15/11/19 15:11:53.69 SBGHEmO+.net
>>419が>>398-399を見直すきっかけになって気付いたわ。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。
このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
[第１段](空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続なること)：空間Yの閉集合B∈O_Yを
任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X は
Xの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、
B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように
走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。空間XはX自身の部分空間だから、
A＝Xとおけば、A⊂Xであり、f:A→Yは連続となる。