15/11/26 14:12:02.94 G4eIi6xW.net
>>556
Sを実数体Rの有理数体Q上の超越基底とする。ここに、定義から、包含関係は、S⊂Q(S)⊂R。
[第１段](Q(S)≠Φ はRの真部分集合)：定義から、RはQ(S)の代数拡大体だから、
Q(S)上代数的なRの点が存在する。従って、或る、Q(S)上代数的なRの点aが存在して、
aはQ(S)には属さないRの点である。従って、Q(S)≠Φ はRの真部分集合である。
[第２段](S、Q(S)、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂Q(S)⊂R だから、
card(S)≦card(Q(S))≦card(R)。また、card(S)＝card(R)＝c。従って、
ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(Q(S))＝card(R)＝c。
[第３段](Q(S)は完全集合)：x∈Q(S) とする。r＞0 とする。任意の完備な順序体はRに同型
である。しかし、Q(S)≠Φ はRの真部分集合だから、Q(S)はRに同型とはなり得ない。従って、
有理数の稠密性と Q⊂Q(S) とから、Q(S)は完備な順序体ではなく稠密集合である。従って、
開区間 (x,x+r) に属する点 s∈Q(S) が存在する。開区間 (x,x+r) に属するQ(S)の点sについて、
(x,x+r)⊂(x-r,x+r) から、s∈(x-r,x+r)。また、x＜s から s≠x だから、s∈Q(S)－{x}。
従って、s∈(Q(S)－{x})∩(x-r,x+r) から、(Q(S)－{x})∩(x-r,x+r)≠Φ。r＞0 は任意
でよいから、xは Q(S) の集積点である。x∈Q(S) は任意でよいから、Q(S) の導集合は
Q(S) 自身に等しい。従って、定義から、Q(S) は完全集合である。