15/11/23 06:59:08.07 cijB5UG8.net
>>529
私が以前ここに書いたことをパクッてただろ。書いたこと忘れてた。
確かにスレ主の予想で正しい。
[第１段](Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)：Sが孤立集合ではないとする。すると、
或る x∈S は孤立点ではなく集積点だから、定義から、r＞0を適当に1つ選ぶと、
(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φ。I＝(S-{x})∩(x-r, x+r) とおくと、I≠Φ。y≠x なる
1点 y∈I を任意に選ぶ。すると、I⊂R から y∈R。そして、I⊂S から y∈S であって、
RはQ(S)上代数拡大体だから、yは体Q(S)上代数的である。従って、yのR/Q(S)への
最小多項式の次数をnとすれば、何れも或る a_0,a_1,…,a_n∈Q(S) に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。
しかし、定義から、Sの点yはQ上超越的だから、すべての i＝0,1,…,n に対して a_i がQ上代数的なることは、
あり得ない。従って、或る i＝0,1,…,n が存在して、a_i はQ上超越的となる。つまり、a_i は超越数となる。
そこで、Y＝{a_0,a_1,…,a_n} とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。