17/01/17 23:28:49.64 bBhLDo2n.net
RCA_0 という理論体系を考えている以上は、証明を離れた定義を与えるのは無理
1018:１３２人目の素数さん
17/01/17 23:59:12.53 LlH1bWiB.net
TaranovskyのCを超えたところから順序数による評価そのものに限界を感じ始める。
正確には評価というより評価の表現
1019:１３２人目の素数さん
17/01/18 23:06:04.75 AW3VJECs.net
RCA_0やらは証明するための前提条件でなにかを定義するものではないのでは。
そして定義できることと記述できることと証明できることはそれぞれ別だろう。
1020:１３２人目の素数さん
17/01/19 02:38:26.58 V/9wQX49.net
リトルビッゲドン分かる人解説お願い
1021:１３２人目の素数さん
17/01/19 03:28:03.75 V/9wQX49.net
>>983
全域関数f(n)を定義するためには、f(n)がすべての自然数で定義されている必要がある。
でも、全域性が証明できないということは、定義されているかどうかわからないという
ことだから、定義したことにはならない。
1022:１３２人目の素数さん
17/01/19 15:28:40.06 h1QSJgrO.net
定義するとはどういうことかを定義する必要があるが、循環論法になって議論にならないな。
定義されているかどうか分からないからといって定義できてないというわけではなく、
定義できているかどうかということを確かめようがない、ということだろう。
というか、定義するのは論理式であってRCA_0ではない。
1023:１３２人目の素数さん
17/01/19 15:39:53.90 h1QSJgrO.net
別に985が間違ってるということではなく、「定義」という言葉の定義が互いにずれているようだ。
「「定義」という言葉の定義」という言葉の定義はずれていないことを望む。
どうでもいいけどこの議論は
X=「X」という言葉の定義
で対角化することができる。
1024:１３２人目の素数さん
17/01/19 16:16:07.49 E4EyRNy1.net
「全域関数か部分関数かわからないビジービーバー関数のようなもの」であれば定義できる可能性があるけど、
そもそも証明しないんならRCA_0もZ_2も同じなので、わざわざRCA_0を指定する意味がない。
1025:１３２人目の素数さん
17/01/19 17:00:12.29 OtJDogH/.net
最大の双子素数の大きい方は、自然数nである
という定義が、そもそも意味を持つかということで、
存在しないかもしれないのに定義できたというかどうかは、
まさに定義の定義だけれと、だとしたら常識的には
定義できてないと考えるのが自然だろう。
1026:１３２人目の素数さん
17/01/20 14:20:34.98 Edrcljmk.net
存在するかどうかというのは、「存在する」が真であるかどうかという問題であって、
証明可能性とは別の問題だと思います。。
この分野では従来の直感に反することがよく起こってきたから、常識で判断するのはちょっと危険かと。
この場合は常識云々というよりは存在論や認識の話になるのやもしらんが。
RCA_0では証明できなくてZ_2では証明できる論理式があるかもしれないので、
指定する意味はある(かもしれない)。
RCA_0の時点で矛盾していればたしかに意味はない。
そして完全に純粋に言語だけで無矛盾性を証明する(ことを認識する)ことはできない、
つまり理性のみで完全に正しいと言える証明は存在しない。
そういう意味で理性のみを便りにする立場から、証明できなければ定義できたことにはならない
と主張するのであれば、何物も定義することができないということになる。
直感って大事ね。
1027:１３２人目の素数さん
17/01/20 15:39:48.39 xpTs7JyG.net
> RCA_0では証明できなくてZ_2では証明できる論理式があるかもしれないので、
> 指定する意味はある(かもしれない)。
そもそもの質問は「計算不能関数をRCA_0で定義できるかどうか」なので、
もしそれをあらわす論理式ができたとして、その論理式が全域関数であることを
証明する、しないを問題にするのであればRCA_0を指定する意味ある。
定義する段階では証明する、しないは関係ない、という立場であれば、
Z_2で定義できていればRCA_0でも定義できているということになるから、
はじめからZ_2で定義できるかどうかを聞けばいい。
1028:１３２人目の素数さん
17/01/20 15:55:59.13 xpTs7JyG.net
内包公理ってのは「ある式を満たす集合が存在するよ」ってことだから、
その式を満たす集合が存在するかどうかは関係なく定義できる、
という立場だったら、RCA_0もZ_2も同じだよね。
1029:１３２人目の素数さん
17/01/20 15:59:18.13 xpTs7JyG.net
同じというのは「定義できるかどうか」という問いに対してね。
証明できるかどうかとなると、もちろん違う。
1030:１３２人目の素数さん
17/01/20 23:39:48.10 cKrQZH+b.net
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ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
1031:１３２人目の素数さん
17/01/22 23:12:06.89 MZPwabB4.net
先に双子素数のたとえに触れるべきでしたが、
最大の双子素数の大きい方aが存在するということが今は証明できてないから
aを定義できていない。
しかし後で証明できたとしたらaを定義できたことになる。
となったら矛盾になりませんか。
これは言葉のあやの問題だと思うので、これで貴方は間違っていると主張するわけではありません。
私は「定義する」という言葉を普遍的な意味で使っていますが、時間を踏まえて
言葉を使う線形論理学的な(?)考え方では確かに矛盾しません。
お考えを伺いたいです。
RCA_0を指定する是非については993で腑に落ちました。
1032:１３２人目の素数さん
17/01/22 23:41:56.39 MZPwabB4.net
Z_2で定義できていれば～のくだりを読み間違えていた。
Z_2のモデルが存在すればそれはRCA_0のモデルでもあるから、最初から
Z_2のモデルの中にそういうのがあるかを問えばいい、ということか。
確かにその通りだけど、私は無矛盾性の強さと証明不能性からそこまで自信を
持てないです・・・
1033:１３２人目の素数さん
17/01/23 01:58:52.37 TzBT9HVn.net
>>995
逆に、後で存在しないことが証明されたら定義できてなかったことになるから矛盾するでしょ。
そんな不安定な状態のものをはっきりと定義できたとするのは常識的には不自然だけど、
常識とは無関係にそういうものだと定義という言葉を定義するのであれば、その定義であるという
断りを入れて使うことまでは否定しない。
1034:１３２人目の素数さん
17/01/23 02:10:40.99 TzBT9HVn.net
最大の素数をaとする、という定義は定義になってないよね。
それは、最大の素数が存在しないことが証明されているから。
一方、最大の双子素数の大きい方をaとすえう、という定義が今は許されるとして、
それが存在しないことが将来的に示されたらその定義は無効になるので、
存在するかどうか分からないものを定義できるという考え方が、
時間によって定義の意味が変わるという意味では普遍的でない。
1035:１３２人目の素数さん
17/01/23 02:21:42.89 TzBT9HVn.net
少なくとも、定義できると言い切ってしまうと、存在するという意味だと誤解されるので、
存在するとすればそのように定義する、
定義する。ただし、存在しないかもしれない。
定義できるかどうかは分からない
などの、誤解のない表現を使うことが重要。
まとめると、証明できないということが重要なのであって、
定義できたかどうかはどうでもいい。
1036:１３２人目の素数さん
17/01/23 02:22:32.18 TzBT9HVn.net
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