15/11/26 04:24:00.11 G4eIi6xW.net
>>556
意外な方法があったんだな。多分超越基底Sとかハメル基底だけじゃダメだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底S、ハメル基底Hをそれぞれ適当に1つ取り、S⊂H としても一般性は失わない。
ここに、定義から、包含関係は、S⊂H⊂Q∪H⊂R。
[第１段](Q∪H≠Φ はRの真部分集合)：0とは異なる有理数a、無理数 b∈H を任意に取る。
すると、或る、体Q上の、線型空間Rの線型部分空間 V＝{ra+sb∈R|r,s∈Q} が存在して、
{a,b} はVの基底である。そして、a、bは体Q上一次独立である。aとは異なるような、
0とは異なる有理数cを任意に取る。すると、a、b-c は体Q上一次独立である。従って、
{a,b-c} は体Q上の、線型空間Rの線型部分空間 W_1＝{ra+s(b-c)∈R|r,s∈Q} の基底となる。
同様に、b、b-c は体Q上一次独立である。従って、{b,b-c} は体Q上の、線型空間Rの
線型部分空間 W_2＝{rb+s(b-c)∈R|r,s∈Q} の基底となる。W_1、W_2 の各次元は両方共に2である。
また、ハメル基底の定義から、Hは体Q上の線型空間Rの基底である。従って、定義から、
b-c∈H なることはあり得ない。b-c は無理数だから、b-c∈Q なることもあり得ない。
従って、b-c∈Q∪H なることもあり得ない。しかし、b-c∈R だから、Q∪H≠Φ はRの真部分集合である。
[第２段](S、H、Q∪H、R の濃度は連続体濃度cに等しい)：S⊂H⊂Q∪H⊂R だから、
card(S)≦card(H)≦card(Q∪H)≦card(R)。また、card(S)＝card(R)＝c。従って、
ベルンシュタインの定理から、card(S)＝card(H)＝card(Q∪H)＝card(R)＝c。