15/11/28 23:37:17.69 novsUjda.net
>>48
どうも。スレ主です。
ご指摘の通りです。そう考えてます
でも、、「超越基底Sが、可測集合か？」ってところが問題なのか
零集合は、必ずしもルベーグ可測には限らないようだが、ルベーグ可測と密接に関係している・・（下記）
いやー、むずいねー（＾＾；
「超越基底Sが、可測集合」が言えれば、”Given any positive number ε, there is a sequence {In} of intervals in R such that N is contained in the union of the {In} and the total length of the union is less than ε. ”みたいな論法が使えるかも（＾＾；
どうなんだろ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In set theory, a null set N ⊂ R is a set that can be covered by an countable union of intervals of arbitrarily small total length. The notion of null set in set theory anticipates the development of Lebesgue measure since a null set necessarily has measure zero.
Lebesgue measure
The Lebesgue measure is the standard way of assigning a length, area or volume to subsets of Euclidean space.
A subset N of R has null Lebesgue measure and is considered to be a null set in R if and only if:
Given any positive number ε, there is a sequence {In} of intervals in R such that N is contained in the union of the {In} and the total length of the union is less than ε.
For instance:
With respect to Rn, all 1-point sets are null, and therefore all countable sets are null. In particular, the set Q of rational numbers is a null set, despite being dense in R.
The standard construction of the Cantor set is an example of a null uncountable set in R; however other constructions are possible which assign the Cantor set any measure whatsoever.
51:１３２人目の素数さん
15/11/29 00:06:07.10 2P6DAj1m.net
>>49
wikiのゼロ集合の定義を改めて読んでみたところ、>>47-48の発言に自信が持てなくなってきた。
それはさておき、示すのは任意の超越基底がゼロ集合であることだ。
開区間Iε内で構成される超越基底のみを対象にしたのでは証明にはならない。
(事実、ゼロ集合の超越基底が存在することを示すのは簡単だ。)
スレ主の書き込みを読むと、この辺りをうまく記述する方法があるようだ。
スレ主の解答を楽しみにしています。
52:１３２人目の素数さん
15/11/29 00:25:09.92 2P6DAj1m.net
スレ主、いまさらだがゼロ集合の確認をさせてくれ。
下はwikiの測度論から引っ張ってきたものだ。
>可測集合 S が μ(S) = 0 であるとき零集合という。
これに異論はないと思うが、我々の命題では上の測度はルベーグ測度のこととしたい。
おっちゃんとオレはそう認識していた。スレ主も同意してくれるだろうか。
すでに過去に確認されていたことなら申し訳ない。
53:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 07:42:25.73 SasjpBzo.net
>>50-51
どうも。スレ主です。
レスありがとう！
整いました（＾＾；
ルベーグ測度、μ(S) = 0 で合意します。
さて、本題
ルベーグ測度を確認すると、定義が「・・Rn の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、Rn の区間塊という。」などと、非加算には直接使えない。URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
そこで、非加算零集合のカントール集合の扱いを参考にしようと思いつく
日wikiは、あまり詳しく書かれていないので、下記enwikiへ
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Cantor set
Topological and analytical properties
Although "the" Cantor set typically refers to the original, middle-thirds Cantor described above, topologists often talk about "a" Cantor set, which means any topological space that is homeomorphic (topologically equivalent) to it.
As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets,
it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Since it is also totally bounded, the Heine?Borel theorem says that it must be compact.
For any point in the Cantor set and any arbitrarily small neighborhood of the point, there is some other number with a ternary numeral of only 0s and 2s, as well as numbers whose ternary numerals contain 1s.
Hence, every point in the Cantor set is an accumulation point (also called a cluster point or limit point) of the Cantor set, but none is an interior point.
A closed set in which every point is an accumulation point is also called a perfect set in topology, while a closed subset of the interval with no interior points is nowhere dense in the interval.
つづく
54:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 08:02:05.78 SasjpBzo.net
>>52
つづき
Every point of the Cantor set is also an accumulation point of the complement of the Cantor set.
For any two points in the Cantor set, there will be some ternary digit where they differ ? one will have 0 and the other 2.
By splitting the Cantor set into "halves" depending on the value of this digit, one obtains a partition of the Cantor set into two closed sets that separate the original two points.
In the relative topology on the Cantor set, the points have been separated by a clopen set. Consequently the Cantor set is totally disconnected. As a compact totally disconnected Hausdorff space, the Cantor set is an example of a Stone space.
引用おわり
nowhere dense >>52 も
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematics, a nowhere dense set in a topological space is a set whose closure has empty interior.
In a very loose sense, it is a set whose elements aren't tightly clustered close together (as defined by the topology on the space) anywhere at all.
The order of operations is important. For example, the set of rational numbers, as a subset of R, has the property that the interior has an empty closure, but it is not nowhere dense; in fact it is dense in R.
Equivalently, a nowhere dense set is a set that is not dense in any nonempty open set.
Nowhere dense sets with positive measure
A nowhere dense set is not necessarily negligible in every sense.
For example, if X is the unit interval [0,1], not only is it possible to have a dense set of Lebesgue measure zero
(such as the set of rationals), but it is also possible to have a nowhere dense set with positive measure.
引用おわり
55:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 08:44:51.61 SasjpBzo.net
>>53 つづき
totally bounded >>52
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Totally bounded space
In topology and related branches of mathematics, a totally bounded space is a space that can be covered by finitely many subsets of any fixed "size" (where the meaning of "size" depends on the given context).
The smaller the size fixed, the more subsets may be needed, but any specific size should require only finitely many subsets.
A related notion is a totally bounded set, in which only a subset of the space needs to be covered. Every subset of a totally bounded space is a totally bounded set; but even if a space is not totally bounded, some of its subsets still will be.
Definition for a metric space
A metric space (M,d) is totally bounded if and only if for every real number ε >0, there exists a finite collection of open balls in M of radius ε whose union contains M .
Equivalently, the metric space M is totally bounded if and only if for every ε >0, there exists a finite cover such that the radius of each element of the cover is at most ε.
This is equivalent to the existence of a finite ε-net.[1]
参考 日wiki
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全有界空間
位相幾何学および関連する数学の分野において、全有界空間（ぜんゆうかいくうかん、英: totally bounded space）とは、・・・
56:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:09:47.28 SasjpBzo.net
>>54 つづき
complete metric space
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In mathematical analysis, a metric space M is called complete (or a Cauchy space) if every Cauchy sequence of points in M has a limit that is also in M or, alternatively, if every Cauchy sequence in M converges in M.
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
完備距離空間（かんびきょりくうかん）は数学用語の一つ。
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、英: complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、英: Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。
例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。
引用おわり
57:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:26:20.44 SasjpBzo.net
>>55 つづき
さて、非加算零集合のカントール集合の扱いを参考にすると
”As the above summation argument shows, the Cantor set is uncountable but has Lebesgue measure 0. Since the Cantor set is the complement of a union of open sets,
it itself is a closed subset of the reals, and therefore a complete metric space. Since it is also totally bounded, the Heine-Borel theorem says that it must be compact.”
ってところが使えそうだと
そこで、the Cantor set→任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48に置き換えて考えてみると
１）the complement of a union of open sets：yes
２）closed subset of the reals:yes
３）therefore a complete metric space：よく分かりません。完備距離空間なのか。ただ、超越基底では不要
４）totally bounded：yes （∵1次元開球U(ε)に閉じ込めたから）
５）compact：？ ３）に同じ
なので、”Lebesgue measure 0”のうち、超越基底のルベーグ可測はyesだろう。
まあ、思うに、カントール集合は非加算だが、可算な
58:小さい被覆を取って、その和と考えられる。だから、ルベーグ可測。 可算な小さい被覆でカバーできるところは、nowhere denseなので、ゼロだけど、可算無限和の場合に、ゼロと有限値の場合とがある。 中央1/3を除く場合は、ゼロだと。 正直なところ、細部まで詰め切れていない。疑問があったら指摘してください。一緒に考えましょう（＾＾； 0については、次で
59:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:47:18.29 SasjpBzo.net
>>56 つづき
超越基底のルベーグ可測はyesについては、上でカントール集合にならって示した
さて、それが0についてだが
１．任意の1次元開球U(ε)に閉じ込めたある超越基底>>48が、ある有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする
２．簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[r-ε, r+ε](ｒは開球の中心)のルベーグ測度は、2εとなる
３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
５．よって、m=0。つまり、零集合となる、ある超越基底が存在する
６．ところで、超越次数を思いだそう。”すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。”>>29や下記
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
７．従って、零集合となる、ある超越基底が存在するならば、すべての超越基底も同じ性質を持ち、零集合となる。
（ここ細部は詰めてないけど、”すべての超越基底は同じ濃度をもつ”と同じ筋で証明できるよ、多分（＾＾； ）
60:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 09:51:45.84 SasjpBzo.net
>>57 つづき
以上です。
私は、本格的な（記号を多用した教科書的）証明を、ここで書く気は無いんだよね（そんなのここでは読みにくいだけでしょ）
かつ、細部は詰め切れていない
ルベーグ可測も詳しくないから
が、大筋合っていると思うよ
細かい点は、指摘して頂ければ、一緒に考えましょう（＾＾；
61:１３２人目の素数さん
15/11/29 09:54:34.44 2P6DAj1m.net
>>56
>５）compact：？ ３）に同じ
スレ主、超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。
62:１３２人目の素数さん
15/11/29 09:59:27.09 2P6DAj1m.net
>>59
ああ"?"は分からんという意味か。
>>57
>３．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
>４．しかし、ε＜ m/2 と取れば、2ε＜m とできるので矛盾
>５．よって、m=0。つまり、零集合となる、ある超越基底が存在する
ここの論理は良く分からんです。
"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
なぜmが1つの値にとどまっているのか。
63:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:01:12.85 2P6DAj1m.net
>>60
誤:"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
真:"U(ε)のε＜ m/2 と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
m(_ _)m
64:１３２人目の素数さん
15/11/29 10:10:21.05 2P6DAj1m.net
>>60
>"U(ε)のεをm/2と取れば"というけど、mはεに依存して変化するよね。
>なぜmが1つの値にとどまっているのか。
言いたかったことは、超越基底をU(ε)に閉じ込めたというなら、
その空間への閉じ込められ方によってmは変化する可能性があるのでは、
ということです。あとでεを変えるのであれば注意が必要だということです。
スレ主の論法で矛盾が引き出せたとしても、暗黙のいくつかの仮定のうち、
どれが誤った仮定だったのかを論じなければならない、と思うのです。
65:１３２人目の素数さん
15/11/29 11:39:40.36 4wl9a+n9.net
>>56
>１）the complement of a union of open sets：yes
カントール集合はこのようして構成されるからyesだけど、
超越基底もこのように構成できるというならそれを示す必要がある。
結論から言うと答えはnoだと思う。
yesだと超越基底はコンパクトになってしまう。
66:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 12:01:34.64 SasjpBzo.net
>>59-60
どうも。スレ主です。
>超越基底はコンパクトではないことが知られているのだが。
なるほど
>>62
"言いたかったことは、超越基底をU(ε)に閉じ込めたというなら、
その空間への閉じ込められ方によってmは変化する可能性があるのでは、
ということです。あとでεを変えるのであれば注意が必要だということです。
スレ主の論法で矛盾が引き出せたとしても、暗黙のいくつかの仮定のうち、
どれが誤った仮定だったのかを論じなければならない、と思うのです。"
１．確かに、そういうところが、甘いかも
２．だから、「超越基底はコンパクトではない」とか、「超越基底は連続した区間を占めない」＊）とか、少し超越基底の性質を論じておく方がすっきりするかも
＊）s1≠s2 | s1,s2 ∈{超越基底}ならば、有理数の稠密性から、s1とs2の間にかならずある有理数が入るから、「超越基底は連続した区間を占めない」
３．あと、２のように、連続しない（離散した）超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる＊＊）ってことも
＊＊）s1≠s2 | s1,s2 ∈{超越基底}で、s1-s2=Lとして、有理数qで割れば、s1/q-s2/q=L/q。つまり、s1とs2の間隔が、1/qに相似形で圧縮できる
（有理数qで割っているから、{超越基底}としての本質は変わっていない）
４．ここらをすっきりさせる数学的表現を私ができないだけで、”{超越基底}は零集合”の証明は、実質終わっていると思います
追伸
・εとmの関係は、δεみたいな関係でもあり、>>54のTotally bounded space のεの使い方も同じようなものと理解しています
・いま思うと、上記３の「超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる」を先に証明しておく方が良いかと思います。
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 12:29:39.20 SasjpBzo.net
>>63
>>１）the complement of a union of open sets：yes
>結論から言うと答えはnoだと思う。
>yesだと超越基底はコンパクトになってしまう。
ああ、そうなのか。よく分からんので、代案として
>>54 Totally bounded space を使いたいがどうですか？
Definition for a metric space
A metric space (M,d) is totally bounded if and only if for every real number ε >0, there exists a finite collection of open balls in M of radius ε whose union contains M .
Equivalently, the metric space M is totally bounded if and only if for every ε >0, there exists a finite cover such that the radius of each element of the cover is at most ε.
This is equivalent to the existence of a finite ε-net.[1]
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
全有界空間
例と例外
実数直線、あるいはより一般の（有限次元）ユークリッド空間の部分集合が全有界であるための必要十分条件は、それが有界であることである。これはアルキメデスの性質より従う。
コンパクト性と完備性の関係
全有界性とコンパクト性の間には、次の良い関係が存在する：
すべてのコンパクト距離空間は、全有界である。
一様空間がコンパクトであるための必要十分条件は、それが全有界であって、コーシー完備であることである。これはユークリッド空間から任意の空間へのハイネ・ボレルの被覆定理の一般化と見なされる：その場合、有界性を全有界性に（そして閉性をコンパクト性に）代える必要がある。
全有界性とコーシー完備化の間には相互補完的な関係がある。すなわち、ある一様空間が全有界であるための必要十分条件は、そのコーシー完備化が全有界であることである（これは、ユークリッド空間においてある集合が有界であることと、その閉包が有界であることは同値という事実に対応する）。
68:１３２人目の素数さん
15/11/29 12:36:30.27 4wl9a+n9.net
>>64
おれは懐疑的です。
任意の超越基底は開区間Iε内の集合としてよい、というのはOK。
しかしその集合の測度的性質が皆同じとは限らない。
そして前にも言ったが1番の問題は超越基底の測度を正のルベーグ測度をもつ開区間Iεで評価しようとしているところ。
今の場合ε＝0ではIεは空集合となり、たしかに測度ゼロではあるものの、もはや超越基底を内包できない。
超越基底が内包されるという性質がε＝0で不連続ということだ(変な言い回しだが)。
結局結論できることといったら、任意のIεは超越基底をもつということだけだ。
ここはカントール集合がゼロ測度を持つことを示す論法とは根本的に違う。
カントール集合の場合、可算の分割除去を無限に細かくした極限こそがカントール集合であり、行き着く極限値がゼロだと結論づけている。
69:１３２人目の素数さん
15/11/29 12:46:50.38 4wl9a+n9.net
>>65
有界であることは使っていいと思う。
70:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 14:38:39.95 SasjpBzo.net
>>66-67
どうも。スレ主です。
ありがとう
やっぱ、数学系の人は、思考が深いね（＾＾；
高校レベルで終わりとはいかない>>39
>有界であることは使っていいと思う。
正直、ルベーグ可測はあまり理解出来ていないが・・・
1次元開球U(ε)に閉じ込めた超越基底Sは、Totally bounded spaceで→ルベーグ可測が言えるとする
（証明のあらすじ）
１．あるの1次元開球U(ε)に閉じ込めた超越基底S>>48は、Totally bounded spaceで→ルベーグ可測であり、有限のルベーグ測度 m >0を持ったとする
２．>>64で書いたように「超越基底Sを、全体を有理数で割ることで、超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる」＊）
３．一般性を失わず開球U(ε)の中心を０とし、簡単のために、1次元開球U(ε)に対応する閉区間[-ε, +ε]を考えると、閉区間のルベーグ測度は、2εとなる
４．あきらかに、2ε＞mが成り立つ
５．有理数 q > ε/(m/2) なるqを取り、開球U(ε)をqで割って（(m/2)/εを掛けても同じ）、圧縮する。
６．上記２で述べたように、超越基底のルベーグ測度は mで不変。一方、対応する圧縮された閉区間[-ε/q, +ε/q]のルベーグ測度は、m未満となる
７．ルベーグ測度 mの超越基底が、ルベーグ測度 m未満の閉区間[-ε/q, +ε/q]に入っていることになり、m >0とすると矛盾＊＊）。従ってm=0となる
＊）超越基底Sが、nowhere dense >>53 みたいなことを、しっかり証明する必要があるという気がしてきた（＾＾；
＊＊）ルベーグ測度の加法性に反する？
こんなのでどうですか？
71:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 14:43:49.89 SasjpBzo.net
>>68 訂正
１．あるの1次元開球U(ε)に閉じ込めた
↓
１．ある1次元開球U(ε)に閉じ込めた
補足
この後は、>>57の６～７で書いた、超越基底の性質から、「零集合となる、ある超越基底が存在するならば、すべての超越基底も同じ性質を持ち、零集合となる」とすれば、証明完成かな
72:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 14:52:48.51 SasjpBzo.net
>>43 ここに戻る
>[第6弾]の証明はともかく、(Q(S)は零集合)?
>これは、命題としては、言えるような気がしてきたんだが、間違っている？
超越基底Sが、ルベーグ可測であることを示すのに、Totally bounded space（有界）を使った
が、Q(S)は、ルベーグ可測かどうかを示すところが大変かも
かつ、思うに中途半端な有限値は、取らない（取れない）だろう
もしルベーグ可測として、ゼロか、∞かだろうね
73:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:01:56.50 4wl9a+n9.net
>>68-69
スレ主も気付いてるようだけど、圧縮で測度が変わらないというならそれを示さないといけない。
同じ圧縮を閉区間に施したら測度も圧縮されてしまう。
超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか。
74:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:10:53.54 4wl9a+n9.net
>>68
> ７．ルベーグ測度 mの超越基底が、ルベーグ測度 m未満の閉区間[-ε/q, +ε/q]に入っていることになり、m >0とすると矛盾＊＊）。従ってm=0となる
任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。
測度m>0がいけないのか、m>0が圧縮操作で一定と仮定したのがいけないのか、分からないように思う。
75:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:17:18.10 2P6DAj1m.net
>>66
>任意の超越基底は開区間Iε内の集合としてよい、というのはOK。
このコメントは迂闊でした。取り消させてください。
76:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:28:35.92 2P6DAj1m.net
>>67
>有界であることは使っていいと思う。
これも取り消す。
やはり非可算な任意の超越基底というのは得体がしれない。
安易に有界だの完備だのと決め付けると間違いを犯す。
しかし、まずは区間I(ε)に含まれる有界な超越基底に議論を絞ろうと
いうのであれば、それはかまわない。
77:１３２人目の素数さん
15/11/29 15:32:38.16 2P6DAj1m.net
>>68
>やっぱ、数学系の人は、思考が深いね（＾＾；
おれは数学系ではないよ。
知識がなく分からないことだらけだ。
このスレを利用して勉強させてもらっている。
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 15:35:50.96 SasjpBzo.net
>>46 戻る
ここは初心者も来ると思うので、整理しておきたい
>>31より
記号を整備しよう。複素数体C、有理数体Q、超越数T
有理数体Qから複素数体Cへの体の拡大で、超越基底S、QにSを添加した代数拡大体をQ(S)
代数的数全体からなる集合は体をなし、Q~ URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) (wikipediaに合わせる。以前はAと記した)
としよう
C＝Q∪Q~∪T
Q⊂Q~、Q⊂Q(S)
また、定義から、明らかにQ~∩T＝φ（空集合）である
そこで、代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
T⊂Q~（S）＝C
（引用おわり）
で違う？ 下記、ベクトル空間の次元とのアナロジーで考えると、ベクトル空間の基底は、そのベクトル空間を基底の線形結合で表現するために取られる。
もし、そのベクトル空間の要素で、基底の線形結合で表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことだろ？
そのアナロジーで、先にQ~ →Cへの体の拡大があって、それを表現する超越基底Sを取るわけだから、基底から代数的に表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことではないだろうか？
ここは、当初の問題とは関係ないが、はっきりさせて置いた方がこちらも助かるので
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。
任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
このアナロジーは次のことを観察することによってより形式的にできる。ベクトル空間における一次独立と体の拡大における代数的独立はともにマトロイドの例であり、それぞれ線型マトロイドと代数的マトロイドと呼ばれる。
したがって、超越次数は代数的マトロイドのランク関数（英語版）である。
79:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/29 15:52:13.41 SasjpBzo.net
>>71-75
どうも。スレ主です。
レスありがとう
私は、ここらが限界だな
１．ある1次元開球U(ε)に閉じ込めた超越基底Sが、ルベーグ可測か否かってことね。厳密な証明は、私の手に余るよ（＾＾；
２．「超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか」は、>>64の２～３だな
３．「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」か・・。無限大の処理か・・？。そうすると、いままでの筋が成り立たないね。ところで、出典があるなら示してください
４．もしそうなら「まずは区間I(ε)に含まれる有界な超越基底に議論を絞」るしかないね。うかつに無限大を扱うと、手に負えない
命題から見直さないと行けないね
では
80:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:06:46.18 2P6DAj1m.net
>>76
代数拡大体と超越基底の関係はしっかり理解いただきたい。
そのためにはいくらでもつき合わせてもらうよ。
なぜかというと『超越基底ならばゼロ集合』に対する俺のアプローチと密接に関わっているからだ。
しっかり理解していないと俺の証明について議論ができないということになる。
>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
ここが間違っている。
まずQ~(S)とQ~(S)の代数拡大体の違いを明確にしたい。
Q~(S)はQ~にSを添加した体だ。これは代数拡大体ではない。
Q~(S)の代数拡大体は、Q~(S)に含まれない元を持ちうる。
なぜならQ~(S)の代数拡大体は、Q~にSを添加しただけの体Q~(S)の元に加え、
Q~(S)係数多項式の根までもカバーするからだ。ここがポイントだ。
再度wikiの例を引っ張る。
「Q(π, e) の Q 上の超越次数は 1 か 2 である。正確な答えは知られていない、なぜならば π と e が代数的に独立かどうか知られていないからだ。」
ここでは超越次数を1としよう。
するとQ(π,e）の超越基底は1つの元で構成されることになる。たとえばそれをπとする。
Q(π,e）の超越基底が{π}ということは、Q(π,e)/Q(π)が代数的であることを意味する。
言い換えると、Qにπを添加した体Q(π)を係数とする多項式の根としてeを生成できるという意味だ。
Q(π,e）を代数拡大で構成するのにすべての超越数(ここではπ,e）を超越基底に加える必要があるとは限らない。
このように、単に元を添加した体Q(S)ではなく、Q(S)の代数拡大体を考えるとき、
"Q(S)"⊂"Q(S)の代数拡大体"である。
（続く）
81:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:09:17.09 2P6DAj1m.net
(>>78の続き）
> ベクトル空間の基底は、そのベクトル空間を基底の線形結合で表現するために取られる。
> もし、そのベクトル空間の要素で、基底の線形結合で表現できないものがあれば、それは基底が不十分（完全でない）ってことだろ？
これはベクトル空間のとき、基底の線形結合を考えるのはそのとおり。
Q上のベクトル空間でRを張る基底Sを取り、それをQ(S)で書くことにすれば、Q(S)=Rだ。
しかし今話題にしているのはベクトル空間ではない。
線形結合ではなく代数拡大体を考えなければならない。
超越基底SによるQの代数拡大体がR(あるいはC)に等しいことを
スレ主はQ(S)=R(あるいはC)と書いていることを間違いだと言っている。
繰り返すが超越基底SによるQの代数拡大体はQ(S)ではない。
Q(S)はQにSを添加した体でしかない。
引き続き、理解できなければ質問してください。
82:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:23:16.67 2P6DAj1m.net
> ３．「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」か・・。無限大の処理か・・？。そうすると、いままでの筋が成り立たないね。ところで、出典があるなら示してください
>>77で余計な文「任意の閉区間は超越基底を含むという事実がある。」を書いたためにスレ主を混乱させてしまった。
これは単純に、ε>0を仮定してもこの事実と矛盾しないことを言いたかっただけ。
ε>0がいけないのではなく、圧縮で測度不変という仮定がいけない可能性があることを伝えたかっただけ。
無限大をどうこうとは考えていなかった。
任意の区間に超越基底が存在することはスレ主もよく分かっていたんじゃなかったっけ？
任意の開区間をIとするとIの元と有理数の積で任意のRの元が表せる。
したがってIから余計なものを除けばハメル基底が取れる。
ハメル基底から余計なものを除けば超越基底が取れるよ。
83:１３２人目の素数さん
15/11/29 16:27:34.96 2P6DAj1m.net
>>77
>２．「超越基底では測度不変というのは、超越基底のどの性質から導かれるのか」は、>>64の２～３だな
すまんが>>64の２～３から測度不変が導かれるというのは理解できなかった。
84:１３２人目の素数さん
15/11/30 02:15:10.12 c1Picbtv.net
前スレ668のおっちゃんの証明が素通りされていた。再掲しておく。
668 １３２人目の素数さん sage 2015/11/28(土) 08:54:42.73 ID:gImjm0uw
>>655
体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を
完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して
何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する
ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に
可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を
任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。
しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、
(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、
体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は
自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる
自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包
は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
85:１３２人目の素数さん
15/11/30 02:25:19.27 c1Picbtv.net
>>81
>体 Q(S) は完全集合だから、
前スレ651-652の第5段「Q(S)が完全集合」ではQ(S)が孤立点のない閉集合であることを示す必要があるが、閉であることが示せていない。
86:１３２人目の素数さん
15/11/30 02:57:58.90 c1Picbtv.net
>>83はあまり本質的な指摘ではなかった。
>>82
> 体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包
は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
>これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
ここはまったく意味わからん。
なんでm(K)＝0になるんだ？
>Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。従って、
Kの1点部分集合xの閉包が1点集合になるという一般的事実と、Kのルベーグ測度との間になんの関係があるんだ？
87:１３２人目の素数さん
15/11/30 08:46:49.01 EI/m42sT.net
>>84
>>82の主に前半(「ところが」までの部分)は、
>体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
>仮に或る開区間 I に対して、K∩I を完備とすると、体Kは通常の加減乗除について
>閉じているから、K∩I のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、
>或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な閉区間 [-ε,ε] を構成
>出来る。従って、加減乗除の操作を任意に可算無限回施すと、[-ε,ε] から
>実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を任意に可算無限回施すと
>KからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。しかし、KはRの真部分集合で
>Rとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、矛盾が生じる。
>従って、如何なる開区間 I⊂R に対しても、(Q(S))(k) と I の共通部分 K∩I は完備とはならない。
と訂正。単に開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0)を一般の開区間 I にしただけ。
本題に戻る。任意の完備な順序体は実数体Rに同型である。上の議論から、Kは完備ではなく、
Rに同型ではない順序体。距離空間としてのKは、直線R上完備ではなく かつ 連結ではないから、
Kは直線R上至る所不連結な体である。しかし、体 Q(S)、K＝(Q(S))(k) は自己稠密集合である。
従って、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
従って、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
これは、はじめに背理法の枠組みで m(Q(S))＞0 と仮定していることに反する。
88:１３２人目の素数さん
15/11/30 12:56:25.02 c1Picbtv.net
>>85
>従って、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、
申し訳ないが、何によってm(K)=0が従うのか、もう少し明確に書いてもらえないだろうか？
> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
これからm(K)=0が従うと言っているのか。それとも
> Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
これからm(K)=0が従うと言っているのか。あるいは上の両方があれば従うのか。
説明よろしく。
89:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:20:55.59 EI/m42sT.net
>>86
はじめに、後者の
＞> Rに真に含まれる体Kの任意の点xは触点でxの閉包は{x}。
だけから m(K)＝0 が従うことはない。これだけから m(K)＝0 が
従う論理を認めると、K＝R のときも同様な議論が成り立ち、反例が出る。
上の後者についての「＞」以降の行と前者の
＞> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
とがあれば、m(K)＝0 は確実に従うが、直線R上で順序体Kを考えているから、定義上は、前者の
＞> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
だけでいいだろうな。K＝R と置き換えても、この場合は距離空間Rは
完全不連結な順序体とはならず、議論の反例にはならない。この場合、直線R上で、
m(K) は距離空間としてのKを被覆する可算無限個の右半開区間の和の下限だが、
Kは直線R上稠密で、距離空間としては完全不連結だから、その下限は、
(+∞)・0＝0 で、m(K)＝0 になる。
90:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:28:58.80 c1Picbtv.net
>>87
> Kは直線R上稠密で、距離空間としては完全不連結だから、
> その下限は、(+∞)・0＝0 で、m(K)＝0 になる。
(+∞)・0というのは、つまるところ測度ゼロの点を可算無限個足し合わせたという意味か？
91:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:32:55.22 EI/m42sT.net
>>86
>>87の下から3行目の訂正：
「右半開区間の和の下限」→「右半開区間の長さの和の下限」
92:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:44:39.27 EI/m42sT.net
>>88
距離空間としてのKを被覆する右半開区間の長さの和を、選択公理により
直線R上で小さい方(-∞の方)から大きい方(+∞の方)へと非可算個取って、
その非可算個の長さの和を足し合わせた総和だと思ってもらえればいい。
これから、可算個の長さの下限が0になることは直ちに従う。
93:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:51:18.04 EI/m42sT.net
>>88
>>90の訂正：
「足し合わせた総和だと…」→「足し合わせた総和の下限だと…」
94:１３２人目の素数さん
15/11/30 14:52:12.84 c1Picbtv.net
>>90
>その非可算個の長さの和を足し合わせた総和だと思ってもらえればいい。
>これから、可算個の長さの下限が0になることは直ちに従う。
意味が分からん。非可算をそのまま足せよ。なんの理由があって可算個を抜き出すんだよ。
> KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。
これだけからm(K)=0がいえるわけないだろ。
無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
しかし無理数全体の測度は0ではない。
95:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:00:48.04 EI/m42sT.net
>>92
あ～、無理数全体の反例があったか。
>なんの理由があって可算個を抜き出すんだよ。
外測度の定義の式の「∞」は濃度でいうと「ℵ_0」にあたり、
総和は可算無限和だと解釈していたが、違うのか？
96:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:20:36.54 EI/m42sT.net
>>92
ちょっと待った。
>無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
確かにそうではあるが、無理数全体は順序体ではないから、
無理数全体は、反例にならないのではないか？
97:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:28:00.78 rA4BNgs0.net
>>93
> 無理数全体だってRで稠密で完全不連結だよ。
とオレは書いた。たしかに順序体には言及してない。
じゃあ順序体という条件が加われば非加算ではなく加算個の足し合わせで済ませられるのか？そんなわけないだろ。
98:１３２人目の素数さん
15/11/30 15:57:07.76 EI/m42sT.net
>>95
外測度の定義式の「∞」は、濃度でいうと連続体濃度cにあたるのか。
じゃあ、無理数全体は、論理の反例になっているのか。
何か、「Σ_{i＝1,…,∞}」という定義式の表記法が引っ掛かるな。
基本的な無限和の「Σ_{i＝1,…,∞}」と、表記上は余り変わりがない。
99:１３２人目の素数さん
15/11/30 16:02:48.37 rA4BNgs0.net
以下は俺の妄想なので読み流してくれ。
参考になれば参考にしてくれ。
第3段で、RはQ(S)の代数拡大体ということからQ(S)はRの真部分集合と結論づけているけど、これは正確ではないよ。
Q上の超越数がすべてQ上代数的に独立なら、SはQ上の超越数をすべて含むのでR＝Q(S)。Q(S)の測度はRに等しくなる。
もちろん幾つかの超越数は代数的に従属で、実際には真部分集合なんだろうけど。
言いたいことは、超越数の代数的な独立性を十分知ってかからないと
Q(S)＝0なんて到底示せやしないのでは、ってこと。
上の例はQ(S)の測度が無限大になる可能性を示している。
ゼロを示すにはよほどの理由付けがないといけない。
100:１３２人目の素数さん
15/11/30 17:10:50.94 c1Picbtv.net
>>88
>(+∞)・0というのは、つまるところ測度ゼロの点を可算無限個足し合わせたという意味か？
という俺の質問に対して、点ではなくKを被覆する非可算の右半開区間であると答えてくれたんだったな。
混乱させてしまい、すまなかった。
では定義どおり半開区間を考える。
Kを可算個で覆う半開区間の測度を足し合わせる。
非可算ではなく可算個の半開区間でKを覆ったとき、
『各々の半開区間は測度0』が言えるのだろうか？
それが言えないと
>(+∞)・0＝0
は言えないのでは？
101:１３２人目の素数さん
15/12/01 16:39:59.17 baxAOB/Z.net
>>98
昨日の話はチャラか。まあ、そうだわな。変だと思っていた。本題。
＞では定義どおり半開区間を考える。
＞Kを可算個で覆う半開区間の測度を足し合わせる。
＞非可算ではなく可算個の半開区間でKを覆ったとき、
＞『各々の半開区間は測度0』が言えるのだろうか？
＞それが言えないと
＞>(+∞)・0＝0
＞は言�
102:ｦないのでは？ 外測度の定義上はそうなる。 が、KはR上稠密であって、距離空間としては完全不連結な順序体である。 Kの標数は0で、Kは有理数体Qを含む。従って、Kの素体Qの閉包はp進数体と 同型になる(位相はハウスドルフ位相)。つまり、Kの素体は離散的な体として扱える。 ここに、QはR上稠密で、距離空間としては完全不連結な順序体なることに注意する。 Qを素体に持つ順序体Kは card(K)＝c にもかかわらず、離散的な体として扱える。 離散的な体でないとすると、Kは局所コンパクトな位相体(位相はハウスドルフ位相)となって、 実数体(直線)Rと同じ扱いになる。つまり、card(K)＝c なのに、直線R上で順序体Kの点は 離散的に分布しているとして扱える。離散的な対象を扱う上では +∞ は可算無限の 扱いになるから、可算個の半開区間でKを覆ったとき、「(+∞)・0＝0」はいえるだろう。 もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。 単純ではなくなる。
103:１３２人目の素数さん
15/12/01 18:45:02.45 TkgkJFPp.net
>>99
>離散的な対象を扱う上では +∞ は可算無限の
>扱いになるから、可算個の半開区間でKを覆ったとき、「(+∞)・0＝0」はいえるだろう。
可算無限の+∞を問題にしているのではなくて、
半開区間の測度がすべて0なのかが問題なんだよ。
カントール集合はその構成方法から測度0が導けたけど、
Kはカントール集合と違って『開集合の補集合』で構成できるとは言えない。
（言えるというなら示さないといけない）
離散的というのはどういう意味か。
離散的な対象は可算である、というならKは非可算なので矛盾するが。
> もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。
> 単純ではなくなる。
ここがおっちゃんの証明の最重要ポイントだから、手を抜かずに頼むよ。
104:１３２人目の素数さん
15/12/02 13:03:54.23 cA2WSz5U.net
>>100
>離散的というのはどういう意味か。
>離散的な対象は可算である、というならKは非可算なので矛盾するが。
「離散的」というのは、完備ではないとか、連結ではないという意味だな。
有理数体Qは稠密で、完備ではないが、連続的な対象としても扱える。
相対的に連続と離散を対比させて使うのはよく見かけるが、稠密はどちらでもない。
＞> もし、「各々の半開区間は測度0」を測度論的に示すとなると、何かが必要になる。
＞> 単純ではなくなる。
＞ここがおっちゃんの証明の最重要ポイントだから、手を抜かずに頼むよ。
直線R上での右半開区間の測度すべてを相手にするとなると、
余り公表したくなかったが、私の研究内容を晒せ、ということかな。
これをここに書くのは、よろしくないだろ。意外にも単純な話ではなくなる。
証明の重要な部分に論理の飛躍があったことになる。或いは、m(Q(S))＝0 ではなかったのか。
105:１３２人目の素数さん
15/12/03 04:59:46.11 mQy0LmD9.net
あれ？ 昨日は私(おっちゃん)宛てのレスはなしか。
もし、メンター(その他)が読んでいたらの話になるが、
前スレで気分を害したであろうメンターには、謝罪と感謝をする。
背理法の利用法を教えてくれたにもかかわらず、
気分を害することを書き、大変申し訳ありませんでした。
おかげで証明の真偽を確認する方法を身に付けられそうです。
背理法を使うときも含めて、論証では数学的対象を意識することの重要性が分かりました。
あと、メンターの他に、もし私のせいで気分を害したような人がいたら、
その人にも謝罪をしておきます。気分を害することを書き、誠に申し訳ありません。
私にはこれ以上よい文章は思い付きません。ウマく伝わることを祈ります。
スレ主その他の人も含め伝える。私はしばらく旅に出る。
何か1年間ここで遊んでしまったようだ。遊んでいる場合ではないので
ここから去る。遊んでいたら、研究やお勉強とかする時間がなくなる。
数学的な内容のレスとしては、>>101が私の最後のレスになると思う。
>101の続きをしても、私からのレスは多分来ないと思ってほしい。
もし話を続けるなら、このことを前提にして続けてほしい。
106:１３２人目の素数さん
15/12/03 18:46:08.55 2V8kp7An.net
>>102
>あれ？ 昨日は私(おっちゃん)宛てのレスはなしか。
>証明の重要な部分に論理の飛躍があったことになる。或いは、m(Q(S))＝0 ではなかったのか。
飛躍に気づいてもらえたようなので特に返信はしなかったよ。
Sは可測ならゼロ集合だ。じゃあQ(S)はどうか。これは素人の俺には結構面白い問題だ。
>>97にも書いたが、Sの代数的な独立性によってはQ(S)=Rになる。測度無限大。
しかしSはゼロ集合で間違いない。
Sを高々可算のQに添加しただけで本当に測度無限大になるのか、肌感覚として疑問がある。
実は代数的に独立な超越数は従属な超越数よりも圧倒的に少なく、Q(S)の測度は0になるのかもしれない。
体に集合を添加したときに、元の体がどのように膨らむのか、自分はまだ正しい感覚が身についていない。
107:１３２人目の素数さん
15/12/03 20:54:29.85 EQwOzK69.net
ガロア理論の頂を踏むという本を買ってみたが後半理解不能。
うーん。
108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:23:20.52 udQktcvb.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、どうも
みなさん、どうも
今週は、変則です
109:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:35:22.18 udQktcvb.net
>>81
>すまんが>>64の２～３から測度不変が導かれるというのは理解できなかった。
推論が間違いでした（＾＾；
>>64の「超越基底の位相的（測度的？）性質を変えないで、（相似形で）圧縮できる＊＊）って」が×
（相似形で）圧縮は、濃度は変えないが、測度は変える可能性大だな
測度は平行移動だね。下記のヴィタリ集合の筋が参考になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
(抜粋)
ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
構成と証明
有理数集合 Q は実数集合 R の普通の加法についての部分群を成す。なので加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群) は有理数集合の互いに交わらない"平行移動コピー"によって出来ている。
この群の任意の元はある r ∈ R についての Q + r として書ける。
R/Q の元は R の分割の1ピースである。そのピースは不可算個あり、各ピースはそれぞれ R の中で稠密である。R/Q の元はどれも [0, 1] と交わっており、選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる。
このようにして作られた集合がヴィタリ集合と呼ばれているものである。すなわち、ヴィタリ集合 V は [0, 1] の部分集合で、各 r ∈ R に対して v ? r が有理数になるような一意的な v を要素に持つものである。ヴィタリ集合 V は不可算
V の構成から、平行移動による集合 V_k=V+q_k=\{v+q_k : v ∈ V}, k = 1, 2, ... はそれぞれ互いに交わらない。
110:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:41:02.33 udQktcvb.net
>>103
>Sは可測ならゼロ集合だ
それは、平行移動で証明できた。「Sは可測」は、まだ証明できていないが
111:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 21:56:05.99 udQktcvb.net
>>107
実数の超越基底Sが、ルベーグ可測なら零集合であることの証明
（命題）実数の超越基底Sは、ルベーグ可測なら零集合である
（証明）
０．超越基底Sの各要素は、定義より代数的に独立である。従って、代数的操作(四則)で一致することはない。特に、以下で使う加減操作で一致しないことを注意しておく*)
*)代数独立基底における有理距離平行移動独立性と名付ける（定義そのものだが、明示的表現として名付ける。）
１．超越基底Sの各要素の整数部分をゼロとすることで、－１から１の区間に集めることができる。これは、∀s∈Sで、sの整数部分を取り、その逆符号の数をsに加える操作に等しいので、異なる各sが一致することはない。
数学的には、（正の）整数からなる区間[i,i+1]を、平行移動で、[0,+1]に集めることに等しい。（負の数は、符合が逆転し、[-1,0]に集めることに等しい。）
各区間のViとして、Vi=V(Si) Siは、[i,i+1]に含まれるSの要素とすると、V(S)=ΣVi（可算和）となる。
２．区間内で０の回りの小さな-εからεの区間を考える。一般性を失わずに、ε＝r（有理数）と取ることができる
３．[－１,１]をrで分割する。具体的には、[－１,－１+2r],[－１+2r,－１+4r],・・・[－１+2(i-1)r,－１+2ir]・・・[－１+2(n-1)r,1]。 ここにnは1<2nrとなる最小の整数、iは１からn-1までの整数
４．各[－１+2(i-1)r,－１+2ir]の区間を、Biとする。区間Biを(2i+1)rだけ平行移動させることで、０の回りの-rからrの区間に入れることができる。
なお、各区間Biの境界には、超越基底の要素sは存在しない。∵境界は有理数であり、sは超越数であるから。
（数学的には、上記１～４の操作は、数直線を、有理数からなる区間[ir,(i+1)r]に分割し、その可算和を取る操作と同じである。（繰り返しになるが、負の場合は符号反転する））
５．このようにして、平行移動させても、各s∈Sは一致しない（重ならない）。（理由は上記１に同じ）
６．平行移動によって、測度は変わらないから、－１から１の区間に集めた超越基底Sを、測度を変えずに、-ε（=r）からε（=r）の区間に入れることができた
７．よって、超越基底Sは零集合である。 ∵-εからεの区間に存在する超越基底Sの測度は、各区間Biの測度の可算和に等しいから。
QED
112:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:01:06.24 udQktcvb.net
上記証明で、超越基底Sの有理距離平行移動独立性のみを使った。
従って、上記証明は、任意の代数独立基底の有理距離平行移動独立性を有する集合に適用可能である
特に、ハーメル基底にも適用できる
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:16:36.01 udQktcvb.net
「超越基底Sは、閉集合」を言えれば良いが、はっきりしない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルベーグ測度
Rn の開集合や閉集合(参考:距離空間)はルベーグ可測である。
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 22:20:46.91 udQktcvb.net
>>108 補足
１のV(Si), V(S)は、ルベーグ測度を表す
115:１３２人目の素数さん
15/12/03 22:33:10.74 2V8kp7An.net
>>103
>７．よって、超越基底Sは零集合である。 ∵-εからεの区間に存在する超越基底Sの測度は、各区間Biの測度の可算和に等しいから。
ここがダメだと思う。先週議論したことと同じだ。
話を開区間I(ε) に含まれるSに限定しよう。
そうして>>108の第1段～6段をスキップしよう。
I(ε)は可算個の半開区間Biに分割できる。
よって可算個Biの和だから測度は0だ。
・・・とはならないよね。
Sは非可算だから、測度が0に収束する可算の半開区間では覆えない。
116:112
15/12/03 22:38:37.63 2V8kp7An.net
> Sは非可算だから、測度が0に収束する可算の半開区間では覆えない。
訂正→『測度が0に収束する可算の半開区間では覆えることが証明できていない』
先週話したようにカントール集合のような特殊性（コンパクト）があれば話は楽だ。
しかし超越基底からはそういう良い性質を抽出できないんだよね。
117:112
15/12/03 22:39:41.95 2V8kp7An.net
>>113
ah..日本語が変だが許してくれ。スレ汚してすまんかった。
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:03:43.41 udQktcvb.net
>>112
どうも。スレ主です。
リンク違いかな？ >>103→>>108
先週議論したことと同じではないよ。（＾＾；
”そうして>>108の第1段～6段をスキップしよう。”は、乱暴だよ
特に、「５．このようにして、平行移動させても、各s∈Sは一致しない（重ならない）。（理由は上記１に同じ）」に注目してほしい
この性質を持つのは、Sが基底だからだ
単なる半開区間は、この性質を持っていない（つまり、かさなる）（＾＾；
119:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:08:19.47 udQktcvb.net
西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) が面白かった
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
Lebesgue 積分 (学部学生向け) Nishitani Tatsuo 2015
西谷 達雄 学歴
京都大学 理学部 卒業 1974年03月
京都大学 理学研究科 数学専攻 修了 理学修士 1976年03月
京都大学 理学研究科 数学専攻 単位取得満期退学 1979年03月
京都大学 理学研究科 単位取得満期退学 理学博士 1980年09月
職歴
京都大学助手（理学部） 1979年04月 ～ 1983年03月
大阪大学講師（教養部） 1983年04月 ～ 1985年03月
大阪大学助教授（教養部） 1985年04月 ～ 1990年04月
大阪大学教授（教養部） 1990年05月 ～ 1994年03月
所属組織
1996年04月01日 ～ 継続中，大阪大学 理学研究科 数学専攻，教授，専任
URLﾘﾝｸ(www.dma.jim.osaka-u.ac.jp)
120:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:15:32.92 2V8kp7An.net
>>115
スレ主、I(ε)に含まれるSに限定して考えても同じことだよ。
スレ主が得た結果と同様にI(ε)でSは重ならない。
俺が主張したいのは、
・第0段～第6段について今は議論しない。
・肝心の第7段が間違っている
ということなんだ。
スレ主は第0段から第6段で、すべての超越基底がI(ε)に収められるとした。
これはひとまず認めよう。
しかし、はじめからI(ε)に含まれるSだけを考えても、第7段は
間違っている。
その論法ではルベーグ測度0は示せていないよ。
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:18:23.20 udQktcvb.net
>>116 つづき
ミスタイプを一つ見つけた
P50 3.4 Lebesgue によるLebesgue 積分 m(E) + ￣m(Ec) ? b ? c → b ? a だな
P2序
積分の一般論の構成方法としては，一般的には，Lebesgue 方式とDaniell
方式の２通りの方法がある．Lebesgue 方式(1902) では公理論的な測度論から
出発し，そこから積分論を導く，という方法をとる．一方Daniell 方式(1918)
では，基本関数族の上における基本積分の概念から出発し，まず積分論を構
成し，積分論から測度理論を導く，という方法をとる．ここではDaniell 方
式に従ってLebesgue 積分論を解説することにする．
P10
1.3 零集合の定義と特徴づけ
定義1.3.1 Z ⊂ B とする．任意の? > 0 に対してZ が，体積の和が? を
超えない有限個，または可算個の区間B1,...,Bn,... の開核で被覆できると
き，すなわち
Z ⊂ ∪ i=1～∞ B?i ,∑i=1～∞ v(Bi) ? ε
とできるとき，Z を零集合，あるいは測度０の集合という．
まずいくつかの簡単な注意を与えておこう．定義においてZ がBi の開核で
被覆されることは本質的ではない．
122:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:35:22.39 udQktcvb.net
>>117
どうも。スレ主です。
いや、実は、そこは、種本があるんだ
それが、西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) P10>>118 「1.3 零集合の定義と特徴づけ」だ
まあ、一度原本にあたってみてください
そうすれば、正しいことが分かるだろう
なお、この本は、Daniell 方式(1918)というらしいが
Lebesgue 測度より先に、零集合の定義をして、その後ルベーグ積分を定義して、その後に、積分論から測度理論を導く
だから、>>108で、ルベーグ可測を仮定しないで、直接零集合を言えないかと模索したが、できなかった
特に、>>108では、「平行移動で測度が変化しない」という、Lebesgue 測度の性質を使っている
「平行移動で測度が変化しない」という性質は、”測度”抜きには言えないかも（＾＾；
123:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:41:15.35 2V8kp7An.net
>>119
スレ主は定義を誤解しているよ。
スレ主の論法だとI(ε)={-ε<x<ε}がゼロ集合になってしまう。
I(ε)に含まれている開区間もみんなゼロになってしまう。
基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
124:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:42:40.55 CWLrp95i.net
>>108は表現の仕方が稚拙で勘違いされやすい点があるが、
本質的には以下のような議論をしているものと思われる。
もし以下の意味ならば、>>108は正しい。
Sはルベーグ可測な超越基底とする。正整数Nを任意に取り、r＝1/N と置く。
S＝∪[k∈Z] S∩[kr, (k＋1)r) と分解する。右辺は互いに素だから、
m(S)＝Σ[k∈Z] m(S∩[kr, (k＋1)r)) である。mの平行移動不変性から、各k∈Zについて
m(S∩[kr, (k＋1)r))＝m(S∩[kr, (k＋1)r)－kr)＝m((S－kr)∩[0, r)) である。
よって、m(S)＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) である … (1)
ここで、
(2) ∪[k∈Z] ( (S－kr)∩[0, r) ) ⊂ [0, r)
(3) { S－kr }_{ k∈Z } は互いに素 (特に、{ (S－kr)∩[0, r) }_{ k∈Z } は互いに素)
が成り立つことが証明できる( (2)は明らかで、(3)はSが超越基底であることを使う)。
(2)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))≦r となる。
(3)から m(∪[k∈Z] (S－kr)∩[0, r))＝Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r)) となる。
よって、Σ[k∈Z] m((S－kr)∩[0, r))≦r となる。これと(1)から、m(S)≦r となる。
すなわち、m(S)≦1/N となる。Nは任意だったから、m(S)＝0 となる。
より一般的には、次が成り立つ。
定理 A⊂R はルベーグ可測で、{ A＋r }_{ r∈Q } は互いに素とする。このとき、m(A)＝0 である。
証明は上と同じ。
125:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:44:34.97 udQktcvb.net
>>119 補足
>>108で、ルベーグ可測を仮定しないで、直接零集合を言えないかと模索したが、できなかった
が、ルベーグ可測を仮定すれば、西谷 達雄先生のLebesgue 積分 (学部学生向け) P10>>118 「1.3 零集合の定義と特徴づけ」に帰着できているよ
126:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:52:09.31 2V8kp7An.net
>>121
おっちゃんお帰り。
すまんが、今は『I(ε)が任意に小さい可算個の区間では覆えない』ということについて議論を絞らせてくれ。
スレ主はゼロ集合の定義を誤解しているようだ。すぐに分かってくれるとは思うが。
127:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:55:53.85 CWLrp95i.net
>>123
俺はおっちゃんではない。
＞すまんが、今は『I(ε)が任意に小さい可算個の区間では覆えない』ということについて議論を絞らせてくれ。
その話は誤答おじさんがやっていた論法であり、>>108はそのような議論をしていない。
>>108でやっているのは、超越基底 S⊂[－1, 1] を幅rの区間で分割して平行移動して
[－r, r] の中に集めたということ。集めても重複が全くない(超越基底の性質)ことが大切で、
これによって m(S)≦r (この場合は m(S)≦2r か) が出る。rは任意だから m(S)＝0 となる。
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/03 23:56:27.36 udQktcvb.net
>>120
>基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
ちょっと勘違いしているか、表現がおかしいと思う
129:１３２人目の素数さん
15/12/03 23:59:02.19 2V8kp7An.net
うむ、俺が間違っていた。スレ主、教えてくれた方（メンターだろう）、すまなかった。
任意のrに押し込めるという重要なポイントを完全に読み飛ばしていた。
130:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:01:37.54 Y29+qY7P.net
もしよければ>>103についてメンターにコメントを伺いたい。
Q(S)の測度に関することを何でもよいので。
131:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:07:21.61 RzONiyCo.net
>>127
定理1 RのQ上の超越基底は、もしルベーグ可測ならばゼロ集合である。
定理2 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ可測なものが存在する。
定理3 RのQ上の超越基底であって、ルベーグ非可測なものが存在する。
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
(オマケ 定理5 体 K⊂R であって、ルベーグ非可測なものが存在する。)
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。
132:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:12:44.79 Y29+qY7P.net
どうもありがとう。
定理4は非常に面白い。
代数従属（"代数的に従属"をこう略していいのか知らないが）な超越数が1つでもあれば、
Q(S)は非可測、もしくはゼロ集合であると理解した。
代数従属な元が1個だとしたら、感覚的にはゼロ集合であってほしくないが、どうなんだろう。
興味は尽きない。
133:１３２人目の素数さん
15/12/04 00:25:04.42 Y29+qY7P.net
>>129
>代数従属な元が1個だとしたら、
読み返して気づいたが、センスの無い仮定だった。
1個だけ従属になるようなSは取れないというのが真かもしれないな。
Q(S)がゼロ集合になるかもしれない、というのは
Sについて多くを知らないことの裏返しのような気もする。
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 06:39:27.01 iKyM1/y1.net
>>128
どうも。スレ主です。
これ面白いですね。
すぐには理解できないが（＾＾；
135:１３２人目の素数さん
15/12/04 07:55:37.12 HIBSdSAM.net
>>104
>ガロア理論の頂を踏むという本を買ってみたが後半理解不能。
結局、
１．読んだ人がガロア理論を理解するための準備ができてない
２．著者自身がガロア理論を、そしてそれを理解するということがどういうことかをわかってない
ということ。
たとえば、「ガロア理論の基本定理」が何かを徹底的に理解するだけでもかなり違う。
これは、どちらかというと、１．の問題。
体論、群論の整理（記述）ができてないのは、どちらかというと２．の問題。
これができてないのに、応用（＝代数方程式の代数的可解性の条件）が理解
できないのは当たり前。
あなただけの問題ではない、著書著者にも問題がある。
136:１３２人目の素数さん
15/12/04 08:15:14.45 rW5UfAym.net
>>132
箇条書きにしても無内容なレスは無内容だなあ
137:１３２人目の素数さん
15/12/04 08:18:58.72 rW5UfAym.net
>>128-130
いっぺん本物の専門家にメールかなんかで相談してみたらいいのに。
みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？
まぁ濃度なんてあんまり実用性がない概念にいつまでもしがみついてこれで証明になる！って威張ってる方がおかしいんだろうけど。
138:１３２人目の素数さん
15/12/04 13:56:48.31 waatPpKT.net
>>132
↑
どこの馬の骨ともわからん人がどこの馬の骨ともわからん人の書き込みに対して、
事実も論拠も示さずにエラそうに結論付ける、2ちゃんによくいる狂人タイプ。
139:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:20:59.33 8rijlue2.net
>>134
> みんなで大空振り大会やってましたってだけじゃね？
何を指して大空振りと言ってるんだ？
140:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:38:16.41 BBnFe7io.net
カオス理論
141:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:51:38.85 u9qoBMX/.net
正規部分群もイデアルもわかってない馬の骨だよ
強烈だよ
142:１３２人目の素数さん
15/12/04 19:55:20.54 rW5UfAym.net
もっとこまごまとした修正で治せるわけがない小手先の論証ごっこがどっさりか。
143:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:00:50.03 8rijlue2.net
>正規部分群もイデアルもわかってない馬の骨だよ
それはそれで周りが楽しんでスレが伸びるんだからいいじゃないの。
スレ主は数学科卒ではないようだから知識が怪しいところも多いだろうよ。
144:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:06:48.61 8rijlue2.net
>>139
>もっとこまごまとした修正で治せるわけがない小手先の論証ごっこがどっさりか。
気を悪くしたらすまんが、さっきから何を言ってるのか分からんよ。
"もっと"はどこにかかるんだ？最後の"どっさり"にかかるのか？
"小手先の論証ごっこ"というのは、超越基底の話？それ以前の話題も含んでいるのか？
>>134の大空振りってのは何についての話だったんだ？超越基底の測度について？Q(S)の測度について？
145:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:12:40.18 rW5UfAym.net
濃度論使ったつもりの証明もどきには>>141が感じる疑問よりどっさり疑問があるが馬鹿らしいので列挙しない。
146:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:14:13.27 rW5UfAym.net
そういう疑問を各個撃破しても根本がおかしい議論は直せない。
147:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:17:10.66 rW5UfAym.net
しいていえば同じような証明法をやってる実際の似た論文ネットから拾ってくる程度すれば納得するが
濃度論振り回して証明しますたっていうの活字や論文で見たことがない。
148:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:17:15.25 8rijlue2.net
>>142
>濃度論使ったつもりの証明もどきには>>141が感じる疑問よりどっさり疑問があるが馬鹿らしいので列挙しない。
濃度の話ということは、最近の超越基底の測度の話ではないということか。
149:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:20:31.35 rW5UfAym.net
俺の感覚だとこういうのはボレル集合とか後せいぜいちょこっと超越基底が出てくるような話になると思われ
150:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:28:02.95 8rijlue2.net
>>146
>俺の感覚だとこういうのはボレル集合とか後せいぜいちょこっと超越基底が出てくるような話になると思われ
>>145で分かったつもりになったが、また貴方が何を言っているのか分からなくなった。
貴方にとってスレ主は間違いだらけ、取るに足らない奴だと言いたいのだけは分かったよ。
151:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:32:02.22 u9qoBMX/.net
数学科卒じゃないから正規部分群もイデアルもわかってないのはいいが、
ならガロア理論語るな と言いたい
152:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:32:13.40 rW5UfAym.net
まぁガロア理論標榜してるのはもうやめろって感じだな。イカさまガロア理論の人気に便乗した基礎論厨の亜種の低レベルって感じ。
153:１３２人目の素数さん
15/12/04 20:36:19.52 rW5UfAym.net
まぁネットで拾ってくるしか能がないのに似たような論証やってる論文も拾ってこれないってことは相当怪しい論証ごっこしてる自覚ぐらいあるんじゃないの？
154:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:35:01.55 xWy1Dtoe.net
一句「評論家、分かったようなふりをする」
下記で、クラオタ→スウオタ、音楽→数学に置き換えても、意味が通るかな・・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.uncyclopedia.info)
評論家 - アンサイクロペディア
コラムという名の評論を書く。もちろん、自分の好き嫌いを言いたい放題書くだけである。
評論家にとって一番楽なのは夕刊紙の評論である。なんせ悪口だけを書けば十分だからである。それで主な購読層である窓際サラリーマンが喜ぶのだから楽な仕事である。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
なんでクラオタは音楽が分かってないくせに、分かったフリをして偉そうにするので...
ID非公開さん
2015/6/1118:36:28
なんでクラオタは音楽が分かってないくせに、分かったフリをして偉そうにするのですか？
？
155:クラオタが音楽(のようなもの)を聞いて、「深みがある」「精神性が高い」なんて語っているが、実際にクラオタが求めているものは「浅ましくて」「通俗性が高い」音楽(のようなもの)でしょう？
156:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:37:48.88 iKyM1/y1.net
試合が終わって、結果が分かってから、「あそこでバントをして点が取れなかった。もっと積極的に攻めて行くべきだったとか」
あるいは、その逆をいう。結果が出てからいうのは、簡単だよね。自分が分かって無くてもなんでも言える（＾＾；
157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:45:23.18 xWy1Dtoe.net
前スレでの新作問題が、まだ１題残っているよ。下記だ
ID:u9qoBMX/くんと、ID:rW5UfAymくんね、指名しておくよ
すらっと解ければ、私スレ主より上と認める（＾＾；
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:312番)
312 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/03(火) 07:58:25.71 ID:E0ZOM897 [3/7]
>>173 ”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>>202 上記を、可算公理の背理法に寄らず証明せよ
158:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:52:24.50 xWy1Dtoe.net
ところで、>>128について
みんな、あっさり認めるのか？（＾＾；
数学では証明が無ければ、真と認めないとか、大口叩くけど
おまいら、証明分かって言っているのか？（＾＾
ID:RzONiyCoさんに、証明とか出典とか教えて貰わなくていいのか？
自分で証明できるとでもいうつもりか？（＾＾；
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/04 23:59:31.36 xWy1Dtoe.net
さらに、>>128について
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。
（補足）
「定理」と大上段に振り上げておいて、定理で述べたことは、そういう例は「どれも知らない」という
それで納得するのが、数学科か？ 数学科って面白いところだね・・・
おまいら、試されているんじゃないのか？ （＾＾；
160:１３２人目の素数さん
15/12/05 00:41:41.55 vNSk+5iQ.net
嘘つきは土日の始まり
161:１３２人目の素数さん
15/12/05 00:50:22.28 g8DDoHnr.net
>>154-155
> ID:RzONiyCoさんに、証明とか出典とか教えて貰わなくていいのか？
> 自分で証明できるとでもいうつもりか？（＾＾；
この定理4の捉え方が貴方と俺では違うのだと思う。
> 「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」
この3通りに限られること自体は驚くことではない。
Q(S)が可測だとしよう。自然に考えてm(Q(S))が0以外の有限な値を取るとは考えられない。
非可測なSが存在することは俺にとっては既知。であればQ(S)が非可測になる可能性もあるだろう。
結局可能性はこの3通りだというのは俺でもわかる。
俺が驚いたのは、聡明なメンターでさえQ(S)がゼロ集合になる可能性を否定しなかったことだ。
>>97で書いたような素人の単純な疑問が未解決だということに驚いたんだよ。
>「定理」と大上段に振り上げておいて、定理で述べたことは、そういう例は「どれも知らない」という
> それで納得するのが、数学科か？ 数学科って面白いところだね・・・
> おまいら、試されているんじゃないのか？ （＾＾；
超越数の代数的独立性の判定は難しい。
そもそも実数から超越数を拾い上げてくること自体が難しい。
したがって超越基底の具体的な例を挙げられないことくらい想像の範囲内だ。
162:１３２人目の素数さん
15/12/05 02:24:28.51 g8DDoHnr.net
>>157
3通りは自明だと書いてしまったが
『可測かつゼロ集合でなければQ(S)=R』
はたしかに証明すべきことだな。すぐには分からない。
>>129にも書いたが、命題を言い換えると下のようになる。
『超越数がすべて代数的独立ならばQ(S)=R、そうでなければゼロ集合か非可測』
1個でも代数的従属な超越数があればゼロ集合か非可測だ。つまり
『代数的従属な超越数の存在は知られていない』
ということになるかと思う。
163:158
15/12/05 02:25:57.15 g8DDoHnr.net
>『代数的従属な超越数の存在は知られていない』
この理解が間違っていたらどなたか指摘してほしい。
では。
sssp://o.8ch.net/1e4l.png
164:１３２人目の素数さん
15/12/05 02:29:19.63 g8DDoHnr.net
（間違えてお絵描きLOADなるボタンを押してしまった。効果がよく分からん）
165:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 06:52:18.14 eSmTZwF/.net
>>157-160
どうも。スレ主です。
メンターさんが、ちょっと引いたあと、おっちゃんの証明を読んでくれて、間違いをしてきしてくれていた方だね
みなさん、コテがないので不便だから、”TAさん”とさせてもらおう
私より、数学に詳しそうなので。（私は、自称学部３年くらいかなと思っている）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ティーチングアシスタント (Teaching Assistant)とは、大学などにおいて、担当教員の指示のもと、学生が授業の補助や運用支援を行うこと、あるいはそれを行っている学生のこと。基本的には大学院生が多い。TAとも略される。
166:１３２人目の素数さん
15/12/05 07:37:01.46 g8DDoHnr.net
>>161
>私より、数学に詳しそうなので。（私は、自称学部３年くらいかなと思っている）
そう見えたか。付け焼刃の勉強が功を奏したらしいｗ
俺はせいぜい学部2年の始まりくらいだ。
167:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 07:55:51.05 eSmTZwF/.net
>>158
>「 Q(S)＝R 」>>128
ここをちょっと突っ込ませて貰うと
１．まず復習から、普通の学部の代数学では、例えば、Qに√2を添加した拡大体Q(√2)で、代数拡大。
２．Qにπを添加した拡大体Q(π)は、超越拡大。超越基底はπで、超越次数は１
３．そして、両方を添加したQ(√2,π)という拡大体も考えられる。これも、超越基底はπで、超越次数は１
４．「超越基底は常に存在する。とくに、超越拡大 T/k がその超越基底 B によって T = k(B) と表されるならば、拡大は純超越的であるという。」
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 体の拡大
５．だから、Q(π)は純超越的であり、Q(√2,π)は純超越的ではない。
６．ここまでは、良いだろう？ 学部で習う範囲だ
７．そして、この流れで、QからRへの体の拡大を考える。無理数を、代数的数Aと超越数Tに分けて、R＝Q+A+T。集合論として、ここまでは良いだろう
８．この流れで、「超越基底S⊂T」も良いだろう。とすると、上記の１～５の流れでは、Q(√2,・・・（代数基底）、π,・・・（超越基底）)
（分かると思うが、”√2,・・・”は代数的数Aを表現する基底で、”π,・・・”は超越数Tを表現する基底。なお、代数基底という用語はないかも知れないが、ご容赦）
９．とすると、「QからRへの体の拡大は、純超越的ではない」とおもうだろ？
１０．一方、「 Q(S)＝R 」が成り立てば、「QからRへの体の拡大は、純超越的である」だ。全く逆の主張だ
１１．それでみな納得してんのか？ 証明できるのか？
追伸
とくに、ID:u9qoBMX/くんと、ID:rW5UfAymくんのご両名を指名しておく
きちんとした説明や証明が出来なければ、この両名は、私スレ主より「数学レベルが下」の認定だな（＾＾；
168:１３２人目の素数さん
15/12/05 08:12:43.56 RQGyOTCw.net
＞私は、自称学部３年くらいかなと思っている
得意な代数でさえ、正規部分群やイデアルすらわかってないのに？ご冗談をw
169:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:16:05.17 eSmTZwF/.net
>>162
どうも。スレ主です。
ご謙遜でしょう
まあ、おっちゃんの証明を読んでアドバイスできるので、TAさんで
170:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:27:02.13 eSmTZwF/.net
>>164
おお！ 良い突っ込みだね
が、その命題には証明が付けられていない
だから、こうしよう。君が、私よりレベルが上ということをまず立証してください＊）
それができれば、君の主張を認めよう（＾＾；
＊）
これは、「人の実力を判定するには、判定者はその人より、実力が上でなければならない」という定理による
立証は、このスレの流れの中で、何か数学的に気の利いたことを書いてくれ。それで十分だろう。「いいね」と認められたらそれでOK！ 別にテスト問題で試す気は無いから
それで、”得意な代数でさえ、正規部分群やイデアルすらわかってないのに？ご冗談をw”の成立を認める（＾＾；
なお、代数学は自学だが、微積や複素関数、微分方程式（含む偏微分）は、大学でやったけど（実学の部分だが）
171:１３２人目の素数さん
15/12/05 08:28:28.38 0MFvkpM6.net
スレ主は線形代数からやり直し
172:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:47:42.69 eSmTZwF/.net
>>163 補足
１．Q(S)＝R が成立するということは、任意のQ上の代数的数a∈Aに対して、a=f(s1,s2,・・・） | fはQ係数多項式
が成り立つということでは？
２．明らかに、Q(√2,π)>>163では、√2＝f(π）という多項式は存在しない ∵両辺を自乗すれば、2＝f(π）^2となって、πが超越数に反する
３．だから、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない
４．超越次数が無限なら？ よく分かりません。が、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 体の拡大
５．ならば、「Q(S)が純超越的かそうでないか、二通りあり得る」って話は、スレ主的には証明要と思うのだが（あんたら自明だとでもいうのかい？）
>>128を真に自明だと理解している人は別として、指摘されて「なるほど」と思った人は、少なくとも私と似たレベルじゃないのかね？（＾＾；
173:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 08:50:02.05 eSmTZwF/.net
>>167
線形代数は、復習の必要は認める（＾＾；
が、昔大学でやったからね～（＾＾；
まあ、２１世紀の線形代数はレベルアップしているかも知れないが
ベクトルと行列程度なら
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 09:02:20.68 eSmTZwF/.net
>>155 ここに戻る
雑魚の雑音はおいといて（＾＾；
TAさんは
”定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓↑
「 Q(S)がルベーグ非可測になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)がゼロ集合になるような超越基底Sの例 」
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」
は、どれも知らない。”
で、”「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれか”は、どう思っているの？
「 Q(S)＝R 」が成り立てば、Q(S)はルベーグ可測だ。一方、「Q(S)はゼロ集合」のQ(S)もルベーグ可測だ。
一方で、「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」という主張がある URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) 体の拡大
これは、言い換えれば、超越基底 Bは、実質的には一意だと
Q(S)がルベーグ可測な集合になる場合に、Q(S)＝Rの場合は無限大だ。一方で、「Q(S)はゼロ集合」だと。
それ、”ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成”すとか URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org) ルベーグ測度
と、「超越基底 Bは、実質的には一意」という話と両立する？
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 09:06:45.08 eSmTZwF/.net
>>155で「おまいら、試されているんじゃないのか？ 」と言った
私スレ主は、>>128には、すんなり納得できない部分があるんだよね
これが、数学的にきちんと説明ないし証明できるなら、私よりレベル上と認定します！！（＾＾；
では
176:１３２人目の素数さん
15/12/05 09:09:31.48 g8DDoHnr.net
>>168
ふふスルドイねぇ物理出身のスレ主は。
>>128の『Q(S)=R』は、俺の考えでは解釈は2通りかな。
・悪い省略記法
・測度の等式のつもりだった
177:１３２人目の素数さん
15/12/05 09:23:58.13 g8DDoHnr.net
>>170
>で、”「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれか”は、どう思っているの？
>「超越基底 B の濃度はその取り方によらず一定であることが証明できる」
>「超越基底 Bは、実質的には一意」という話と両立する？
まず『濃度が一定だから可測非可測を含めて測度が同じ』と考えるのは自然じゃないよね。
事実、超越基底Sの例があるので。
一方でQ(S)=RとQ(S)=ゼロ集合は両立しないのではと思う。
どちらが成り立っているかはSを知れば分かる、というふうに理解した。
これが正しい解釈かは自信がない。
178:128
15/12/05 10:10:35.48 LiQZNRZu.net
なにやら書き方が悪かったようなので補足する。
定理4は、次の定理から即座に従う。
定理 (Steinhaus theorem) A⊂R はルベーグ可測で、m(A)＞0 だとする。
このとき、あるε＞0が存在して、(－ε,ε) ⊂ { a－b｜a,b∈A } が成り立つ。
一応、これを使って示しておく。
定理4の証明 「 Q(S)はルベーグ非可測」ならば、それでよい。
以下、Q(S)はルベーグ可測としてよい。「 Q(S)はゼロ集合」ならば、それでよい。
以下、m(Q(S))＞0 としてよい。このとき、Steinhaus theorem より、あるε＞0が存在して、
(－ε,ε) ⊂ { a－b｜a,b∈Q(S) } が成り立つ。Q(S)は体だから、{ a－b｜a,b∈Q(S) }⊂Q(S) である。
よって、(－ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。■
というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
179:１３２人目の素数さん
15/12/05 10:42:19.88 RQGyOTCw.net
他スレでも>>1がアホ扱いされててﾜﾛﾀ
180:１３２人目の素数さん
15/12/05 11:41:48.62 g8DDoHnr.net
>>174
シュタインハウスは知っていたんだがなぁ。
Q(S)は体だから当然差集合Q(S)-Q(S)を含むわな。
言われてみれば当たり前の話だな。
とっさに適用できないのは付け焼刃の知識だからだ。
またも反省させられたよ。
181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 16:57:54.92 eSmTZwF/.net
>>175
どうも。スレ主です。
”立証は、このスレの流れの中で、何か数学的に気の利いたことを書いてくれ。”>>166に対して、そのカキコか
はい、判定！ ID:RQGyOTCwの数学レベルは、完全にスレ主より下だ。だって、数学的に無価値のカキコだもん
「他スレでも>>1がアホ扱いされててﾜﾛﾀ」？ そいつは、おれと同類だよ。アホの一人だ
証明なしで他人（アホ）の言説を受け入れた時点で、君の数学レベルは見えた！（＾＾；
182:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 17:50:04.75 eSmTZwF/.net
>>174
どうも。スレ主です。メンターさん、ありがとう
>>176
どうも。スレ主です。
TAさんの”、測度の等式のつもりだった”>>172が正解だったってことだね
183:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 17:59:59.52 eSmTZwF/.net
>>174
定理 (Steinhaus theorem) か、和文では適当な文献を見つけることができなかったな
で、英文 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Statement
Let A be a Lebesgue-measurable set on the real line such that the Lebesgue measure of A is not zero. Then the difference set
A-A={a-b | a,b∈ A } ,
contains an open neighbourhood of the origin.
要は、数直線上のルベーグ可測集合の要素の差集合は、ある原点の周りの開集合を含むか
証明もあるね
Steinhaus（シュタインハウス）の名前だけは、どこかで見た気がするがこんな定理じゃなかったな
184:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:11:02.11 eSmTZwF/.net
>>179 つづき
ここは初学者も来るので、正確に書くと
>>174
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」「 Kはゼロ集合」「 K＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓
・ K⊂R は体とする。このとき、「 Kはルベーグ非可測」、Kが可測で「 Kはゼロ集合」「 m(K)＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。
>>128
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
↓
定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」、Q(S)が可測で「Q(S)はゼロ集合」「 m(Q(S))＝m(R) 」(mは可測関数)のいずれかが成り立つ。
だな、多分
185:128
15/12/05 18:20:06.68 LiQZNRZu.net
>>180
「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。
(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。
186:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:20:55.14 eSmTZwF/.net
>>174 つづき
>よって、(－ε,ε) ⊂ Q(S) である。Q(S)は体だから、Q(S)＝R となることが簡単に示せる。
>というわけで、実はQ(S)だけでなく、一般の体でも同じことが言える。
英文 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”がそれに相当するのか・・・
最初、この英文を読んだときには、意味が分からなかったが、メンターさんの証明で意味が分かった
とすると >>174の”K⊂R”を強く読まないといけないね
187:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:22:43.96 eSmTZwF/.net
>>181
どうも。スレ主です。
メンターさん、ありがとう
なるほど、その点は後で
188:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 18:37:38.64 eSmTZwF/.net
>>181
>「 Q(S)＝R 」はそのまま「 Q(S)＝R 」の意味であって、
>「 m(Q(S))＝m(R) 」などという意味ではない。
>(－ε,ε) ⊂ Q(S) が言えた時点で即座に Q(S)＝R が従う。Q(S) は体だから。
ここを少し深掘りする
１．>>163,>>168で書いたように、普通の教科書の拡大体の理論では、代数拡大があって、次に超越拡大という順で教える
２．で、超越次数が有限なら、純超越的かそうでないかの二択しかない。つまり、「Q(√2,π)は純超越的ではない」といえる
３．では、拡大Q(S)は？ 純超越的かそうでないか？ 定義から明らかに、Qには超越数しか添加していない。だから、定義からすれば純超越的と言えそうだ
４．が、Q(S)がルベーグ可測>0の場合は、Q(S)＝Rとなり、純超越的ではないとなる。Qには超越数しか添加していないにも関わらず
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例 」知らない>>128は、そういう意味ですかね？
189:１３２人目の素数さん
15/12/05 18:46:46.61 g8DDoHnr.net
>>184
Sに√2が含まれていなくても体の演算でQ(S)が√2を含みうる、と捉えたんだけど違うのかな。
190:128
15/12/05 18:52:20.63 LiQZNRZu.net
>>184
何が言いたいのか分からない。
「 Q(S)＝R になるような超越基底Sの例を知らない」とは
文字通りそのままの意味。少し詳しく言えば
・ Q(S)＝R が実現されるような超越基底Sの例を知らない。
・ Q(S)＝R が実際には決して起こらない可能性もあるが、そうだとしても その証明すら知らない。
ということ。
191:１３２人目の素数さん
15/12/05 19:17:19.07 g8DDoHnr.net
自己レス。
>>185
>Sに√2が含まれていなくても体の演算でQ(S)が√2を含みうる、と捉えたんだけど違うのかな。
上が正しいとして。
Q(S)=Rの必要十分条件は、
・Q上の超越数がすべて代数的独立で、かつ
・Q(S)が体の演算によりQ上の代数的数をすべて生成する、
と理解した。間違っていたらご指摘いただけるとうれしい。
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 19:48:14.17 eSmTZwF/.net
>>185-187
どうも。スレ主です。
メンターさん、TAさん、どうもコメントありがとう
私の理解も全く同じです
”Q(S)=Rの必要十分条件は、
・Q上の超越数がすべて代数的独立で、かつ
・Q(S)が体の演算によりQ上の代数的数をすべて生成する”
で、さらに一歩進めて、そんなこと＊）が果たして可能なのか？と
193:１３２人目の素数さん
15/12/05 19:59:12.18 g8DDoHnr.net
>>188
>で、さらに一歩進めて、そんなこと＊）が果たして可能なのか？と
不自然な感じがするよね。
>・Q上の超越数がすべて代数的独立
この反例を1個でも見つけたら大きな成果ということになりそうだが。
そのような記述は俺には見つけられなかった。
194:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 20:06:27.77 eSmTZwF/.net
>>188 つづき
そんなこと＊）とは
１．Q上の超越数がすべて代数的独立だから、ある有限の組み合わせ{s1,s2,・・・sn}⊂Sで、例えば√2=f(s1,s2,・・・sn)と代数的に実現できたとすれば
f(s1,s2,・・・sn)は、Q係数の多項式で、２＝f(s1,s2,・・・sn)^2となって、{s1,s2,・・・sn}が代数的独立に反するから（>>168の２に同じ）
２．だから、超越基底の無限個の組み合わせを考える必要がある
３．かつ、それは√2のみならず、すべての代数的な無理数すべてで実現できなければならない
正直よく分からないが、簡単に実現できる話でもないような気がする
つまり
Qには超越数しか添加していないにも関わらず、Q(S)＝Rとできるとすれば、
任意の代数的な無理数が、超越基底Sの要素からなるQ係数多項式（それは超越基底の無限個を組合せを要する）で表現できなければならない
はたして、それが実現可能なのか？ 実現不可能なら、Q(S)＝Rとはできないので、このケースはありえないことになる
195:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 20:56:28.88 eSmTZwF/.net
>>189
どうも。スレ主です。
TAさん、コメントありがとう
「不自然な感じがするよね」に同意
>>190に書いたが、”Q(S)＝R”は実現困難かと思う
というか、”超越基底Sの要素からなるQ係数多項式（それは超越基底の無限個を組合せを要する）”を許容するのか・・・
「超越基底の無限個を組合せて、代数的な無理数を実現する」まで許すと、従来考えている体の拡大の範囲を逸脱するような気がするんだが・・・
196:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:14:45.16 eSmTZwF/.net
>>182 ここに戻る
ここは初学者も来るので
英文 URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) で、
”Consequence
A consequence is, that any measurable proper subgroup of (R,+) is of measure zero.”
”proper subgroup ”は分かるよね
だから、これと>>128の定理4 RのQ上の超越基底Sに対して、「Q(S)はルベーグ非可測」「Q(S)はゼロ集合」「 Q(S)＝R 」のいずれかが成り立つ。
で、「Q(S)はゼロ集合」は、部分集合の場合（”proper subgroup ”に相当する場合）だね
197:１３２人目の素数さん
15/12/05 21:24:55.82 g8DDoHnr.net
>>191
ちょっと気になったんだが、『Qの代数的数がSを変数とするQ係数多項式で表される』というのは必要条件ではないよね？
Q(S)の体の演算はカバーする範囲がもっと広いから。
多項式ではなく有理式ならOKかな？
それはそうと無限個の組み合わせは許されないだろうね。
有限個の和で考えなければならない。
級数を許してしまうといろんなものが有理数で表されてしまうよね。
ゼータ関数からπの2乗とか。
198:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:27:45.09 eSmTZwF/.net
>>76&>>78-79 ここに戻る
ここは初心者も来ると思うので、整理しておきたい
>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
これはご納得頂けましたか
Q(S)＝Rも可能性ありと認めたら、Q~（S）＝Cも認めるだろ？
199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:33:34.64 eSmTZwF/.net
>>193
有理式ならOKだが、それは多項式に直せるよ
分母の式を両辺に掛ければ良い
>級数を許してしまうといろんなものが有理数で表されてしまうよね。
そうだよね。同意だ
だから、Q(S)＝Rは実現不可能という気がする
200:１３２人目の素数さん
15/12/05 21:35:04.59 g8DDoHnr.net
>>194
>>代数的数全体の体Q~ から複素数体Cへの（超越）拡大を考えると、Q~（S）＝Cとなる
>
>これはご納得頂けましたか
>Q(S)＝Rも可能性ありと認めたら、Q~（S）＝Cも認めるだろ？
Q(S)=Rの可能性もあるし、Q~(S)=Rの可能性もあるけど、そうでない場合もあるよ。
Q(S)上代数的な数（Q~(S)上代数的な数と言っても同じこと）がQ(S)に含まれないことはありうる。
もうこの説明は何度もしたと思うので、そろそろ身を引くよ。
メンターに結論を出してもらおうか。
201:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:35:39.55 eSmTZwF/.net
>>194
ところで、『超越基底ならばゼロ集合』に対するアプローチは、どんなだったの？
簡単に開示してもえると勉強になると思う
202:１３２人目の素数さん
15/12/05 21:40:10.18 g8DDoHnr.net
>>197
以下を示すというものだ。補題2はシュタインハウスの定理を使う。
■補題1：任意の超越基底Sに対してS⊂Hなるハメル基底Hが存在する。
■補題2：任意のハメル基底Hは正のルベーグ測度をもつ部分集合をもたない。
補題2は有名だから問題は補題1だな。
スレ主のアプローチは直接的かつ最短距離で素晴らしいと思ったよ。
俺の回りくどい凡庸な解答はお蔵入りにしようと思っていたのだ。
203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 21:49:21.24 eSmTZwF/.net
>>120 ここに戻る
>基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。
前スレ、261以下267まで、第二可算公理などをご参照。可能です
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:261番)
261 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/01(日) 16:59:07.49 ID:KxTJyOv3
＜キーワード：位相 可算公理＞
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204:１３２人目の素数さん
15/12/05 22:01:38.29 g8DDoHnr.net
>>199
第二可算公理は開集合の測度について制限がないから、俺の言いたかったこととは違う気がする。
言い訳だが。有理数の集合が測度0であることを示すときの論法が頭にあったんだ。
そこでは各有理数を中心とする半開区間I(ε)を設定するよね。
ε→0で各区間の測度は0であり、0の可算和はゼロだと。
非可算の場合、各点を半開区間I(ε)で覆ったとしても、
ε→0で非可算の和を取らなければならないから
測度0は示せない、というスジの説明をしたつもりだった。
俺はスレ主の証明で完全な読解ミスをしていた。
この指摘自体が無意味だったと思っているよ。
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 22:04:42.64 eSmTZwF/.net
>>198
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう
シュタインハウスの定理ね
メンターさんが使ったSteinhaus theorem>>174 >>179だね
”補題2：任意のハメル基底Hは正のルベーグ測度をもつ部分集合をもたない。”、”補題2は有名”か・・・
そう言われれば、それを聞いたことがある気もするが、浮かばなかったね・・・（＾＾；
206:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/12/05 22:08:09.39 eSmTZwF/.net
>>200
TAさん、どうも。スレ主です。
さっそくのレスありがとう
まあ、ここは初心者も来ると思うので、”基本的には、非可算な対象を可算個の任意に小さい区間では覆えないよ。”が一人歩きするとまずいから、第二可算公理と併読して貰う必要ありという趣旨です