15/11/23 09:33:06.19 ttjQioOz.net
>>547
どうも。スレ主です。孤立点か・・・、なるほど・・・（＾＾；
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rockstarogkさん 2014/5/3
X⊂R^nを孤立点集合としたとき、Xの濃度は高々可算であることを教えて下さい。
ベストアンサーに選ばれた回答 nardzewskiさん 2014/6/10
XはRの相対位相により、第二可算公理を満たす離散空間となる。
第二可算公理を満たす位相空間は、その任意の開被覆に対し可算部分被覆が取れる（リンデレーフ）。
このことからXは高々可算である。
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孤立点
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点が1つも含まれないようなものが存在することをいう。
特に X がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、xがSの孤立点であるとは、xを中心とする開球のうちx以外のSの点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点x ∈ SがSにおいて孤立するための必要十分な条件は、xがSの集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合Ｑが実数全体のなす集合Ｒにおいて稠密であるという事実に基づけば、
ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に1対1に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合Ｑ）。
孤立点を持たない集合を dense-in-itself という。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。
「孤立点の数」というのは位相不変量の一種である。すなわち、位相空間XとYが互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。
例 以下に示す位相空間は実数直線の部分位相空間と見なす。
集合S= {0 } ∪ [1,2]において、0は孤立点である
集合S = {0 } ∪ {1, 1/2, 1/3, \dots }において、点1/kは孤立点だが、0以外で0にいくらでも近い点がSの中に存在するため、0は孤立点ではない
自然数の集合Ｎ = {0, 1, 2, ・・・ }は離散集合である