15/11/18 20:49:25.35 CbyMgyfg.net
>>418
お前本当に反省しないな。
tanの中身がどうのこうの、そんな瑣末なことはどうでもいいんだよ。
458:１３２人目の素数さん
15/11/19 04:32:04.57 SBGHEmO+.net
>>421
結論の趣旨にあたる部分は
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
お小言いわれる程意識していない訳ないだろ。連続関数は連続写像で、
(0,+∞)は非可算なんだから、これを示したことから直ちにといっていい位に例の
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
が従うじゃないか。これに何か文句あんのか。>>406には
>但し
>・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
>・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
と書いてあるんだぞ。
459:１３２人目の素数さん
15/11/19 05:40:00.25 SBGHEmO+.net
>>421
>>422の
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
については
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
＞Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
に訂正な。全単射にするにはそうすべきだ。どこに重点をおいて捉えるかは人により
異なるから、同じ文章でも、人により結論の捉え方も異なるとしかいいようがない。
国語のテストの答えは、必ずしも全員が全員同じ答えになって一致する訳ではないだろ。
460:１３２人目の素数さん
15/11/19 05:49:21.07 SBGHEmO+.net
>>421
>>422の
>全単射であるような単調増加な連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
の部分は
>全単射となる単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
か。これは国語として少しおかしかったな。
461:１３２人目の素数さん
15/11/19 06:06:29.44 SBGHEmO+.net
>>421
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射となる
＞>単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
はより一般化して単純に
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続関数f：A→Rを
＞>点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
とした方がいいか。こういうことも人により分野により、結論の与え方は
異なるとしかいいようがない。こんなことに正解なんてない。
正解があると思う方が大間違いだ。
462:１３２人目の素数さん
15/11/19 13:32:52.57 l13bSWxv.net
脳味噌腐ってるなぁ
463:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:11:53.69 SBGHEmO+.net
>>419が>>398-399を見直すきっかけになって気付いたわ。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。
このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
[第１段](空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続なること)：空間Yの閉集合B∈O_Yを
任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X は
Xの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、
B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように
走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。空間XはX自身の部分空間だから、
A＝Xとおけば、A⊂Xであり、f:A→Yは連続となる。
464:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:13:05.68 SBGHEmO+.net
(>>427の続き)
[第２段](位相空間(X,O_X)の任意の部分位相空間(A,O_A)に対して、
f：A→Yが連続なるとき空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合なること)：
位相空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、
f^{-1}(Y－B)∈O_A はXの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が
Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、
A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。Yの開集合Bは
任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、fによる
逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。Xの部分位相空間Aは任意だから、
AをXの中で走らせればよい。
[第３段](空間Xの如何なる真部分空間Aに対しても、f：A→Yが連続なることはあり得ないこと)：
或るXの真部分集合Aが存在して、f：A→Yが連続なることがあったとする。すると、f：A→Yが
連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Aの開集合なること
である。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合である。同様に、
f：X→Yが連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの
開集合なることである。仮定から、f：X→Yは連続写像だから、確かに空間Yの任意の開集合Bの
逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合となる。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は、
空間Xの開集合であって空間Aの開集合でもある。しかし、AはXの真部分集合だから、
これはあり得ず矛盾する。
465:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:16:48.90 SBGHEmO+.net
(>>428の続き)
[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：Xの如何なる真部分集合Aを
取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、連続写像f：X→Yが存在するとき、
fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) は
どちらも形を変えない。
466:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:24:32.50 A0y/VA5V.net
>>429
>>Xの如何なる真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから
これは正しく無い。
Aが空集合の場合を忘れている。
467:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:54:13.52 SBGHEmO+.net
条件が必要か。fの定義域Xについて「X≠Φ」が必要か。では示すべき命題は
>この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。X≠Φとする。
>このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
では、>>429の第４段は
>[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：仮定からX≠Φであり、
>Xの如何なる空でない真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、
>連続写像f：X→Yが存在するとき、fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、
>f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) はどちらも形を変えない。
に訂正。
468:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:57:04.82 SBGHEmO+.net
あ、>>431の訂正：
「では」、>>429の第４段は→「で」、>>429の第４段は
469:１３２人目の素数さん
15/11/19 21:49:16.60 DL9GgIGV.net
>>422-425
415の証明は1行目からトチ狂ってるんだが。
命題にはお前の好き勝手にAを取っていいと書いてあるのか？
> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
その独りよがりな解釈に基づいた証明も冗長かつ迂遠でセンスなし。
ただ証明を読む者に
『どうしてそうなった！？』
『何を考えてるんだお前は！』
と驚きを与える意味で価値はあるｗ
"おじさんの誤答集"として本でも出したらどうだ。
470:１３２人目の素数さん
15/11/20 03:13:20.86 BQQ4a9KQ.net
>>433
＞命題にはお前の好き勝手にAを取っていいと書いてあるのか？
＞> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
＞その独りよがりな解釈
坊や、そもそも、
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
はな、はじめの「距離空間(R,d)の部分空間A⊂R」の部分を「距離空間(R,d)の「任意の」部分空間A⊂R」と
して解釈するか、「距離空間(R,d)の「或る」部分空間A⊂R」として解釈するかで異なる命題になる。
従って、そもそもが、2通りの解釈が出来る命題になっているのだ。話は上の命題のことに戻り、
距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると連続写像f：A→Rは一意に決まる。例え上の命題を
>距離空間(R,d)の「任意の」部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
として解釈しても、Rの部分空間A≠Φの取り方は、直線R上の(任意の)区間など、非可算個存在する。
だから、連続写像f：A→Rも非可算個存在することになる。これは自明なことである。従って、
上のように解釈すると、わざわざ、ご丁寧に考えるまでもない命題になるのだ。従って、上の命題は、
>距離空間(R,d)の「或る」部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
として解釈するのが、証明をする上で妥当な解釈になる。このように解釈すると、
具体的に構成する証明法が出来るようになる。当然、好き勝手にAを取れるようになるのだ。
この脳ミソからすると、もしかしたら、スレ主か？
何かお受験の雰囲気が漂う文章の書き方だな。スレ主でないとすると、他に考えられる人物は2人か。
471:１３２人目の素数さん
15/11/20 04:18:08.74 BQQ4a9KQ.net
>>433
>>434の
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると連続写像f：A→Rは一意に決まる。
は間違いで、正しくは
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると、或る連続写像f_A：A→Rを構成出来る。
>任意の部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
>Rのベキ集合から連続写像f_A：A→R (A⊂R)全体の空間への多価写像が存在する。
な。こういうように、「距離空間(R,d)の任意の部分空間A⊂R」として解釈すると、
命題が成り立つことは、直観ですぐ分かるだろ。
472:１３２人目の素数さん
15/11/20 04:48:59.40 BQQ4a9KQ.net
>>433
＞>任意の部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
はいい過ぎた。AがRの任意のただ1点aからなる空間{a}に等しかったりするとダメだな。
＞>部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
に訂正。
だけど、「センス」とかいう言葉を使うあたりは、正にお受験数学の感覚なんだよな。
473:１３２人目の素数さん
15/11/20 05:28:25.69 xmQoMmsV.net
今井系、トンデモ数学の感覚
474:１３２人目の素数さん
15/11/20 06:28:56.10 BQQ4a9KQ.net
>>433
多価「写像」だから「任意の」を付けたままで問題ないわ。従って、>>436は取り消し。
多価「の対応」と多価「写像」とを混同させてしまった。
>>437
今井が何なのか知らんけど、今井って誰？
空間A⊂Rのただ1点x∈Aで一価の写像f：A→Rが連続なとき、
f：A→Rも連続写像になっているから、論理的には正しくても、A＝{x}として、
ただ1点x∈Aで一価の写像f：{x}→Rが連続、とはいわないな。幾何学的には、
こんな写像を考えて連続といっても何の意味もない。1点a∈Rで定義される
関数f：R→Rに対しf(x)が1点 x＝a で連続なることをε-δで証明するのと殆ど同じだ。
1点a∈Rで定義される関数f：R→Rが1点 x＝a で連続とかいうことを意識した記憶はない。
475:１３２人目の素数さん
15/11/20 06:50:44.87 6PzVzY9v.net
>>438
おまえは位相が分かっていない
これは現代数学を語る資格が無いことを意味する
476:１３２人目の素数さん
15/11/20 07:14:36.65 BQQ4a9KQ.net
>>439
ただ1点x∈Aで定義された一価の写像f：{x}→Rを、
意味がある連続写像として扱うことってあるのか？
むしろ意味があるのは、R＼{x}を定義域とする連続写像f：R＼{x}→Rの方だろう。
もし、連続写像f：{x}→Rが意味を持つなら、一体いつ意味を持つんだ？
477:１３２人目の素数さん
15/11/20 07:47:01.56 BQQ4a9KQ.net
フーン、稠密な集合から稠密集合への同相写像とかを
考えるときに、あ～見えてもただ1点からなる空間を
定義域とする連続写像が意味を持つようになるのか。
478:１３２人目の素数さん
15/11/20 07:49:36.83 BQQ4a9KQ.net
>>439
>>440は、自己解決した。
479:１３２人目の素数さん
15/11/20 13:02:46.78 BQQ4a9KQ.net
正直に申せば、私(おっちゃん)は位相がよく分かりません ｍ＿ｍ
上のように、位相で間違いをよくしたのも納得出来るでしょう。
後から困るので、そこは自白しておきます ｍ＿ｍ
一応、注意しておく。
絵文字を使っているけど、あ～見えても私はスレ主ではない。
絵文字の書き方は、スレ主の打ち方から学習した。絵文字は、はじめて使った。
480:１３２人目の素数さん
15/11/20 13:16:05.10 BQQ4a9KQ.net
こういうときの絵文字は、スレ主の流儀だと m（＿ ＿）m になるのか。
m（＿ ＿）m と ｍ＿ｍ は似ているけど、微妙に違うな。
今回の ｍ＿ｍ だと、手は大きく顔が小さく見えるのか。なるほど。
絵文字書きが、少し失敗したかな。どちらがよいかは微妙だ。
481:１３２人目の素数さん
15/11/20 18:47:27.13 F69Hf9Qc.net
今風の数学やりたいなら位相の基本は完全完璧に分かっていないといけないのだよ
482:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:04:03.44 PY8lQ5uf.net
> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
483: 『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』 で終わりかな？間違っていれば指摘してくれ。 Aが空集合のときの写像の扱いは詳しくないので除外させてもらった。 おっさんの証明： (1) Aを勝手に開区間に取る。 (2) 全単射にこだわってtanを持ち出す。 (3) {A,f:A->R}の"組"が非加算あることを示す。
484:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:21:02.78 PY8lQ5uf.net
>>446
すまん→非可算
485:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/20 22:30:24.07 fVDQCm9y.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ご活躍お疲れです
読みにくい証明をフォローしてくれたメンターさま、お疲れです
486:１３２人目の素数さん
15/11/20 23:09:30.70 WPZ+xjsn.net
NHK教育を見て48814倍賢く三連休 [転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(liveetv板)
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/20 23:29:51.49 fVDQCm9y.net
>>400-401
どうも。スレ主です。
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)?
「fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。」？
これは正しいのか？
「Sは非可算な零集合である」→「Rは非可算な零集合である」→矛盾
と読める。つまり、「非可算な零集合は存在しない」？と読める
なぜなら、超越基底という性質をほとんど使っていないから
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/20 23:31:45.71 fVDQCm9y.net
しかし、”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”という
これ、どうよ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントール集合
カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[16]。
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:02:02.70 hTfxcEIP.net
おっちゃんの細かい証明はスルーな
つーか、なんで証明せなあかんの？
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:13:10.46 hTfxcEIP.net
>>404-406
>正解が出ちゃったよ。(>>404)
？ これ正解なんかね？
>Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
って、これ、部分集合Aを台と考えているんだろうね。が明記されていない
要するに、閉区間[-1, 1]の外で、なおf(x)=xが成り立っていれば、反例にはならないだろう？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。
定義
与えられた集合 X（多くの場合は実数直線 R）に値をとる函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ? Y で常に消えていることを言う。
491:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:21:13.00 hTfxcEIP.net
>>383にもどる
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」
に、対して >>331で出た定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
を前提とすれば、冒頭の命題は、上の定理を変形して「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」としただけにすぎない
ならば、「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」の部分がくさいわけであり、おかしいと気付く
492:１３２人目の素数さん
15/11/21 00:38:51.05 hbEJY3K6.net
嘘つきは土日の始まり
493:１３２人目の素数さん
15/11/21 00:39:52.61 756rylpT.net
>>453
定義域の意味分かってる？
> Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
このとき、Yの要素2の逆像を答えてみな。
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:46:17.37 hTfxcEIP.net
>>4
495:54 つづき 私スレ主が考えた反例は、下記床関数 Aとして、半開区間[0, 1)を考える。Aで、連続だが、実数全体では、例えば、0, 1では不連続 だから、>>454の定理を認めれば、例えばx=0で、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない ∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。 また、実際にY の開集合U=(-1/2,1/2)という開区間を取れば、x=0では、”f^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0 床関数（ゆかかんすう）と天井関数（てんじょうかんすう）は、任意の実数に対し整数を対応付ける関数である。
496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 01:00:26.84 hTfxcEIP.net
>>457 つづき
なので、要は、定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
で、中途半端に、部分集合 A⊂X なんてしたからまずいわけ
まあ、普通の関数で考えて、y=f(x)で、ある定義域の区間Aの連続を言いたいなら、その像Bを考えて、定理を定義域Aとその像Bに書き換えれば良いってことだろう
とすると、改良版は
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」とでもしとけば良いんじゃない？
もっとも、これは、定理の距離空間(X, dX) 、(Y, dY ) を、A、Bに読み変えたにすぎないのだ
で、>>386に戻る
497:１３２人目の素数さん
15/11/21 01:01:31.74 2otWvQ4e.net
>>453
これは酷い
498:１３２人目の素数さん
15/11/21 01:17:15.74 756rylpT.net
>>457
その反例は間違っていない。
だが本質はfをどう工夫するかではないんだよ。
AをXの開集合ではないようにとることが肝で、
fはA->Yで連続なら何でも可。定数関数でもよい。
>>453 の書き込みでスレ主の理解度は良く分かった。
>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、
499:１３２人目の素数さん
15/11/21 01:20:19.00 7xkHllqS.net
>>446
＞> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
＞『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』
＞で終わりかな？
何も問題はないよ。それを承知の上で、わざと敢えて迂回した。
500:460
15/11/21 01:23:22.25 756rylpT.net
>>460 の最後編集ミスった。
『>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、 』
と書いた383=406はスレ主の理解度が分かって満足しただろう。
と言いたかっただけ。
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 07:22:36.67 hTfxcEIP.net
>>458 つづき
改良版は
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
但し、部分集合 Aが境界を持つ場合、境界上の点については、最初の案では処理がうまく出来ない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続 (数学)
各点連続
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う。
502:１３２人目の素数さん
15/11/21 07:32:33.41 Z8vkGO1/.net
ガウスとガロアってどっちがすごいの？
503:１３２人目の素数さん
15/11/21 07:34:27.47 fRAtS4zh.net
両者共スレ主より劣る
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 07:45:38.78 hTfxcEIP.net
>>450-451 つづき
>[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)?
１．”Sが零集合”でない、即ちある有限の測度ε＞0を持つとする。逆に、そこから矛盾が導かれないかね？
２．さらに問う。ある有限の測度ε＞0を持つとする。ではそれはいったい、いくらだ？ 具体的数値でなくとも、不等式の評価はできるだろう
３．さらに、実数の超越基底Sの不連続定理が成り立つ。つまり、実数の超越基底Sは、連続する実数の区間を占めることはできない
（証明）超越基底Sが、ある連続する実数の区間[a, b]を占めたとする。しかし、有理数の稠密性から、区間[a, b]内には有理数が存在する。そうすると、その有理数が超越基底になり、超越基底の定義に反する（異なる超越基底S1とS2の間には常に有理数が存在する）
４．だから、実数の超越基底Sは、カントール集合のような、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）の例にならないか？
505:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 09:11:28.63 hTfxcEIP.net
>>457 補足
”
506:反例は、下記床関数 Aとして、半開区間[0, 1)を考える。Aで、連続だが、実数全体では、例えば、0, 1では不連続 だから、>>454の定理を認めれば、例えばx=0で、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない ∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。” ”∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。”の部分を、取り消します 説明不足だったし x=0で、半開区間[0, 1)において、床関数は連続 ↓ >>454の命題を認めれば、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる” ↓ ”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ならば、>>454の定理から床関数はx<0も含めて連続になってしまう と言いたかったんだが・・ 床関数は、半連続だが、言葉での的確な説明が難しいから https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E9%80%A3%E7%B6%9A 半連続 与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数f(x)=[ x ]は、全ての(整数)点において上半連続である。
507:１３２人目の素数さん
15/11/21 09:58:54.24 756rylpT.net
>>467
もう少し明快に書いてほしい。
スレ主は対偶を示しているわけだな。
命題：あるY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合とならないならば、f：A→Yは連続ではない．
床関数f:X->YはXで不連続なのでf^-1(U)がXの開集合とならないUが存在する。
しかし“fの定義域をAに制限すれば”fは連続なので、上の命題は偽である。
よって元の命題が示せた、というわけだ。
しかし細かいことを言えば、元のf_X:X→Yと定義域を制限したf_A:A→Yは異なる写像だ。
証明の前段と後段で写像をすり替えてしまったので、論理的には証明は不完全かもしれない。
508:468
15/11/21 10:04:25.83 756rylpT.net
訂正します。
> スレ主は対偶を示しているわけだな。
→対偶を考えている
> よって元の命題が示せた、というわけだ。
この文は削除。命題（対偶）を示すんじゃなくて、反例を出しているんだった。すまんね。
509:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 10:58:44.09 hTfxcEIP.net
>>468-469
どうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんか～
フォローありがとう
510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:13:18.13 hTfxcEIP.net
>>457 補足
ここで考えた反例の床関数（ゆかかんすう）と、>>453 「Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する」>>404との差
分かりますか？
床関数（ゆかかんすう）は、ある区間では連続だが、不連続な点を持つ例
一方、f(x)=xは、至るところ（解析接続を考えれば複素平面全体で）連続な例
ところで、ある区間Aを考える。ある区間Aの内点だけを考えた場合では、両者に差はない
が、>>457のように、床関数のA＝半開区間[0, 1)における境界x=0での半連続は、本質的な反例になっているだろうと
511:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:16:06.30 756rylpT.net
スレ主さん、
>>468-469 はおっちゃんではない。
口調と訂正が多いあたり確かにおっちゃんに似ていたかもしれないｗ
512:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:20:56.02 hTfxcEIP.net
>>311 関連
突然ですが
URLﾘﾝｸ(blue.ap.teacup.com)
2012/3/3 ε・δ論法と算術化： 大学数学はなぜむつかしく感じるのか？
（抜粋）
大学の数学において、ほぼすべての1回生がドギマギしてしまうのはε・N, ε・δ論法ではないでしょうか。なぜそんなにも難しく感じるのでしょうか。本稿では実際にこの論法を御紹介をしながら、大学1回生におなりになったつもりで学生がとまどう理由を御一緒に考えてみたいと思います。
今回はε・Ｎ論法、次回、ε・δ論法を取り扱います。
URLﾘﾝｸ(blue.ap.teacup.com)
2012/3/21 ε・δ論法 －関数の極限と連続性－
（抜粋）
さて、今回は、関数の極限と連続性について、ε・δ論法による証明法であります。
（中略）
ε・Ｎ論法とε・δ論法。どちらも大学の数学でどうしても壁となって立ちはだかる部分でございます。
ここの部分を丁寧に理解ができないために、多くの、実に多くの自然科学系の学生の皆様が、受験数学に対する世界でも冠たる実力を有し、そのままの勢いであれば、本当に世界的な研究業績を次々にお上げになってもおかしくはないところなのでございますが、
総崩れとまでは申上げませんが、多くの学生が失速をしてゆく現実はいかんともしがたいところであるようです。
がんばれニッポン、と言う掛け声とともに、がんばれ自然科学系という声援も送ってあ�
513:ｰたいところでございます。 👀Rock54: Caution(BBR-MD5:87f20c3c9ee883ab649a4d7f8b996d63)
514:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:22:32.46 756rylpT.net
>>471
言いたいことはわかる。スレ主が何を勘違いしているかも分かっている。
写像の定義域の理解が曖昧ということに尽きる。
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:22:54.80 hTfxcEIP.net
>>472
どうも。スレ主です。
それは失礼しました
516:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:36:37.63 7xkHllqS.net
>>450 ムダが多いんでしゅーって今まで散々いわれてるから、訂正の意味も含め、>>400-401は書き直す。
かなりムダは省いたつもり。読み易さや分かり易さは保証しない。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序
関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合をR'とする。R'⊂R は非可算
故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。 X＝{x} (x∈R') とする。
と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。従って、m(X)＝m({x})＝0。R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、単調減少関数
g：R→Sがある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調減少。g＝f^{-1}とおく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。
関数 f：R'→R は単調増加故、f：S→R は単調増加。f：S→RのグラフGは、G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈S}。Y＝{y} (y∈R) とする。
yに対し或る点x∈Sが一意に存在し、y＝f(x)、(x,y)∈G。a＝(x,y) とする。Y⊂[y-ε,y+ε)(∀ε＞0)。定義から、同様に、
m(Y)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、Y⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(Y)≦+∞。
Dom(f)＝S は非可算零集合故、m(Y)＝m({y})＝m({f(x)})＝0。Rの点yは任意故、Rは零集合。これはRが零集合でないことに反し矛盾。
517:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:43:29.43 hTfxcEIP.net
>>473 つづき
>ε・Ｎ論法とε・δ論法。どちらも大学の数学でどうしても壁となって立ちはだかる部分でございます。
>ここの部分を丁寧に理解ができないために、多くの、実に多くの自然科学系の学生の皆様が、受験数学に対する世界でも冠たる実力を有し、そのままの勢いであれば、本当に世界的な研究業績を次々にお上げになってもおかしくはないところなのでございますが、
>総崩れとまでは申上げませんが、多くの学生が失速をしてゆく現実はいかんともしがたいところであるようです。
>>345に戻る”つまり、田丸 博士先生がここで言いたかったこと
最初の段階では、関数f : R → R の連続性所謂「δ－ε 論法」で定義された
↓
次の段階：距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
↓
現代位相空間（学部レベル）：「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった
という進化！。田丸 博士先生は、これを言いたかったんだろうと>>342”
要するに、ε・δ論法 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
が、厳密な議論に基づいて微分積分学を再構築したと。ワイエルシュトラスの時代（１９世紀）
が、その後さらに、”「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった”というのが現代（２１世紀）
「開集合」による定義で、連続性の概念は、直感的な理解を少し回復したんだ
現代から見ると、ε・δ論法はユークリッド距離空間で、級数展開や具体的な関数計算で、使い易い形に整備された道具という見方もできるだろう
ε・δ論法で躓いた人は、さらに先に進んで、ε近傍→「開集合」の高みから、ε・δ論法を振り返ってみてはどうだろうかと思う今日この頃
518:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:57:07.58 2otWvQ4e.net
定義域、ひいては写像すらわかってないアホが何を上から目線で
519:１３２人目の素数さん
15/11/21 12:18:49.59 37vYGmnI.net
>>476
Sが超越基底であることを全く使っていない。
Sが非可算零集合であればいつでも矛盾が起きることになる。
しかし、非可算零集合は存在する(カントール集合)。
よって、その証明は間違い。
これはスレ主が指摘していたことそのもの。
誤答おじさんはスレ主より遥かに劣っている。
スレ主の方が遥かにマトモ。
誤答おじさんの数学的営みには「意味」の概念が著しく欠如している。
人工知能が意味を全く理解せずに機械的に文章を生成しているのと変わらない。
スレ主の方が遥かに「意味」を理解している。
もう数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 12:21:33.72 hTfxcEIP.net
>>476
どうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れです
>>451 の
”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”も読んでくれた？
で、おっちゃんの証明で、超越基底→カントール集合の置き換えをすると
実数体Rのカントール集合をSとする。Sは零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序
関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合をR'とする。R'⊂R は非可算
故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：略
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：略
Dom(f)＝S は非可算零集合故、m(Y)＝m({y})＝m({f(x)})＝0。Rの点yは任意故、Rは零集合。これはRが零集合でないことに反し矛盾。
これで、カントール集合Sが零集合だとすると、矛盾を導けた。
だから、通説の”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）”が間違っているか
証明が間違っているかだろう
521:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 12:24:06.96 hTfxcEIP.net
>>479
どうも。スレ主です。フォローありがとう。>>480が被った
522:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 12:40:55.47 hTfxcEIP.net
>>462 補足
>改良版は
>「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
>Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
>要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
>それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
ある部分集合 A⊂X （Aは開集合に限らない）で、連続か不連続かを、知りたいというニーズはあるだろう （y=f(x)が実数全体で定義されているが、不連続でない部分があるとして、ある区間A[a, b]で連続かどうか知りたいとか）
綺麗に使い易く判定できる命題の形が導ければ、それはそれで意味があるだろう
残念ながら、”綺麗に使い易く判定できる命題の形”を思いつくことができなかったので、開集合限定とした（＾＾；
523:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:17:32.98 7xkHllqS.net
>>481
メシ食いながら気付いたが、第３段に外測度はいらないな。更に簡略化出来るわ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。関数 g：R→S は単調増加。従って、S＝R で、有理数は超越数で矛盾。
524:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:24:30.18 7xkHllqS.net
>>481
お～、今度はきれいに書けた。感動モノだ。
単調増加の逆関数は単調増加だったな。
525:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:28:43.56 37vYGmnI.net
>>483-484
きれいに書けたじゃねえよバカもんが。
>>479-480と同じ理由により間違い。どこが感動モノなんだ。
もう数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
誤答おじさんのこの失態にはスレ主も苦笑するしかあるまい。
このように、誤答おじさんは数学的な「意味」を全く理解していないのだ。
ポンコツな人工知能と変わらん。
526:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:35:02.62 7xkHllqS.net
>>485
Sが超越基底であることは
>従って、S＝R で、有理数は超越数で矛盾。
の部分で使っている筈だが。
527:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:37:57.85 37vYGmnI.net
>>486
Sをカントール集合としよう。
誤答おじさんのやり方でS＝Rまでは言えてしまう。
カントール集合はRなのか？違うだろ？このバカもんが。
528:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:59:19.29 7xkHllqS.net
>>481
>>487
>Sは任意の非可算零集合でもよいから、任意の非可算零集合
>のすべての点は超越数からなることになる
529:が、これはあり得ず矛盾。 としなきゃダメなのか。
530:１３２人目の素数さん
15/11/21 14:11:41.52 37vYGmnI.net
>>488
何が言いたいんだ？
そんな修正をしたら、非可算零集合は存在しないことになってしまうぞ？
でもカントール集合があるから、証明のどこかが間違っている。
堂々巡り。同じことの繰り返し。いい加減にしろ。
もういいから本当に数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理なんだよ。
スレ主よ、これが誤答おじさんだ。
531:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 14:13:15.50 hTfxcEIP.net
>>488
どうも。スレ主です。
おっちゃんな～
おれとか、ID:37vYGmnI さんが、言っていることは、証明が根本から間違っているってことと・・・
おれが言いたいのは、立論が間違っているってこと
>>466に根拠は書いたが、証明すべきは「実数の超越基底Sは、カントール集合のような、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）の例になる」ってことだろう
この逆（間違った立論）を無理矢理証明しようとするから、間違った証明になっていると思うよ
532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 14:14:20.98 hTfxcEIP.net
>>489
どうも。スレ主です。
フォローありがとうございます！（＾＾
533:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 14:27:13.17 hTfxcEIP.net
>>477 補足
ε-δ論法は、私も学生時代には齧り付いたけどね
ノンスタンダードとか演算子法とかを知って、「ε-δ論法なしでも微積はできるじゃん」と思ったし
その後、数学科じゃないから、気楽に流した
けど、数学科はそうは行かないのかも（下記でもご参考に）
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp) （これ前にも引用したと思う）
ε-δ論法について 質問者：rockman9 質問日時：2005/05/21 11:29
（抜粋）
大学１年です。題名通りですが微分積分学に出てくるこの論法が全く理解できません。教授に聞いても教科書に書いてあることをそのまま説明するしかしないので、その教科書を読んでも理解できないのですから全く意味が無いです。いきなり分けのわからない変数が２つも出てきますし...
どなたか教科書に出てるような抽象的なものよりも理解しやすい説明がありましたら（独自の説明で構いません！）教えてください！お願いします。
また理解しても問題が解けなければならないので、例題として１問だけ載せてみます。説明の際に利用できるようでしたら是非使ってください！
URLﾘﾝｸ(kazuschool.blog94.fc2.com)
受験数学かずスクール 京大理学部で数学をやった管理人が中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。
【2010/02/16 03:21】
（抜粋）
極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい
今回は極限の定義で大学の専門書とかで使われるε-δ論法について説明したいと思います。
それは高校1年生からのある一通のメールから始まった
「教科書で限りなく近づくが曖昧です。
ε-δ論法がありました。
よろしくお願いします。」
大学生でもε-δ論法わかりにくい言う人多いしな。
簡単にするためまずは数列の極限で説明したいと思います。
534:１３２人目の素数さん
15/11/21 14:33:39.66 7xkHllqS.net
>>481
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、埋め込みの操作後にSは形を変えないことになる。Sは任意の非可算
零集合でよいから、RのQ上の超越基底Sは一意に決まる。しかし、これはあり得ず矛盾。
みたいです。
535:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:07:49.77 37vYGmnI.net
>>493
S⊂[0,1]をカントール集合とする。Sは非可算零集合である。
このSに対して、第１段までは適用可能であり、そこで作ったR' は非有界である。
このあと、第２段も適用可能である。さらに、第３段も途中までは適用可能であり、
そこでR'＝Sとなる。Sは有界だがR' は非有界だから矛盾する。
よって、カントール集合は存在しない。
よって、誤答おじさんの証明は間違い。
数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
536:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:27:47.86 7xkHllqS.net
>>481
信じられんが、私の予想が間違っていたようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合。
証明]：card(
537:S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。 [第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の 大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し 全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。 [第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x} (x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、 m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。 R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。 [第３段](Sは零集合)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、 単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、Sは非可算零集合。 こっちが正しいみたいだ。
538:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:31:23.10 7xkHllqS.net
>>481
あ、>>495の
>card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
は単純に
>Sは非可算集合。
に訂正。
539:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:32:21.14 37vYGmnI.net
>>495
どちらにせよ、その証明は間違い。
S⊂[0,1]をカントール集合とする。Sは非可算零集合である。
このSに対して、第１段までは適用可能であり、そこで作ったR' は非有界である。
このあと、第２段も適用可能である。さらに、第３段も途中までは適用可能であり、
そこでR'＝Sとなる。Sは有界だがR' は非有界だから矛盾する。
よって、カントール集合は存在しない。
よって、誤答おじさんの証明は間違い。
数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
540:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:35:39.06 37vYGmnI.net
だいたい、SをR上に散りばめて非有界にしただけで何か意味のあることが言えるわけないじゃん。
人工的に散りばめた時点でSの代数的性質も失われるんだし、何のためのSなんだよ。
実際に非有界かつ無意味なR' が得られて、何の矛盾も出ずに証明に行きづまるだけ。
この方針じゃ何も言えない。ゼロ集合であることも言えないし、ゼロ集合でないことも言えない。
ホントに何も言えない。ただの無意味な操作にすぎない。
自分がやっていることの「数学的意味」を考えろよ。やってることが何もかも無意味なんだよ。
人工知能がパズルのソルバーのごとく総当りして、支離滅裂な方法まで試してる感じ。
その、無数にある支離滅裂な方法の1つを、実際に目の当たりにしている感じ。
そのくらい、やってる内容が無意味。ホントに人工知能と変わらない。
誤答おじさんの数学的営みにはホントに「意味」の概念が欠落してる。
マジで数学やめろ。もう気づけ。誤答おじさんに数学は無理なんだ。
541:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:38:55.61 37vYGmnI.net
>>496
非可算集合に変更するなら、その変更後の証明により、
「非可算集合はすべてゼロ集合」になってしまうぞ。
何がしたいんだこいつ。
542:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:48:34.30 7xkHllqS.net
>>481
よく考えたら、第３段は単純に以下の通りだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：非可算零集合R'から零集合でない非可算集合Rへの単調増加関数fは存在せず矛盾
(∵存在したら、その逆関数 f^{-1}：R→R' は単調増加)。
543:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:54:35.01 37vYGmnI.net
>>500
Sがカントール集合でも同じ矛盾が出て、カントール集合は存在しないことになる。
よって、その証明は間違い。
>>498に書いたとおり、誤答おじさんのその方針は最初から無意味なので、
どんなに弄り倒しても何も出てこない。
一体なんなんだこいつは。
544:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:02:52.39 B11xvmN/.net
へえ、ハメル基が非可算なのは分かるが
連続濃度なことまで言えるんか
545:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:06:50.11 7xkHllqS.net
>>481
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、Qは可算零集合、Sは非可算零集合である。Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
Rは非可算零集合である。しかし、これはRが零集合でないことに反し、矛盾する。
546:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:18:14.39 37vYGmnI.net
>>503
それも間違い。
＞Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
ここが間違い。どこが可算無限集合なんだよ。
Q(S)の任意の代数拡大体Lに対して、S⊂Q(S)⊂Lが成り立っている。
Sは非可算でS⊂Lだから、Lも非可算。
547:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:20:09.03 3tQ50uM3.net
>RはQ(S)上代数拡大体である。
>Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
Rは非可算零集合である
Rは可算だからRは非可算？
頭オカシイだろおまえw
548:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:29:58.59 7xkHllqS.net
>>481
ちょっと、「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合」でないことは、
すぐには証明出来ないですな。単なるR上への埋め込みがダメとなると、
代数的手法と測度論か何かを使うことになるんだろうが、方針が分からない。
しかし、メンター君は、よく正しい証明かどうかすぐ分かりますな。
549:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:32:53.35 7xkHllqS.net
>>504-505
ここが間違いなことはすぐ分かったよ。>>503については何もしなかっただけ。
550:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 17:08:44.88 hTfxcEIP.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れさま
>>495 やっと気付いてくれましたか？ 「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合」が正だよ
>>506 「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合」でないことは→であることは
だよね（＾＾；
>すぐには証明出来ないですな。単なるR上への埋め込みがダメとなると、
>代数的手法と測度論か何かを使うことになるんだろうが、方針が分からない。
私が、「自力で終わらせるか・・」と考えたら、一応証明らしきものは浮かんだ（＾＾；
が、雑魚叩きに使えるので、書かずに温存しておくよ（＾＾；
問題再録（>>312に書いてある）
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）
551:*)の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。 ・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？ *) ディリクレの関数1Q説明 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86 答えは、１）零集合、２） ゼロ。 では
552:１３２人目の素数さん
15/11/21 17:17:10.81 7xkHllqS.net
>>481
結果だけ使えば、次のようになるようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、Sは非可算零集合である。
また、Sの任意の超越数はU数である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
リウヴィル数はU数であり、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で
表せる。従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。しかし、これは矛盾する。
553:１３２人目の素数さん
15/11/21 17:29:15.91 7xkHllqS.net
>>481
>>509の
>Sの任意の超越数はU数である。
は多分間違いだから、>>509は取り下げとく。
554:１３２人目の素数さん
15/11/22 10:46:43.47 G4dpeoO2.net
>>508
おっちゃんです。まあ、結果だけ使えば、次のようになるようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
A数、T数、U数の全体からなる集合である。また、リュ―ビル数全体の集合は
非可算集合であり、リウヴィル数はU数である(Wikiのリウビル数のサイト参照)。
従って、Sは非可算零集合である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で表せる
から(Wikiのリウビル数のサイト参照)、任意の実数はQ(S)上代数的である。
従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは矛盾する。
まあ、S数全体の1次元ルベーグ測度は1だから、RがQ(S)上代数拡大体になるには、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底SはS数を元に持っていることになる。だから、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合ということはあり得ない。
555:１３２人目の素数さん
15/11/22 10:53:24.69 G4dpeoO2.net
>>508
(>>511の補足)
Q(S)上超越的な実数は、必ず存在する。もし存在しなかったら、
Q(S)上超越的な複素数は存在しなくなる。しかし、RがQ(S)上代数拡大体だから、
複素数体CもQ(S)上代数拡大体である。複素数がQ(S)上代数的独立か代数的従属か
についても同様になる。従って、定義上は、Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sになる。
だから、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底S
でもある。これは、そもそも、Sを考えたときの体の拡大R/Qの扱いに反し矛盾する。
R＝C として実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
2つの体の拡大R/Q、C/Qを同一視して有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
これは R≠C に反し、矛盾する。そういうことだ。
556:１３２人目の素数さん
15/11/22 11:32:15.11 Sfjos7ec.net
>>511
>超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
>1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
>A数、T数、U数の全体からなる集合である。
どうしてA,T,U数をすべて含むと言えるんだ？
超越基底の性質からそれが言えるというなら説明してくれ。
557:１３２人目の素数さん
15/11/22 11:46:32.27 G4dpeoO2.net
>>513
これ、間違い。
どういう基準でルベーグ測度を取ったのかまでは分からない。
>>508
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
従って、任意の実数はQ(S)上代数的である。従って、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは、Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾。
(もし存在しなかったら、 Q(S)上超越的な複素数は存在しなくなる。
しかし、RがQ(S)上代数拡大体だから、 複素数体CもQ(S)上代数拡大体である。
複素数がQ(S)上代数的独立か代数的従属か についても同様になる。
従って、定義上は、Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sになる。
だから、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底S
でもある。これは、そもそも、Sを考えたときの体の拡大R/Qの扱いに反し矛盾する。
R＝C として実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
2つの体の拡大R/Q、C/Qを同一視して有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
これは R≠C に反し、矛盾する。)
に訂正。
558:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:17:54.90 Sfjos7ec.net
> Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾
存在しないでしょ。どんな実数？
ゼロ集合はどこで使ってるんだ？
559:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:20:25.02 lmw0xI33.net
この人は自分で自分の論証の正しさを確かめられない人なんだね。
こういうタイプの人は他にも見たことがある。
560:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:53:29.37 G4dpeoO2.net
>>515
いや、代数的に考える以上、Q(S)上代数的な数を考えるときは、
せいぜい、可算無限な対象(今回は実数)を考えることになる。
代数で非可算な対象を考えることは出来ない。
実数体Rは非可算。だから、Q(S)上超越的な実数は存在するのではないかと。
そう思った。
561:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:58:53.68 G4dpeoO2.net
>>517
悪かったな。豪語するなら、
超越基底Sが零集合かの判定をしてみてくれ。
562:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:03:28.97 Sfjos7ec.net
>>517
> 代数で非可算な対象を考えることは出来ない
言っていることが分からない。
RはQ(S)上代数的で、そうなるように超越基底Sを取ったんでしょ？
Q(S)上超越的な実数なるものが存在したとしても、実数全体がRなんだから、当然Rに含まれるでしょ。
563:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:05:33.03 G4dpeoO2.net
>>516
「>>518」は、本来「>>517」ではなく、「>>516」宛てな。
豪語するなら、超越基底と零集合をウマく組合せた論証をしてみてくれ。
564:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:07:03.84 Sfjos7ec.net
本当に言っていいのか？
みなさんが楽しんでいるようだが。
少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
565:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:09:10.76 IkwVB7jN.net
>>521
脳足りんやなあ爺
566:521
15/11/22 13:09:17.26 Sfjos7ec.net
> 悪かったな。豪語するなら、
> 超越基底Sが零集合かの判定をしてみてくれ。
ってのは>>516 宛だったのか。失礼した。
567:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:16:46.12 G4dpeoO2.net
>>519
いや、ちょっと、Q(e)とかQ(π)の点を係数に持つ多項式の根について、
有理係数多項式のときと同様に、ディオファンタス近似の理論を
再構築したことがあるんですわ。Q(S)-係数多項式の根が全部Q(S)上代数的となると、
Q(e))-係数多項式の根に対するディオファンタス近似の理論の類似が無効になるかも知れない。
意味がなくなるかも知れないと。まあ、大雑把にいえばそんな感じです。大雑把過ぎるでしょうけど。
568:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:27:33.18 G4dpeoO2.net
>>519
>>524の訂正：
「Q(e))-係数多項式」→「Q(e)-係数多項式」
569:521
15/11/22 13:39:44.66 Sfjos7ec.net
>>525
> Q(S)-係数多項式の根が全部Q(S)上代数的となると、
ここに記述ミスはない？確認してもらえるでしょうか。
（おっさん、敬語は使わないでくれ。やりづらい・・。）
ある数がQ(S)係数多項式の根となるとき、その数をQ(S)上代数的と呼ぶんだったよね。
だからQ(S)係数多項式の根はすべてQ(S)上代数的だよ（当たり前だが）。
少し混乱していないだろうか。
570:521
15/11/22 14:38:01.69 Sfjos7ec.net
>>少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
よく見たら>>510 はメンターじゃないな。どうりで変だと思った。
571:１３２人目の素数さん
15/11/22 16:39:06.05 G4dpeoO2.net
>>526
論理的には間違いが生じないから、一応は、Q(S)係数多項式の根に対しても、
ディオファンタス近似の理論の類似を再構築出来る仕組みになっているにもかかわらず、
定義に反するから、実際は再構築しようがないのか。
Q(S)係数多項式の根の場合は、数学的には何の意味もないから、再構築してはいけなかったのか。
572:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 17:59:07.98 7nuHUSiY.net
>>521
どうも。スレ主です。
メンターさんかと思っていたが、別の方ですか？
どうも、フォローありがとうございます。
私の意見としては、おっちゃんが、「超越基底Sが零集合である」ということを納得してもらって、その証明を少しだけ見てみたい気がする
おっちゃんは、「濃度が非加算の零集合が存在する」ということを、カントール集合という例を示されても、心底納得できていないみたいだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
だから、「超越基底Sが零集合である」を否定的に解こうとして、脱線している点もある
それと、”超越基底S”を全然理解できていないかな？ ”Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾”>>515？ 面白い発想だね（＾＾；
ということで、しばしお待ちを。まず、”Q(S)上超越的な実数が存在しない”を処理して、「超越基底Sが零集合である」を、もし可能なら納得してもらいましょう
そして、一度、おっちゃんの証明を見てからということでお願いできればと思いますｍ（＿ ＿）ｍ
573:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 18:11:03.03 7nuHUSiY.net
>>515
おっちゃん、どうも。スレ主です。
> Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾
まず、”Q(S)上超越的な実数が存在しない”を処理します
証明
１．ご自分で書いた通り、>>514の実数体Rの有理数体Q上の超越基底をSとする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。従って、任意の実数はQ(S)上代数的である。従って、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
２．これ、正解です。もし、Q(S)上超越的な実数s' ∈/Sが存在したとする。Sを拡張して、Ｓ’＝{s'}+Sとすべきであるから。（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底をSに取り込まれているべき数だから）
証明おわり
超越基底に加えて、「基底とは何か？」をもう一度考えてください
574:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 18:24:28.11 7nuHUSiY.net
>>511
>実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると・・・これは矛盾する。
次のブログでも見て下さい。それで、「点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、
575:カントールの零集合という反例がある。」を納得してください。 ”実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合です”。これが、正解ですよ http://commutative.world.coocan.jp/blog2/2010/11/post-859.html 零集合 あやたろう (2010年11月 8日 01:22) （抜粋） 零集合というは、ルベーグ積分のところで述べた測度論で定義される集合であって、m(A) = 0である集合である。 例えば、１つだけの点からなる点集合Aを考えると、当然にm(A) = 0である。これは、次のような積分に対応して考えられる。 0でない積分結果をもたらすためには、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが、少なくともある区間で、非加算濃度をもたなくてはならない、ということになる。 すなわち、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが非加算濃度をもつことは、0でない積分結果を与えるための必要条件であるが、 点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、カントールの零集合という反例がある。 ・・・・ （証明があるが省略） すると、対角線論法が適用できて、除去された結果の点の非加算性が証明される。すなわち、非加算濃度をもつ零集合が存在する。 零集合の隠微な世界を垣間見た次第である。
576:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 18:32:15.80 7nuHUSiY.net
>>530-531 補足
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんが、どういう立場でどういう動機で、上記のような数学科レベルの数学（含む多変数関数論）をやっているのか不明だが
もし、よかったら、せっかく迷い込んできたこのガロアすれ、しばらく遊んで行って下さい。ｍ（＿ ＿）ｍ
>>530-531 にご納得頂ければ、どんな証明をするのか、見てみたい気もあるので
零集合ね。ルベーグなんか、意識して使うことは無かった。面白い集合ですね（＾＾；
577:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 18:36:23.20 7nuHUSiY.net
>>530 訂正
（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底をSに取り込まれているべき数だから）
↓
（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底Sに取り込まれているべき数だから）
578:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 06:46:12.65 ttjQioOz.net
突然ですが、渕野昌先生
URLﾘﾝｸ(kurt.scitec.kobe-u.ac.jp)
想定外の数学 不完全性定理以降の数学 (続) 神戸大 渕野昌 2012
(抜粋)
「集合論は矛盾しているかもしれないから無意味だ」とか，「矛盾しているかも
しれない巨大基数の理論を研究するのは無意味だ」というような発言を好んでする
人たちの多くは，この一世紀の間に集合論でいかに深くエキサイティングな数学的
研究がされてきたかについてまったく無知であるように思える．また，多少は知っ
ている場合には，かつて，難しすぎて集合論研究からドロップアウトしたというよ
うな類の経歴と，そのことからくる深いトラウマをかかえている人だったりするの
で，そういった人々に対しては，ここで言ったような「保証」は，馬耳東風と言っ
て失礼なら，馬の耳に念仏でしかないかもしれない．
しかし、Reinhardt 基数の存在公理の，ZFC での矛盾が示されたことで，Rein-
hardt 基数に対してそれまでに行なわれた考察が全く無駄になってしまったわけで
はなかった．Reinhardt 基数の超越性をできるだけ保存し，一方で，矛盾を導くこ
との判明した性質をうまく取りのぞくことによって，超コンパクト基数の概念が見
出され，Reinhardt 基数に対しての基礎的なアイデアは，この基数の存在公理の考
察に再利用できているからである．
その後，超コンパクト基数は，"大きな" 巨大基数のうちで最も重要なものと
なって，この基数に関連する多くの興味深い結果が得られてきている．
この，Reinhardt 基数の存在公理の矛盾の発見から超コンパクト基数の導入と
その理論の発展に到る経緯は，数学が矛盾していることが示されてしまう，という
想定外の状況が万が一にも起こったときの，可能なシナリオを示唆しているように
思える．つまり，そのようなことが万が一に起こった場合でも，Reinhardt 基数の
存在公理のときと同じように，そこで示された矛盾を回避するような修正を数学に
対して行なうことで，これまでに数学の長い歴史の中で積上げてきた数学的結果を
すべて失なってしまう，というような壊滅状態は回避することができるのではない
か，と考えることができる，ということである．
579:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 06:52:04.52 ttjQioOz.net
渕野 昌先生、最初、早稲田 化学科だったんだ。その後早稲田 数学科（修士）、独 Freie Universitat Berlin Fachbereich Mathemtatik
経歴が面白いなと
URLﾘﾝｸ(researchmap.jp)
研究者氏名 渕野 昌 フチノ サカエ URLﾘﾝｸ(math.cs.kitami-it.ac.jp) 神戸大学 大学院システム情報学研究科 情報科学専攻 教授 Dr. rer. nat.(ベルリン自由大学)
学歴
1979年4月 - 1984年3月 Freie Universitat Berlin Fachbereich Mathemtatik
1977年4月 - 1979年3月 早稲田大学 理工学部 数学科
1973年4月 - 1977年3月 早稲田大学 理工学部 化学科
580:１３２人目の素数さん
15/11/23 06:59:08.07 cijB5UG8.net
>>529
私が以前ここに書いたことをパクッてただろ。書いたこと忘れてた。
確かにスレ主の予想で正しい。
[第１段](Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)：Sが孤立集合ではないとする。すると、
或る x∈S は孤立点ではなく集積点だから、定義から、r＞0を適当に1つ選ぶと、
(S-{x})∩(x-r, x+r)≠Φ。I＝(S-{x})∩(x-r, x+r) とおくと、I≠Φ。y≠x なる
1点 y∈I を任意に選ぶ。すると、I⊂R から y∈R。そして、I⊂S から y∈S であって、
RはQ(S)上代数拡大体だから、yは体Q(S)上代数的である。従って、yのR/Q(S)への
最小多項式の次数をnとすれば、何れも或る a_0,a_1,…,a_n∈Q(S) に対して、a_0≠0, a_n≠0 であり、
a_0・y^n＋a_1・y^{n-1}＋…＋a_{n-1}・y＋a_n＝0 …① となる。
しかし、定義から、Sの点yはQ上超越的だから、すべての i＝0,1,…,n に対して a_i がQ上代数的なることは、
あり得ない。従って、或る i＝0,1,…,n が存在して、a_i はQ上超越的となる。つまり、a_i は超越数となる。
そこで、Y＝{a_0,a_1,…,a_n} とおき、X＝{a_i∈Y|a_iは超越数} とする。すると、X≠Φ。
581:１３２人目の素数さん
15/11/23 07:00:41.50 cijB5UG8.net
>>529
(>>536の続き)
a_i∈X とする。すると、X⊂Y から a_i∈Y。そして、a_i∈R＼Q であって、同時に a_i∈Q(S)
だから、a_i に対して或る自然数 m(a_i) が定まり、自然数 m(a_i) を m_i で略記すれば、
m_i に対して何れも或る、m_i 変数 z_1, …, z_{m_i} の有理関数 f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と
m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S が存在して a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
となる。Xの点 a_i は任意でよいから、各 a_i∈X に対して、a_i を表す、何れも或る、
f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) と m_i 個の点 {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}∈S、及び有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) が定まる。ここで、仮に、各 a_i∈X に対して定まるような、
a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) における有理関数 f_{m_i}
のすべてが定数ではないとして、各 a_i∈X に対して定まる a_i を表す有理関数の形をした式
a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i}) を、同時にすべて①にすべて同時に代入して
両辺を整理すると、有限個のSの点 y , {z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i} , … は体Q上代数的従属なる
ことが分かり、とりわけ y∈S ではなくなり、y∈S に反し矛盾が生じる。従って、或る a_i∈X が存在して、
a_i に対して定まるような、a_i を表す有理関数の形をした式 a_i＝(f_{m_i})({z(i)}_1 , … , {z(i)}_{m_i})
における f_{m_i}∈Q(z_1,…,z_{m_i}) は定数となる。つまり、f_{m_i}∈Q であって、従って a_i∈Q。
しかし、a_i はQ上代数的だから、定義から、a_i は a_i∈S を満たさず、矛盾する。
従って、Sは孤立集合であり、Sの任意の点は孤立点である。
582:１３２人目の素数さん
15/11/23 07:02:43.49 cijB5UG8.net
>>529
(>>537の続き)
[第２段](Sは非可算集合)：S、Rの濃度は、card(S)＝card(R)＝c だから、
SからRへの全単射が存在する。従って、Sは非可算集合である。
[第３段](Sは非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合
の全体を、Tとする。S⊂R から、孤立集合SはRのベキ集合の元である。x∈S として、X＝{x} とする。
すると、x∈R であり、任意のε＞0に対して X⊂[x-ε,x+ε)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、
また、0≦m(X)≦+∞。xは孤立点だから、m(X)＝m({x})＝0。
Sの点xは任意でよいから、Sは非可算零集合である。
583:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 07:07:55.62 ttjQioOz.net
ちょっと、ここへ戻ろう。位相初心者も来るだろうから
383 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/08(日) 10:36:49.75 ID:avzOXqjC
命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
に対する証明または反例を書け
404 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/11/14(土) 15:57:00.61 ID:n42/B/E0 [1/2]
反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。
406 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/14(土) 16:45:05.47 ID:VGfgFTqg [3/3]
スレ主さんが逃げてる間に正解が出ちゃったよ。(>>404)
これでは不本意だろうから挽回のチャンスを上げよう。
問題 >>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
454 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/21(土) 00:21:13.00 ID:hTfxcEIP [3/20]
>>383にもどる
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」
に、対して >>331で出た定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
を前提とすれば、冒頭の命題は、上の定理を変形して「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」としただけにすぎない
ならば、「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」の部分がくさいわけであり、おかしいと気付く
456 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/11/21(土) 00:39:52.61 ID:756rylpT [1/7]
>>453
定義域の意味分かってる？
584:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 07:15:53.21 ttjQioOz.net
>>539 つづき
１．この問題は、 ID:avzOXqjCさんの自作ではなく、教師が学習用に考えたのかなと思った（はずしてたらごめん）
２．問題文が、ちょっと曖昧だ。わざとかなと。そして、>>406の追加と合わせて、学習効果を上げる意味があるのかもと
３．問題文が、曖昧で、>>456のようにAを定義域と考える場合と、定義域をＸと考える場合で、反例の意味が違ってくるように思う
４．>>482に書いたが、再録すると、下記
482 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/11/21(土) 12:40:55.47 ID:hTfxcEIP [16/20]
>>462 補足
>改良版は
>「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
>Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
>要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
>それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
ある部分集合 A⊂X （Aは開集合に限らない）で、連続か不連続かを、知りたいというニーズはあるだろう （y
585:=f(x)が実数全体で定義されているが、不連続でない部分があるとして、ある区間A[a, b]で連続かどうか知りたいとか） 綺麗に使い易く判定できる命題の形が導ければ、それはそれで意味があるだろう 残念ながら、”綺麗に使い易く判定できる命題の形”を思いつくことができなかったので、開集合限定とした（＾＾；
586:１３２人目の素数さん
15/11/23 07:21:54.02 cijB5UG8.net
>>529
>それと、”超越基底S”を全然理解できていないかな？ ”
>Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾”>>515？ 面白い発想だね（＾＾；
任意の超越数(log(a)、a∈Qとかも含む)を文字Xで表して、超越拡大体Q(X)を考えれば、
任意のf(x)∈Q(X)は、分母分子両方1以上のZ(X)の元で表せるんだから、Q(X)に対して
Qのときと同様にディオファンタス近似の類似を考えることはサルマネレベルで出来るぞ。
Q(X)上代数的か超越的かの判定の不等式の組立ては、論理的には同様な議論が成り立つ。
意味があるかどうかはともかくな。X＝log(a)、a∈Qのときは、こういうのは考えても意味がない。
指数関数e^xに対し、x＝log(a) とおいてもリンデマンの定理の類似は成り立たないから、
やっても余り意味がない。超越基底をSとしたときも、原理的にはQ(S)に対して同様な議論が
サルマネレベルで出来る。このときは、Z(X)がZ(S)になる。
587:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 07:40:09.06 ttjQioOz.net
>>540 つづき
１．簡単に、実数Ｒの関数で考える。
２．定義域、値域という問題と考えれば、距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X、(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y
３． >>331で出た定理 ”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
４．だから、全体集合を取り直して、X→A, Y→Bに置き換えると
定理 ”距離空間(A, dX) から(B, dY ) への写像f : A → B が連続であるための必要十分条件は，任意のB の開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．”
となる。
５．全体集合を取り直して、X→A, Y→Bに置き換えると、開集合の定義が変わる。何が変わるか？ 全体集合A,Bは、開集合になる
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
開集合
開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において（普通の意味での）境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。
極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり（離散位相）、開集合は空集合と空間全体だけとしたり（密着位相）することもできる。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
定義 空集合 Φ および全体集合 X は τ に属す。
588:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 08:02:08.92 ttjQioOz.net
>>542 つづき
１．「全体集合を取り直して、X→A, Y→Bに置き換えると、開集合の定義が変わる。全体集合A,Bは、開集合になる」という視点からは、
”404 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/11/14(土) 15:57:00.61 ID:n42/B/E0 [1/2]
反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。”
は、あんまり良い例ではないのではないかと
２．つまり、開集合の定義を、X, Yを実数全体したままで反例としている。しかし、上記のように全体集合をA,Bに取り直すと見方が変わる。
３．全体集合A,Bは、開集合だから。
４．私スレ主が書いた>>458や>>463は、全体集合をX,Yとして、開集合の定義も実数全体で定義している立場を崩さずに書いたわけ。
５．もっと言えば、３の立場だと、閉区間[-1, 1]は開集合だ。ならば、半開区間[-1, 0)も、開集合だろう。
６．１の反例は、それはそれで成り立っている。もともとの>>383の記載ぶりがそうだし、>>406の追加が後出しだから。
７．で、”問題文が、ちょっと曖昧だ。わざとかなと。そして、>>406の追加と合わせて、学習効果を上げる意味があるのかもと”>>540
”結構考えさせられたよ。「つまんねー問題」というためには、いろいろ考える必要があった そういう意味では面白かった”>>386と
589:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 08:06:31.64 ttjQioOz.net
>>543 つづき
「>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。」>>375
のID:lBRTnVcwさん、少しは分かって頂けましたか？
590:１３２人目の素数さん
15/11/23 08:24:52.27 J9tPnM+x.net
>>468-469 で書いたことに対してコメントをくれ
> 命題：あるY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合とならないならば、f：A→Yは連続ではない．
上の命題に対するスレ主の解答は下記だ。異論があればどうぞ。
> 床関数f:X->YはXで不連続なのでf^-1(U)がXの開集合とならないUが存在する。
> しかし“fの定義域をAに制限すれば”fは連続なので、上の命題は偽である。
上のとおりであれば、下記が私の反論だ。
> しかし細かいことを言えば、元のf_X:X→Yと定義域を制限したf_A:A→Yは異なる写像だ。
> 証明の前段と後段で写像をすり替えてしまったので、論理的には証明は不完全かもしれない。
"かもしれない"と書いたが、間違いなく不完全だ。
定義域を制限/拡張した写像は明確に区別しなければならない。
逆像を問題にしている今のケースでは特にそうだ。
それを伝えるために以下の問題を出したが、スレ主は無視だったな。
> 定義域の意味分かってる？
>
>> Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
>
> このとき、Yの要素2の逆像を答えてみな。
そもそも元の命題は
『命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．』
であって、fの定義域はAと明確に書かれているではないか。
Xを定義域とする別の写像のことなど言及されていない。
591:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 08:52:54.37 ttjQioOz.net
>>545
どうも。スレ主です。
合ってますよ。それならそれで
が、それで終われば、「つまんねー問題ばかり出すな」>>385 に同意だ
写像f : A （定義域）→ Ｂ（値域）⊂Yで、Ａを閉集合として、fはここで連続とし、Ａ以外に値を取らないとする。Ｙの開集合として、Ｂ⊂Ｂ’なるＢ’を取れる。するとf^-1(Ｂ’)＝Ａ。つまり、逆像は閉集合。これ反例なり！
「つまんねー問題ばかり出すな！」だろう？
そこをぼかして書いてあることに、この問題の意義が有ると思うけどね（まあ、教師が考えたとしてだが）
592:１３２人目の素数さん
15/11/23 08:56:26.93 VPUYSl/7.net
スレ主からもバカにされる誤答おじさんワロタｗ
ま、バカにされて当然だな。
>>536
一般的に、次の事実が成り立つ。
・ A⊂Rは、Aの任意の点がAの孤立点になっているとする。このとき、Aは高々可算無限集合である。
＞[第１段](Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)
Sの任意の点が孤立点ならば、上記の事実により、
Sは高々可算無限集合となってしまい矛盾する。
よって、この[第１段]は自動的に間違いである。
593:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 08:58:35.60 ttjQioOz.net
>>546 つづき
追加で言っておくと、貴方の立場で、
>>406 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/11/14(土) 16:45:05.47 ID:VGfgFTqg [3/3]
問題 >>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
について、なにか書いてみてくださいな
証明は不要だ。「>>383の命題を修正して真の命題を作り」までで結構だ
594:１３２人目の素数さん
15/11/23 09:00:43.84 cijB5UG8.net
>>547
フーン。
595:１３２人目の素数さん
15/11/23 09:07:41.69 J9tPnM+x.net
>>546
> そこをぼかして書いてあることに、この問題の意義が有ると思うけどね（まあ、教師が考えたとしてだが）
ぼかしてなんかいないと思うが。しかしもうこの議論は終わりにしよう。
スレ主が理解していることは伝わった。
ちなみに「つまんねー問題ばかり出すな」の>>385は俺だ。
偽であることが明らかで反例も簡単、何の深みもない問題だったからつまんねーと
言ったんだが、おっさんの解答で大いに盛り上がったのは想定外だった・・
596:１３２人目の素数さん
15/11/23 09:09:03.75 VPUYSl/7.net
>>538
この論法、昨日からずーっと気になっていたのだが、
お前は測度の使い方が完全に間違っている。
＞また、0≦m(X)≦+∞。xは孤立点だから、m(X)＝m({x})＝0。
＞Sの点xは任意でよいから、Sは非可算零集合である。
昨日からお前は1点集合の測度ばかりを気にしているが、
1点集合 {x} に対してm({x})＝0が成り立つのは当然の話である。
なんならR全体で考えたって、「任意のx∈Rに対してm({x})＝0 」が成り立っている。
だったら、xをR上で走らせることにより、m(R)＝0が成り立つのか？
成り立たないだろ？このバカタレめが。
なぜRの場合はm(R)＝0にならないのかというと、R＝∪[x∈R] {x} であり、
右辺は「 非 可 算 無 限 個 の集合の和」だからだ。一般に、
A＝∪[n∈N] A_n, m(A_n)＝0 (n∈N)
という「 可 算 無 限 個 の集合の和」で表示されているならば、
m(A)＝0が言えるという話に過ぎない。
Sの場合も同様であり、任意のx∈Sに対してm({x})＝0が成り立つからとい�
597:ﾁて、 m(S)＝0が成り立つとは限らない。なぜなら、S＝∪[x∈S] {x} であり、 右辺は「 非 可 算 無 限 個 の集合の和」だからだ。 つまり、昨日のレスにせよ今日のレスにせよ、 お前の論法ではSのルベーグ測度に関して何も証明できない。
598:１３２人目の素数さん
15/11/23 09:12:12.91 J9tPnM+x.net
>>548
遅筆で失礼した。真の命題ね。
元の命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
変更の命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．
XをAに変えただけだが、文句ある？連続の定義そのものだわな。
599:１３２人目の素数さん
15/11/23 09:17:45.64 cijB5UG8.net
>>551
可算集合の外測度が0なることは知ってたよ。
バカを演じて迂回した。
600:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 09:33:06.19 ttjQioOz.net
>>547
どうも。スレ主です。孤立点か・・・、なるほど・・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
rockstarogkさん 2014/5/3
X⊂R^nを孤立点集合としたとき、Xの濃度は高々可算であることを教えて下さい。
ベストアンサーに選ばれた回答 nardzewskiさん 2014/6/10
XはRの相対位相により、第二可算公理を満たす離散空間となる。
第二可算公理を満たす位相空間は、その任意の開被覆に対し可算部分被覆が取れる（リンデレーフ）。
このことからXは高々可算である。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
孤立点
位相空間論において、位相空間 X の点 x が X の部分集合 S の孤立点であるとは、x が S に属し、かつ、x の近傍であって x 以外の S の点が1つも含まれないようなものが存在することをいう。
特に X がユークリッド空間（あるいはもっと一般の距離空間）の場合に即して言えば、xがSの孤立点であるとは、xを中心とする開球のうちx以外のSの点を含まないものが存在するということを意味する。
別な言葉で言えば、点x ∈ SがSにおいて孤立するための必要十分な条件は、xがSの集積点とはならないことである。
孤立点のみから成る集合を離散集合という。ユークリッド空間における離散部分集合は可算である（これは有理数全体のなす集合Ｑが実数全体のなす集合Ｒにおいて稠密であるという事実に基づけば、
ユークリッド空間における部分集合の各点を孤立させるというのは、有理数を座標に持つ点（有理点）からなる集合に1対1に写すという意味になるためである）。一方、可算だが離散的でない集合が存在しうる（例えば有理数全体の集合Ｑ）。
孤立点を持たない集合を dense-in-itself という。孤立点を持たない閉集合を完全集合という。
「孤立点の数」というのは位相不変量の一種である。すなわち、位相空間XとYが互いに同相ならば、それらの持つ孤立点の数は必ず等しい。
例 以下に示す位相空間は実数直線の部分位相空間と見なす。
集合S= {0 } ∪ [1,2]において、0は孤立点である
集合S = {0 } ∪ {1, 1/2, 1/3, \dots }において、点1/kは孤立点だが、0以外で0にいくらでも近い点がSの中に存在するため、0は孤立点ではない
自然数の集合Ｎ = {0, 1, 2, ・・・ }は離散集合である
601:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 10:04:19.52 ttjQioOz.net
>>552
どうも。スレ主です。
レスありがとう。「つまんねー問題ばかり出すな」と書いた方か・・・
ところで、一つ気になるが、>>543で書いたように、開集合の定義を変えないと、まずいだろうと
つまり、”反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。”
で、開区間 Ｂ＝（-2, 0）とする。この逆像f^-1(Ｂ)=[-1,0)。で、これはＸ全体で見ると、半開区間だ。だから、この逆像は開集合とは言えない。しかし、f(x)は連続だ。
だから、>>543に書いた”５．もっと言えば、３の立場だと、閉区間[-1, 1]は開集合だ。ならば、半開区間[-1, 0)も、開集合だろう。”ということです
602:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 10:17:37.32 ttjQioOz.net
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>>536
>私が以前ここに書いたことをパクッてただろ。書いたこと忘れてた。
おっちゃんらしいね。ところで、どこに何を書いていたんだい？ 「どこ」を教えて貰えれば、何をは分かるが
>>536-538 この証明の(Sの任意の点は孤立点で、Sは孤立集合)というのがダメみたいだね。非加算無限は難しいね（＾＾；
(Sのある点は孤立点とできて、Sの一部は孤立集合にできる)が正解か・・・
>>541 意味が取れない。言いたいことは、”超越基底S”の”基底”に力点があるが、それに対するレスが、超越数についてなのですれ違いかな・・
>>553 おっちゃん、乙です
603:１３２人目の素数さん
15/11/23 10:22:46.32 J9tPnM+x.net
>>555
> ところで、一つ気になるが、>>543で書いたように、開集合の定義を変えないと、まずいだろうと
すまんが言っていることが分からない。
> 開区間 Ｂ＝（-2, 0）とする。この逆像f^-1(Ｂ)=[-1,0)。で、これはＸ全体で見ると、半開区間だ。
正しい。
> だから、この逆像は開集合とは言えない。
正しい。もっと正確に言えば"この逆像はXの開集合とは言えない。"だな。
> しかし、f(x)は連続だ。
正しい。f：A→YはAで連続だ。
> だから、>>543に書いた”５．もっと言えば、３の立場だと、閉区間[-1, 1]は開集合だ。ならば、半開区間[-1, 0)も、開集合だろう。”ということです
閉区間[-1, 1]は"Aの開集合"、半開区間[-1, 0)も"Aの開集合"だ。
反例>>404でも真の命題>>552でも、"何の開集合"を考えているかは明確にしているつもりだ。
Aの開集合と言ったら全体集合をAとしたときの開集合をさす。
Xの開集合と言ったら全体集合をXとしたときの開集合をさす。
スレ主が気になるのは>>404、>>552のどの部分？
604:１３２人目の素数さん
15/11/23 10:23:49.73 /16N9oXC.net
ガロア理論の話していい？
605:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 10:24:46.52 ttjQioOz.net
>>521 >>529
ID:Sfjos7ecさま、どうも。スレ主です。
>少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
私は、ＯＫです。証明は、かなり改善されたと思うが、正解には遠そうだから。
あとは、>>510 メンターさん、おっちゃんのお二人がどうかだ。
では
606:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 10:26:32.77 ttjQioOz.net
>>558
どうも。スレ主です。
>ガロア理論の話していい？
良いよ。私は、今日はこれで終わりだが、だれかレスしてくれるだろう（＾＾；
607:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/23 10:30:09.12 ttjQioOz.net
>>557
どうも。スレ主です。
レスありがとう
うんうん、だから、そういうことを考えさせる問題かなと・・・（＾＾；
実際、いろいろ考えたわけで。位相上級者から見たら自明でも、位相初心者から見たら、自明でない。そこを考えさせる問題かなと（まあ、教師が考えたとしてだが）
608:１３２人目の素数さん
15/11/23 10:37:22.34 J9tPnM+x.net
>>559
そもそもスレ主は証明できるのか？
おれは不勉強だからこの問題へのアプローチは1通りしか知らない。
そのアプローチをぼかして書くと「超越基底が含まれるある集合を考える」というものだ。
これを自力で気づけというのは酷だ。各所でヒントが出ているとはいえな。
スレ主の方針はどういうものだ？書いてくれ。
おれは正直いっておっさんの不屈の精神に感嘆しているよ。
メンターにはお疲れ様としかいえないが、とにかく何言われたって諦めないんだからな。
609:１３２人目の素数さん
15/11/23 10:40:17.49 J9tPnM+x.net
>>561
OK、これで議論は終わりだな。
おれが「つまんねー問題」と言ったのは、スレ主が全体集合について既によく理解していると思ったからだ。
610:１３２人目の素数さん
15/11/23 10:58:29.68 cijB5UG8.net
>>556
ハメル基底で一般化した方がいいや。
[第１段](0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底の存在性)：ハメル基底をBとする。
無理数a∈Bを任意に取る。環Q[a]について、Q⊂Q[a] だから、実数直線R上で、
有理数の稠密性から、0、1に任意に近い有理数なるハメル基底の元は無数に取れる。
また、Q⊂Q[a]⊂R からQ[a]も直線R上で稠密だから、無理数の稠密性から、
0、1に任意に近い無理数で、Q[a]に属するハメル基底の元は無数に取れる。
よって0、1に任意に近い有理数b、無理数cからなるQ上のベクトル空間を張る
基底{b,c}を取ることが出来る。無理数a∈B＼Qは任意だから、aをB＼Q上で走らせれば、
0、1に任意に近い元のみからなるような、ハメル基底B'＝∪{b,c} c∈B＼Q が構成出来る。
ここに、B'⊂(0,1] と仮定しても一般性を失わない。
[第２段](B'は完全集合)：B'は0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底だから、
定義から、B'は完全集合である。
[第３段](超越基底Sは完全集合)：実数体Rの有理数体Q上の任意の超越基底は
或るハメル基底に含まれるから、S⊂B' とすれば、Sは完全集合となる。
ここに、S⊂B' としても一般性は失われない。
[第４段](S、B'の濃度は連続体濃度)：S、B'、Rの濃度は、card(S)＝card(B')＝card(R)＝c。
[第５段](S、B'は非可算零集合)：完全集合B'、Sは稠密集合である。従って、
Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、S⊂B' から、任意のε＞0に対して、
m(S)≦m(B')
611:≦ε。ε→0 とすれば、m(S)＝m(B)＝0。従って、S、B'は非可算零集合である。
612:１３２人目の素数さん
15/11/23 11:13:41.04 cijB5UG8.net
>>556
>>564の最後の
「ε→0 とすれば、m(S)＝m(B)＝0。」→「ε→0 とすれば、m(S)＝m(B')＝0。」
に訂正。
613:１３２人目の素数さん
15/11/23 11:30:19.53 VPUYSl/7.net
＞[第２段](B'は完全集合)：B'は0、1に任意に近い元のみからなるハメル基底だから、
＞定義から、B'は完全集合である。
推論が意味不明。0,1に任意に近い元だとなぜ完全集合なのか？
＞[第３段](超越基底Sは完全集合)：実数体Rの有理数体Q上の任意の超越基底は
＞或るハメル基底に含まれるから、S⊂B' とすれば、Sは完全集合となる。
推論が意味不明。完全集合の部分集合は常に完全集合なのか？
＞[第５段](S、B'は非可算零集合)：完全集合B'、Sは稠密集合である。従って、
＞Sの外測度をm(S)、B'の外測度をm(B')とすれば、S⊂B' から、任意のε＞0に対して、
＞m(S)≦m(B')≦ε。ε→0 とすれば、m(S)＝m(B)＝0。従って、S、B'は非可算零集合である。
推論が意味不明。これでは「稠密集合はゼロ集合である」と読めるが、
稠密集合は必ずしもゼロ集合ではない。