現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16at MATH現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 - 暇つぶし2ch■コピペモード□スレを通常表示□オプションモード□このｽﾚｯﾄﾞのURL■項目テキスト724: 超越基底Sは完全集合ではないと何回言ったら・・ 725:１３２人目の素数さん 15/11/28 07:59:33.82 gImjm0uw.net >>666 そのこと忘れてた。第５段では「(Q(S)は完全集合」を示したんだな。 >>665は取り消し。 726:１３２人目の素数さん 15/11/28 08:54:42.73 gImjm0uw.net >>655 体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。 仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を 完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して 何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に 可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を 任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。 しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、 矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、 (Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、 体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は 自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる 自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。 しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包 は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。 これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。 次ページ最新レス表示レスジャンプ類似スレ一覧スレッドの検索話題のニュースおまかせリストオプションしおりを挟むスレッドに書込スレッドの一覧暇つぶし2ch