15/11/25 14:36:17.58 DdIKV3mC.net
>>599
どうやらお前は本格的に背理法を理解してないらしい。
しかたがない。>>494で言わんとしていることを、以下で丁寧に書き下してやろう。
そこまで丁寧に書かなければ、お前には伝わらないようだからな。
以下の文章を、落ち着いてよく読んでみなさい↓
カントール集合 S ⊂ [0,1] を取る。card(S)＝c であることが知られている。
特に、Sは非可算零集合である。今の段階では背理法は使っていないことに注意されたい。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
[第３段] card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。R'は非有界だったから、Sは非有界となる。しかし、S⊂[0,1]であるから、
Sは有界である。よって、ここで矛盾となる。この段では、背理法は使ってないことに注意されたい。
にも関わらず、「Sは有界かつ非有界」という矛盾が出たのである。なぜか？