15/11/30 16:02:48.37 rA4BNgs0.net
以下は俺の妄想なので読み流してくれ。
参考になれば参考にしてくれ。
第3段で、RはQ(S)の代数拡大体ということからQ(S)はRの真部分集合と結論づけているけど、これは正確ではないよ。
Q上の超越数がすべてQ上代数的に独立なら、SはQ上の超越数をすべて含むのでR＝Q(S)。Q(S)の測度はRに等しくなる。
もちろん幾つかの超越数は代数的に従属で、実際には真部分集合なんだろうけど。
言いたいことは、超越数の代数的な独立性を十分知ってかからないと
Q(S)＝0なんて到底示せやしないのでは、ってこと。
上の例はQ(S)の測度が無限大になる可能性を示している。
ゼロを示すにはよほどの理由付けがないといけない。
103:１３２人目の素数さん
15/11/30 17:10:50.94 c1Picbtv.net
>>88
>(+∞)・0というのは、つまるところ測度ゼロの点を可算無限個足し合わせたという意味か？
という俺の質問に対して、点ではなくKを被覆する非可算の右半開区間であると答えてくれたんだったな。
混乱させてしまい、すまなかった。
では定義どおり半開区間を考える。
Kを可算個で覆う半開区間の測度を足し合わせる。
非可算ではなく可算個の半開区間でKを覆ったとき、
『各々の半開区間は測度0』が言えるのだろうか？
それが言えないと
>(+∞)・0＝0
は言えないのでは？
104:１３２人目の素数さん
15/12/01 16:39:59.17 baxAOB/Z.net
>>98
昨日の話はチャラか。まあ、そうだわな�
105:B変だと思っていた。本題。 ＞では定義どおり半開区間を考える。 ＞Kを可算個で覆う半開区間の測度を足し合わせる。 ＞非可算ではなく可算個の半開区間でKを覆ったとき、 ＞『各々の半開区間は測度0』が言えるのだろうか？ ＞それが言えないと ＞>(+∞)・0＝0 ＞は言えないのでは？ 外測度の定義上はそうなる。 が、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。 Kの標数は0で、Kは有理数体Qを含む。従って、Kの素体Qの閉包はp進数体と 同型になる(位相はハウスドルフ位相)。つまり、Kの素体は離散的な体として扱える。 ここに、QはR上稠密で、距離空間としては完全不連結な順序体なることに注意する。 Qを素体に持つ順序体Kは card(K)＝c にもかかわらず、離散的な体として扱える。 離散的な体でないとすると、Kは局所コンパクトな位相体(位相はハウスドルフ位相)となって、 実数体(直線)Rと同じ扱いになる。つまり、card(K)＝c なのに、直線R上で順序体Kの点は 離散的に分布しているとして扱える。離散的な対象を扱う上では +∞ は可算無限の 扱いになるから、可算個の半開区間でKを覆ったとき、「(+∞)・0＝0」はいえるだろう。 もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。 単純ではなくなる。
106:１３２人目の素数さん
15/12/01 18:45:02.45 TkgkJFPp.net
>>99
>離散的な対象を扱う上では +∞ は可算無限の
>扱いになるから、可算個の半開区間でKを覆ったとき、「(+∞)・0＝0」はいえるだろう。
可算無限の+∞を問題にしているのではなくて、
半開区間の測度がすべて0なのかが問題なんだよ。
カントール集合はその構成方法から測度0が導けたけど、
Kはカントール集合と違って『開集合の補集合』で構成できるとは言えない。
（言えるというなら示さないといけない）
離散的というのはどういう意味か。
離散的な対象は可算である、というならKは非可算なので矛盾するが。
> もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。
> 単純ではなくなる。
ここがおっちゃんの証明の最重要ポイントだから、手を抜かずに頼むよ。
107:１３２人目の素数さん
15/12/02 13:03:54.23 cA2WSz5U.net
>>100
>離散的というのはどういう意味か。
>離散的な対象は可算である、というならKは非可算なので矛盾するが。
「離散的」というのは、完備ではないとか、連結ではないという意味だな。
有理数体Qは稠密で、完備ではないが、連続的な対象としても扱える。
相対的に連続と離散を対比させて使うのはよく見かけるが、稠密はどちらでもない。
＞> もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。
＞> 単純ではなくなる。
＞ここがおっちゃんの証明の最重要ポイントだから、手を抜かずに頼むよ。
直線R上での右半開区間の測度すべてを相手にするとなると、
余り公表したくなかったが、私の研究内容を晒せ、ということかな。
これをここに書くのは、よろしくないだろ。意外にも単純な話ではなくなる。
証明の重要な部分に論理の飛躍があったことになる。或いは、m(Q(S))＝0 ではなかったのか。
108:１３２人目の素数さん
15/12/03 04:59:46.11 mQy0LmD9.net
あれ？ 昨日は私(おっちゃん)宛てのレスはなしか。
もし、メンター(その他)が読んでいたらの話になるが、
前スレで気分を害したであろうメンターには、謝罪と感謝をする。
背理法の利用法を教えてくれたにもかかわらず、
気分を害することを書き、大変申し訳ありませんでした。
おかげで証明の真偽を確認する方法を身に付けられそうです。
背理法を使うときも含めて、論証では数学的対象を意識することの重要性が分かりました。
あと、メンターの他に、もし私のせいで気分を害したような人がいたら、
その人にも謝罪をしておきます。気分を害することを書き、誠に申し訳ありません。
私にはこれ以上よい文章は思い付きません。ウマく伝わることを祈ります。
スレ主その他の人も含め伝える。私はしばらく旅に出る。
何か1年間ここで遊んでしまったようだ。遊んでいる場合ではないので
ここから去る。遊んでいたら、研究やお勉強とかする時間がなくなる。
数学的な内容のレスとしては、>>101が私の最後のレスになると思う。
>101の続きをしても、私からのレスは多分来ないと思ってほしい。
もし話を続けるなら、このことを前提にして続けてほしい。
109:１３２人目の素数さん
15/12/03 18:46:08.55 2V8kp7An.net
>>102
>あれ？ 昨日は私(おっちゃん)宛てのレスはなしか。
>証明の重要な部分に論理の飛躍があったことになる。或いは、m(Q(S))＝0 ではなかったのか。
飛躍に気づいてもらえたようなので特に返信はしなかったよ。
Sは可測ならゼロ集合だ。じゃあQ(S)はどうか。これは素人の俺には結構面白い問題だ。
>>97にも書いたが、Sの代数的な独立性によってはQ(S)=Rになる。測度無限大。
しかしSはゼロ集合で間違いない。
Sを高々可算のQに添加しただけで本当に測度無限大になるのか、肌感覚として疑問がある。
実は代数的に独立な超越数は従属な超越数よりも圧倒的に少なく、Q(S)の測度は0になるのかもしれない。
体に集合を添加したときに、元の体がどのように膨らむのか、自分はまだ正しい感覚が身についていない。
110:１３２人目の素数さん
15/12/03 20:54:29.85 EQwOzK69.net
ガロア理論の頂を踏むという本を買ってみたが後半理解不能。
うーん。
111:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:23:20.52 udQktcvb.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、どうも
みなさん、どうも
今週は、変則です
112:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:35:22.18 udQktcvb.net
>>81
>すまんが>>64の２～３から測度不変が導かれるというのは理解できなかった。
推論が間違いでした（＾＾；
>>64の「超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる＊＊）って」が×
（相似形で）圧縮は、濃度は変えないが、測度は変える可能性大だな
測度は平行移動だね。下記のヴィタリ集合の筋が参考になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v ? r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算
V の構成から、平行移動による集合 V_k=V+q_k=\{v+q_k : v ∈ V}, k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:41:02.33 udQktcvb.net
>>103
>Sは可測ならゼロ集合だ
それは、平行移動で証明できた。「Sは可測」は、まだ証明できていないが
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:56:05.99 udQktcvb.net
>>107
実数の超越基底Sが、ルベーグ可測なら零集合であることの証明
（命題）実数の超越基底Sは、ルベーグ可測なら零集合である
（証明）
０．超越基底Sの各要素は、定義より代数的に独立である。従って、代数的操作(四則)で一致することはない。特に、以下で使う加減操作で一致しないことを注意しておく*)
*)代数独立基底における有理距離平行移動独立性と名付ける（定義そのものだが、明示的表現として名付ける。）
１．超越基底Sの各要素の整数部分をゼロとすることで、－１から１の区間に集めることができる。これは、∀s∈Sで、sの整数部分を取り、その逆符号の数をsに加える操作に等しいので、異なる各sが一致することはない。
数学的には、（正の）整数からなる区間[i,i+1]を、平行移動で、[0,+1]に集めることに等しい。（負の数は、符合が逆転し、[-1,0]に集めることに等しい。）
各区間のViとして、Vi=V(Si) Siは、[i,i+1]に含まれるSの要素とすると、V(S)=ΣVi（可算和）となる。
２．区間内で０の回りの小さな-εからεの区間を考える。一般性を失わずに、ε＝r（有理数）と取ることができる
３．[－１,１]をrで分割する。具体的には、[－１,－１+2r],[－１+2r,－１+4r],・・・[－１+2(i-1)r,－１+2ir]・・・[－１+2(n-1)r,1]。 ここにnは1<2nrとなる最小の整数、iは１からn-1までの整数
４．各[－１+2(i-1)r,－１+2ir]の区間を、Biとする。区間Biを(2i+1)rだけ平行移動させることで、０の回りの-rからrの区間に入れることができる。
なお、各区間Biの境界には、超越基底の要素sは存在しない。∵境界は有理数であり、sは超越数であるから。
（数学的には、上記１～４の操作は、数直線を、有理数からなる区間[ir,(i+1)r]に分割し、その可算和を取る操作と同じである。（繰り返しになるが、負の場合は符号反転する））
５．このようにして、平行移動させても、各s∈Sは一致しない（重ならない）。（理由は上記１に同じ）
６．平行移動によって、測度は変わらないから、－１から１の区間に集めた超越基底Sを、測度を変えずに、-ε（=r）からε（=r）の区間に入れることができた
７．よって、超越基底Sは零集合である。 ∵-εからεの区間に存在する超越基底Sの測度は、各区間Biの測度の可算和に等しいから。
QED
115:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:01:06.24 udQktcvb.net
上記証明で、超越基底Sの有理距離平行移動独立性のみを使った。
従って、上記証明は、任意の代数独立基底の有理距離平行移動独立性を有する集合に適用可能である
特に、ハーメル基底にも適用できる
116:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:16:36.01 udQktcvb.net
「超越基底Sは、閉集合」を言えれば良いが、はっきりしない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルベーグ測度
Rn の開集合や閉集合(参考:距離空間)はルベーグ可測である。
117:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:20:46.91 udQktcvb.net
>>108 補足
１のV(Si), V(S)は、ルベーグ測度を表す
118:１３２人目の素数さん
15/12/03 22:33:10.74 2V8kp7An.net
>>103
>７．よって、超越基底Sは零集合である。 ∵-εからεの区間に存在する超越基底Sの測度は、各区間Biの測度の可算和に等しいから。
ここがダメだと思う。先週議論したことと同じだ。
話を開区間I(ε) に含まれるSに限定しよう。
そうして>>108の第1段～6段をスキップしよう。
I(ε)は可算個の半開区間Biに分割できる。
よって可算個Biの和だから測度は0だ。
・・・とはならないよね。
Sは非可算だから、測度が0に収束する可算の半開区間では覆えない。
119:112
15/12/03 22:38:37.63 2V8kp7An.net
> Sは非可算だから、測度が0に収束する可算の半開区間では覆えない。
訂正→『測度が0に収束する可算の半開区間では覆えることが証明できていない』
先週話したようにカントール集合のような特殊性（コンパクト）があれば話は楽だ。
しかし超越基底からはそういう良い性質を抽出できないんだよね。
120:112
15/12/03 22:39:41.95 2V8kp7An.net
>>113
ah..日本語が変だが許してくれ。スレ汚してすまんかった。
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:03:43.41 udQktcvb.net
>>112
どうも。スレ主です。
リンク違いかな？ >>103→>>108
先週議論したことと同じではないよ。（＾＾；
”そうして>>108の第1段～6段をスキップしよう。”は、乱暴だよ
特に、「５．このようにして、平行移動させても、各s∈Sは一致しない（重ならない）。（理由は上記１に同じ）」に注目してほしい
この性質を持つのは、Sが基底だからだ
単なる半開区間は、この性質を持っていない（つまり、かさなる）（＾＾；
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:08:19.47 udQktcvb.net
西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) が面白かった
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesgue 積分 (学部学生向け) Nishitani Tatsuo 2015
西谷 達雄 学歴
京都大学 理学部 卒業 1974年03月
京都大学 理学研究科 数学専攻 修了 理学修士 1976年03月
京都大学 理学研究科 数学専攻 単位取得満期退学 1979年03月
京都大学 理学研究科 単位取得満期退学 理学博士 1980年09月
職歴
京都大学助手（理学部） 1979年04月 ～ 1983年03月
大阪大学講師（教養部） 1983年04月 ～ 1985年03月
大阪大学助教授（教養部） 1985年04月 ～ 1990年04月
大阪大学教授（教養部） 1990年05月 ～ 1994年03月
所属組織
1996年04月01日 ～ 継続中，大阪大学 理学研究科 数学専攻，教授，専任
URLﾘﾝｸ(www.dma.jim.osaka-u.ac.jp)
123:
124:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:15:32.92 2V8kp7An.net
>>115
スレ主、I(ε)に含まれるSに限定して考えても同じことだよ。
スレ主が得た結果と同様にI(ε)でSは重ならない。
俺が主張したいのは、
・第0段～第6段について今は議論しない。
・肝心の第7段が間違っている
ということなんだ。
スレ主は第0段から第6段で、すべての超越基底がI(ε)に収められるとした。
これはひとまず認めよう。
しかし、はじめからI(ε)に含まれるSだけを考えても、第7段は
間違っている。
その論法ではルベーグ測度0は示せていないよ。
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:18:23.20 udQktcvb.net
>>116 つづき
ミスタイプを一つ見つけた
P50 3.4 Lebesgue によるLebesgue 積分 m(E) + ￣m(Ec) ? b ? c → b ? a だな
P2序
積分の一般論の構成方法としては，一般的には，Lebesgue 方式とDaniell
方式の２通りの方法がある．Lebesgue 方式(1902) では公理論的な測度論から
出発し，そこから積分論を導く，という方法をとる．一方Daniell 方式(1918)
では，基本関数族の上における基本積分の概念から出発し，まず積分論を構
成し，積分論から測度理論を導く，という方法をとる．ここではDaniell 方
式に従ってLebesgue 積分論を解説することにする．
P10
1.3 零集合の定義と特徴づけ
定義1.3.1 Z ⊂ B とする．任意の? > 0 に対してZ が，体積の和が? を
超えない有限個，または可算個の区間B1,...,Bn,... の開核で被覆できると
き，すなわち
Z ⊂ ∪ i=1～∞ B?i ,∑i=1～∞ v(Bi) ? ε
とできるとき，Z を零集合，あるいは測度０の集合という．
まずいくつかの簡単な注意を与えておこう．定義においてZ がBi の開核で
被覆されることは本質的ではない．
126:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:35:22.39 udQktcvb.net
>>117
どうも。スレ主です。
いや、実は、そこは、種本があるんだ
それが、西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) P10>>118 「1.3 零集合の定義と特徴づけ」だ
まあ、一度原本にあたってみてください
そうすれば、正しいことが分かるだろう
なお、この本は、Daniell 方式(1918)というらしいが
Lebesgue 測度より先に、零集合の定義をして、その後ルベーグ積分を定義して、その後に、積分論から測度理論を導く
だから、>>108で、ルベーグ可測を仮定しないで、直接零集合を言えないかと模索したが、できなかった
特に、>>108では、「平行移動で測度が変化しない」という、Lebesgue 測度の性質を使っている
「平行移動で測度が変化しない」という性質は、”測度”抜きには言えないかも（＾＾；
127:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:41:15.35 2V8kp7An.net
>>119
スレ主は定義を誤解しているよ。
スレ主の論法だとI(ε)={-ε<x<ε}がゼロ集合になってしまう。
I(ε)に含まれている開区間もみんなゼロになってしまう。
基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
128:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:42:40.55 CWLrp95i.net
>>108は表現の仕方が稚拙で勘違いされやすい点があるが、
本質的には以下のような議論をしているものと思われる。
もし以下の意味ならば、>>108は正しい。
Sはルベーグ可測な超越基底とする。正整数Nを任意に取り、r＝1/N と置く。
S＝∪[k∈Z] S∩[kr, (k＋1)r) と分解する。右辺は互いに素だから、
m(S)＝Σ[k∈Z] m(S∩[kr, (k＋1)r)) である。mの平行移動不変性から、各k∈Zについて
m(S∩[kr, (k＋1)r))＝m(S∩[kr, (k＋1)r)－kr)＝m((S－kr)∩[0, r)) である。
よって、m(S)＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) である … (1)
ここで、
(2) ∪[k∈Z] ( (S－kr)∩[0, r) ) ⊂ [0, r)
(3) { S－kr }_{ k∈Z } は互いに素 (特に、{ (S－kr)∩[0, r) }_{ k∈Z } は互いに素)
が成り立つことが証明できる( (2)は明らかで、(3)はSが超越基底であることを使う)。
(2)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))≦r となる。
(3)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) となる。
よって、Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r))≦r となる。これと(1)から、m(S)≦r となる。
すなわち、m(S)≦1/N となる。Nは任意だったから、m(S)＝0 となる。
より一般的には、次が成り立つ。
定理 A⊂R はルベーグ可測で、{ A＋r }_{ r∈Q } は互いに素とする。このとき、m(A)＝0 である。
証明は上と同じ。
129:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:44:34.97 udQktcvb.net
>>119 補足
>>108で、ルベーグ可測を仮定しないで、直接零集合を言えないかと模索したが、できなかった
が、ルベーグ可測を仮定すれば、西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) P10>>118 「1.3 零集合の定義と特徴づけ」に帰着できているよ
130:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:52:09.31 2V8kp7An.net
>>121
おっちゃんお帰り。
すまんが、今は『I(ε)が任意に小さい可算個の区間では覆えない』ということについて議論を絞らせてくれ。
スレ主はゼロ集合の定義を誤解しているようだ。すぐに分かってくれるとは思うが。
131:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:55:53.85 CWLrp95i.net
>>123
俺はおっちゃんではない。
＞すまんが、今は『I(ε)が任意に小さい可算個の区間では覆えない』ということについて議論を絞らせてくれ。
その話は誤答おじさんがやっていた論法であり、>>108はそのような議論をしていない。
>>108でやっているのは、超越基底 S⊂[－1, 1] を幅rの区間で分割して平行移動して
[－r, r] の中に集めたということ。集めても重複が全くない(超越基底の性質)ことが大切で、
これによって m(S)≦r (この場合は m(S)≦2r か) が出る。rは任意だから m(S)＝0 となる。
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:56:27.36 udQktcvb.net
>>120
>基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
ちょっと勘違いしているか、表現がおかしいと思う
133:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:59:02.19 2V8kp7An.net
うむ、俺が間違っていた。スレ主、教えてくれた方（メンターだろう）、すまなかった。
任意のrに押し込めるという重要なポイントを完全に読み飛ばしていた。
134:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:01:37.54 Y29+qY7P.net
もしよければ>>103についてメンターにコメントを伺いたい。
Q(S)の測度に関することを何でもよいので。
135:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:07:21.61 RzONiyCo.net
>>127
定理1 RのQ上の超越基底は、もしルベーグ可測ならばゼロ集合である。
定理2 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ可測なものが存在する。
定理3 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ非可測なものが存在する。
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
(オマケ 定理5 体 K⊂R であって、ルベーグ非可測なものが存在する。)
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。
136:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:12:44.79 Y29+qY7P.net
どうもありがとう。
定理4は非常に面白い。
代数従属（"代数的に従属"をこう略していいのか知らないが）な超越数が1つでもあれば、
Q(S)は非可測、もしくはゼロ集合であると理解した。
代数従属な元が1個だとしたら、感覚的にはゼロ集合であってほしくないが、どうなんだろう。
興味は尽きない。
137:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:25:04.42 Y29+qY7P.net
>>129
>代数従属な元が1個だとしたら、
読み返して気づいたが、センスの無い仮定だった。
1個だけ従属になるようなSは取れないというのが真かもしれないな。
Q(S)がゼロ集合になるかもしれない、というのは
Sについて多くを知らないことの裏返しのような気もする。
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 06:39:27.01 iKyM1/y1.net
>>128
どうも。スレ主です。
これ面白いですね。
すぐには理解できないが（＾＾；
139:１３２人目の素数さん
15/12/04 07:55:37.12 HIBSdSAM.net
>>104
>ガロア理論の頂を踏むという本を買ってみたが後半理解不能。
結局、
１．読んだ人がガロア理論を理解するための準備ができてない
２．著者自身がガロア理論を、そしてそれを理解するということがどういうことかをわかってない
ということ。
たとえば、「ガロア理論の基本定理」が何かを徹底的に理解するだけでもかなり違う。
これは、どちらかというと、１．の問題。
体論、群論の整理（記述）ができてないのは、どちらかというと２．の問題。
これができてないのに、応用（＝代数方程式の代数的可解性の条件）が理解
できないのは当たり前。
あなただけの問題ではない、著書著者にも問題がある。
140:１３２人目の素数さん
15/12/04 08:15:14.45 rW5UfAym.net
>>132
箇条書きにしても無内容なレスは無内容だなあ
141:１３２人目の素数さん
15/12/04 08:18:58.72 rW5UfAym.net
>>128-130
いっぺん本物の専門家にメールかなんかで相談してみたらいいのに。
みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？
まぁ濃度なんてあんまり実用性がない概念にいつまでもしがみついてこれで証明になる！って威張ってる方がおかしいんだろうけど。
142:１３２人目の素数さん
15/12/04 13:56:48.31 waatPpKT.net
>>132
↑
どこの馬の骨ともわからん人がどこの馬の骨ともわからん人の書き込みに対して、
事実も論拠も示さずにエラそうに結論付ける、2ちゃんによくいる狂人タイプ。
143:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:20:59.33 8rijlue2.net
>>134
> みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？
何を指して大空振りと言ってるんだ？
144:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:38:16.41 BBnFe7io.net
カオス理論
145:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:51:38.85 u9qoBMX/.net
正規部分群もイデアルもわかってない馬の骨だよ
強烈だよ
146:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:55:20.54 rW5UfAym.net
もっとこまごまとした修正で治せるわけがない小手先の論証ごっこがどっさりか。
147:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:00:50.03 8rijlue2.net
>正規部分群もイデアルもわかってない馬の骨だよ
それはそれで周りが楽しんでスレが伸びるんだからいいじゃないの。
スレ主は数学科卒ではないようだから知識が怪しいところも多いだろうよ。
148:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:06:48.61 8rijlue2.net
>>139
>もっとこまごまとした修正で治せるわけがない小手先の論証ごっこがどっさりか。
気を悪くしたらすまんが、さっきから何を言ってるのか分からんよ。
"もっと"はどこにかかるんだ？最後の"どっさり"にかかるのか？
"小手先の論証ごっこ"というのは、超越基底の話？それ以前の話題も含んでいるのか？
>>134の大空振りってのは何についての話だったんだ？超越基底の測度について？Q(S)の測度について？
149:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:12:40.18 rW5UfAym.net
濃度論使ったつもりの証明もどきには>>141が感じる疑問よりどっさり疑問があるが馬鹿らしいので列挙しない。
150:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:14:13.27 rW5UfAym.net
そういう疑問を各個撃破しても根本がおかしい議論は直せない。
151:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:17:10.66 rW5UfAym.net
しいていえば同じような証明法をやってる実際の似た論文ネットから拾ってくる程度すれば納得するが
濃度論振り回して証明しますたっていうの活字や論文で見たことがない。
152:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:17:15.25 8rijlue2.net
>>142
>濃度論使ったつもりの証明もどきには>>141が感じる疑問よりどっさり疑問があるが馬鹿らしいので列挙しない。
濃度の話ということは、最近の超越基底の測度の話ではないということか。
153:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:20:31.35 rW5UfAym.net
俺の感覚だとこういうのはボレル集合とか後せいぜいちょこっと超越基底が出てくるような話になると思われ
154:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:28:02.95 8rijlue2.net
>>146
>俺の感覚だとこういうのはボレル集合とか後せいぜいちょこっと超越基底が出てくるような話になると思われ
>>145で分かったつもりになったが、また貴方が何を言っているのか分からなくなった。
貴方にとってスレ主は間違いだらけ、取るに足らない奴だと言いたいのだけは分かったよ。
155:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:32:02.22 u9qoBMX/.net
数学科卒じゃないから正規部分群もイデアルもわかってないのはいいが、
ならガロア理論語るな と言いたい
156:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:32:13.40 rW5UfAym.net
まぁガロア理論標榜してるのはもうやめろって感じだな。イカさまガロア理論の人気に便乗した基礎論厨の亜種の低レベルって感じ。
157:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:36:19.52 rW5UfAym.net
まぁネットで拾ってくるしか能がないのに似たような論証やってる論文も拾ってこれないってことは相当怪しい論証ごっこしてる自覚ぐらいあるんじゃないの？
158:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:35:01.55 xWy1Dtoe.net
一句「評論家、分かったようなふりをする」
下記で、クラオタ→スウオタ、音楽→数学に置き換えても、意味が通るかな・・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.uncyclopedia.info)
評論家 - アンサイクロペディア
コラムという名の評論を書く。もちろん、自分の好き嫌いを言いたい放題書くだけである。
評論家にとって一番楽なのは夕刊紙の評論である。なんせ悪口だけを書けば十分だからである。それで主な購読層である窓際サラリーマンが喜ぶのだから楽な仕事である。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
なんでクラオタは音楽が分かってないくせに、分かったフリをして偉そうにするので...
ID非公開さん
2015/6/1118:36:28
なんでクラオタは音楽が分かってないくせに、分かったフリをして偉そうにするのですか？
？
クラオタが音楽(のようなもの)を聞いて、「深みがある」「精神性が高い」なんて語っているが、実際にクラオタが求めているものは「浅ましくて」「通俗性が高い」音楽(のようなもの)でしょう？
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:37:48.88 iKyM1/y1.net
試合が終わって、結果が分かってから、「あそこでバントをして点が取れなかった。もっと積極的に攻めて行くべきだったとか」
あるいは、その逆をいう。結果が出てからいうのは、簡単だよね。自分が分かって無くてもなんでも言える（＾＾；
160:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:45:23.18 xWy1Dtoe.net
前スレでの新作問題が、まだ１題残っているよ。下記だ
ID:u9qoBMX/くんと、ID:rW5UfAymくんね、指名しておくよ
すらっと解ければ、私スレ主より上と認める（＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:312番)
312 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/03(火) 07:58:25.71 ID:E0ZOM897 [3/7]
>>173 ”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>>202 上記を、可算公理の背理法に寄らず証明せよ
161:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:52:24.50 xWy1Dtoe.net
ところで、>>128について
みんな、あっさり認めるのか？（＾＾；
数学では証明が無ければ、真と認めないとか、大口叩くけど
おまいら、証明分かって言っているのか？（＾＾
ID:RzONiyCoさんに、証明とか出典とか教えて貰わなくていいのか？
自分で証明できるとでもいうつもりか？（＾＾；
162:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:59:31.36 xWy1Dtoe.net
さらに、>>128について
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。
（補足）
「定理」と大上段に振り上げておいて、定理で述べたことは、そういう例は「どれも知らない」という
それで納得するのが、数学科か？ 数学科って面白いところだね・・・
おまいら、試されているんじゃないのか？ （＾＾；
163:１３２人目の素数さん
15/12/05 00:41:41.55 vNSk+5iQ.net
嘘つきは土日の始まり
164:１３２人目の素数さん
15/12/05 00:50:22.28 g8DDoHnr.net
>>154-155
> ID:RzONiyCoさんに、証明とか出典とか教えて貰わなくていいのか？
> 自分で証明できるとでもいうつもりか？（＾＾；
この定理4の捉え方が貴方と俺では違うのだと思う。
> 「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」
この3通りに限られること自体は驚くことではない。
Q(S)が可測だとしよう。自然に考えてm(Q(S))が0以外の有限な値を取るとは考え�
165:轤黷ﾈい。 非可測なSが存在することは俺にとっては既知。であればQ(S)が非可測になる可能性もあるだろう。 結局可能性はこの3通りだというのは俺でもわかる。 俺が驚いたのは、聡明なメンターでさえQ(S)がゼロ集合になる可能性を否定しなかったことだ。 >>97で書いたような素人の単純な疑問が未解決だということに驚いたんだよ。 >「定理」と大上段に振り上げておいて、定理で述べたことは、そういう例は「どれも知らない」という > それで納得するのが、数学科か？ 数学科って面白いところだね・・・ > おまいら、試されているんじゃないのか？ （＾＾； 超越数の代数的独立性の判定は難しい。 そもそも実数から超越数を拾い上げてくること自体が難しい。 したがって超越基底の具体的な例を挙げられないことくらい想像の範囲内だ。
166:１３２人目の素数さん
15/12/05 02:24:28.51 g8DDoHnr.net
>>157
3通りは自明だと書いてしまったが
『可測かつゼロ集合でなければQ(S)=R』
はたしかに証明すべきことだな。すぐには分からない。
>>129にも書いたが、命題を言い換えると下のようになる。
『超越数がすべて代数的独立ならばQ(S)=R、そうでなければゼロ集合か非可測』
1個でも代数的従属な超越数があればゼロ集合か非可測だ。つまり
『代数的従属な超越数の存在は知られていない』
ということになるかと思う。
167:158
15/12/05 02:25:57.15 g8DDoHnr.net
>『代数的従属な超越数の存在は知られていない』
この理解が間違っていたらどなたか指摘してほしい。
では。
sssp://o.8ch.net/1e4l.png
168:１３２人目の素数さん
15/12/05 02:29:19.63 g8DDoHnr.net
（間違えてお絵描きLOADなるボタンを押してしまった。効果がよく分からん）
169:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 06:52:18.14 eSmTZwF/.net
>>157-160
どうも。スレ主です。
メンターさんが、ちょっと引いたあと、おっちゃんの証明を読んでくれて、間違いをしてきしてくれていた方だね
みなさん、コテがないので不便だから、”TAさん”とさせてもらおう
私より、数学に詳しそうなので。（私は、自称学部３年くらいかなと思っている）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ティーチングアシスタント (Teaching Assistant)とは、大学などにおいて、担当教員の指示のもと、学生が授業の補助や運用支援を行うこと、あるいはそれを行っている学生のこと。基本的には大学院生が多い。TAとも略される。
170:１３２人目の素数さん
15/12/05 07:37:01.46 g8DDoHnr.net
>>161
>私より、数学に詳しそうなので。（私は、自称学部３年くらいかなと思っている）
そう見えたか。付け焼刃の勉強が功を奏したらしいｗ
俺はせいぜい学部2年の始まりくらいだ。
171:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 07:55:51.05 eSmTZwF/.net
>>158
>「 Q(S)＝R 」>>128
ここをちょっと突っ込ませて貰うと
１．まず復習から、普通の学部の代数学では、例えば、Qに√2を添加した拡大体Q(√2)で、代数拡大。
２．Qにπを添加した拡大体Q(π)は、超越拡大。超越基底はπで、超越次数は１
３．そして、両方を添加したQ(√2,π)という拡大体も考えられる。これも、超越基底はπで、超越次数は１
４．「超越基底は常に存在する。とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B
172:) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。」 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 ５．だから、Q(π)は純超越的であり、Q(√2,π)は純超越的ではない。 ６．ここまでは、良いだろう？ 学部で習う範囲だ ７．そして、この流れで、QからRへの体の拡大を考える。無理数を、代数的数Aと超越数Tに分けて、R＝Q+A+T。集合論として、ここまでは良いだろう ８．この流れで、「超越基底S⊂T」も良いだろう。とすると、上記の１～５の流れでは、Q(√2,・・・（代数基底）、π,・・・（超越基底）) （分かると思うが、”√2,・・・”は代数的数Aを表現する基底で、”π,・・・”は超越数Tを表現する基底。なお、代数基底という用語はないかも知れないが、ご容赦） ９．とすると、「QからRへの体の拡大は、純超越的ではない」とおもうだろ？ １０．一方、「 Q(S)＝R 」が成り立てば、「QからRへの体の拡大は、純超越的である」だ。全く逆の主張だ １１．それでみな納得してんのか？ 証明できるのか？ 追伸 とくに、ID:u9qoBMX/くんと、ID:rW5UfAymくんのご両名を指名しておく きちんとした説明や証明が出来なければ、この両名は、私スレ主より「数学レベルが下」の認定だな（＾＾；
173:１３２人目の素数さん
15/12/05 08:12:43.56 RQGyOTCw.net
＞私は、自称学部３年くらいかなと思っている
得意な代数でさえ、正規部分群やイデアルすらわかってないのに？ご冗談をw
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:16:05.17 eSmTZwF/.net
>>162
どうも。スレ主です。
ご謙遜でしょう
まあ、おっちゃんの証明を読んでアドバイスできるので、TAさんで
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:27:02.13 eSmTZwF/.net
>>164
おお！ 良い突っ込みだね
が、その命題には証明が付けられていない
だから、こうしよう。君が、私よりレベルが上ということをまず立証してください＊）
それができれば、君の主張を認めよう（＾＾；
＊）
これは、「人の実力を判定するには、判定者はその人より、実力が上でなければならない」という定理による
立証は、このスレの流れの中で、何か数学的に気の利いたことを書いてくれ。それで十分だろう。「いいね」と認められたらそれでOK！ 別にテスト問題で試す気は無いから
それで、”得意な代数でさえ、正規部分群やイデアルすらわかってないのに？ご冗談をw”の成立を認める（＾＾；
なお、代数学は自学だが、微積や複素関数、微分方程式（含む偏微分）は、大学でやったけど（実学の部分だが）
176:１３２人目の素数さん
15/12/05 08:28:28.38 0MFvkpM6.net
スレ主は線形代数からやり直し
177:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:47:42.69 eSmTZwF/.net
>>163 補足
１．Q(S)＝R が成立するということは、任意のQ上の代数的数a∈Aに対して、a=f(s1,s2,・・・） | fはQ係数多項式
が成り立つということでは？
２．明らかに、Q(√2,π)>>163では、√2＝f(π）という多項式は存在しない ∵両辺を自乗すれば、2＝f(π）^2となって、πが超越数に反する
３．だから、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない
４．超越次数が無限なら？ よく分かりません。が、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 体の拡大
５．ならば、「Q(S)が純超越的かそうでないか、二通りあり得る」って話は、スレ主的には証明要と思うのだが（あんたら自明だとでもいうのかい？）
>>128を真に自明だと理解している人は別として、指摘されて「なるほど」と思った人は、少なくとも私と似たレベルじゃないのかね？（＾＾；
178:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:50:02.05 eSmTZwF/.net
>>167
線形代数は、復習の必要は認める（＾＾；
が、昔大学でやったからね～（＾＾；
まあ、２１世紀の線形代数はレベルアップしているかも知れないが
ベクトルと行列程度なら
179:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 09:02:20.68 eSmTZwF/.net
>>155 ここに戻る
雑魚の雑音はおいといて（＾＾；
TAさんは
”定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるよう
180:な超越基底Sの例 」 は、どれも知らない。” で、”「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれか”は、どう思っているの？ 「 Q(S)＝R 」が成り立てば、Q(S)はルベーグ可測だ。一方、「Q(S)はゼロ集合」のQ(S)もルベーグ可測だ。 一方で、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という主張がある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 これは、言い換えれば、超越基底 Bは、実質的には一意だと Q(S)がルベーグ可測な集合になる場合に、Q(S)＝Rの場合は無限大だ。一方で、「Q(S)はゼロ集合」だと。 それ、”ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成”すとか https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E6%B8%AC%E5%BA%A6 ルベーグ測度 と、「超越基底 Bは、実質的には一意」という話と両立する？
181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 09:06:45.08 eSmTZwF/.net
>>155で「おまいら、試されているんじゃないのか？ 」と言った
私スレ主は、>>128には、すんなり納得できない部分があるんだよね
これが、数学的にきちんと説明ないし証明できるなら、私よりレベル上と認定します！！（＾＾；
では
182:１３２人目の素数さん
15/12/05 09:09:31.48 g8DDoHnr.net
>>168
ふふスルドイねぇ物理出身のスレ主は。
>>128の『Q(S)=R』は、俺の考えでは解釈は2通りかな。
・悪い省略記法
・測度の等式のつもりだった
183:１３２人目の素数さん
15/12/05 09:23:58.13 g8DDoHnr.net
>>170
>で、”「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれか”は、どう思っているの？
>「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」
>「超越基底 Bは、実質的には一意」という話と両立する？
まず『濃度が一定だから可測非可測を含めて測度が同じ』と考えるのは自然じゃないよね。
事実、超越基底Sの例があるので。
一方でQ(S)=RとQ(S)=ゼロ集合は両立しないのではと思う。
どちらが成り立っているかはSを知れば分かる、というふうに理解した。
これが正しい解釈かは自信がない。
184:128
15/12/05 10:10:35.48 LiQZNRZu.net
なにやら書き方が悪かったようなので補足する。
定理4は、次の定理から即座に従う。
定理 (Steinhaus theorem) A⊂R はルベーグ可測で、m(A)＞0 だとする。
このとき、あるε＞0が存在して、(－ε,ε) ⊂ { a－b｜a,b∈A } が成り立つ。
一応、これを使って示しておく。
定理4の証明 「 Q(S)はルベーグ非可測」ならば、それでよい。
以下、Q(S)はルベーグ可測としてよい。「 Q(S)はゼロ集合」ならば、それでよい。
以下、m(Q(S))＞0 としてよい。このとき、Steinhaus theorem より、あるε＞0が存在して、
(－ε,ε) ⊂ { a－b｜a,b∈Q(S) } が成り立つ。Q(S)は体だから、{ a－b｜a,b∈Q(S) }⊂Q(S) である。
よって、(－ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。■
というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
185:１３２人目の素数さん
15/12/05 10:42:19.88 RQGyOTCw.net
他スレでも>>1がアホ扱いされててﾜﾛﾀ
186:１３２人目の素数さん
15/12/05 11:41:48.62 g8DDoHnr.net
>>174
シュタインハウスは知っていたんだがなぁ。
Q(S)は体だから当然差集合Q(S)-Q(S)を含むわな。
言われてみれば当たり前の話だな。
とっさに適用できないのは付け焼刃の知識だからだ。
またも反省させられたよ。
187:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 16:57:54.92 eSmTZwF/.net
>>175
どうも。スレ主です。
”立証は、このスレの流れの中で、何か数学的に気の利いたことを書いてくれ。”>>166に対して、そのカキコか
はい、判定！ ID:RQGyOTCwの数学レベルは、完全にスレ主より下だ。だって、数学的に無価値のカキコだもん
「他スレでも>>1がアホ扱いされててﾜﾛﾀ」？ そいつは、おれと同類だよ。アホの一人だ
証明なしで他人（アホ）の言説を受け入れた時点で、君の数学レベルは見えた！（＾＾；
188:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 17:50:04.75 eSmTZwF/.net
>>174
どうも。スレ主です。メンターさん、ありがとう
>>176
どうも。スレ主です。
TAさんの”、測度の等式のつもりだった”>>172が正解だったってことだね
189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 17:59:59.52 eSmTZwF/.net
>>174
定理 (Steinhaus theorem) か、和文では適当な文献を見つけることができなかったな
で、英文 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Statement
Let A be a Lebesgue-measurable set on the real line such that the Lebesgue measure of A is not zero. Then the difference set
A-A={a-b | a,b∈ A } ,
contains an open neighbourhood of the origin.
要は、数直線上のルベーグ可測集合の要素の差集合は、ある原点の周りの開集合を含むか
証明もあるね
Steinhaus（シュタインハウス）の名前だけは、どこかで見た気がするがこんな定理じゃなかったな
190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:11:02.11 eSmTZwF/.net
>>179 つづき
ここは初学者も来るので、正確に書くと
>>174
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」、Kが可測で「 Kはゼロ集合」「 m(K)＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。
>>128
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」、Q(S)が可測で「Q(S)はゼロ集合」「 m(Q(S))＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。
だな、多分
191:128
15/12/05 18:20:06.68 LiQZNRZu.net
>>180
「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。
(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:20:55.14 eSmTZwF/.net
>>174 つづき
>よって、(－ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。
>というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。
英文 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”がそれに相当するのか・・・
最初、この英文を読んだときには、意味が分からなかったが、メンターさんの証明で意味が分かった
とすると >>174の”K⊂R”を強く読まないといけないね
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:22:43.96 eSmTZwF/.net
>>181
どうも。スレ主です。
メンターさん、ありがとう
なるほど、その点は後で
194:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:37:38.64 eSmTZwF/.net
>>181
>「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
>「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。
>(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。
ここを少し深掘りする
１．>>163,>>168で書いたように、普通の教科書の拡大体の理論では、代数拡大があって、次に超越拡大という順で教える
２．で、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない。つまり、「Q(√2,π)は純超越的ではない」といえる
３．では、拡大Q(S)は？ 純超越的かそうでないか？ 定義から明らかに、Qには超越数しか添加していない。だから、定義からすれば純超越的と言えそうだ
４．が、Q(S)がルベーグ可測>0の場合は、Q(S)＝Rとなり、純超越的ではないとなる。Qには超越数しか添加していないにも関わらず
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」知らない>>128は、そういう意味ですかね？
195:１３２人目の素数さん
15/12/05 18:46:46.61 g8DDoHnr.net
>>184
Sに√2が含まれていなくても体の演算でQ(S)が√2を含みうる、と捉えたんだけど違うのかな。
196:128
15/12/05 18:52:20.63 LiQZNRZu.net
>>184
何が言いたいのか分からない。
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例を知らない」とは
文字通りそのままの意味。少し詳しく言えば
・ Q(S)＝R が実現されるような超越基底Sの例を知らない。
・ Q(S)＝R が実際には決して起こらない可能性もあるが、そうだとしても その証明すら知らない。
ということ。
197:１３２人目の素数さん
15/12/05 19:17:19.07 g8DDoHnr.net
自己レス。
>>185
>Sに√2が含まれていなくても体の演算でQ(S)が√2を含みうる、と捉えたんだけど違うのかな。
上が正しいとして。
Q(S)=Rの必要十分条件は、
・Q上の超越数がすべて代数的独立で、かつ
・Q(S)が体の演算によりQ上の代数的数をすべて生成する、
と理解した。間違っていたらご指摘いただけるとうれしい。
198:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 19:48:14.17 eSmTZwF/.net
>>185-187
どうも。スレ主です。
メンターさん、TAさん、どうもコメントありがとう
私の理解も全く同じです
”Q(S)=Rの必要十分条件は、
・Q上の超越数がすべて代数的独立で、かつ
・Q(S)が体の演算によりQ上の代数的数をすべて生成する”
で、さらに一歩進めて、そんなこと＊）が果たして可能なのか？と
199:１３２人目の素数さん
15/12/05 19:59:12.18 g8DDoHnr.net
>>188
>で、さらに一歩進めて、そんなこと＊）が果たして可能なのか？と
不自然な感じがするよね。
>・Q上の超越数がすべて代数的独立
この反例を1個でも見つけたら大きな成果ということになりそうだが。
そのような記述は俺には見つけられなかった。
200:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 20:06:27.77 eSmTZwF/.net
>>188 つづき
そんなこと＊）とは
１．Q上の超越数がすべて代数的独立だから、ある有限の組み合わせ{s1,s2,・・・sn}⊂Sで、例えば√2=f(s1,s2,・・・sn)と代数的に実現できたとすれば
f(s1,s2,・・・sn)は、Q係数の多項式で、２＝f(s1,s2,・・・sn)^2となって、{s1,s2,・・・sn}が代数的独立に反するから（>>168の２に同じ）
２．だから、超越基底の無限個の組み合わせを考える必要がある
３．かつ、それは√2のみならず、すべての代数的な無理数すべてで実現でき�
201:ﾈければならない 正直よく分からないが、簡単に実現できる話でもないような気がする つまり Qには超越数しか添加していないにも関わらず、Q(S)＝Rとできるとすれば、 任意の代数的な無理数が、超越基底Sの要素からなるQ係数多項式（それは超越基底の無限個を組合せを要する）で表現できなければならない はたして、それが実現可能なのか？ 実現不可能なら、Q(S)＝Rとはできないので、このケースはありえないことになる
202:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 20:56:28.88 eSmTZwF/.net
>>189
どうも。スレ主です。
TAさん、コメントありがとう
「不自然な感じがするよね」に同意
>>190に書いたが、”Q(S)＝R”は実現困難かと思う
というか、”超越基底Sの要素からなるQ係数多項式（それは超越基底の無限個を組合せを要する）”を許容するのか・・・
「超越基底の無限個を組合せて、代数的な無理数を実現する」まで許すと、従来考えている体の拡大の範囲を逸脱するような気がするんだが・・・
203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:14:45.16 eSmTZwF/.net
>>182 ここに戻る
ここは初学者も来るので
英文 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”
”proper subgroup ”は分かるよね
だから、これと>>128の定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
で、「Q(S)はゼロ集合」は、部分集合の場合（”proper subgroup ”に相当する場合）だね
204:１３２人目の素数さん
15/12/05 21:24:55.82 g8DDoHnr.net
>>191
ちょっと気になったんだが、『Qの代数的数がSを変数とするQ係数多項式で表される』というのは必要条件ではないよね？
Q(S)の体の演算はカバーする範囲がもっと広いから。
多項式ではなく有理式ならOKかな？
それはそうと無限個の組み合わせは許されないだろうね。
有限個の和で考えなければならない。
級数を許してしまうといろんなものが有理数で表されてしまうよね。
ゼータ関数からπの2乗とか。
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:27:45.09 eSmTZwF/.net
>>76&>>78-79 ここに戻る
ここは初心者も来ると思うので、整理しておきたい
>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
これはご納得頂けましたか
Q(S)＝Rも可能性ありと認めたら、Q~（S）＝Cも認めるだろ？
206:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:33:34.64 eSmTZwF/.net
>>193
有理式ならOKだが、それは多項式に直せるよ
分母の式を両辺に掛ければ良い
>級数を許してしまうといろんなものが有理数で表されてしまうよね。
そうだよね。同意だ
だから、Q(S)＝Rは実現不可能という気がする
207:１３２人目の素数さん
15/12/05 21:35:04.59 g8DDoHnr.net
>>194
>>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
>
>これはご納得頂けましたか
>Q(S)＝Rも可能性ありと認めたら、Q~（S）＝Cも認めるだろ？
Q(S)=Rの可能性もあるし、Q~(S)=Rの可能性もあるけど、そうでない場合もあるよ。
Q(S)上代数的な数（Q~(S)上代数的な数と言っても同じこと）がQ(S)に含まれないことはありうる。
もうこの説明は何度もしたと思うので、そろそろ身を引くよ。
メンターに結論を出してもらおうか。
208:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:35:39.55 eSmTZwF/.net
>>194
ところで、『超越基底ならばゼロ集合』に対するアプローチは、どんなだったの？
簡単に開示してもえると勉強になると思う
209:１３２人目の素数さん
15/12/05 21:40:10.18 g8DDoHnr.net
>>197
以下を示すというものだ。補題2はシュタインハウスの定理を使う。
■補題1：任意の超越基底Sに対してS⊂Hなるハメル基底Hが存在する。
■補題2：任意のハメル基底Hは正のルベーグ測度をもつ部分集合をもたない。
補題2は有名だから問題は補題1だな。
スレ主のアプローチは直接的かつ最短距離で素晴らしいと思ったよ。
俺の回りくどい凡庸な解答はお蔵入りにしようと思っていたのだ。
210:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:49:21.24 eSmTZwF/.net
>>120 ここに戻る
>基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
前スレ、261以下267まで、第二可算公理などをご参照。可能です
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:261番)
261 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/01(日) 16:59:07.49 ID:KxTJyOv3
＜キーワード：位相 可算公理＞
約 6,570 件 （0.45 秒） 検索結果
第一可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を ...
第二可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第二可算的空間
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二 ...
基本近傍系、可算公理、稠密 - nifty
homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/kasankouri.html
任意の x∈X に対し、x の基本近傍系で、高々可算個の近傍から構成されるものが存在するとする。 このとき、「 X は第1可算公理を満たす 」 という。 定義 （ 第2可算公理 ） （X、O）を位相空間とする。 X の基底で、高々可算個の開集合から構成されるものが存在 ...
211:１３２人目の素数さん
15/12/05 22:01:38.29 g8DDoHnr.net
>>199
第二可算公理は開集合の測度について制限がないから、俺の言いたかったこととは違う気がする。
言い訳だが。有理数の集合が測度0であることを示すときの論法が頭にあったんだ。
そこでは各有理数を中心とする半開区間I(ε)を設定するよね。
ε→0で各区間の測度は0であり、0の可算和はゼロだと。
非可算の場合、各点を半開区間I(ε)で覆ったとしても、
ε→0で非可算の和を取らなければならないから
測度0は示せない、というスジの説明をしたつもりだった。
俺はスレ主の証明で完全な読解ミスをしていた。
この指摘自体が無意味だったと思っているよ。
212:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 22:04:42.64 eSmTZwF/.net
>>198
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう
シュタインハウスの定理ね
メンターさんが使ったSteinhaus theorem>>174 >>179だね
”補題2：任意のハメル基底Hは正のルベーグ測度をもつ部分集合をもたない。”、”補題2は有名”か・・・
そう言われれば、それを聞いたことがある気もするが、浮かばなかったね・・・（＾＾；
213:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 22:08:09.39 eSmTZwF/.net
>>200
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう
まあ、ここは初心者も来ると思うので、”基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。”が一人歩きするとまずいから、第二可算公理と併読して貰う必要ありという趣旨です
214:128
15/12/06 07:29:34.53 nAIWzbvn.net
ありゃ。もしかして、これだけでよかったりする？
命題 RのQ上の超越基底Sに対して、√2∈R－Q(S) が成り立つ。特に、Q(S)≠R である。
証明 まず、次が成り立つことに注意する。
Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる, f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 }
(固定されたnと固定された s_1,…,s_n を考えるのではなく、nは正整数全体を動き、s_1,…,s_n も任意に取るという意味)
もし√2∈Q(S) が成り立つならば、√2＝g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n) という形に表せるので、
2f(s_1,…,s_n)^2＝g(s_1,…,s_n)^2 となる。しかし、s_1,…,s_n は代数的独立だから、多項式として
2f(X_1,…,X_n)^2＝g(X_1,…,X_n)^2 となるしかない。ここからすぐに矛盾が出る。■
215:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 08:33:09.51 FrVQLg+h.net
>>203
メンターさん、どうも。スレ主です。
早速のコメントありがとう
同意です。
で、√2に限らず、任意の代数的無理数に成り立つ
aを代数的無理数として、a=g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n) という形に表せる
一方、aはあるQ係数代数方程式h(a)=0を満たす
これは、(s_1,…,s_n)の代数的独立に反する
だから、Q(S)は代数的無理数を含み得ないと
216:１３２人目の素数さん
15/12/06 09:08:53.49 o2QvLz7R.net
>まず、次が成り立つことに注意する。
>Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる,
>f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 }
>(固定されたnと固定された s_1,…,s_n を考えるのではなく、
>nは正整数全体を動き、s_1,…,s_n も任意に取るという意味)
card(S)＝c だから、「g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)」という表記は出来ず、
上の2行目以降が
>Q(S)＝{ g[S] / f[S]｜f,g∈Q[S], f≠0 }
という表記になる。他は大きな問題ない。
217:128
15/12/06 09:23:19.47 nAIWzbvn.net
>>205
＞card(S)＝c だから、「g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)」という表記は出来ず、
何いってるんだ。「できる」だろ。直接的に示してもいいし、
wikipediaの「体の拡大」の項目にもある。以下、wikipedia より。
＞
218:一般に、有限とは限らない集合 E を添加するとき、 ＞k(E)＝lim_{ →_F } k(F)＝∪_F k(F) ＞となる。ただし、F は包含関係による帰納系と見た E の有限部分集合全体を動く。 ＞有限生成拡大体 k(a1,…,an) は、k 上の n 個の不定元 x_1,…,x_n に関する多項式を使って、 ＞k(a_1,…,a_n)＝{ f(a_1,…,a_n) / g(a_1,…,a_n)｜f,g∈k[x_1,…,x_n] } ＞の形に表すことができる。 下の3行から、Fが有限集合ならば、k(F)の任意の元は f(a_1,…,a_n) / g(a_1,…,a_n) という形で表せる。 一方で、上の3行の ∪_F k(F) では、FはEの有限部分集合全体を動くとある。ということは、k(E) の任意の元αは、 αごとに n が決まって α＝f(a_1,…,a_n) / g(a_1,…,a_n) という形で表せることになる。Eの濃度が何であっても。
219:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 09:24:51.35 FrVQLg+h.net
>>204 つづき
合意に達したところで、>>76より再録
”記号を整備しよう。複素数体C、有理数体Q、超越数T
有理数体Qから複素数体Cへの体の拡大で、超越基底S、QにSを添加した代数拡大体をQ(S)
代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) (wikipediaに合わせる。以前はAと記した)
としよう
C＝Q∪Q~∪T
Q⊂Q~、Q⊂Q(S)
また、定義から、明らかにQ~∩T＝φ（空集合）である
そこで、代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
T⊂Q~（S）＝C”
T⊂Q(S)も良いでしょ？ Q+T=Q(S), Q~∩Q(S)＝Q, 代数的無理数の集合をArとすると上で見たようにAr∩Q(S)＝φ（空集合）
で、C＝Q~∪Q(S)。Q~は可算、Q(S)は非加算。
ここでちょっと飛躍して、C→Rで同じ論法が成り立つとする＊）
C→R版で Q~→Q~r、Q(S)→Q(Sr)とする（それぞれRに制限した集合）
R＝Q~r∪Q(Sr)。Q~rは可算、Q(Sr)は非加算、が言える
Q~rは可算から、ルベーグ測度m(Q~r)=0。従って、Q(Sr)がルベーグ可測とすれば、m(Q(Sr))≠0でなければならない（当然無限大）
問題は、Q(Sr)がルベーグ不可測を示せるかどうか。（R＝Q~r∪Q(Sr)で、Q~rは可算なのに、Q(Sr)がルベーグ不可測になる？）＊＊）
＊）Q~rみたくRに制限した場合、普通の教科書にある拡大体の論法に乗ってこない気がする。かつ、Q~rは体？（でしょうね）
同じ論法が成り立つと思うが・・
＊＊）>>128>>174のSteinhaus theoremと定理４ RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
からすれば、Q(Sr)≠Rなので、「Q(S)はルベーグ非可測」か。だが、R＝Q~r∪Q(Sr)、Q~rは可算なんだよね。
220:１３２人目の素数さん
15/12/06 09:26:11.02 o2QvLz7R.net
>>205の訂正：Q(S)＝{ g[S] / f[S]｜f,g∈Q[S], f≠0 }
→Q(S)＝{g[r_1,…,r_m] / f[s_1,…,s_n]｜m,n∈N＼{0}, r_1,…,r_m,s_1,…,s_n∈S, f,g∈Q[S], f≠0}
221:１３２人目の素数さん
15/12/06 09:36:44.30 o2QvLz7R.net
同じく>>205、訂正：
「g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)」→「f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n]」
222:128
15/12/06 09:39:39.35 nAIWzbvn.net
>>208-209
修正したところで何を問題視しているのか意味不明。
>>203のような表記は「できる」。理由は>>206に書いた。
223:１３２人目の素数さん
15/12/06 09:40:53.66 2BLmvYWj.net
>>207
>そこで、代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
『Q~(S)=Rとは限らず、Q~(S)に含まれないQ~(S)上代数的な数が存在しうる』ことについて決着をつけてから先へ進みませんか。
お互いに何度も説明したが理解が得られなかった。
メンターを煩わせるのはすまないが、彼にコメントをもらってお互い納得しようという提案は受け入れてもらえないだろうか。
224:１３２人目の素数さん
15/12/06 09:57:33.68 o2QvLz7R.net
>>210
多項式環Q[X_1,…,X_n]とQ係数のBの元についての多項式環Q[S]は扱いが違う。
超越基底Sを考えていて、こんなときに多項式環を使うなら、Q[S]を使う必要がある。
card(Q[X_1,…,X_n])＝ℵ_0＜c＝card(Q[S])。>>203では「nは正整数全体を動き」と
書いてあり、必ずしも card(Q[S])＝c で考えているとはいえない。
225:１３２人目の素数さん
15/12/06 10:00:29.38 o2QvLz7R.net
>>210
>>212、「Bの元」→「Sの元」
226:128
15/12/06 10:02:41.59
227:nAIWzbvn.net
228:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 10:02:45.21 FrVQLg+h.net
>>201関連
いま見返すと、渕野先生の下記「公理的集合論」P4より
"超限再帰法により定義すると，{rα : α < c} はR のQ 上のHamel 基底になる(演習)．
上のようにして構成したHamel 基底を用いることで，(Zorn の補題を用いて得られる) Hamel 基底
の存在の主張以上の興味深い事実が示せることを，次の節で見ることにする．ここでは， Hamel 基底
から，R のルベーグ非可測な部分集合が自然に定義できることを指摘しておくことにする．"
補題１の証明で
”特にH0 はゼロでない測度を持つから，Steinhaus の定理(たとえば[15], Theorem 4.8) により”
とかあったね
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
公理的集合論 特別企画 これから学ぶ人のために 渕野 数学，Vol.65, No.4 (2013), 411--420.
ちなみに、上記PDFは下記にリンクあり
URLﾘﾝｸ(fuchino.ddo.jp)
神戸大学での講義のページ 渕野 昌
229:１３２人目の素数さん
15/12/06 10:09:36.75 o2QvLz7R.net
>>214
>Q[S]＝{ f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_1,…,s_n∈S, f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n] }
>と表現できることは理解してる？
これは分かる。趣旨が意味不明なら、もういい。
230:128
15/12/06 10:15:50.06 nAIWzbvn.net
>>216
そこまで理解してるくせに>>203の書き方が理解できないことが意味不明。
もしかして、こういうことを言いたいのか？
↓
Q(S) の元αは、一般的には α＝g(r_1,…,r_m) / f(s_1,…,s_n) という形で書くのであり、
分母と分子に出現するSの元は一般的には異なっていて、その個数も一般的には異なっていて、
だから分母には「 s_1,…,s_n 」を使い、分子には「 r_1,…,r_m 」を使う、といった
記法上の工夫が必要なのであり、α＝g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n) という、分母と分子で
同じ記号「 s_1,…,s_n 」を使うことは一般的にはできない。
231:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 10:21:58.56 FrVQLg+h.net
>>211
TAさん、どうも。スレ主です。
提案だが、まず代数拡大がすっきりする複素数で考えたい
だから、Q~の定義は
代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) (wikipedia)
(つまり Q~⊂C）
その上で、体の拡大 Q→Q~→C を考える
Q→Q~は、代数的拡大
Q~→Cは、超越拡大
定義として、「Q~(S)=Cとなるように超越基底Sを定める」
これは（私の）定義です。定義だから、『Q~(S)=Cとは限らず』はありえない
『Q~(S)=Cとは限らず、Q~(S)に含まれないQ~(S)上代数的な数が存在しうる』なら、それは定義が違うでしょう
だから、TAさんの超越基底Sを述べて貰えれば、どこに差があるかはっきりとすると思います
232:１３２人目の素数さん
15/12/06 10:30:42.82 o2QvLz7R.net
>>217
いや、そういうことではなく、ちょっと有限個のSの元の積だけではなく、
Sの非可算個の元の積も扱う代数の、意味がある理論の展開は出来るか？ とかを考えていた。
233:１３２人目の素数さん
15/12/06 10:30:46.92 2BLmvYWj.net
>>218
>定義として、「Q~(S)=Cとなるように超越基底Sを定める」
>これは（私の）定義です。定義だから、『Q~(S)=Cとは限らず』はありえない
スレ主の定義は分かったが・・。
Q~(S)=Cとなるような集合Sを取ったとき、それが"超越基底"になるとは限らないんだが。
超越基底の要件である代数的独立性が保証されない。
超越基底の定義も変えようというのか？
234:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 10:33:42.50 FrVQLg+h.net
>>215 補足
Hamel 基底が話題になっていて、使えるかもと見たんだが
Steinhaus の定理がわからんし、スルーしてました
いま見ると、多少意味が分かるね
Steinhaus の定理というのは、直感的理解としては、「ルベーグ可測集合Aで、もし微小な連続部分があれば、その
235:微小な連続部分を使って、差を取ることで、ε開近傍を原点０の周りに取ることができる」みたいな それをもっと精密にして、”もし微小な連続部分があれば”を仮定せずに、ルベーグ可測という性質だけから、”差を取ることで、ε開近傍を原点０の周りに取ることができる”を主張するのかな？ そういうことを考えつくというのは、天才ですね ルベーグ可測がいまいち分かってないのですが、すばらしい着想ですね（＾＾；
236:128
15/12/06 10:35:52.81 nAIWzbvn.net
>>219
何が言いたいのか全然わからん。もう面倒くさいから証明形式にする。
>>203の書き方ができることを以下で証明する。示すべきは
＞Q(S)＝{ g(s_1,…,s_n) / f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_i∈S は全て異なる, f(X_1,…,X_n),g(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], f(s_1,…,s_n)≠0 }
という書き方である。"⊃" は明らかだから、"⊂" のみ示す。
α∈Q(S) を任意に取る。α＝b/a を満たす a,b∈Q[S] が取れる。>>214の
＞Q[S]＝{ f(s_1,…,s_n)｜n≧1, s_1,…,s_n∈S, f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n] }
という表現により、
a＝f(s_1,…,s_n), b＝g(r_1,…,r_m), f(X_1,…,X_n)∈Q[X_1,…,X_n], g(X_1,…,X_m)∈Q[X_1,…,X_m]
と表せる。ここで、s_1,…,s_n,r_1,…,r_m 全体の中から異なる元を全て選び出し、適当に番号をつけて
t_1,t_2,…,t_d とでもしておく。このとき、ある F(X_1,…,X_d), G(X_1,…,X_d)∈Q[X_1,…,X_d] が存在して
f(s_1,…,s_n)＝F(t_1,…,t_d), g(r_1,…,r_m)＝G(t_1,…,t_d)
と表せる(ほぼ自明)。よって、α＝G(t_1,…,t_d)/F(t_1,…,t_d) と表せる。
まとめると、次が言えたことになる。
任意の α∈Q(S) に対して、ある d とある t_1,…,t_d∈S と
ある F(X_1,…,X_d), G(X_1,…,X_d)∈Q[X_1,…,X_d] が存在して
α＝G(t_1,…,t_d)/F(t_1,…,t_d) と表せる。
よって、"⊂" が成り立つ。
以上より、>>203の書き方は「できる」。
237:１３２人目の素数さん
15/12/06 10:40:55.10 2BLmvYWj.net
>>221
>そういうことを考えつくというのは、天才ですね
>ルベーグ可測がいまいち分かってないのですが、すばらしい着想ですね（＾＾；
俺がにわか勉強で得た知識によると『ルベーグ測度の正則性定理』が非常に強力だと感じた。
Steinhausもこの正則性から導かれるようだ。
238:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 10:45:32.68 FrVQLg+h.net
>>220
どうも。スレ主です。
TAさん、レスありがとう
>Q~(S)=Cとなるような集合Sを取ったとき、それが"超越基底"になるとは限らないんだが。
>超越基底の要件である代数的独立性が保証されない。
それを保証するのが選択公理でしょうね
１．Q~に一つ超越数s1∈T(>>207)を取る。そして、超越拡大体Q~（s1）を作る
２．s2∈T∩Q~（s1）を取る。超越拡大体Q~（s1,s2）を作る
３．s2の代数的独立は、s2∈T∩Q~（s1）で保証されている
４．これを繰り返し、Q~（s1,s2・・・）＝Cとなるように、集合{s1,s2・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
これ、数学的には選択公理と超限帰納法ですかね。
詳しくは、>>215の公理的集合論 特別企画 これから学ぶ人のために 渕野 数学，Vol.65, No.4 (2013), 411--420. のHamel 基底の構成などを参照してもらえればと思います
239:220
15/12/06 10:50:33.03 2BLmvYWj.net
>>224
今度は代数的独立の定義を議論しなきゃならんね。
>２．s2∈T∩Q~（s1）を取る。超越拡大体Q~（s1,s2）を作る
>３．s2の代数的独立は、s2∈T∩Q~（s1）で保証されている
上の『T∩Q~（s1）』は『T＼Q~(S1)』の間違いかな？
まずは確認させてくれ。
240:220
15/12/06 11:04:36.21 2BLmvYWj.net
>>225
『T∩Q~（s1）』ではなく『T＼Q~(s1)』だったとする。
>>78
> 再度wikiの例を引っ張る。
> 「Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。」
> ここでは超越次数を1としよう。
> するとQ(π,e）の超越基底は1つの元で構成されることになる。たとえばそれをπとする。
> Q(π,e）の超越基底が{π}ということは、Q(π,e)/Q(π)が代数的であることを意味する。
> 言い換えると、Qにπを添加した体Q(π)を係数とする多項式の根としてeを生成できるという意味だ。
この例でs1=π,s2=eとする。
このときs2∈T＼Q~(s1)だが集合{s1,s2}は代数的独立ではない。
超越基底を構成するにはs2∈T＼(Q~(s1)の代数拡大体)なるs2を取らなければならない。
241:１３２人目の素数さん
15/12/06 11:13:05.59 o2QvLz7R.net
>>222
例えば、Λを非可算濃度の添数集合、Gを非可算の可換群としよう。
選択公理を使えば、Gの元の積 Π_{λ∈Λ}g_λ g_λ∈G の逆元を
Π_{λ∈Λ}(g_λ)^{-1} (g_λ)^{-1}∈G として、普通のときと同様に考えることが出来る。
そんな感じで、非可算個の積の群論とかの代数の理論を考えることは出来ないか？
雰囲気だけになったけど、>>219でいわんとしたことは、そんな感じ。
もしそのような雰囲気で分からないなら、それでいい。
242:128
15/12/06 11:24:27.03 nAIWzbvn.net
>>227
まるで会話になっていない。お前は>>203の表現について「できない」とイチャモンをつけていたのであり、
俺はそれに対して「>>203の表現は で き る 」と反論していたのである。>>203の表現が「できる」ことは
もはや明らかであり、証明は>>222で与えた。従って、お前が俺に対して行うことのできるレスは
・ 確かに>>203の表現は可能だった。俺が間違っていた。
の1通りしかない。それ以外のレスは「会話になっていない」。
お前は>>219で唐突に「別の話題」を持ち出し、>>203の表現がどうこうという話をやめてしまった。
お前がどのように新しい代数の論理を作るかという話なんぞ、俺は全くしていない。
別の話を持ち出して誤魔化さないで、>>203について決着をつけろ。>>203の表現が「できる」ことは
もはや明らかであり、証明は>>222で与えた。お前が俺に対して行うことのできるレスは
・ 確かに>>203の表現は可能だった。俺が間違っていた。
の1通りしかない。このことを認めて、その趣旨を次のお前のレスで明記し、謝罪しろ。
誤魔化して違う話題を持ち出すのは許さない。
243:１３２人目の素数さん
15/12/06 11:28:43.86 o2QvLz7R.net
>>228
>・ 確かに>>203の表現は可能だった。俺が間違っていた。
これは認める。いっちゃもん付けて悪かった。
244:１３２人目の素数さん
15/12/06 11:41:24.31 o2QvLz7R.net
>>221
Steinhausの定理は、局所コンパクト群やハ―ル測度の理論で重要で、
直線上のルベーグ測度のときは、その特殊例。より一般化出来る。
245:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 11:51:16.53 FrVQLg+h.net
>>226
どうも。スレ主です。
>この例でs1=π,s2=eとする。
>このときs2∈T＼Q~(s1)だが集合{s1,s2}は代数的独立ではない。
正確には、代数的独立かどうかは分からないだね
>超越基底を構成するにはs2∈T＼(Q~(s1)の代数拡大体)なるs2を取らなければならない。
超越拡大Q~(s1)を構成したときに、s1と代数的従属な元は、全て大Q~(s1)に含まれる。定義からそうなる
ご指摘の点は、”代数拡大体)なるs2を取らなければならない”を、現代数学がまだそこまで発展していないということでしょう
が、同じことは、Hamel 基底にも言える。Hamel 基底を、構成するときに、本当は、加法で独立な超越数s2を取る必要がある。それを仮想するしかない。それが、いまの現代数学の到達レベル
が、Hamel 基底も超越基底も、同じと私は考えます
246:１３２人目の素数さん
15/12/06 11:53:58.00 sCsU94hY.net
sssp://o.8ch.net/1eqh.png
247:220
15/12/06 12:02:45.64 2BLmvYWj.net
>>231
>正確には、代数的独立かどうかは分からないだね
スレ主、議論が噛み合っていないよ。
s2∈R＼Q~(s1)であっても{s1,s2}が代数的独立とは限らない例を挙げるために、
>>78>>226では以下の仮定を入れているんだ。だからここでは{s1,s2}は代数的従属だよ。
> ここでは超越次数を1としよう。
> するとQ(π,e）の超越基底は1つの元で構成されることになる。たとえばそれをπとする。
下記が間違っているんだ。
>超越拡大Q~(s1)を構成したときに、s1と代数的従属な元は、全て大Q~(s1)に含まれる。定義からそうなる
ある元が代数的従属というのは、Q~(s1)係数多項式の根として表されるという意味であって、
必ずしも体Q~(s1)に含まれているとは限らないんだよ。
メンター、大変すまないがこの件でコメントをもらえないだろうか。
このスレが始まって以降、スレ主と俺の議論が噛み合わないまま、お互いかなりの時間を費やしている。
そろそろ俺が間違っているのかスレ主が間違っているのか決着をつけたいんだ。
248:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 12:33:02.72 FrVQLg+h.net
>>233
どうも。スレ主です。
TAさん、ありがとう
自動的には保証されないか・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
体の拡大
拡大 K/k が与えられたとき、K の元 α1, α2, ..., αn に対して、恒等的に 0 でない n 変数の多項式 F(X1, X2, ..., Xn) で
F(α1, α2, ..., αn) = 0 を満たすものが存在するとき、α1, α2, ..., αn は代数的従属 (algebraically dependent) であるといい、
そうでないとき代数的独立 (algebraically independent) であるという。
（引用おわり）
では、修正版
１．Q~に一つ超越数s1∈T(>>207)を取る。そして、超越拡大体Q~（s1）を作る
２．s2∈T∩Q~（s1）| s2はs1と代数的に独立に取る。超越拡大体Q~（s1,s2）を作る（s2の代数的独立は、「s2はs1と代数的に独立に取る」で保証されている）
３．s3∈T∩Q~（s1,s2）| s3はs1,s2と代数的に独立に取る。超越拡大体Q~（s1,s2,s3）を作る
４．これを繰り返し、Q~（s1,s2,s3・・・）＝Cとなるように、集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
以下は同じ
249:220
15/12/06 12:39:31.83 2BLmvYWj.net
>>234
>４．これを繰り返し、Q~（s1,s2,s3・・・）＝Cとなるように、集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
{s1,s2,s3・・・}の代数的独立性を確保しながらQ~(s1,s2,s3・・・)＝Cとできるとは限らないんだよ。
Q~{s1,s2,s3・・・}の代数拡大体がCとな�
250:ﾁた時点で、もう代数的独立なC＼Q~{s1,s2,s3・・・}の元は取れない。 このとき ■Q~{s1,s2,s3・・・}の代数拡大体＝Cではあるが、 ■Q~{s1,s2,s3・・・}＝Cとは限らないんだ。
251:１３２人目の素数さん
15/12/06 12:52:33.73 o2QvLz7R.net
>>233
やはり、>>234の
>集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
が間違っている。card(S)＝c である以上、こういう記述は出来ない。
>>231の
>いまの現代数学の到達レベルが、Hamel 基底も超越基底も、同じ
という解釈も間違っている。
252:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 12:53:55.98 FrVQLg+h.net
>>128 ここに戻る
>定理2 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ可測なものが存在する。
>定理3 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ非可測なものが存在する。
これ、具体的イメージが湧かないんだ（＾＾；
>>207 ここに戻る
>＊＊）>>128>>174のSteinhaus theoremと定理４ RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
>からすれば、Q(Sr)≠Rなので、「Q(S)はルベーグ非可測」か。だが、R＝Q~r∪Q(Sr)、Q~rは可算なんだよね。"
ここも、すとんと腑に落ちないんだよね
TAさん、ここどう思う？
おっと、後の話は、>>233が決着した後の話だが
TAさんは、『ルベーグ測度の正則性定理』や、”Steinhausの定理は、局所コンパクト群やハ―ル測度の理論で重要で”とか、ルベーグ測度に私より詳しそうだから（＾＾；
253:220
15/12/06 13:06:27.78 2BLmvYWj.net
>>237
>>207の
>Q~rは可算から、ルベーグ測度m(Q~r)=0。従って、Q(Sr)がルベーグ可測とすれば、m(Q(Sr))≠0でなければならない（当然無限大）
の"従って"以下はなぜ従うんだっけ？Q(Sr)がゼロ集合の可能性はなぜ除かれるの？
>TAさんは、『ルベーグ測度の正則性定理』
さっきも書いたがこれはにわか勉強の成果だ。
Steinhausを使うからには導出を理解せねばと思い勉強した。
すなわち、ルベーグ測度を網羅的に勉強したことなどこれまでにないという意味だ。
>”Steinhausの定理は、局所コンパクト群やハ―ル測度の理論で重要で”とか、ルベーグ測度に私より詳しそうだから（＾＾；
これを書いたのは俺ではない。そんな高等な知識は持っていないｗ
254:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/06 13:18:45.00 FrVQLg+h.net
>>235
どうも。スレ主です。
TAさん、ありがとう
>{s1,s2,s3・・・}の代数的独立性を確保しながらQ~(s1,s2,s3・・・)＝Cとできるとは限らないんだよ。
>Q~{s1,s2,s3・・・}の代数拡大体がCとなった時点で、もう代数的独立なC＼Q~{s1,s2,s3・・・}の元は取れない。
その取れない元をx∈Cとする
xは、有理数か、無理数。無理数の場合、代数的無理数か超越数か。
有理数の場合、Q~に含まれているべき
代数的無理数も、Q~に含まれているべき
超越数の場合、代数的に独立なら、Sに加えれば良い
超越数の場合、代数的に従属な元で、Q~{s1,s2,s3・・・}に含まれない元があるか？ってこと
{s1,s2,s3・・・sn}は代数独立で、かつF(s1, s2, ..., sn,x) = 0 となるxが存在するか？
なるほど、そういうxが存在する余地はあるのかも・・。が、それ、超越基底の一意性と両立するのか？
来週の宿題だな（＾＾；
255:220
15/12/06 13:27:08.37 2BLmvYWj.net
>>239
>{s1,s2,s3・・・sn}は代数独立で、かつF(s1, s2, ..., sn,x) = 0 となるxが存在するか？
>なるほど、そういうxが存在する余地はあるのかも・・。が、それ、超越基底の一意性と両立するのか？
>来週の宿題だな（＾＾；
OK、じゃあ今度ということで。
256:１３２人目の素数さん
15/12/06 21:15:53.30 yXI+2zz1.net
＿＿_
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||. (´･ω･| うわっ、クソスレに来てしまった。
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| ｏ|
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彡￣￣ ﾊﾟﾀﾝ
257:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 22:09:29.52 aqTgmiKS.net
>>240
どうも。スレ主です。
TAさんの深く鋭い指摘で、いろいろ勉強させてもらいました。ありがとうございました
半分解決しました
が、疑問が残っています
で、順番にいきましょう
258:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 22:10:46.41 aqTgmiKS.net
まずこれから
１．有限次超越拡大のアナロジー
１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を√2とπ考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「πと√πは代数的独立ではないのでだめだから、終わり」とはならない。「πと√πを取り換えるべし」が正解。
３）∵π＝(√2)^2だから。そこで、一歩進めて、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
もし、それがすでに取った超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}と代数独立でないとき、例えばxはs1に対し上位の超越数なら、超越基底Sのs1はxに変えるべき。
５）これは、s1に限らずすべての基底{・・・、s1,s2,s3,・・・}に対して比較が行われるべき。
６）手順としては、むしろ、一度xを取り込んで、{・・・、s1,s2,s3,・・・,x}として、再度代数的独立が保たれるように、再調整するとした方がすっきりした説明だろう。
259:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 22:15:53.26 aqTgmiKS.net
>>243 つづき
２．これで済めば簡単だが、そうでもない。
”Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で、具体的数は超越基底にできない。（Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的数不可定理と名付ける）”
（証明）
１）まず、π?超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√2)^2だから、√πに変えられるべき。と同様に、π^(1/n)(n乗根)の方が適切だ。が、nはいくらでも大きく取れる。
２）同じ論法は、任意の超越数で成り立つ（n乗根の方が適切で、nはいくらでも大きく取れる）
３）だから、具体的数（超越数）は、より上位の数が存在するゆえ、超越基底にできない！
260:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 22:18:55.70 aqTgmiKS.net
>>244 つづき
３．Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大では、陰に代数閉包、代数閉体の思想が潜んでいる
（C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある。）
１）上記２で、n乗根を考えたが、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)なるn次方程式も考えるべき
２）そうすると、Q~(π)の代数閉包Q~(π)~を考えて、すべてのπのQ~上代数的な数を取り込んだ体を考えた方が良いだろう
３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大は、Q~→Q~(π)~当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（予想－問題T1）
４）このようにして、Q~(代数的数)→C（複素数）の場合に、中間段階で超越基底Sn={s1,s2,s3,・・・,sn}→S(n+1)={s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1)}とするときに
Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))→Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))~を考えることができる。
５）このように、Q~(代数的数)→C（複素数）を考える場合においては、超越基底を一つ増やす毎に、代数閉体までの拡大を考えて、取り残しがないようにすることができる。
６）こうすることで、Q~(代数的数)→C（複素数）における超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で、Q~(代数的数)→Q~{・・・、s1,s2,s3,・・・}~=C（複素数）とできる。（予想－問題T2）
（この場合、代数閉包を考えているので、代数的従属な超越数の取りこぼしはない。問題T2は、同型を除いて一意かもしれない。）
（問題T1）と（問題T2）の証明は、そのうち思いつくだろう。(ガロア語録)
みなさんも、考えて下さい。
261:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 22:22:01.19 aqTgmiKS.net
>>245 つづき
４．では、Q(有理数)→R（実数）の拡大ではどうか？ Q~の実数部分の部分集合をRe(Q~)、複素数体における超越数の集合をTとしてその実数部分の部分集合をRe(T)とする。
３と類似の論法が、実数の場合に成り立つ（予想－問題T3）。
（R（実数）は、代数閉体ではないが、一度複素数の空間に移動して、そこで３の論法を行って、それを実数に戻すことができるだろう。（予想－問題T3））
262:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 22:24:26.99 aqTgmiKS.net
>>242-245
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
263:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 23:03:59.78 aqTgmiKS.net
>>245 訂正
５）・・・・、代数閉体までの拡大を考えて、取り残しがないようにすることができる。
↓
５）・・・・、代数閉包までの拡大を考えて、取り残しがないようにすることができる。
追加
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数的閉包
例
代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。
有理数体の代数的閉包は代数的数体である。
代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
264: ◆S/YLxH/p.c
15/12/11 23:06:05.74 csqAUDBo.net
最初に無があった
無は有を生んだ
これが全ての真理
265:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 23:07:00.17 aqTgmiKS.net
>>243 訂正
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を√2とπ考えたとする。
↓
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底をπ考えたとする。
３）∵π＝(√2)^2だから。
↓
３）∵π＝(√π)^2だから。
266:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 23:14:04.79 aqTgmiKS.net
>>249
どうも。スレ主です。
検索すると下記が最初かね？
前 - 2ch
c.2ch.net/test/-M1.SSS/energy/1437052392/-450
448:◇S/YLxH/p.c 11/29
267:(日) 23:33 fWuaxzmW 最初に無があった 無は有を生んだ これが全ての真理
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/11 23:16:54.24 aqTgmiKS.net
>>244 訂正
１）まず、π?超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√2)^2だから、
↓
１）まず、π∈超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√π)^2だから、
訂正が多い
おっちゃんと同じだ（＾＾；
269:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:13:49.02 H8eM6+Di.net
>>242-245 訂正が多いので、書き直し
１．有限次超越拡大のアナロジー
１）Q(√2,π,√π)を取る。Q(√2)⊂Q(√2,π)⊂Q(√2,π,√π)＝Q(√2,√π)である。つまり、√2と√πによる拡大で、超越基底は√πである。
２）ある人が、Q(√2,π,√π)の超越基底を（まちがって）πと考えたとする。しかし、√πの存在に気づいた。「 πと√πは代数的独立ではないのでだめ。終わり」とはならない。「 πと√πを取り換えるべし」が正解。
３）∵π＝(√π)^2だから。そこで、一歩進めて、二つの超越数に対し s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)とできるとき*)、s2はs1に対し上位の超越数と呼ぶことにする。
（*) 陰関数 f(s1,s2)も考えるべきだが、話を単純化した。）
４）これは、有限次の超越拡大だが、無限次でも同様のはず。つまり、Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で取り残しのある超越数xに気づいたとする。
もし、それがすでに取った超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}と代数独立でないとき、例えばxはs1に対し上位の超越数なら、超越基底Sのs1はxに変えるべき。
５）これは、s1に限らず、すべての基底{・・・、s1,s2,s3,・・・}に対して比較が行われるべき。
６）手順としては、むしろ、一度xを取り込んで、{・・・、s1,s2,s3,・・・,x}として、再度代数的独立が保たれるように、再調整するとした方がすっきりした説明だろう。
270:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:20:22.10 H8eM6+Di.net
２．これで済めば簡単だが、そうでもない。
”Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}では、具体的超越数は超越基底にできない。
（これを、Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的超越数不可定理と名付ける）”
（証明）
１）まず、π∈超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}とする。しかし、π＝(√π)^2だから、πは√πに変えられるべき。と同様に、π^(1/n) (＝n乗根)の方が適切だ。が、nはいくらでも大きく取れる。
２）同じ論法は、任意の超越数で成り立つ（常にn乗根の方が適切で、nはいくらでも大きく取れる）（n乗根だけでなく、n次の方程式の根も）
３）だから、具体的超越数は、より上位の超越数が存在するゆえ、超越基底にできない！
271:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:27:23.52 H8eM6+Di.net
３．Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大では、陰に代数閉包、代数閉体の思想が潜んでいる
（言い換えれば、C（複素数）は、代数閉体であることが陰に潜んでいる。これを意識する必要がある。）
１）上記２で、n乗根を考えたが、s1＝f(s2) (2次以上の多項式で係数は元の体)なるn次方程式も考えるべき
２）そうすると、Q~(π)の代数閉包Q~(π)~を考えて、すべてのπのQ~上代数的な数を取り込んだ体を考えた方が良いだろう
３）では、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~への拡大とは何か？ Q~(π)→Q~(π)~は、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えられる（（予想）問題T1）
４）このようにして、Q~(代数的数)→C（複素数）の場合に、中間段階で超越基底Sn={s1,s2,s3,・・・,sn}→S(n+1)={s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1)}とするときに
代数閉包へ拡大 Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))→Q~(s1,s2,s3,・・・,sn,s(n+1))~を考えることができる。
５）即ち、Q~(代数的数)→C（複素数）を考える場合においては、超越基底を一つ増やす毎に、代数閉包までの拡大を考えて、取り残しがないようにすることができる。
６）こうすることで、Q~(代数的数)→C（複素数）における超越基底S={・・・、s1,s2,s3,・・・}で、Q~(代数的数)→Q~{・・・、s1,s2,s3,・・・}~=C（複素数）とできる。（（予想）問題T2）
（この場合、代数閉包を考えているので、代数的従属な超越数の取りこぼしはない。問題T2は、同型を除いて一意かもしれない。）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
代数的閉包
例
・代数学の基本定理により、実数体の代数的閉包は複素数体である。
・有理数体の代数的閉包は代数的数体である。
・代数的数体を真に含み複素数体に含まれる代数的閉体は可算個存在する。これらは有理数体の超越拡大の代数的閉包である。例えば Q(π) の代数的閉包。
（引用おわり）
（問題T1）と（問題T2）の証明は、そのうち思いつくだろう。(ガロア語録)
みなさんも、考えて下さい。
272:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:28:58.17 H8eM6+Di.net
４．では、Q(有理数)→R（実数）の拡大ではどうか？ Q~の実数の部分集合をRe(Q~)、複素数体における超越数の集合をTとしてその実数の部分集合をRe(T)とする。
上記３と類似の論法が、実数の場合に成り立つ（（予想）問題T3）。
（R（実数）は、代数閉体ではない。が、一度複素数の空間に移動して、そこで３の論法を行って、それを実数に戻すことができるだろう。
273:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:30:33.79 H8eM6+Di.net
>>253-256
全部書き直しました
以上が、いまの私の考えです
Q~(代数的数)→C（複素数）の無限次の超越拡大で、超越基底のなぞが、ますます深くなりました（＾＾；
274:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:36:53.92 H8eM6+Di.net
>>254 関連
”具体的超越数は超越基底にできない”となると、そういう集合とルベーグ測度とは相性が悪いのではと思う
TAさんのご指摘までは、Q~(代数的数)→C（複素数）の超越基底でも、有限次の超越拡大と同じような具体的数の超越基底をイメージして考えていました
が、大きくQ~(代数的数)→C（複素数）の超越基底のイメージが崩れました
275:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 06:50:13.23 H8eM6+Di.net
Q(π) の代数的閉包を考えると、πに代数的従属な超越数はすべて含まれる。そういう数を、仮にπに同族の超越数と名付ける
そうすると、πというラベルで、同族の超越数の集合を考えることができる
>>255の３）の（（予想）問題T1）は、Q(π) の代数的閉包（それは実は、Q~(π)→代数閉包Q~(π)~だと思うのですが）は、Q(π) ⊂Q~(π)⊂Q~(π)~で、これが真の包含関係
だから、当然超越拡大として、加算無限次の超越拡大と考えました
いやはや、むずいです（＾＾；
276:１３２人目の素数さん
15/12/12 07:04:28.70 6WixoFth.net
運営乙
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/12 08:06:14.02 H8eM6+Di.net
>>236 ここに戻る
おっちゃんかな？
>>集合{s1,s2,s3・・・}を定める。これが私の超越基底Sの定義
>が間違っている。card(S)＝c である以上、こういう記述は出来ない。
当然、超限帰納法を念頭に書いたのだが、ご指摘のように適切ではない
特に、学生はやめた方が良い。「分かってない！」と思われるおそれがあるから。試験の採点では普通抗弁の機会がないし
が、厳密に書けば、下記のように、”任意の整列集合に対して”「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して」適用できる
だから、”card(S)＝c”では帰納法は適用できないが超限帰納法は適用可能だ。むしろ問題は次だ
>>254に示した「Q~(代数的数)→C（複素数）拡大における超越基底の具体的超越数不可定理」からすると、”この超越基底は整列集合ではない”（問題T4）という予想が成り立つ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。
任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
超限帰納法
(A , ?) を整列集合とし、P(x) を A の元 x に関する命題とする。 A は整列集合であるから "?" について最小元を持つ。
これを 、a0 とする。もし次の2つの条件が成立するならば、任意の x ∈ A について P (x) が成り立つ。
（引用おわり）