現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 - 暇つぶし2ch537:S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。 [第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。 [第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x} (x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、 m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。 R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。 [第３段](Sは零集合)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}とおく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、Sは非可算零集合。こっちが正しいみたいだ。

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