15/11/27 16:06:37.42 qRNBmtTR.net
>>556
(>>650の続き)
[第２段](上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sの存在性)：定義から、任意のε＞0に対して、
開区間I(ε)に含まれるような、ハメル基底に含まれる、実数体Rの有理数体Q上の超越基底S(ε)は
存在し、上下に有界である。従って、上下に有界な体Rの体Q上の超越基底Sは存在する。
ここに、Sを上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底と仮定しても一般性は失わない。
定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
[第３段](Q(S)≠Φ はRの真部分集合)：定義から、RはQ(S)の代数拡大体だから、Q(S) 上代数的な
Rの点が存在する。従って、或る、Q(S) 上代数的なRの点aが存在して、aは Q(S) には属さないRの点である。
従って、Q(S)≠Φ はRの真部分集合である。
[第４段](S、Q(S)、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂Q(S)⊂R だから、card(S)≦card(Q(S))≦card(R)。
また、card(S)＝card(R)＝c。従って、ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(Q(S))＝card(R)＝c。
[第５段](Q(S)は完全集合)：体 Q(S) を完全集合ではないとする。すると、Q(S) の或る点 y∈Q(S) が
存在して、yは Q(S) の孤立点となる。また、実数直線R上で、有理直線Qは稠密で、任意の r∈Q について、
rはQの触点でrの閉包は {r} だから、yは有理数ではない。従って、y∈S。Rは Q(S) 上代数拡大体だから、
yは体 Q(S) 上代数的である。従って、yの R/Q(S) への最小多項式の次数をnとすれば、
何れも或る a_0,a_1,…,a_n∈Q(S) に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。
しかし、定義から、Sの点yはQ上超越的だから、
707:すべての i＝0,1,…,n に対して a_i がQ上代数的なることは、 あり得ない。従って、或る i＝0,1,…,n が存在して、a_i はQ上超越的となる。つまり、a_i は超越数となる。 そこで、Y＝{a_0,a_1,…,a_n} とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
708:１３２人目の素数さん
15/11/27 16:10:28.56 qRNBmtTR.net
>>556
(>>651の続き)
a_i∈X とする。すると、X⊂Y から a_i∈Y。そして、a_i∈R＼Q であって、同時に a_i∈Q(S) だから、
a_i に対して或る自然数 m(a_i) が定まり、自然数 m(a_i) を m_i で略記すれば、m_i に対して何れも或る、
m_i 変数 z_1, …, z_{m_i} の有理関数 f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点
{z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) となる。
Xの点 a_i は任意でよいから、各 a_i∈X に対して、a_i を表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各 a_i∈X に対して定まるような、
a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数 f_{m_i}
のすべてが定数ではないとして、各 a_i∈X に対して定まる a_i を表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して両辺を整理すると、
有限個のSの点 y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なることが分かり、
とりわけ y∈S ではなくなり、y∈S に反し矛盾が生じる。従って、或る a_i∈X が存在して、
a_i に対して定まるような、a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
における f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Q であって、従って a_i∈Q。
しかし、a_i はQ上代数的だから、定義から、a_i は a_i∈S を満たさず、矛盾する。
従って、Q(S) は完全集合であり、Q(S) の任意の点は集積点である。 (第５段終了)
709:１３２人目の素数さん
15/11/27 16:12:15.66 qRNBmtTR.net
>>556
(>>652の続き)
[第６段](Q(S)は零集合)：Q(S) の外測度を m(Q(S)) とする。m(Q(S))＞0 とする。定義から、実数体Rは
体 Q(S) の代数拡大体である。体 Q(S) 上超越的なRの点は存在しないから、R＼Q(S) は体 Q(S) 上代数的な
実数全体の集合である。ここに、体 Q(S) 上代数的な実数kを適当に取る。K＝(Q(S))(k) とおく。すると、
Kは体の拡大 R/Q(S) の中間体で、Rの真部分集合である。体Kの外測度を m(K)、実数体Rの外測度を m(R) とする。
すると、m(Q(S))＞0 と仮定したから、Q(S)⊂K⊂R から 0＜m(K)≦m(R)＝+∞。実数体Rの有理数体Q上の
超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。Kの内測度を m'(K) とする。
Kは上下に非有界でコンパクトではないから、定義から、m'(K)＝+∞。従って、m(K)＜m'(K)。
Kが可測なための必要十分は m(K)＝m'(K) だから、中間体Kは非可測である。しかし、これはKが可測なことに反し、
矛盾する。従って、m(Q(S))＝0 で、体 Q(S) は零集合である。
[第７段](S、Q(S)は非可算零集合)：超越基底Sの外測度を m(S) とすると、S⊂Q(S) から、m(S)≦m(Q(S))＝0
から、m(S)＝m(Q(S))＝0。また、card(S)＝card(Q(S))＝c。従って、S、Q(S)は非可算零集合である。
Sは上下に有界な実数体Rの有理数体Q上の超越基底としていたから、
元の超越基底S、元の体Q(S)も、どちらも非可算零集合である。
710:１３２人目の素数さん
15/11/27 17:39:05.66 qRNBmtTR.net
>>556
あ、>>650の最初に
>任意のε＞0に対して定まる開区間(-ε,ε)を、I(ε)＝(-ε,ε) で表わす。
を書くの忘れた。第１段はその後に続く。
711:１３２人目の素数さん
15/11/27 22:13:49.57 +cGpPCmW.net
>超越基底Sは上下に有界と仮定しているから、0＜m(K)＜m(R)＝+∞。
なぜm(K)＜m(R)とできるのか説明してもらえますか。
712:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/27 23:16:14.31 Hwv6wXgh.net
おっちゃん、どうも。スレ主です。
いつも、力作ありがとう
ところで、>>650の[第１段]って、何を証明しようとしているのか、不明確なんだよね。良い線言っている気もするし、とんちんかんを言っている気もするし
命題の定立がね、不明確。証明読まないと、どういう命題を証明しようとしているのか、何を証明したのか、分からんような書き方はどうだかねー
普通の論文や教科書は
＜命題（or 定理ないし補題）＞xxxxxxxx
＜証明＞xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
というスタイルだろ？ そう書いて貰えないかね？
[第１段]に限らず・・・
713:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/27 23:26:32.69 Hwv6wXgh.net
>>653
どうも。スレ主です。
揚げ足取りみたいで悪いが
「Q(S)は零集合」って・・・
結論が可笑しくないかね？（＾＾；
そういうおれの直感に反する証明を、平気でするところが、おっちゃんらしいと言えばらしいけど
そこらのセンスは、働かないの�
714:ｩねー？ Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？ それが、零集合？
715:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/27 23:31:54.23 Hwv6wXgh.net
もっとはっきり書けば、
R=Q＋A＋Q（S)
Aは、代数的数の集合で、可算。Qも可算。だから、AとQは、零集合
Q（S）は、超越的数の集合で、非加算
もし、Q(S)は零集合だったら、Rは？ 零集合？
716:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/27 23:40:40.30 Hwv6wXgh.net
>>568
>私が終わったら、スレ主に証明してもらう。
ギブアップするなら、いつでも言ってくれ
おれの証明は難しくないよ
ほとんど高校数学で終わりだよ
>>562
>そもそもスレ主は証明できるのか？
証明出来ているつもり
>スレ主の方針はどういうものだ？書いてくれ。
おっちゃんの>>650 [第１段]に近い気がする。もっとも、 [第１段]が何を意味するのか、いまいちすっきりしないがね（＾＾；
717:１３２人目の素数さん
15/11/28 05:13:04.48 9GY4dyn5.net
スレ違いかもしれないけどすごく気になったので
ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他）の問題に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
解法が存在しない⇒解けない、解かれていない なのでしょうが、
"解法が存在しない"事を証明する方法が存在しない」場合、
"（能力などの都合で）解けない、解かれていない"のと"解法が存在しない"の間に明確な区別は無くなり、 解法が存在しない⇔解けない、解かれていない が成り立ってしまうと考えています。
この疑問が数学者諸氏にとって実に馬鹿らしいものであることは僕のちっぽけな頭でもわかります。
解けない問題が沢山ある事の言い訳に書いているだけです。悪しからず。
718:１３２人目の素数さん
15/11/28 05:17:14.09 9GY4dyn5.net
訂正
証明問題、計算問題、（あるならば、その他）の問題に関わらず
↓
証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず
719:１３２人目の素数さん
15/11/28 07:24:13.80 V49WFVhA.net
>>657-658
>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
720:１３２人目の素数さん
15/11/28 07:31:45.07 V49WFVhA.net
> もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
ガロア理論を読め。
というかそれを期待してこのスレに迷い込んだのであれば申し訳ない。
ここはガロアのガの字も出ないスレなんだｗ
スレ主に代わって謝っておきます。
721:562
15/11/28 07:38:34.70 V49WFVhA.net
>>659
> おれの証明は難しくないよ
> ほとんど高校数学で終わりだよ
それは恐れ入りました。
722:１３２人目の素数さん
15/11/28 07:44:41.30 gImjm0uw.net
>>655
体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に上下に有界な超越基底Sに含まれる、或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) を
完備とすると、I⊂S⊂(-ε,ε) (∃ε＞x) から、或る a＞0 (ε＞a＞x) が存在して、
Iは閉区間 [-a,a] の真部分集合。だから、或る b＞0 が存在して、[-b,b]⊂S から [0,b]⊂S。
体 Q(S) は通常の加減乗除について閉じているから、加減乗除を任意に可算無限回繰り返すと、
[0,b]⊂S から実数体Rが構成出来て、Q(S)＝R。従って、Q(S) は完備な順序体Rになる。
しかし、Q(S) はRの真部分集合でRとは異なるから、Q(S) が完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、超越基底Sに含まれるような、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) も
完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、超越基底Sは完全集合だから、Sは自己稠密集合。
従って、体 Q(S) は自己稠密集合で、Q(S)∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、
Rに真に含まれる自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊂K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kの任意の逆元もKの点だから、I' のすべての元に対して何れも或る加減乗除の操作
を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属するような、完備な
開区間 (-ε,ε)⊂S を構成出来る。従って、上下に有界な超越基底Sは或る完備な
区間を含む。これは、矛盾する。従って、m(K)＞0 から 0＜m(K)＜m(R)＝+∞ となる。
723:１３２人目の素数さん
15/11/28 07:55:18.15 V49WFVhA.net
>>665
>超越基底Sは完全集合だから
724: 超越基底Sは完全集合ではないと何回言ったら・・
725:１３２人目の素数さん
15/11/28 07:59:33.82 gImjm0uw.net
>>666
そのこと忘れてた。第５段では「(Q(S)は完全集合」を示したんだな。
>>665は取り消し。
726:１３２人目の素数さん
15/11/28 08:54:42.73 gImjm0uw.net
>>655
体 K＝(Q(S))(k) (kは Q(S) 上代数的な元) について、m(K)＝+∞ とする。
仮に或る開区間 I＝(-x,x) (∃x＞0) に対して、(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I を
完備とすると、体Kは通常の加減乗除について閉じているから、K∩I のすべての元に対して
何れも或る加減乗除の操作を有限回施すと、或る ε＞0 に対して、すべての点がSに属する
ような、完備な閉区間 [-ε,ε]⊂S を構成出来る。従って、加減乗除の操作を任意に
可算無限回施すと、[-ε,ε] から実数体Rが構成出来る。従って、Kの点に対して加減乗除を
任意に可算無限回施すとKからRが構成出来て、K＝R。従って、Kは完備な順序体Rになる。
しかし、KはRの真部分集合でRとは異なるから、Kが完備順序体Rになることはなく、
矛盾が生じる。従って、如何なる開区間 I＝(-x,x) (∀x＞0) に対しても、
(Q(S))(k) と (-x,x) の共通部分 K∩I は完備とはならない。ところが、card(S)＝c で、
体 Q(S) は完全集合だから、Q(S) は自己稠密集合。従って、体 K＝(Q(S))(k) は
自己稠密集合で、K∩[0,1] も自己稠密な集合。m(K)＝+∞ としたから、Rに真に含まれる
自己稠密な順序体Kに対し、或る完備な区間 I' が存在して、I'⊃K＝(Q(S))(k)。
しかし、体Kは直線R上至る所完備ではなく自己稠密で、Kの任意の点xは触点でxの閉包
は{x}。従って、KはR上稠密で、m(K)＝+∞ のときは、m(K)＝0、Q(S)⊂K から m(Q(S))＝0 となる。
これは、はじめに m(Q(S))＞0 と仮定したことに反する。
727:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 09:00:48.34 novsUjda.net
>>662
おっちゃん、どうも。スレ主です。
実に面白いね、おっちゃんって（＾＾；
>>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
>間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
超越基底の「基底」の意味を考えていない？
というか、なんというか・・・
命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rである
証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
QED
附言すれば、超越数全体をTとする（当然T⊂Rだが）
もし、ある超越数t∈Tで、tがQ(S)が含まれないとすれば、Sは t を含むように拡張されるべき(例えばそれをS'とする)
この操作を、超越数全体に達するまで繰り返すべし
プログラミング的には、そういうこと
そして、その実現を保証するのが選択公理だろ？
で、これは、「基底」の定義そのもの！
「基底」の意味が分かってないと、証明は暴走するわな（＾＾；
728:662
15/11/28 09:10:42.97 V49WFVhA.net
>>669
口ぶりがおっちゃんに似てるようで2度スレ主に間違えられたｗ
まあそれはいいとして。
>>669でスレ主の勘違いが証明された。ハメル基底と超越基底をごっちゃにしてないか？
729:１３２人目の素数さん
15/11/28 09:10:47.75 gImjm0uw.net
>>669
＞おっちゃん、どうも。スレ主です。
＞実に面白いね、おっちゃんって（＾＾；
＞
＞>>Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rでしょ？
＞>間違い。スレ主はQ(S)を勘違いしている。>>658も勘違いを引きずっている。
＞
＞超越基底の「基底」の意味を考えていない？
＞というか、なんというか・・・
＞
＞命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は超越数全体⊂Rである
＞証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
＞QED
これ、超越拡大体 Q(S) の定義の捉え方が間違っている。
一体、何のために私が恥かいて証明したんだよ。包含関係は Q⊂Q(S) も成り立っているぞ。
すべての有理数も Q(S) は含む。
730:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 09:31:12.83 novsUjda.net
>>660-661 &>>663
>ある問題（証明問題、計算問題、（あるならば、その他の問題）に関わらず）に解法が存在する事は、実際にその問題を解くことによって示せますが
>もし解法が存在しない場合、"解法が存在しない"という事はどのように証明されるのでしょうか。
確かに、ガロア理論はそうだけど
解法＝べき根と四則による解
に限定したときに、「解けない」ということを、示すのがガロア理論
で、解法の範囲を、「べき根と四則による解」を超えて、どうなんだ？と
べき根を取る操作を一種の関数と見たときに、超越関数などを考えたら解けるんじゃないかと考えたのが、エルミートだったかな？
楕円関数だったっけ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロアが楕円モジュラー関数を用いる超越的方法では一般的解法が存在することを予言し、その遺書に書き残している。ガロアの死後、エルミートは、楕円モジュラー関数による五次方程式の解の公式を導いた。
なお、アーベルもモジュラー方程式の研究を行っていたことから、彼にも解の公式のアイディアがあったであろうと考えられている。エルミートから現在まで、5 次より高次の方程式の解の公式は様々に提案されている。
工学的見地からは、これらの解の公式に拠る解法は計算量的な実用性があまりないため、3 次より高次の方程式は数値計算による解法が一般的である。中には、固有値問題へ帰着
731:して行列の固有値計算のアルゴリズムが用いられることもある。
732:662
15/11/28 09:38:32.25 V49WFVhA.net
>>671
>超越拡大体 Q(S)
おっちゃんが理解しているのか不安になったので確認させてくれ。
Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
QにSを添加した体Q(S)の代数拡大体を同じ記号"Q(S)"で表してしまったわけではないよな？
733:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 09:45:55.61 novsUjda.net
>>671
どうも。スレ主です。
ご指摘ありがとう（＾＾；
では修正します
>>669 修正
命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
証明：超越基底の「基底」の定義そのもの
（後のプログラミングの話は、修正なしでいいだろう）
>>658 修正
R=A∪Q（S)
Q（S）＝｛超越数全体T＋Q}で、超越数全体Tを含み、非加算
Aは、代数的数の集合で、可算。Qも可算。だから、AとQは、零集合
もし、Q(S)は零集合だったら、Rは？ 零集合？
（修正おわり）
これでどうだい？（＾＾；
ともかく、「Q(S)は零集合」という命題がおかしいだろうと
734:662
15/11/28 09:54:34.49 V49WFVhA.net
>>674
>命題：Sが、実数の超越基底として、Q(S)は｛超越数全体＋Q}⊂Rである
それも間違いだよ。Sが超越基底のとき、Q(S)は一般にすべての超越数を含むとは限らない。
Q(S)に含まれないQ(S)上代数的な超越数が存在しうる。Sをハメル基底としたならQ(S)=Rとなり命題は正しいが。
代数拡大がわかってないのか、ハメル基底と超越基底の違いがわかってないのか、どちらかだ。
735:１３２人目の素数さん
15/11/28 09:57:18.75 gImjm0uw.net
>>673
>Q(S)は単にQにSを添加した体のことだよな？
そう。Sは非可算集合なる基底でQの超越的な元ではないから、
Q(e)やQ(π)と混同出来ない。Q(e)とかはQ(e)上超越的なRの点があって
代数的独立の概念を考えることが出来るが、体Q(S)では、
Q(S)上超越的なRの点はなく、任意の実数はQ(S)上代数的従属になる。
そのため、体の拡大 R/Q(S) では、代数的独立な実数は存在しない。
736:662
15/11/28 09:58:47.02 V49WFVhA.net
>>676
OK、レスありがとう。おっちゃんが理解していることは分かった。
737:662
15/11/28 10:01:00.98 V49WFVhA.net
>>676
>Sは非可算集合なる基底でQの超越的な元ではないから、
ここは書き間違いだな？Sの元はQ上超越的だからね。
738:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 10:04:47.00 novsUjda.net
>>672 つづき
で、本来のスレタイの「現代数学の系譜11 ガロア理論を読む」が想定しているのは、ここまで
現代数学から見たときに、「ガロア理論の核心は、”数体の拡大と、その自己同型群との対応だ”」ととらえ直したんだね
これが、デデキント～アルティン流で、いまの学部数学の主流だ
さらに、グロタン先生は、「ガロア理論の圏論化だ～！」と言ったらしい（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
X への作用の推移性を外すことは K の分離拡大体の代わりに K 上のエタール代数を考えることに対応し、こうして K 上のエタール代数のなす圏と GK が連続に作用する離散有限空間のなす圏との間の圏同値が得られる。これを出発点としてアレクサンドル・グロタンディークによるガロア理論の圏論的定式化が得られる。
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキーム・・・
略
エタール代数も圏論もわかりません（＾＾；
まあ、スレタイの外ですが、それもかまわんよ。ここなんでもありだから（＾＾；
739:１３２人目の素数さん
15/11/28 10:08:09.95 gImjm0uw.net
>>678
Sは、体Q上の線型空間の、濃度が連続体濃度cに等しい基底だな。
Sは1つの集合で、Q上超越的な実数ではない。
740:１３２人目の素数さん
15/11/28 10:12:44.68 gImjm0uw.net
>>678
まあ、「1つの」は余計かな。実数体Rの有理数体Q上の超越基底は複数個する。
だから、Sはその中の1つとして扱うことになる。
741:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 10:19:20.40 novsUjda.net
>>675-678
了解！（＾＾；
超越基底が分かってなかったんだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。
証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。
S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。
任意のその�
742:謔､な写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。 そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。 （引用おわり） 多分、ハメル基底も分かってないかな？（＾＾； が、>>659の私の証明には影響しないと思う
743:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/28 10:25:59.96 novsUjda.net
新スレ立てた
あとは、こちらで（このスレはもうすぐ容量オーバーだ）
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む17
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744:過去ログ ★
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