測度はRに等しくなる。
もちろん幾つかの超越数は代数的に従属で、実際には真部分集合なんだろうけど。
言いたいことは、超越数の代数的な独立性を十分知ってかからないと
Q(S)＝0なんて到底示せやしないのでは、ってこと。
上の例はQ(S)の測度が無限大になる可能性を示している。
ゼロを示すにはよほどの理由付けがないといけない。
100:１３２人目の素数さん
15/11/30 17:10:50.94 c1Picbtv.net
>>88
>(+∞)・0というのは、つまるところ測度ゼロの点を可算無限個足し合わせたという意味か？
という俺の質問に対して、点ではなくKを被覆する非可算の右半開区間であると答えてくれたんだったな。
混乱させてしまい、すまなかった。
では定義どおり半開区間を考える。
Kを可算個で覆う半開区間の測度を足し合わせる。
非可算ではなく可算個の半開区間でKを覆ったとき、
『各々の半開区間は測度0』が言えるのだろうか？
それが言えないと
>(+∞)・0＝0
は言えないのでは？
101:１３２人目の素数さん
15/12/01 16:39:59.17 baxAOB/Z.net
>>98
昨日の話はチャラか。まあ、そうだわな。変だと思っていた。本題。
＞では定義どおり半開区間を考える。
＞Kを可算個で覆う半開区間の測度を足し合わせる。
＞非可算ではなく可算個の半開区間でKを覆ったとき、
＞『各々の半開区間は測度0』が言えるのだろうか？
＞それが言えないと
＞>(+∞)・0＝0
＞は言�
102:ｦないのでは？ 外測度の定義上はそうなる。 が、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。 Kの標数は0で、Kは有理数体Qを含む。従って、Kの素体Qの閉包はp進数体と 同型になる(位相はハウスドルフ位相)。つまり、Kの素体は離散的な体として扱える。 ここに、QはR上稠密で、距離空間としては完全不連結な順序体なることに注意する。 Qを素体に持つ順序体Kは card(K)＝c にもかかわらず、離散的な体として扱える。 離散的な体でないとすると、Kは局所コンパクトな位相体(位相はハウスドルフ位相)となって、 実数体(直線)Rと同じ扱いになる。つまり、card(K)＝c なのに、直線R上で順序体Kの点は 離散的に分布しているとして扱える。離散的な対象を扱う上では +∞ は可算無限の 扱いになるから、可算個の半開区間でKを覆ったとき、「(+∞)・0＝0」はいえるだろう。 もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。 単純ではなくなる。
103:１３２人目の素数さん
15/12/01 18:45:02.45 TkgkJFPp.net
>>99
>離散的な対象を扱う上では +∞ は可算無限の
>扱いになるから、可算個の半開区間でKを覆ったとき、「(+∞)・0＝0」はいえるだろう。
可算無限の+∞を問題にしているのではなくて、
半開区間の測度がすべて0なのかが問題なんだよ。
カントール集合はその構成方法から測度0が導けたけど、
Kはカントール集合と違って『開集合の補集合』で構成できるとは言えない。
（言えるというなら示さないといけない）
離散的というのはどういう意味か。
離散的な対象は可算である、というならKは非可算なので矛盾するが。
> もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。
> 単純ではなくなる。
ここがおっちゃんの証明の最重要ポイントだから、手を抜かずに頼むよ。
104:１３２人目の素数さん
15/12/02 13:03:54.23 cA2WSz5U.net
>>100
>離散的というのはどういう意味か。
>離散的な対象は可算である、というならKは非可算なので矛盾するが。
「離散的」というのは、完備ではないとか、連結ではないという意味だな。
有理数体Qは稠密で、完備ではないが、連続的な対象としても扱える。
相対的に連続と離散を対比させて使うのはよく見かけるが、稠密はどちらでもない。
＞> もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。
＞> 単純ではなくなる。
＞ここがおっちゃんの証明の最重要ポイントだから、手を抜かずに頼むよ。
直線R上での右半開区間の測度すべてを相手にするとなると、
余り公表したくなかったが、私の研究内容を晒せ、ということかな。
これをここに書くのは、よろしくないだろ。意外にも単純な話ではなくなる。
証明の重要な部分に論理の飛躍があったことになる。或いは、m(Q(S))＝0 ではなかったのか。
105:１３２人目の素数さん
15/12/03 04:59:46.11 mQy0LmD9.net
あれ？ 昨日は私(おっちゃん)宛てのレスはなしか。
もし、メンター(その他)が読んでいたらの話になるが、
前スレで気分を害したであろうメンターには、謝罪と感謝をする。
背理法の利用法を教えてくれたにもかかわらず、
気分を害することを書き、大変申し訳ありませんでした。
おかげで証明の真偽を確認する方法を身に付けられそうです。
背理法を使うときも含めて、論証では数学的対象を意識することの重要性が分かりました。
あと、メンターの他に、もし私のせいで気分を害したような人がいたら、
その人にも謝罪をしておきます。気分を害することを書き、誠に申し訳ありません。
私にはこれ以上よい文章は思い付きません。ウマく伝わることを祈ります。
スレ主その他の人も含め伝える。私はしばらく旅に出る。
何か1年間ここで遊んでしまったようだ。遊んでいる場合ではないので
ここから去る。遊んでいたら、研究やお勉強とかする時間がなくなる。
数学的な内容のレスとしては、>>101が私の最後のレスになると思う。
>101の続きをしても、私からのレスは多分来ないと思ってほしい。
もし話を続けるなら、このことを前提にして続けてほしい。
106:１３２人目の素数さん
15/12/03 18:46:08.55 2V8kp7An.net
>>102
>あれ？ 昨日は私(おっちゃん)宛てのレスはなしか。
>証明の重要な部分に論理の飛躍があったことになる。或いは、m(Q(S))＝0 ではなかったのか。
飛躍に気づいてもらえたようなので特に返信はしなかったよ。
Sは可測ならゼロ集合だ。じゃあQ(S)はどうか。これは素人の俺には結構面白い問題だ。
>>97にも書いたが、Sの代数的な独立性によってはQ(S)=Rになる。測度無限大。
しかしSはゼロ集合で間違いない。
Sを高々可算のQに添加しただけで本当に測度無限大になるのか、肌感覚として疑問がある。
実は代数的に独立な超越数は従属な超越数よりも圧倒的に少なく、Q(S)の測度は0になるのかもしれない。
体に集合を添加したときに、元の体がどのように膨らむのか、自分はまだ正しい感覚が身についていない。
107:１３２人目の素数さん
15/12/03 20:54:29.85 EQwOzK69.net
ガロア理論の頂を踏むという本を買ってみたが後半理解不能。
うーん。
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:23:20.52 udQktcvb.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、どうも
みなさん、どうも
今週は、変則です
109:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:35:22.18 udQktcvb.net
>>81
>すまんが>>64の２～３から測度不変が導かれるというのは理解できなかった。
推論が間違いでした（＾＾；
>>64の「超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる＊＊）って」が×
（相似形で）圧縮は、濃度は変えないが、測度は変える可能性大だな
測度は平行移動だね。下記のヴィタリ集合の筋が参考になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v ? r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算
V の構成から、平行移動による集合 V_k=V+q_k=\{v+q_k : v ∈ V}, k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。
110:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:41:02.33 udQktcvb.net
>>103
>Sは可測ならゼロ集合だ
それは、平行移動で証明できた。「Sは可測」は、まだ証明できていないが
111:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:56:05.99 udQktcvb.net
>>107
実数の超越基底Sが、ルベーグ可測なら零集合であることの証明
（命題）実数の超越基底Sは、ルベーグ可測なら零集合である
（証明）
０．超越基底Sの各要素は、定義より代数的に独立である。従って、代数的操作(四則)で一致することはない。特に、以下で使う加減操作で一致しないことを注意しておく*)
*)代数独立基底における有理距離平行移動独立性と名付ける（定義そのものだが、明示的表現として名付ける。）
１．超越基底Sの各要素の整数部分をゼロとすることで、－１から１の区間に集めることができる。これは、∀s∈Sで、sの整数部分を取り、その逆符号の数をsに加える操作に等しいので、異なる各sが一致することはない。
数学的には、（正の）整数からなる区間[i,i+1]を、平行移動で、[0,+1]に集めることに等しい。（負の数は、符合が逆転し、[-1,0]に集めることに等しい。）
各区間のViとして、Vi=V(Si) Siは、[i,i+1]に含まれるSの要素とすると、V(S)=ΣVi（可算和）となる。
２．区間内で０の回りの小さな-εからεの区間を考える。一般性を失わずに、ε＝r（有理数）と取ることができる
３．[－１,１]をrで分割する。具体的には、[－１,－１+2r],[－１+2r,－１+4r],・・・[－１+2(i-1)r,－１+2ir]・・・[－１+2(n-1)r,1]。 ここにnは1<2nrとなる最小の整数、iは１からn-1までの整数
４．各[－１+2(i-1)r,－１+2ir]の区間を、Biとする。区間Biを(2i+1)rだけ平行移動させることで、０の回りの-rからrの区間に入れることができる。
なお、各区間Biの境界には、超越基底の要素sは存在しない。∵境界は有理数であり、sは超越数であるから。
（数学的には、上記１～４の操作は、数直線を、有理数からなる区間[ir,(i+1)r]に分割し、その可算和を取る操作と同じである。（繰り返しになるが、負の場合は符号反転する））
５．このようにして、平行移動させても、各s∈Sは一致しない（重ならない）。（理由は上記１に同じ）
６．平行移動によって、測度は変わらないから、－１から１の区間に集めた超越基底Sを、測度を変えずに、-ε（=r）からε（=r）の区間に入れることができた
７．よって、超越基底Sは零集合である。 ∵-εからεの区間に存在する超越基底Sの測度は、各区間Biの測度の可算和に等しいから。
QED
112:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:01:06.24 udQktcvb.net
上記証明で、超越基底Sの有理距離平行移動独立性のみを使った。
従って、上記証明は、任意の代数独立基底の有理距離平行移動独立性を有する集合に適用可能である
特に、ハーメル基底にも適用できる
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:16:36.01 udQktcvb.net
「超越基底Sは、閉集合」を言えれば良いが、はっきりしない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルベーグ測度
Rn の開集合や閉集合(参考:距離空間)はルベーグ可測である。
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:20:46.91 udQktcvb.net
>>108 補足
１のV(Si), V(S)は、ルベーグ測度を表す
115:１３２人目の素数さん
15/12/03 22:33:10.74 2V8kp7An.net
>>103
>７．よって、超越基底Sは零集合である。 ∵-εからεの区間に存在する超越基底Sの測度は、各区間Biの測度の可算和に等しいから。
ここがダメだと思う。先週議論したことと同じだ。
話を開区間I(ε) に含まれるSに限定しよう。
そうして>>108の第1段～6段をスキップしよう。
I(ε)は可算個の半開区間Biに分割できる。
よって可算個Biの和だから測度は0だ。
・・・とはならないよね。
Sは非可算だから、測度が0に収束する可算の半開区間では覆えない。
116:112
15/12/03 22:38:37.63 2V8kp7An.net
> Sは非可算だから、測度が0に収束する可算の半開区間では覆えない。
訂正→『測度が0に収束する可算の半開区間では覆えることが証明できていない』
先週話したようにカントール集合のような特殊性（コンパクト）があれば話は楽だ。
しかし超越基底からはそういう良い性質を抽出できないんだよね。
117:112
15/12/03 22:39:41.95 2V8kp7An.net
>>113
ah..日本語が変だが許してくれ。スレ汚してすまんかった。
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:03:43.41 udQktcvb.net
>>112
どうも。スレ主です。
リンク違いかな？ >>103→>>108
先週議論したことと同じではないよ。（＾＾；
”そうして>>108の第1段～6段をスキップしよう。”は、乱暴だよ
特に、「５．このようにして、平行移動させても、各s∈Sは一致しない（重ならない）。（理由は上記１に同じ）」に注目してほしい
この性質を持つのは、Sが基底だからだ
単なる半開区間は、この性質を持っていない（つまり、かさなる）（＾＾；
119:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:08:19.47 udQktcvb.net
西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) が面白かった
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesgue 積分 (学部学生向け) Nishitani Tatsuo 2015
西谷 達雄 学歴
京都大学 理学部 卒業 1974年03月
京都大学 理学研究科 数学専攻 修了 理学修士 1976年03月
京都大学 理学研究科 数学専攻 単位取得満期退学 1979年03月
京都大学 理学研究科 単位取得満期退学 理学博士 1980年09月
職歴
京都大学助手（理学部） 1979年04月 ～ 1983年03月
大阪大学講師（教養部） 1983年04月 ～ 1985年03月
大阪大学助教授（教養部） 1985年04月 ～ 1990年04月
大阪大学教授（教養部） 1990年05月 ～ 1994年03月
所属組織
1996年04月01日 ～ 継続中，大阪大学 理学研究科 数学専攻，教授，専任
URLﾘﾝｸ(www.dma.jim.osaka-u.ac.jp)
120:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:15:32.92 2V8kp7An.net
>>115
スレ主、I(ε)に含まれるSに限定して考えても同じことだよ。
スレ主が得た結果と同様にI(ε)でSは重ならない。
俺が主張したいのは、
・第0段～第6段について今は議論しない。
・肝心の第7段が間違っている
ということなんだ。
スレ主は第0段から第6段で、すべての超越基底がI(ε)に収められるとした。
これはひとまず認めよう。
しかし、はじめからI(ε)に含まれるSだけを考えても、第7段は
間違っている。
その論法ではルベーグ測度0は示せていないよ。
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:18:23.20 udQktcvb.net
>>116 つづき
ミスタイプを一つ見つけた
P50 3.4 Lebesgue によるLebesgue 積分 m(E) + ￣m(Ec) ? b ? c → b ? a だな
P2序
積分の一般論の構成方法としては，一般的には，Lebesgue 方式とDaniell
方式の２通りの方法がある．Lebesgue 方式(1902) では公理論的な測度論から
出発し，そこから積分論を導く，という方法をとる．一方Daniell 方式(1918)
では，基本関数族の上における基本積分の概念から出発し，まず積分論を構
成し，積分論から測度理論を導く，という方法をとる．ここではDaniell 方
式に従ってLebesgue 積分論を解説することにする．
P10
1.3 零集合の定義と特徴づけ
定義1.3.1 Z ⊂ B とする．任意の? > 0 に対してZ が，体積の和が? を
超えない有限個，または可算個の区間B1,...,Bn,... の開核で被覆できると
き，すなわち
Z ⊂ ∪ i=1～∞ B?i ,∑i=1～∞ v(Bi) ? ε
とできるとき，Z を零集合，あるいは測度０の集合という．
まずいくつかの簡単な注意を与えておこう．定義においてZ がBi の開核で
被覆されることは本質的ではない．
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:35:22.39 udQktcvb.net
>>117
どうも。スレ主です。
いや、実は、そこは、種本があるんだ
それが、西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) P10>>118 「1.3 零集合の定義と特徴づけ」だ
まあ、一度原本にあたってみてください
そうすれば、正しいことが分かるだろう
なお、この本は、Daniell 方式(1918)というらしいが
Lebesgue 測度より先に、零集合の定義をして、その後ルベーグ積分を定義して、その後に、積分論から測度理論を導く
だから、>>108で、ルベーグ可測を仮定しないで、直接零集合を言えないかと模索したが、できなかった
特に、>>108では、「平行移動で測度が変化しない」という、Lebesgue 測度の性質を使っている
「平行移動で測度が変化しない」という性質は、”測度”抜きには言えないかも（＾＾；
123:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:41:15.35 2V8kp7An.net
>>119
スレ主は定義を誤解しているよ。
スレ主の論法だとI(ε)={-ε<x<ε}がゼロ集合になってしまう。
I(ε)に含まれている開区間もみんなゼロになってしまう。
基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
124:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:42:40.55 CWLrp95i.net
>>108は表現の仕方が稚拙で勘違いされやすい点があるが、
本質的には以下のような議論をしているものと思われる。
もし以下の意味ならば、>>108は正しい。
Sはルベーグ可測な超越基底とする。正整数Nを任意に取り、r＝1/N と置く。
S＝∪[k∈Z] S∩[kr, (k＋1)r) と分解する。右辺は互いに素だから、
m(S)＝Σ[k∈Z] m(S∩[kr, (k＋1)r)) である。mの平行移動不変性から、各k∈Zについて
m(S∩[kr, (k＋1)r))＝m(S∩[kr, (k＋1)r)－kr)＝m((S－kr)∩[0, r)) である。
よって、m(S)＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) である … (1)
ここで、
(2) ∪[k∈Z] ( (S－kr)∩[0, r) ) ⊂ [0, r)
(3) { S－kr }_{ k∈Z } は互いに素 (特に、{ (S－kr)∩[0, r) }_{ k∈Z } は互いに素)
が成り立つことが証明できる( (2)は明らかで、(3)はSが超越基底であることを使う)。
(2)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))≦r となる。
(3)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) となる。
よって、Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r))≦r となる。これと(1)から、m(S)≦r となる。
すなわち、m(S)≦1/N となる。Nは任意だったから、m(S)＝0 となる。
より一般的には、次が成り立つ。
定理 A⊂R はルベーグ可測で、{ A＋r }_{ r∈Q } は互いに素とする。このとき、m(A)＝0 である。
証明は上と同じ。
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:44:34.97 udQktcvb.net
>>119 補足
>>108で、ルベーグ可測を仮定しないで、直接零集合を言えないかと模索したが、できなかった
が、ルベーグ可測を仮定すれば、西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) P10>>118 「1.3 零集合の定義と特徴づけ」に帰着できているよ
126:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:52:09.31 2V8kp7An.net
>>121
おっちゃんお帰り。
すまんが、今は『I(ε)が任意に小さい可算個の区間では覆えない』ということについて議論を絞らせてくれ。
スレ主はゼロ集合の定義を誤解しているようだ。すぐに分かってくれるとは思うが。
127:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:55:53.85 CWLrp95i.net
>>123
俺はおっちゃんではない。
＞すまんが、今は『I(ε)が任意に小さい可算個の区間では覆えない』ということについて議論を絞らせてくれ。
その話は誤答おじさんがやっていた論法であり、>>108はそのような議論をしていない。
>>108でやっているのは、超越基底 S⊂[－1, 1] を幅rの区間で分割して平行移動して
[－r, r] の中に集めたということ。集めても重複が全くない(超越基底の性質)ことが大切で、
これによって m(S)≦r (この場合は m(S)≦2r か) が出る。rは任意だから m(S)＝0 となる。
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:56:27.36 udQktcvb.net
>>120
>基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
ちょっと勘違いしているか、表現がおかしいと思う
129:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:59:02.19 2V8kp7An.net
うむ、俺が間違っていた。スレ主、教えてくれた方（メンターだろう）、すまなかった。
任意のrに押し込めるという重要なポイントを完全に読み飛ばしていた。
130:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:01:37.54 Y29+qY7P.net
もしよければ>>103についてメンターにコメントを伺いたい。
Q(S)の測度に関することを何でもよいので。
131:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:07:21.61 RzONiyCo.net
>>127
定理1 RのQ上の超越基底は、もしルベーグ可測ならばゼロ集合である。
定理2 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ可測なものが存在する。
定理3 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ非可測なものが存在する。
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
(オマケ 定理5 体 K⊂R であって、ルベーグ非可測なものが存在する。)
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。
132:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:12:44.79 Y29+qY7P.net
どうもありがとう。
定理4は非常に面白い。
代数従属（"代数的に従属"をこう略していいのか知らないが）な超越数が1つでもあれば、
Q(S)は非可測、もしくはゼロ集合であると理解した。
代数従属な元が1個だとしたら、感覚的にはゼロ集合であってほしくないが、どうなんだろう。
興味は尽きない。
133:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:25:04.42 Y29+qY7P.net
>>129
>代数従属な元が1個だとしたら、
読み返して気づいたが、センスの無い仮定だった。
1個だけ従属になるようなSは取れないというのが真かもしれないな。
Q(S)がゼロ集合になるかもしれない、というのは
Sについて多くを知らないことの裏返しのような気もする。
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 06:39:27.01 iKyM1/y1.net
>>128
どうも。スレ主です。
これ面白いですね。
すぐには理解できないが（＾＾；
135:１３２人目の素数さん
15/12/04 07:55:37.12 HIBSdSAM.net
>>104
>ガロア理論の頂を踏むという本を買ってみたが後半理解不能。
結局、
１．読んだ人がガロア理論を理解するための準備ができてない
２．著者自身がガロア理論を、そしてそれを理解するということがどういうことかをわかってない
ということ。
たとえば、「ガロア理論の基本定理」が何かを徹底的に理解するだけでもかなり違う。
これは、どちらかというと、１．の問題。
体論、群論の整理（記述）ができてないのは、どちらかというと２．の問題。
これができてないのに、応用（＝代数方程式の代数的可解性の条件）が理解
できないのは当たり前。
あなただけの問題ではない、著書著者にも問題がある。
136:１３２人目の素数さん
15/12/04 08:15:14.45 rW5UfAym.net
>>132
箇条書きにしても無内容なレスは無内容だなあ
137:１３２人目の素数さん
15/12/04 08:18:58.72 rW5UfAym.net
>>128-130
いっぺん本物の専門家にメールかなんかで相談してみたらいいのに。
みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？
まぁ濃度なんてあんまり実用性がない概念にいつまでもしがみついてこれで証明になる！って威張ってる方がおかしいんだろうけど。
138:１３２人目の素数さん
15/12/04 13:56:48.31 waatPpKT.net
>>132
↑
どこの馬の骨ともわからん人がどこの馬の骨ともわからん人の書き込みに対して、
事実も論拠も示さずにエラそうに結論付ける、2ちゃんによくいる狂人タイプ。
139:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:20:59.33 8rijlue2.net
>>134
> みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？
何を指して大空振りと言ってるんだ？
140:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:38:16.41 BBnFe7io.net
カオス理論
141:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:51:38.85 u9qoBMX/.net
正規部分群もイデアルもわかってない馬の骨だよ
強烈だよ
142:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:55:20.54 rW5UfAym.net
もっとこまごまとした修正で治せるわけがない小手先の論証ごっこがどっさりか。
143:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:00:50.03 8rijlue2.net
>正規部分群もイデアルもわかってない馬の骨だよ
それはそれで周りが楽しんでスレが伸びるんだからいいじゃないの。
スレ主は数学科卒ではないようだから知識が怪しいところも多いだろうよ。
144:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:06:48.61 8rijlue2.net
>>139
>もっとこまごまとした修正で治せるわけがない小手先の論証ごっこがどっさりか。
気を悪くしたらすまんが、さっきから何を言ってるのか分からんよ。
"もっと"はどこにかかるんだ？最後の"どっさり"にかかるのか？
"小手先の論証ごっこ"というのは、超越基底の話？それ以前の話題も含んでいるのか？
>>134の大空振りってのは何についての話だったんだ？超越基底の測度について？Q(S)の測度について？
145:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:12:40.18 rW5UfAym.net
濃度論使ったつもりの証明もどきには>>141が感じる疑問よりどっさり疑問があるが馬鹿らしいので列挙しない。
146:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:14:13.27 rW5UfAym.net
そういう疑問を各個撃破しても根本がおかしい議論は直せない。
147:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:17:10.66 rW5UfAym.net
しいていえば同じような証明法をやってる実際の似た論文ネットから拾ってくる程度すれば納得するが
濃度論振り回して証明しますたっていうの活字や論文で見たことがない。
148:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:17:15.25 8rijlue2.net
>>142
>濃度論使ったつもりの証明もどきには>>141が感じる疑問よりどっさり疑問があるが馬鹿らしいので列挙しない。
濃度の話ということは、最近の超越基底の測度の話ではないということか。
149:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:20:31.35 rW5UfAym.net
俺の感覚だとこういうのはボレル集合とか後せいぜいちょこっと超越基底が出てくるような話になると思われ
150:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:28:02.95 8rijlue2.net
>>146
>俺の感覚だとこういうのはボレル集合とか後せいぜいちょこっと超越基底が出てくるような話になると思われ
>>145で分かったつもりになったが、また貴方が何を言っているのか分からなくなった。
貴方にとってスレ主は間違いだらけ、取るに足らない奴だと言いたいのだけは分かったよ。
151:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:32:02.22 u9qoBMX/.net
数学科卒じゃないから正規部分群もイデアルもわかってないのはいいが、
ならガロア理論語るな と言いたい
152:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:32:13.40 rW5UfAym.net
まぁガロア理論標榜してるのはもうやめろって感じだな。イカさまガロア理論の人気に便乗した基礎論厨の亜種の低レベルって感じ。
153:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:36:19.52 rW5UfAym.net
まぁネットで拾ってくるしか能がないのに似たような論証やってる論文も拾ってこれないってことは相当怪しい論証ごっこしてる自覚ぐらいあるんじゃないの？
154:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:35:01.55 xWy1Dtoe.net
一句「評論家、分かったようなふりをする」
下記で、クラオタ→スウオタ、音楽→数学に置き換えても、意味が通るかな・・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.uncyclopedia.info)
評論家 - アンサイクロペディア
コラムという名の評論を書く。もちろん、自分の好き嫌いを言いたい放題書くだけである。
評論家にとって一番楽なのは夕刊紙の評論である。なんせ悪口だけを書けば十分だからである。それで主な購読層である窓際サラリーマンが喜ぶのだから楽な仕事である。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
なんでクラオタは音楽が分かってないくせに、分かったフリをして偉そうにするので...
ID非公開さん
2015/6/1118:36:28
なんでクラオタは音楽が分かってないくせに、分かったフリをして偉そうにするのですか？
？
155:クラオタが音楽(のようなもの)を聞いて、「深みがある」「精神性が高い」なんて語っているが、実際にクラオタが求めているものは「浅ましくて」「通俗性が高い」音楽(のようなもの)でしょう？
156:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:37:48.88 iKyM1/y1.net
試合が終わって、結果が分かってから、「あそこでバントをして点が取れなかった。もっと積極的に攻めて行くべきだったとか」
あるいは、その逆をいう。結果が出てからいうのは、簡単だよね。自分が分かって無くてもなんでも言える（＾＾；
157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:45:23.18 xWy1Dtoe.net
前スレでの新作問題が、まだ１題残っているよ。下記だ
ID:u9qoBMX/くんと、ID:rW5UfAymくんね、指名しておくよ
すらっと解ければ、私スレ主より上と認める（＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:312番)
312 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/03(火) 07:58:25.71 ID:E0ZOM897 [3/7]
>>173 ”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>>202 上記を、可算公理の背理法に寄らず証明せよ
158:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:52:24.50 xWy1Dtoe.net
ところで、>>128について
みんな、あっさり認めるのか？（＾＾；
数学では証明が無ければ、真と認めないとか、大口叩くけど
おまいら、証明分かって言っているのか？（＾＾
ID:RzONiyCoさんに、証明とか出典とか教えて貰わなくていいのか？
自分で証明できるとでもいうつもりか？（＾＾；
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:59:31.36 xWy1Dtoe.net
さらに、>>128について
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。
（補足）
「定理」と大上段に振り上げておいて、定理で述べたことは、そういう例は「どれも知らない」という
それで納得するのが、数学科か？ 数学科って面白いところだね・・・
おまいら、試されているんじゃないのか？ （＾＾；