15/11/14 10:42:58.36 zLqA8LhM.net
>>387
(>>398の続き)
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、
仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。
つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Y
に対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、
連続である。空間XはX自身の部分空間だから、空間Xの或る部分空間Aを A＝X とおけば、
f:A→Yは連続となる。即ち、空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続である。
[第２段]：距離空間(X,dX)、(Y,dY)は両方共に位相空間だから、(X,dX)の或る部分集合A⊂Xから
(Y,dY)への写像f:A→Yが連続であるための必要十分条件は、任意のYの開集合Uに対してf^{-1}(U)が
Xの開集合となることである。