15/12/03 23:42:40.55 CWLrp95i.net
>>108は表現の仕方が稚拙で勘違いされやすい点があるが、
本質的には以下のような議論をしているものと思われる。
もし以下の意味ならば、>>108は正しい。
Sはルベーグ可測な超越基底とする。正整数Nを任意に取り、r＝1/N と置く。
S＝∪[k∈Z] S∩[kr, (k＋1)r) と分解する。右辺は互いに素だから、
m(S)＝Σ[k∈Z] m(S∩[kr, (k＋1)r)) である。mの平行移動不変性から、各k∈Zについて
m(S∩[kr, (k＋1)r))＝m(S∩[kr, (k＋1)r)－kr)＝m((S－kr)∩[0, r)) である。
よって、m(S)＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) である … (1)
ここで、
(2) ∪[k∈Z] ( (S－kr)∩[0, r) ) ⊂ [0, r)
(3) { S－kr }_{ k∈Z } は互いに素 (特に、{ (S－kr)∩[0, r) }_{ k∈Z } は互いに素)
が成り立つことが証明できる( (2)は明らかで、(3)はSが超越基底であることを使う)。
(2)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))≦r となる。
(3)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) となる。
よって、Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r))≦r となる。これと(1)から、m(S)≦r となる。
すなわち、m(S)≦1/N となる。Nは任意だったから、m(S)＝0 となる。
より一般的には、次が成り立つ。
定理 A⊂R はルベーグ可測で、{ A＋r }_{ r∈Q } は互いに素とする。このとき、m(A)＝0 である。
証明は上と同じ。