15/11/25 10:58:47.41 WuoQ5wU/.net
>>556
(>>580の続き)
定義から、線型空間R上で、1点0からなる基底{0}により張られる、体Q上の線型部分空間の
次元は0である。従って、集合族Hは有限交差性を持たないとしても一般性は失わない。
[第３段](任意のε＞0に対して、ハメル基底 H(ε)⊂I(ε) は完全集合)：ε＞0 とする。
すると、開区間 I(ε)＝(-ε,ε) に含まれるハメル基底 H(ε) が存在する。x∈H(ε)を
任意に取る。r＞0とする。すると、H(ε)⊂I(ε)＝(-ε,ε)。ε_1＞0 を任意に取る。
すると、開区間 I(ε_1)＝(-ε_1,ε_1) に含まれるハメル基底 H(ε_1) が存在する。
定義から、或る無理数 y_1∈H(ε_1) が存在して、{x,y_1} は有理数体Q上一次独立なる
基底となる。従って、y_1に対して、或る a_1∈Q が存在して、a_1・y_1 は a_1・y_1≠x
なる H(ε) の点となる。同様に、ε_2＞0 を任意に取る。すると、開区間 I(ε_2)＝(-ε_2,ε_2)
に含まれるハメル基底 H(ε_2) が存在する。定義から、或る無理数 y_2∈H(ε_2) が存在して、
{x,y_2} は体Q上一次独立なる基底となる。従って、y_2に対して、或る a_2∈Q が存在して、
a_2・y_2 は a_2・y_2∈(-ε,ε)＝I(ε) なる H(ε) の点となる。ε_1,ε_2＞0 はどちらも
任意でよいから、任意の ε_1,ε_2＞0 に対して、各 i＝1,2 について、或る無理数 y_i∈H(ε_i)、
或る a_i∈Q が存在して、次の 1)、2)、3)、4) が成り立つ：
1)：各 i＝1,2 に対して、y_i∈H(ε_i) は無理数で、a_i∈Q である、
2){x,y_i} は体Q上一次独立な基底である、
3)：a_1・y_1 は a_1・y_1≠x なる H(ε) の点である、
4)：a_2・y_2 は a_2・y_2∈I(ε) なる H(ε) の点である。