15/10/17 23:11:26.59 ZRSuwEga.net
>>82 つづき
１．さて、>>78のように、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
２．複素平面が、ハウスドルフ空間であることを認めるものとする。
３．とすると、部分集合S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、s1'∈S1を含まないようにできる。
４．同様に、和集合S1∪S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、ハウスドルフ空間であるから、各開球は分離できる
５．よって、蛇足だが、結局S1,S2に対し、各要素の周囲に十分小さな開球を取ることで、S1に属する開球の集合とS2に属する開球の集合は、異なるように取れる
６．ユークリッド位相を仮定しているから、開球は開集合でもある
７．開集合の性質より、「必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である」>>82から、S1及びS2に属する開球の集合（和集合）は開集合であり、この二つの開集合は異なる
８．よって、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2から、異なる二つの開集合を作ることができる
９．よって、開集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度以上である。つまり、実数体のべき集合の濃度以上。（証明略。>>3参照）
１０．一方、任意の開集合は、複素平面に含まれる。つまり、複素数体の部分集合でもある。だから、開集合の濃度は、複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。
１１．９及び１０より、開集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
１２．閉集合を、開集合の補集合とする。開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい。
（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）