15/11/07 19:17:30.20 ZDIzWQj1.net
>>366 補足の補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イプシロン-デルタ論法
歴史的背景
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
脚注
1^ εは"error"、δは"distance"の頭文字であると理解するのが妥当である。実際、コーシーは彼の著作の中でεを"error"の省略として用いている。
401:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:26:58.58 ZDIzWQj1.net
>>364 補足
この話、命題10.10.の証明が参考になるかな？
命題10.10.の証明でやっていることは、距離空間(X; d) の1 点p ∈ X から、1 点pを除いた集合が、開集合ということを証明しているんだ
同じように、Rから[0,1]を除いた集合が、開集合ということは、同じ筋で簡単に証明できるだろう
どう？
402:１３２人目の素数さん
15/11/07 19:58:14.59 lBRTnVcw.net
>>363 >>364 >>368
講釈は結構。
距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:22:59.33 ZDIzWQj1.net
>>369
どうも。スレ主です。
>距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
>任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
>これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
依存ありだよ
山田光太郎先生の開集合の章 P31
命題10.5 (開集合の性質). 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は開集合である．
閉集合の章 P32
命題10.12. 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は閉集合である．
だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
つまり、全体集合Xと空集合?は、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
404:１３２人目の素数さん
15/11/07 20:34:29.14 JqFAljx8.net
検索して
引用して
きょうも一日がおわる
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:44:46.51 ZDIzWQj1.net
>>370 訂正
(1) ?, X は開集合である．
↓
(1) φ, X は開集合である．
空集合の記号がばける。
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:50:34.40 ZDIzWQj1.net
>>371
ほほえましいね（＾＾；
学会か？ ここ？（＾＾
引用だぁ？ 新しい数学を書けとでも？（＾＾；
まあ、新作気取りは書いたけど。>>312-313だ
が、そうそう、新作問題は書けないぜ
おっと、>>312の問題をどれか解いてみないか？ 学会きどりくん
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:14:36.48 ZDIzWQj1.net
>>366 補足
関数の連続性
ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
ここを少し具体例を考えてみた
１）f:x→y y=x(x<1のとき)、y=x+0.5(1=<xのとき)とする。 (つまり、1まではy=xで、x=1に不連続があって、1から大でy=x+0.5)
２）x=1で、0.5のギャップ（不連続）がある関数を考えるんだ
３）x=1で、δ近傍を考えると、|f(1-δ)-f(1)| < 0.5 とはできない。|f(1+δ)-f(1)| < ε なら可能なんだが。
４）だから、ε-δ 論法で、この関数fは、x=1で、不連続
５）これを、直観的に解説すると、写像されるyの方から見ていると考えることができる。yの方から見ると、0.5のギャップが見える。（x側からは見にくい）
６）それを、”∀ ε > 0 →|f(x)-f(a)| < ε”という物差しで、ギャップを調べる。ギャップをdとしてd=0.5だが、dはもっと小さく取れる。が、εをそれ(d)よりもっと小さく取れる。
これが、実数の１変数関数のε-δ 論法の分かり易い直観的な解説かな。おそらく、どこかに同じようなことがあって、読んだかも知れないが・・
408:１３２人目の素数さん
15/11/07 21:16:51.46 lBRTnVcw.net
>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:17:37.58 ZDIzWQj1.net
>>370 訂正
依存ありだよ
↓
異存ありだよ
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:28:24.31 ZDIzWQj1.net
>>375
>>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
>スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
おいおい、正気か？
山田光太郎先生のPDFに、何も足さない、何も引かない・・・わけでもないが、PDFからのコピペで崩れるところだけ、最小限手を加えた。ロジックは変えていない
”どこが誤りかを指摘してあげるつもり”？ 誤りがあったら、山田光太郎先生に言ってあげてね、学生さんなら喜ばれるよ、よく勉強しているとね！（＾＾；
が、私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）
411:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 22:39:11.09 ZDIzWQj1.net
突然ですが、下記のf(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続である関数が面白いね
ε-δの練習問題として秀逸だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続 (数学)
不連続関数
・関数 f を、x が無理数の場合は f(x) = 0 と定義し、有理数の場合は x=p/q（p は整数、qは正の整数でこれらは互いに素）と表し、このqを使って f(x) = 1/q と定義すると、f は無理数では連続、有理数では不連続となる。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
kessyoutouさん 2009/6/22 関数の連続性
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
ベストアンサーに選ばれた回答 hsmtmk_tさん 2009/6/24
（抜粋）
ε-δの練習問題ですが、この問題は大学一年生が解くには割と難しい部類に入ると思います。
さて、それでは証明です。
連続であることの定義ですが、任意のε>0に対し、あるδ>0が存在して ｜x-a｜<δ ならば｜f(x)-f(a)｜<εが成り立つ時、fはaにおいて連続であるといいます。
（略）
さて、|x-α|＜δ となるようなxについて考えます。
x=p/q（有理数）だとすると、δの作り方より、この範囲に入っている有理数はすべて分母がq_εより大きいはずなので（そうでないとδの最小性に矛盾します）
f(x) ＝ 1/q < 1/q_ε ＜ ε
が成り立ちます。
また、xが無理数ならば、もちろんf(x) ＝ ０です。
よって、以上を合わせると、xが有理数であろうと無理数であろうと、|x-α|＜δならば、|f(x)-f(α)| = |f(x)| < 1/q_ε < εとなります。
ε>0は任意で良かったので、これはfがαにおいて連続であることを示しています。
以上で証明終わりです。
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:06:20.62 tRoEVVUJ.net
>>377 補足
>勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
>が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）
今回の連続の発端になった>>311で
「数学通論 II 位相空間 2007年度後期 田丸 博士 広島大
プリントは, 数学通論 I で配布したプリントの続きです. プリントの前半部分（距離空間を扱っています）が欲しい方は, 数学通論 I のページ から入手して下さい.」
で、URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp) 数学通論 I 田丸博士 広島大2007
これは、おそらく大学１年か２年前期だろうが、実数から丁寧に位相としての近傍や開集合を説いている。
分かり易いよ。これを参照すれば、良いだろう。開集合は、P3で、命題1.10.辺りからじっくり読んでいけば理解できるだろうよ
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:27:21.87 tRoEVVUJ.net
>>370 補足
>だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
>命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
>つまり、全体集合Xと空集合φは、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
今見ると、山田光太郎先生のP33で、問題としているね。問題10-4だ
これを、おれが解いたら学生さんの勉強にならんだろう（＾＾
まあ、ヒントを出すと、全体集合X=[0,1]としたんだろ？
で、山田光太郎先生のP31
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
だ。ここで、X=[0,1]をもう一度思い出してみな。蛇足だが、X=[0,1]が全体集合なんだから、x<0と1<xの範囲は、この証明からは除外される
そこを混同して、X=Rのイメージを引きずると、わけわからんぜ（＾＾；
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:35:31.74 tRoEVVUJ.net
>>377
>私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
位相は、枯れた技術なんだよね。私の理解は・・
URLﾘﾝｸ(www.keyman.or.jp)
枯れたとは IT単語帳 【キーマンズネット】
コンピュータの世界では「枯れたシステム」「枯れた機能」「枯れたソフトウェア」などの表現を使う。
これは言い換えると「安定稼働しているシステム」「使い込まれてトラブルも少ない機能」「ほとんどバグ出しが終わっているソフトウェア」という意味になる。
つまり、必ずしも最新ではないが、今まで時間をかけて改善されてきたので、信頼性が高く、品質も安定している状態を指す。
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:49:41.02 tRoEVVUJ.net
>>381 つづき
山田光太郎先生だって、あのPDFテキストを１から作ったはずもなく、どこか種本があるはず
というか、少なくとも自分が学生時代に勉強したテキストとか
あるいは、海外も含めて名著と言われるものを参考にしているだろうさ
そして、位相（トポロジー）がどれだけの歳月をかけて練り上げられてきたか、詳しくはないが
まあ、遡るとおそらく、ブルバキのテキスト辺りまで行くんだろうよ
そして、位相（トポロジー）の現代数学での広がり（ここも詳しくないけど）を垣間見ると、「枯れた技術」と思って良いだろう
で、>>354で種本が山田光太郎からだと明かしたんだから、その時点で悟れよ、ここは枯れた話だと
自分で検証して、「スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだった」>>375？？ 種本が山田光太郎からだと明かしたのにか？・・、その発想が理解できん（＾＾；
（まあ、本当に位相（トポロジー）に無知だったんだねとしか、理解のしようがないね・・・・）
416:１３２人目の素数さん
15/11/08 10:36:49.75 avzOXqjC.net
スレ主さんなら次の問題を解けるよね
命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
に対する証明または反例を書け
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 20:54:35.57 tRoEVVUJ.net
>>168
>URLﾘﾝｸ(choreographlife.jp)
>森田真生公式ウェブサイト - Choreograph Life
>『数学する身体』ついに発売です。
>多くの人にとって、数学と新たに出会うきっかけになればと願っています。ぜひよろしくお願いします。
今朝の読売書評に、『数学する身体』が出ていた
下記アマゾンの5件のカスタマーレビューも好意的だね
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学する身体 単行本 ? 2015/10/19 森田 真生 (著)
418:１３２人目の素数さん
15/11/08 20:57:48.92 M6qlJxyz.net
つまんねー問題ばかり出すな
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 20:31:43.77 ODyDobQE.net
>>383>>385
どうも。スレ主です。
>スレ主さんなら次の問題を解けるよね
問題は解けた
>つまんねー問題ばかり出すな
つまんねー問題と言えなくもないが、
結構考えさせられたよ。「つまんねー問題」というためには、いろいろ考える必要があった
そういう意味では面白かった
なので、すぐには答えを書かないことにするよ
皆様、特に位相学習の初期段階の人には、「考えることに意義がある」と言えるだろうね（＾＾
420:１３２人目の素数さん
15/11/13 21:20:28.81 NZQzH36s.net
>>386
＞すぐには答えを書かないことにするよ
いつ書くの？
421:１３２人目の素数さん
15/11/13 21:21:59.30 Wiz3AI8s.net
そんなことより雪江代数２の輪読やってくれませんか？
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:32:25.91 ODyDobQE.net
>>325
おっちゃん、どうも。スレ主です。
例の新作問題のなかで
>>312「実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？」
だけは、証明頼む
零集合を言い出したのはおっちゃんだし（＾＾；
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:33:40.02 ODyDobQE.net
>>387
他の人が書いてからさ（＾＾；
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:35:11.26 ODyDobQE.net
>>388
雪江代数２が、読めないとか難しいとか言っていた人？
そういう、自分のレベルに合わない本にはこだわらない方が良いよ（＾＾
もう少し易しい本を探しなさい！
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:35:44.31 ODyDobQE.net
今週は土日は始まらないよ
では
426:１３２人目の素数さん
15/11/13 21:39:30.38 Wiz3AI8s.net
じゃあ雪江代数２よりやさしいガロア理論の本おしえてくださいよ
427:１３２人目の素数さん
15/11/13 22:12:14.74 NZQzH36s.net
>>393
URLﾘﾝｸ(www.hyuki.com)
428:１３２人目の素数さん
15/11/13 22:37:39.6
429:8 ID:i4rL+bTL.net
430:１３２人目の素数さん
15/11/13 22:56:56.16 Kjphug6D.net
嘘つきは土日の始まり
431:１３２人目の素数さん
15/11/14 08:58:25.99 VGfgFTqg.net
>>390
わからないならそう言えばいいのに
432:１３２人目の素数さん
15/11/14 10:40:18.26 zLqA8LhM.net
>>387
スレ主に代わりお答えします。
「距離空間(X, dX)の部分集合A⊂X」は「距離空間(X, dX)の「或る」部分集合A⊂X」と解釈します。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
[第１段](与えられた命題の一般化)：この定義の下で、空間Xの或る部分空間Aが存在して、
f：A→Yが連続なるための必要十分は、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。
(必要性)：(A,O_A)を位相空間(X,O_X)の部分位相空間とする。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、
Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_A は
Xの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、
f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。
Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、
fによる逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。
433:１３２人目の素数さん
15/11/14 10:42:58.36 zLqA8LhM.net
>>387
(>>398の続き)
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、
仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。
つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Y
に対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、
連続である。空間XはX自身の部分空間だから、空間Xの或る部分空間Aを A＝X とおけば、
f:A→Yは連続となる。即ち、空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続である。
[第２段]：距離空間(X,dX)、(Y,dY)は両方共に位相空間だから、(X,dX)の或る部分集合A⊂Xから
(Y,dY)への写像f:A→Yが連続であるための必要十分条件は、任意のYの開集合Uに対してf^{-1}(U)が
Xの開集合となることである。
434:１３２人目の素数さん
15/11/14 11:01:47.99 zLqA8LhM.net
>>389
やあ、おっちゃんです。超越基底Sが零集合かどうか？
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合だったとする。S⊂Rの濃度はcard(S)＝c。また、
card(R)＝c。従って、Sは非可算な零集合である。実数直線Rは零集合ではないような非可算集合である。
[第１段](Sから構成される非可算集合からRへの全単射の存在性)：選択公理により、超越基底Sの元全体を
直線R上に通常の順序関係を保ちつつ、実数の順序に関して上下両方共に非有界なるように埋め込む。
このような埋め込みの操作によって、各超越数x∈Sが埋め込みの操作後に取る実数値としての直線R上
の点の全体からなる集合をR'とする。すると、Sは非可算集合だったから、R'⊂R は直線R上の非可算集合であり、
card(R')＝card(R)＝c。従って、R'からRへの全単射が存在する。R'、Rは両方共に実数の大小の順序関係に
関して全順序集合だから、或るR'からRへの全単射なる一価の関数fが存在する。
[第２段](R'が非可算な零集合なること)：直線Rの上下に両方共に有界な右半開区間の有限個の和集合として
表すことが出来るRの部分集合の全体をR_(R)で表わす。点x∈R'を任意に取る。すると、R'⊂R であり、
集合{x}はR上の1点xからなる集合だから、任意に ε＞0 を取ると {x}⊂[x-ε,x+ε) と被覆出来る。
ここで、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。また、外測度の定義から、集合{x}の外測度m({x})は
m({x})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R
435:_(R)、かつ {x}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)} と表わせて、0≦m({x})≦+∞ を満たす。R'と零集合なる超越基底 S⊂R の各濃度について、 card(R')＝card(S)＝c だから、R'とSの間には全単射が存在する。従って、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、 m({x})＝0 を得る。R'の点xは任意だから、xをR'上で走らせると、R'は非可算な零集合である。
436:１３２人目の素数さん
15/11/14 11:04:29.39 zLqA8LhM.net
>>389
(>>400の続き)
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)：fは、定義域を Dom(f)＝R'とし、値域を Im(f)＝R とする、
全単射なる一価の関数である。従って、fのグラフGは G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈R'} と表わせる。点y∈Rを任意に取る。
すると、yに対して或る点x∈R'が一意に存在して、y＝f(x) となり、(x,f(x))∈G。また、一価の関数f：R'→Rは全単射だから、
card(R')＝card(S)＝c から、card(R)＝card(S)＝c であり、RとSの間には全単射が存在する。集合{y}はR上の1点yからなる
集合だから、任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。外測度の定義
から、集合{y}つまり{f(x)}の外測度m({f(x)})は
m({f(x)})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R_(R)、かつ {f(x)}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}
と表わせて、0≦m({f(x)})≦+∞ を満たす。fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。
437:１３２人目の素数さん
15/11/14 11:13:24.65 zLqA8LhM.net
>>389
>>400の第２段の
>ここで、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。
は不要だから省略。あと、>>401の上から5行目の
>任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。
の部分は
>任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来る。
に訂正。
438:１３２人目の素数さん
15/11/14 12:57:17.47 VGfgFTqg.net
>>390
他の人は書いたよ
439:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:57:00.61 n42/B/E0.net
反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。
440:１３２人目の素数さん
15/11/14 16:21:48.23 n42/B/E0.net
>>398
> 空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は
> Xの部分位相空間A⊂Xの開集合である。
"Yの開集合の逆像がAの開集合"を長々と示しているが、
そんなのは連続の定義そのものだろうが。
示すべきは"Xの開集合"となることなんだよ。
そしてそれは必要条件ではない、というのが上の反例だ。
これが必要条件ではないことくらい直感で分かるだろふつう。
だからつまんねー問題だと言ってるんだよ。
441:１３２人目の素数さん
15/11/14 16:45:05.47 VGfgFTqg.net
>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、
スレ主さんが逃げてる間に正解が出ちゃったよ。(>>404)
これでは不本意だろうから挽回のチャンスを上げよう。
問題
>>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
442:１３２人目の素数さん
15/11/15 07:10:18.34 bkoysFnn.net
>>405
>示すべきは"Xの開集合"となることなんだよ。
あ～、そうだったな。>>398で
>空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yが連続なるための必要十分は、
>空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なること
と書いてたな。勢いで書いて間違えたなw
まあ、下らない問題というなら、誤答が相応しいんじゃないですか。
>>407
勢いで解答を書いて間違え申し訳ありませんね。
不甲斐ないので、私に名誉挽回の回答をさせて下さい。
443:１３２人目の素数さん
15/11/15 07:34:20.03 bkoysFnn.net
>>406
>>407の後半は、「>>407」ではなく「>>406」宛てです。
例えば、以下の命題なんかはどうです？
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
[命題]：(X,O_X)、(Y,O_Y)を両方共に位相空間とする。(A,O_A)を空間Xの任意の部分位相空間とする。
fを、A⊂X からYへの一価の写像とする。任意のYの閉集合Uに対してf^-1(U)がXの閉集合となるとする。
このとき、2つの空間 (X,O_X) と (A,O_A) は等しくなる。
[証明]：空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合である。従って、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：A→Y による逆像 f^{-1}(Y－B)∈O_A はAの開集合である。仮定から、fはAからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。
従って、A－f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに
対してf^{-1}(B)∈O_A は空間Xの部分位相空間Aの閉集合である。従って、A⊂X からYへの
一価の写像fは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。ここで、f：A→Y の定義域は、
Dom(f)＝A。また、仮定から、任意のYの閉集合Uに対してf^-1(U)がXの閉集合だから、
連続性の定義から、f：X→Y は連続であり、fは一価の写像である。従って、Dom(f)＝X＝A
であり、(X,O_X) と (A,O_A) は等しくなる。
444:405
15/11/15 10:09:37.20 KVrCJID+.net
>>406
今度はあんたの番だなｗ
408の命題の真偽を述べろ。真なら自作の証明を。偽なら反例を出せ。
445:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:02:28.99 mBRpszVo.net
X,Yは実数全体の集合、A=[0,1]、f(x)=0 が反例。
証明
Y の閉集合 U を任意に一つ取る。0∈U または 0∈/U のどちらか一方が成り立つ。
0∈U のとき、f^-1(U)=A は X の閉集合
0∈/U のとき、f^-1(U)={} は X の閉集合
ゆえに、任意の Y の閉集合 U に対して f^-1(U) は X の閉集合であるが、X≠A であるから、命題は偽。
446:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:33:41.83 bkoysFnn.net
>>410
申し訳ない。一価の写像fを f：A→Y と書くと、定義上は Dom(f)＝A になる。
同様に一価の写像 f：X→Y についても、Dom(f)＝X になる。
だから、論理的には一般に X＝A が導ける。恥ずかしくて聞くのもなんだけど、
>>408の証明のどこが間違いか分からないので、間違いの箇所を指摘して頂けます？
447:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:43:07.96 wrmMx9Jf.net
たとえば、実数体を R, 複素数体を C と書くとして、
「f:R → Y を一価の写像、
同様に f:C → Y を一価の写像」
と記述するだけで、論理的には R=C が導かれるとでもいうんですか？
448:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:51:06.33 bkoysFnn.net
>>412
あ、具体例(ここでは距離空間)を無視し過ぎた結果、
生じた間違いだったんですね。どうも指摘ありがとうございます。
449:１３２人目の素数さん
15/11/16 00:12:35.66 h519nNxP.net
何言ってるんだこいつ。
具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
こんな間違いは出てこないだろ。
今まで一体なにを勉強してきたんだ？
やることなすこと全て間違い。名誉挽回どころか、恥の上塗りじゃねーか。
その間違え方にしても、「初学者が陥りがちな、よくある勘違い」ではなく、
極めて質の悪い間違え方で、まるで人工知能が意味を理解せずに
機械的に生成したかのような、ありえない間違え方のオンパレード。
なんで誤答おじさんはいつもこうなんだ？
450:１３２人目の素数さん
15/11/16 05:52:40.84 ndck2vlW.net
>>414
>具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
>こんな間違いは出てこないだろ。
そういう意味で書いたのではない。>>408を書くにあたり、はじめは、位相空間の連続性の定義のあたりで
一般的で抽象的にいえる何か新しく面白いことを編み出そうと考えたのだが、それが出来ず失敗だったのだ。
>>406
では、取り敢えず、単純にこんなお品書きでどうです？
[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
但し、距離関数dはユークリッド距離とする。
証明]：ε＞0を任意に取る。A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおく。以下、A(ε)をAで略記する。すると、
Aは距離空間Rの部分空間である。xを区間A上の変数とする。A⊂Rから(R,d)への写像f_εを
(f_ε)(0)＝0、 (f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4) x∈A－{0} と定義する。
以下、f_εをfで略記する。すると、開区間(-ε/2,0)でfは単調増加な連続関数になる。
ここで、x→-ε/2 とすると、f(x)→-∞ であり、x→-0 とすると、f(x)→-0 である。従って、
f(0)＝0 から、左半開区間(-ε/2,0]でfは連続写像である。同様に、開区間(0,ε/2)で
fは単調増加な連続関数になる。ここで、x→ε/2 とすると、f(x)→+∞ であり、x→+0 とすると、
f(x)→+0 である。従って、f(0)＝0 から、右半開区間[0,ε/2)でfは連続写像である。
従って、
451:fは区間A上で連続写像である。つまり、f_ε：A(ε)→R は連続写像である。 ε＞0は任意だから、εを開区間(0,+∞)上で走らせると、任意の ε＞0 に対して、 A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおき、 (f_ε)(0)＝0, (f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4) x∈A(ε)－{0} と定義した写像 f_ε：A(ε)→R は連続である。相異なるε_1、ε_2＞0を任意に取り、各i＝1,2に対して、 A(ε_i)、f_{ε_i} を、それぞれ上と同様に定義すると、2つの連続写像 f_{ε_1}：A(ε_1)→R、f_{ε_2}：A(ε_2)→Rの各グラフは異なるから、f_{ε_1}≠f_{ε_2}。 従って、距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rは非可算個存在する。
452:１３２人目の素数さん
15/11/16 06:17:14.68 ndck2vlW.net
>>406
>>415の2つの
>(f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4)
は「(f_ε)(x)＝tan((1/x)・(πε)/4)」です。「(」が1つ足りませんでした。あと、
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
は
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが「、」非可算個存在する。
と句読点「、」を付けて区切ると意味が通じ易くなると思いますね。
命題の文のどこに「、」を付けて区切るかで意味が異なる書き方になったので。
453:１３２人目の素数さん
15/11/17 20:04:25.62 5y06QjV9.net
>>415
まずは自分の書いた命題を自分自身で理解しろ。
証明を書いたらまずはその結論を見直せ。
自分はこの証明でいったい何を示したのか。
454:１３２人目の素数さん
15/11/18 03:32:13.72 2R/754aF.net
>>417
415について訂正した後の>>416の2つの「(f_ε)(x)＝tan((1/x)・(πε)/4)」は間違っており、
本当は「(f_ε)(x)＝tan(x・(π/ε))」と訂正するのが正しい。そう訂正すれば、概ね415は通用する。
お互い様かも知れんが、もしこの訂正が出来なかったなら
>まずは自分の書いた命題を自分自身で理解しろ。
という読んで眠くなるようなツッコミはいらん。この場合の連続写像 f：A→R は関数にあたり、
415で証明したつもりの命題自体は明らかで非常に下らん。だが、何らかの条件を付け加えると、
面白い命題を証明出来る手法になる筈である。紙に書いておらず、そのあたりの真偽は正確にはまだ分からん。
直観的には「tan(x)」は、高校レベルの関数のグラフの傾きで、415で「tan(1/x)・(πε)/4) x∈A－{0}」と
定義した関数f(x)自体については、f(x)はx→+0のときf(x)→+0で、正負の符号を入れ替ても正しくなるだろうな。
正負の符号が入れ替わる点のx座標は x＝0 だしな。そのあたりについても、真偽判定がもし出来るなら、その判定は不要。
ちなみに、415の論法を使えば、区間[0,1)の濃度が連続体濃度cに等しくなることは示せるな。
455:１３２人目の素数さん
15/11/18 04:35:26.52 pd/NU2mx.net
>>404
逆像になるか？
456:１３２人目の素数さん
15/11/18 20:28:20.04 FVRAue9U.net
これは酷い
457:１３２人目の素数さん
15/11/18 20:49:25.35 CbyMgyfg.net
>>418
お前本当に反省しないな。
tanの中身がどうのこうの、そんな瑣末なことはどうでもいいんだよ。
458:１３２人目の素数さん
15/11/19 04:32:04.57 SBGHEmO+.net
>>421
結論の趣旨にあたる部分は
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
お小言いわれる程意識していない訳ないだろ。連続関数は連続写像で、
(0,+∞)は非可算なんだから、これを示したことから直ちにといっていい位に例の
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
が従うじゃないか。これに何か文句あんのか。>>406には
>但し
>・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
>・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
と書いてあるんだぞ。
459:１３２人目の素数さん
15/11/19 05:40:00.25 SBGHEmO+.net
>>421
>>422の
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
については
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
＞Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
に訂正な。全単射にするにはそうすべきだ。どこに重点をおいて捉えるかは人により
異なるから、同じ文章でも、人により結論の捉え方も異なるとしかいいようがない。
国語のテストの答えは、必ずしも全員が全員同じ答えになって一致する訳ではないだろ。
460:１３２人目の素数さん
15/11/19 05:49:21.07 SBGHEmO+.net
>>421
>>422の
>全単射であるような単調増加な連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
の部分は
>全単射となる単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
か。これは国語として少しおかしかったな。
461:１３２人目の素数さん
15/11/19 06:06:29.44 SBGHEmO+.net
>>421
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射となる
＞>単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
はより一般化して単純に
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続関数f：A→Rを
＞>点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
とした方がいいか。こういうことも人により分野により、結論の与え方は
異なるとしかいいようがない。こんなことに正解なんてない。
正解があると思う方が大間違いだ。
462:１３２人目の素数さん
15/11/19 13:32:52.57 l13bSWxv.net
脳味噌腐ってるなぁ
463:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:11:53.69 SBGHEmO+.net
>>419が>>398-399を見直すきっかけになって気付いたわ。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。
このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
[第１段](空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続なること)：空間Yの閉集合B∈O_Yを
任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X は
Xの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、
B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように
走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。空間XはX自身の部分空間だから、
A＝Xとおけば、A⊂Xであり、f:A→Yは連続となる。
464:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:13:05.68 SBGHEmO+.net
(>>427の続き)
[第２段](位相空間(X,O_X)の任意の部分位相空間(A,O_A)に対して、
f：A→Yが連続なるとき空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合なること)：
位相空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、
f^{-1}(Y－B)∈O_A はXの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が
Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、
A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。Yの開集合Bは
任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、fによる
逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。Xの部分位相空間Aは任意だから、
AをXの中で走らせればよい。
[第３段](空間Xの如何なる真部分空間Aに対しても、f：A→Yが連続なることはあり得ないこと)：
或るXの真部分集合Aが存在して、f：A→Yが連続なることがあったとする。すると、f：A→Yが
連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Aの開集合なること
である。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合である。同様に、
f：X→Yが連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの
開集合なることである。仮定から、f：X→Yは連続写像だから、確かに空間Yの任意の開集合Bの
逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合となる。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は、
空間Xの開集合であって空間Aの開集合でもある。しかし、AはXの真部分集合だから、
これはあり得ず矛盾する。
465:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:16:48.90 SBGHEmO+.net
(>>428の続き)
[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：Xの如何なる真部分集合Aを
取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、連続写像f：X→Yが存在するとき、
fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) は
どちらも形を変えない。
466:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:24:32.50 A0y/VA5V.net
>>429
>>Xの如何なる真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから
これは正しく無い。
Aが空集合の場合を忘れている。
467:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:54:13.52 SBGHEmO+.net
条件が必要か。fの定義域Xについて「X≠Φ」が必要か。では示すべき命題は
>この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。X≠Φとする。
>このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
では、>>429の第４段は
>[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：仮定からX≠Φであり、
>Xの如何なる空でない真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、
>連続写像f：X→Yが存在するとき、fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、
>f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) はどちらも形を変えない。
に訂正。
468:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:57:04.82 SBGHEmO+.net
あ、>>431の訂正：
「では」、>>429の第４段は→「で」、>>429の第４段は
469:１３２人目の素数さん
15/11/19 21:49:16.60 DL9GgIGV.net
>>422-425
415の証明は1行目からトチ狂ってるんだが。
命題にはお前の好き勝手にAを取っていいと書いてあるのか？
> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
その独りよがりな解釈に基づいた証明も冗長かつ迂遠でセンスなし。
ただ証明を読む者に
『どうしてそうなった！？』
『何を考えてるんだお前は！』
と驚きを与える意味で価値はあるｗ
"おじさんの誤答集"として本でも出したらどうだ。
470:１３２人目の素数さん
15/11/20 03:13:20.86 BQQ4a9KQ.net
>>433
＞命題にはお前の好き勝手にAを取っていいと書いてあるのか？
＞> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
＞その独りよがりな解釈
坊や、そもそも、
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
はな、はじめの「距離空間(R,d)の部分空間A⊂R」の部分を「距離空間(R,d)の「任意の」部分空間A⊂R」と
して解釈するか、「距離空間(R,d)の「或る」部分空間A⊂R」として解釈するかで異なる命題になる。
従って、そもそもが、2通りの解釈が出来る命題になっているのだ。話は上の命題のことに戻り、
距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると連続写像f：A→Rは一意に決まる。例え上の命題を
>距離空間(R,d)の「任意の」部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
として解釈しても、Rの部分空間A≠Φの取り方は、直線R上の(任意の)区間など、非可算個存在する。
だから、連続写像f：A→Rも非可算個存在することになる。これは自明なことである。従って、
上のように解釈すると、わざわざ、ご丁寧に考えるまでもない命題になるのだ。従って、上の命題は、
>距離空間(R,d)の「或る」部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
として解釈するのが、証明をする上で妥当な解釈になる。このように解釈すると、
具体的に構成する証明法が出来るようになる。当然、好き勝手にAを取れるようになるのだ。
この脳ミソからすると、もしかしたら、スレ主か？
何かお受験の雰囲気が漂う文章の書き方だな。スレ主でないとすると、他に考えられる人物は2人か。
471:１３２人目の素数さん
15/11/20 04:18:08.74 BQQ4a9KQ.net
>>433
>>434の
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると連続写像f：A→Rは一意に決まる。
は間違いで、正しくは
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rを任意に取ると、或る連続写像f_A：A→Rを構成出来る。
>任意の部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
>Rのベキ集合から連続写像f_A：A→R (A⊂R)全体の空間への多価写像が存在する。
な。こういうように、「距離空間(R,d)の任意の部分空間A⊂R」として解釈すると、
命題が成り立つことは、直観ですぐ分かるだろ。
472:１３２人目の素数さん
15/11/20 04:48:59.40 BQQ4a9KQ.net
>>433
＞>任意の部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
はいい過ぎた。AがRの任意のただ1点aからなる空間{a}に等しかったりするとダメだな。
＞>部分空間A⊂Rに対して1つ以上の連続写像f_A：A→Rを対応付けるような、
に訂正。
だけど、「センス」とかいう言葉を使うあたりは、正にお受験数学の感覚なんだよな。
473:１３２人目の素数さん
15/11/20 05:28:25.69 xmQoMmsV.net
今井系、トンデモ数学の感覚
474:１３２人目の素数さん
15/11/20 06:28:56.10 BQQ4a9KQ.net
>>433
多価「写像」だから「任意の」を付けたままで問題ないわ。従って、>>436は取り消し。
多価「の対応」と多価「写像」とを混同させてしまった。
>>437
今井が何なのか知らんけど、今井って誰？
空間A⊂Rのただ1点x∈Aで一価の写像f：A→Rが連続なとき、
f：A→Rも連続写像になっているから、論理的には正しくても、A＝{x}として、
ただ1点x∈Aで一価の写像f：{x}→Rが連続、とはいわないな。幾何学的には、
こんな写像を考えて連続といっても何の意味もない。1点a∈Rで定義される
関数f：R→Rに対しf(x)が1点 x＝a で連続なることをε-δで証明するのと殆ど同じだ。
1点a∈Rで定義される関数f：R→Rが1点 x＝a で連続とかいうことを意識した記憶はない。
475:１３２人目の素数さん
15/11/20 06:50:44.87 6PzVzY9v.net
>>438
おまえは位相が分かっていない
これは現代数学を語る資格が無いことを意味する
476:１３２人目の素数さん
15/11/20 07:14:36.65 BQQ4a9KQ.net
>>439
ただ1点x∈Aで定義された一価の写像f：{x}→Rを、
意味がある連続写像として扱うことってあるのか？
むしろ意味があるのは、R＼{x}を定義域とする連続写像f：R＼{x}→Rの方だろう。
もし、連続写像f：{x}→Rが意味を持つなら、一体いつ意味を持つんだ？
477:１３２人目の素数さん
15/11/20 07:47:01.56 BQQ4a9KQ.net
フーン、稠密な集合から稠密集合への同相写像とかを
考えるときに、あ～見えてもただ1点からなる空間を
定義域とする連続写像が意味を持つようになるのか。
478:１３２人目の素数さん
15/11/20 07:49:36.83 BQQ4a9KQ.net
>>439
>>440は、自己解決した。
479:１３２人目の素数さん
15/11/20 13:02:46.78 BQQ4a9KQ.net
正直に申せば、私(おっちゃん)は位相がよく分かりません ｍ＿ｍ
上のように、位相で間違いをよくしたのも納得出来るでしょう。
後から困るので、そこは自白しておきます ｍ＿ｍ
一応、注意しておく。
絵文字を使っているけど、あ～見えても私はスレ主ではない。
絵文字の書き方は、スレ主の打ち方から学習した。絵文字は、はじめて使った。
480:１３２人目の素数さん
15/11/20 13:16:05.10 BQQ4a9KQ.net
こういうときの絵文字は、スレ主の流儀だと m（＿ ＿）m になるのか。
m（＿ ＿）m と ｍ＿ｍ は似ているけど、微妙に違うな。
今回の ｍ＿ｍ だと、手は大きく顔が小さく見えるのか。なるほど。
絵文字書きが、少し失敗したかな。どちらがよいかは微妙だ。
481:１３２人目の素数さん
15/11/20 18:47:27.13 F69Hf9Qc.net
今風の数学やりたいなら位相の基本は完全完璧に分かっていないといけないのだよ
482:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:04:03.44 PY8lQ5uf.net
> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
483: 『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』 で終わりかな？間違っていれば指摘してくれ。 Aが空集合のときの写像の扱いは詳しくないので除外させてもらった。 おっさんの証明： (1) Aを勝手に開区間に取る。 (2) 全単射にこだわってtanを持ち出す。 (3) {A,f:A->R}の"組"が非加算あることを示す。
484:１３２人目の素数さん
15/11/20 21:21:02.78 PY8lQ5uf.net
>>446
すまん→非可算
485:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/20 22:30:24.07 fVDQCm9y.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ご活躍お疲れです
読みにくい証明をフォローしてくれたメンターさま、お疲れです
486:１３２人目の素数さん
15/11/20 23:09:30.70 WPZ+xjsn.net
NHK教育を見て48814倍賢く三連休 [転載禁止]©2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(liveetv板)
487:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/20 23:29:51.49 fVDQCm9y.net
>>400-401
どうも。スレ主です。
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)?
「fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。」？
これは正しいのか？
「Sは非可算な零集合である」→「Rは非可算な零集合である」→矛盾
と読める。つまり、「非可算な零集合は存在しない」？と読める
なぜなら、超越基底という性質をほとんど使っていないから
488:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/20 23:31:45.71 fVDQCm9y.net
しかし、”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”という
これ、どうよ？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
カントール集合
カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である[16]。
489:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:02:02.70 hTfxcEIP.net
おっちゃんの細かい証明はスルーな
つーか、なんで証明せなあかんの？
490:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:13:10.46 hTfxcEIP.net
>>404-406
>正解が出ちゃったよ。(>>404)
？ これ正解なんかね？
>Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
って、これ、部分集合Aを台と考えているんだろうね。が明記されていない
要するに、閉区間[-1, 1]の外で、なおf(x)=xが成り立っていれば、反例にはならないだろう？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における、ある函数の台（だい、英: support）とは、その函数の値が 0 とならない点からなる集合、あるいはそのような集合の閉包のことを言う[1]。この概念は、解析学において特に幅広く用いられている。
定義
与えられた集合 X（多くの場合は実数直線 R）に値をとる函数 f が、Y(⊂ X) に台を持つ (supported in) とは、その函数 f が Y の外側 X ? Y で常に消えていることを言う。
491:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:21:13.00 hTfxcEIP.net
>>383にもどる
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」
に、対して >>331で出た定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
を前提とすれば、冒頭の命題は、上の定理を変形して「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」としただけにすぎない
ならば、「部分集合 A⊂X 」「写像f : A → Y」の部分がくさいわけであり、おかしいと気付く
492:１３２人目の素数さん
15/11/21 00:38:51.05 hbEJY3K6.net
嘘つきは土日の始まり
493:１３２人目の素数さん
15/11/21 00:39:52.61 756rylpT.net
>>453
定義域の意味分かってる？
> Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
このとき、Yの要素2の逆像を答えてみな。
494:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 00:46:17.37 hTfxcEIP.net
>>4
495:54 つづき 私スレ主が考えた反例は、下記床関数 Aとして、半開区間[0, 1)を考える。Aで、連続だが、実数全体では、例えば、0, 1では不連続 だから、>>454の定理を認めれば、例えばx=0で、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない ∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。 また、実際にY の開集合U=(-1/2,1/2)という開区間を取れば、x=0では、”f^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0 床関数（ゆかかんすう）と天井関数（てんじょうかんすう）は、任意の実数に対し整数を対応付ける関数である。
496:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 01:00:26.84 hTfxcEIP.net
>>457 つづき
なので、要は、定理
”距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．”
で、中途半端に、部分集合 A⊂X なんてしたからまずいわけ
まあ、普通の関数で考えて、y=f(x)で、ある定義域の区間Aの連続を言いたいなら、その像Bを考えて、定理を定義域Aとその像Bに書き換えれば良いってことだろう
とすると、改良版は
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」とでもしとけば良いんじゃない？
もっとも、これは、定理の距離空間(X, dX) 、(Y, dY ) を、A、Bに読み変えたにすぎないのだ
で、>>386に戻る
497:１３２人目の素数さん
15/11/21 01:01:31.74 2otWvQ4e.net
>>453
これは酷い
498:１３２人目の素数さん
15/11/21 01:17:15.74 756rylpT.net
>>457
その反例は間違っていない。
だが本質はfをどう工夫するかではないんだよ。
AをXの開集合ではないようにとることが肝で、
fはA->Yで連続なら何でも可。定数関数でもよい。
>>453 の書き込みでスレ主の理解度は良く分かった。
>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、
499:１３２人目の素数さん
15/11/21 01:20:19.00 7xkHllqS.net
>>446
＞> 距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
＞『任意の空でない部分空間をAとする。写像fをf(A)=t (tは任意の実数）で定めればよい。』
＞で終わりかな？
何も問題はないよ。それを承知の上で、わざと敢えて迂回した。
500:460
15/11/21 01:23:22.25 756rylpT.net
>>460 の最後編集ミスった。
『>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、 』
と書いた383=406はスレ主の理解度が分かって満足しただろう。
と言いたかっただけ。
501:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 07:22:36.67 hTfxcEIP.net
>>458 つづき
改良版は
「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
但し、部分集合 Aが境界を持つ場合、境界上の点については、最初の案では処理がうまく出来ない
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続 (数学)
各点連続
連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 f(x) がある点 x0 で連続であるとは、x が x0 に限りなく近づくならば、f(x) が f(x0) に限りなく近づくことを言う。
502:１３２人目の素数さん
15/11/21 07:32:33.41 Z8vkGO1/.net
ガウスとガロアってどっちがすごいの？
503:１３２人目の素数さん
15/11/21 07:34:27.47 fRAtS4zh.net
両者共スレ主より劣る
504:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 07:45:38.78 hTfxcEIP.net
>>450-451 つづき
>[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)?
１．”Sが零集合”でない、即ちある有限の測度ε＞0を持つとする。逆に、そこから矛盾が導かれないかね？
２．さらに問う。ある有限の測度ε＞0を持つとする。ではそれはいったい、いくらだ？ 具体的数値でなくとも、不等式の評価はできるだろう
３．さらに、実数の超越基底Sの不連続定理が成り立つ。つまり、実数の超越基底Sは、連続する実数の区間を占めることはできない
（証明）超越基底Sが、ある連続する実数の区間[a, b]を占めたとする。しかし、有理数の稠密性から、区間[a, b]内には有理数が存在する。そうすると、その有理数が超越基底になり、超越基底の定義に反する（異なる超越基底S1とS2の間には常に有理数が存在する）
４．だから、実数の超越基底Sは、カントール集合のような、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）の例にならないか？
505:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 09:11:28.63 hTfxcEIP.net
>>457 補足
”
506:反例は、下記床関数 Aとして、半開区間[0, 1)を考える。Aで、連続だが、実数全体では、例えば、0, 1では不連続 だから、>>454の定理を認めれば、例えばx=0で、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ようにはできない ∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。” ”∵もし、逆に当初の命題が成り立つなら、下記床関数は、x=0で連続となってしまう。”の部分を、取り消します 説明不足だったし x=0で、半開区間[0, 1)において、床関数は連続 ↓ >>454の命題を認めれば、”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる” ↓ ”任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となる”ならば、>>454の定理から床関数はx<0も含めて連続になってしまう と言いたかったんだが・・ 床関数は、半連続だが、言葉での的確な説明が難しいから https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%8A%E9%80%A3%E7%B6%9A 半連続 与えられた実数xに対し、それ以下の最大の整数を返す床関数f(x)=[ x ]は、全ての(整数)点において上半連続である。
507:１３２人目の素数さん
15/11/21 09:58:54.24 756rylpT.net
>>467
もう少し明快に書いてほしい。
スレ主は対偶を示しているわけだな。
命題：あるY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合とならないならば、f：A→Yは連続ではない．
床関数f:X->YはXで不連続なのでf^-1(U)がXの開集合とならないUが存在する。
しかし“fの定義域をAに制限すれば”fは連続なので、上の命題は偽である。
よって元の命題が示せた、というわけだ。
しかし細かいことを言えば、元のf_X:X→Yと定義域を制限したf_A:A→Yは異なる写像だ。
証明の前段と後段で写像をすり替えてしまったので、論理的には証明は不完全かもしれない。
508:468
15/11/21 10:04:25.83 756rylpT.net
訂正します。
> スレ主は対偶を示しているわけだな。
→対偶を考えている
> よって元の命題が示せた、というわけだ。
この文は削除。命題（対偶）を示すんじゃなくて、反例を出しているんだった。すまんね。
509:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 10:58:44.09 hTfxcEIP.net
>>468-469
どうも。スレ主です。
その声は、おっちゃんか～
フォローありがとう
510:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:13:18.13 hTfxcEIP.net
>>457 補足
ここで考えた反例の床関数（ゆかかんすう）と、>>453 「Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する」>>404との差
分かりますか？
床関数（ゆかかんすう）は、ある区間では連続だが、不連続な点を持つ例
一方、f(x)=xは、至るところ（解析接続を考えれば複素平面全体で）連続な例
ところで、ある区間Aを考える。ある区間Aの内点だけを考えた場合では、両者に差はない
が、>>457のように、床関数のA＝半開区間[0, 1)における境界x=0での半連続は、本質的な反例になっているだろうと
511:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:16:06.30 756rylpT.net
スレ主さん、
>>468-469 はおっちゃんではない。
口調と訂正が多いあたり確かにおっちゃんに似ていたかもしれないｗ
512:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:20:56.02 hTfxcEIP.net
>>311 関連
突然ですが
URLﾘﾝｸ(blue.ap.teacup.com)
2012/3/3 ε・δ論法と算術化： 大学数学はなぜむつかしく感じるのか？
（抜粋）
大学の数学において、ほぼすべての1回生がドギマギしてしまうのはε・N, ε・δ論法ではないでしょうか。なぜそんなにも難しく感じるのでしょうか。本稿では実際にこの論法を御紹介をしながら、大学1回生におなりになったつもりで学生がとまどう理由を御一緒に考えてみたいと思います。
今回はε・Ｎ論法、次回、ε・δ論法を取り扱います。
URLﾘﾝｸ(blue.ap.teacup.com)
2012/3/21 ε・δ論法 －関数の極限と連続性－
（抜粋）
さて、今回は、関数の極限と連続性について、ε・δ論法による証明法であります。
（中略）
ε・Ｎ論法とε・δ論法。どちらも大学の数学でどうしても壁となって立ちはだかる部分でございます。
ここの部分を丁寧に理解ができないために、多くの、実に多くの自然科学系の学生の皆様が、受験数学に対する世界でも冠たる実力を有し、そのままの勢いであれば、本当に世界的な研究業績を次々にお上げになってもおかしくはないところなのでございますが、
総崩れとまでは申上げませんが、多くの学生が失速をしてゆく現実はいかんともしがたいところであるようです。
がんばれニッポン、と言う掛け声とともに、がんばれ自然科学系という声援も送ってあ�
513:ｰたいところでございます。 👀Rock54: Caution(BBR-MD5:87f20c3c9ee883ab649a4d7f8b996d63)
514:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:22:32.46 756rylpT.net
>>471
言いたいことはわかる。スレ主が何を勘違いしているかも分かっている。
写像の定義域の理解が曖昧ということに尽きる。
515:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:22:54.80 hTfxcEIP.net
>>472
どうも。スレ主です。
それは失礼しました
516:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:36:37.63 7xkHllqS.net
>>450 ムダが多いんでしゅーって今まで散々いわれてるから、訂正の意味も含め、>>400-401は書き直す。
かなりムダは省いたつもり。読み易さや分かり易さは保証しない。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序
関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合をR'とする。R'⊂R は非可算
故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。 X＝{x} (x∈R') とする。
と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。従って、m(X)＝m({x})＝0。R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、単調減少関数
g：R→Sがある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調減少。g＝f^{-1}とおく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。
関数 f：R'→R は単調増加故、f：S→R は単調増加。f：S→RのグラフGは、G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈S}。Y＝{y} (y∈R) とする。
yに対し或る点x∈Sが一意に存在し、y＝f(x)、(x,y)∈G。a＝(x,y) とする。Y⊂[y-ε,y+ε)(∀ε＞0)。定義から、同様に、
m(Y)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、Y⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(Y)≦+∞。
Dom(f)＝S は非可算零集合故、m(Y)＝m({y})＝m({f(x)})＝0。Rの点yは任意故、Rは零集合。これはRが零集合でないことに反し矛盾。
517:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 11:43:29.43 hTfxcEIP.net
>>473 つづき
>ε・Ｎ論法とε・δ論法。どちらも大学の数学でどうしても壁となって立ちはだかる部分でございます。
>ここの部分を丁寧に理解ができないために、多くの、実に多くの自然科学系の学生の皆様が、受験数学に対する世界でも冠たる実力を有し、そのままの勢いであれば、本当に世界的な研究業績を次々にお上げになってもおかしくはないところなのでございますが、
>総崩れとまでは申上げませんが、多くの学生が失速をしてゆく現実はいかんともしがたいところであるようです。
>>345に戻る”つまり、田丸 博士先生がここで言いたかったこと
最初の段階では、関数f : R → R の連続性所謂「δ－ε 論法」で定義された
↓
次の段階：距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
↓
現代位相空間（学部レベル）：「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった
という進化！。田丸 博士先生は、これを言いたかったんだろうと>>342”
要するに、ε・δ論法 URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
が、厳密な議論に基づいて微分積分学を再構築したと。ワイエルシュトラスの時代（１９世紀）
が、その後さらに、”「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった”というのが現代（２１世紀）
「開集合」による定義で、連続性の概念は、直感的な理解を少し回復したんだ
現代から見ると、ε・δ論法はユークリッド距離空間で、級数展開や具体的な関数計算で、使い易い形に整備された道具という見方もできるだろう
ε・δ論法で躓いた人は、さらに先に進んで、ε近傍→「開集合」の高みから、ε・δ論法を振り返ってみてはどうだろうかと思う今日この頃
518:１３２人目の素数さん
15/11/21 11:57:07.58 2otWvQ4e.net
定義域、ひいては写像すらわかってないアホが何を上から目線で
519:１３２人目の素数さん
15/11/21 12:18:49.59 37vYGmnI.net
>>476
Sが超越基底であることを全く使っていない。
Sが非可算零集合であればいつでも矛盾が起きることになる。
しかし、非可算零集合は存在する(カントール集合)。
よって、その証明は間違い。
これはスレ主が指摘していたことそのもの。
誤答おじさんはスレ主より遥かに劣っている。
スレ主の方が遥かにマトモ。
誤答おじさんの数学的営みには「意味」の概念が著しく欠如している。
人工知能が意味を全く理解せずに機械的に文章を生成しているのと変わらない。
スレ主の方が遥かに「意味」を理解している。
もう数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
520:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 12:21:33.72 hTfxcEIP.net
>>476
どうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れです
>>451 の
”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）として有名な例である”も読んでくれた？
で、おっちゃんの証明で、超越基底→カントール集合の置き換えをすると
実数体Rのカントール集合をSとする。Sは零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の大小の順序
関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合をR'とする。R'⊂R は非可算
故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：略
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：略
Dom(f)＝S は非可算零集合故、m(Y)＝m({y})＝m({f(x)})＝0。Rの点yは任意故、Rは零集合。これはRが零集合でないことに反し矛盾。
これで、カントール集合Sが零集合だとすると、矛盾を導けた。
だから、通説の”カントール集合は、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）”が間違っているか
証明が間違っているかだろう
521:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 12:24:06.96 hTfxcEIP.net
>>479
どうも。スレ主です。フォローありがとう。>>480が被った
522:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 12:40:55.47 hTfxcEIP.net
>>462 補足
>改良版は
>「命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X （但しAは開集合）から(Y, dY ) への写像f : A → B⊂Y が連続であるための必要十分条件は，任意のBの開集合U に対してf^-1(U) がA の開集合となることである．」と補正します。
>Aが開集合でない場合、境界の点で不連続になったときに、処理がうまく出来ない
>要するに、ある点 x0∈Xで連続という判断を、各点で行えば良い
>それを、部分集合 A⊂Xで行えば良いだけの話
ある部分集合 A⊂X （Aは開集合に限らない）で、連続か不連続かを、知りたいというニーズはあるだろう （y=f(x)が実数全体で定義されているが、不連続でない部分があるとして、ある区間A[a, b]で連続かどうか知りたいとか）
綺麗に使い易く判定できる命題の形が導ければ、それはそれで意味があるだろう
残念ながら、”綺麗に使い易く判定できる命題の形”を思いつくことができなかったので、開集合限定とした（＾＾；
523:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:17:32.98 7xkHllqS.net
>>481
メシ食いながら気付いたが、第３段に外測度はいらないな。更に簡略化出来るわ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。関数 g：R→S は単調増加。従って、S＝R で、有理数は超越数で矛盾。
524:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:24:30.18 7xkHllqS.net
>>481
お～、今度はきれいに書けた。感動モノだ。
単調増加の逆関数は単調増加だったな。
525:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:28:43.56 37vYGmnI.net
>>483-484
きれいに書けたじゃねえよバカもんが。
>>479-480と同じ理由により間違い。どこが感動モノなんだ。
もう数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
誤答おじさんのこの失態にはスレ主も苦笑するしかあるまい。
このように、誤答おじさんは数学的な「意味」を全く理解していないのだ。
ポンコツな人工知能と変わらん。
526:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:35:02.62 7xkHllqS.net
>>485
Sが超越基底であることは
>従って、S＝R で、有理数は超越数で矛盾。
の部分で使っている筈だが。
527:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:37:57.85 37vYGmnI.net
>>486
Sをカントール集合としよう。
誤答おじさんのやり方でS＝Rまでは言えてしまう。
カントール集合はRなのか？違うだろ？このバカもんが。
528:１３２人目の素数さん
15/11/21 13:59:19.29 7xkHllqS.net
>>481
>>487
>Sは任意の非可算零集合でもよいから、任意の非可算零集合
>のすべての点は超越数からなることになる
529:が、これはあり得ず矛盾。 としなきゃダメなのか。
530:１３２人目の素数さん
15/11/21 14:11:41.52 37vYGmnI.net
>>488
何が言いたいんだ？
そんな修正をしたら、非可算零集合は存在しないことになってしまうぞ？
でもカントール集合があるから、証明のどこかが間違っている。
堂々巡り。同じことの繰り返し。いい加減にしろ。
もういいから本当に数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理なんだよ。
スレ主よ、これが誤答おじさんだ。
531:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 14:13:15.50 hTfxcEIP.net
>>488
どうも。スレ主です。
おっちゃんな～
おれとか、ID:37vYGmnI さんが、言っていることは、証明が根本から間違っているってことと・・・
おれが言いたいのは、立論が間違っているってこと
>>466に根拠は書いたが、証明すべきは「実数の超越基底Sは、カントール集合のような、ルベーグ測度は 0 でありながら、濃度は実数に等しい集合（連続体濃度の非可算集合）の例になる」ってことだろう
この逆（間違った立論）を無理矢理証明しようとするから、間違った証明になっていると思うよ
532:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 14:14:20.98 hTfxcEIP.net
>>489
どうも。スレ主です。
フォローありがとうございます！（＾＾
533:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 14:27:13.17 hTfxcEIP.net
>>477 補足
ε-δ論法は、私も学生時代には齧り付いたけどね
ノンスタンダードとか演算子法とかを知って、「ε-δ論法なしでも微積はできるじゃん」と思ったし
その後、数学科じゃないから、気楽に流した
けど、数学科はそうは行かないのかも（下記でもご参考に）
URLﾘﾝｸ(oshiete.goo.ne.jp) （これ前にも引用したと思う）
ε-δ論法について 質問者：rockman9 質問日時：2005/05/21 11:29
（抜粋）
大学１年です。題名通りですが微分積分学に出てくるこの論法が全く理解できません。教授に聞いても教科書に書いてあることをそのまま説明するしかしないので、その教科書を読んでも理解できないのですから全く意味が無いです。いきなり分けのわからない変数が２つも出てきますし...
どなたか教科書に出てるような抽象的なものよりも理解しやすい説明がありましたら（独自の説明で構いません！）教えてください！お願いします。
また理解しても問題が解けなければならないので、例題として１問だけ載せてみます。説明の際に利用できるようでしたら是非使ってください！
URLﾘﾝｸ(kazuschool.blog94.fc2.com)
受験数学かずスクール 京大理学部で数学をやった管理人が中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。
【2010/02/16 03:21】
（抜粋）
極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい
今回は極限の定義で大学の専門書とかで使われるε-δ論法について説明したいと思います。
それは高校1年生からのある一通のメールから始まった
「教科書で限りなく近づくが曖昧です。
ε-δ論法がありました。
よろしくお願いします。」
大学生でもε-δ論法わかりにくい言う人多いしな。
簡単にするためまずは数列の極限で説明したいと思います。
534:１３２人目の素数さん
15/11/21 14:33:39.66 7xkHllqS.net
>>481
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、
単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と
おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、埋め込みの操作後にSは形を変えないことになる。Sは任意の非可算
零集合でよいから、RのQ上の超越基底Sは一意に決まる。しかし、これはあり得ず矛盾。
みたいです。
535:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:07:49.77 37vYGmnI.net
>>493
S⊂[0,1]をカントール集合とする。Sは非可算零集合である。
このSに対して、第１段までは適用可能であり、そこで作ったR' は非有界である。
このあと、第２段も適用可能である。さらに、第３段も途中までは適用可能であり、
そこでR'＝Sとなる。Sは有界だがR' は非有界だから矛盾する。
よって、カントール集合は存在しない。
よって、誤答おじさんの証明は間違い。
数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
536:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:27:47.86 7xkHllqS.net
>>481
信じられんが、私の予想が間違っていたようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合。
証明]：card(
537:S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。 [第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の 大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し 全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。 [第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x} (x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、 m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。 R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。 [第３段](Sは零集合)：card(R)＝card(S)＝c から、RからSへの全単射がある。R、Sは、実数の大小で全順序故、 単調増加関数 g：R→S がある。f：R'→R は単調増加関数故、関数 f^{-1}：R→R' は単調増加で全単射。g＝f^{-1}と おく。g○f＝I_{R'} はI_Sで、R'＝S。従って、Sは非可算零集合。 こっちが正しいみたいだ。
538:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:31:23.10 7xkHllqS.net
>>481
あ、>>495の
>card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
は単純に
>Sは非可算集合。
に訂正。
539:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:32:21.14 37vYGmnI.net
>>495
どちらにせよ、その証明は間違い。
S⊂[0,1]をカントール集合とする。Sは非可算零集合である。
このSに対して、第１段までは適用可能であり、そこで作ったR' は非有界である。
このあと、第２段も適用可能である。さらに、第３段も途中までは適用可能であり、
そこでR'＝Sとなる。Sは有界だがR' は非有界だから矛盾する。
よって、カントール集合は存在しない。
よって、誤答おじさんの証明は間違い。
数学やめろ。誤答おじさんに数学は無理。
540:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:35:39.06 37vYGmnI.net
だいたい、SをR上に散りばめて非有界にしただけで何か意味のあることが言えるわけないじゃん。
人工的に散りばめた時点でSの代数的性質も失われるんだし、何のためのSなんだよ。
実際に非有界かつ無意味なR' が得られて、何の矛盾も出ずに証明に行きづまるだけ。
この方針じゃ何も言えない。ゼロ集合であることも言えないし、ゼロ集合でないことも言えない。
ホントに何も言えない。ただの無意味な操作にすぎない。
自分がやっていることの「数学的意味」を考えろよ。やってることが何もかも無意味なんだよ。
人工知能がパズルのソルバーのごとく総当りして、支離滅裂な方法まで試してる感じ。
その、無数にある支離滅裂な方法の1つを、実際に目の当たりにしている感じ。
そのくらい、やってる内容が無意味。ホントに人工知能と変わらない。
誤答おじさんの数学的営みにはホントに「意味」の概念が欠落してる。
マジで数学やめろ。もう気づけ。誤答おじさんに数学は無理なんだ。
541:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:38:55.61 37vYGmnI.net
>>496
非可算集合に変更するなら、その変更後の証明により、
「非可算集合はすべてゼロ集合」になってしまうぞ。
何がしたいんだこいつ。
542:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:48:34.30 7xkHllqS.net
>>481
よく考えたら、第３段は単純に以下の通りだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、card(S)＝card(R)＝c から、Sは非可算零集合。
[第１段](Sから構成される非可算集合から実数直線Rへの全単射の存在性)：選択公理より、Sの元全体をR上に実数の
大小の順序関係を保ちつつ、R上で上下に非有界なるように埋め込む。この操作後の、各x∈Sの実数値の全体の集合を
R'とする。R'⊂R は非可算故、card(R')＝card(R)＝c から、R'からRへの全単射がある。R'とRは、実数の大小に関し
全順序集合故、単調増加関数f：R'→Rがある。
[第２段](R'は非可算零集合)：直線Rの上下に有界な右半開区間の有限和なるRの部分集合の全体を、Tとする。X＝{x}
(x∈R') とする。と、x∈R (∵R'⊂R)、X⊂[x-ε,x+ε) (∀ε＞0)。定義から、{x}の外測度m(X)について、
m(X)＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|E_i∈T (i=1,2,…)、X⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}、また、0≦m(X)≦+∞。
R'から零集合Sへの全単射がある(∵card(R')＝card(S)＝c)。m(X)＝m({x})＝0 で、R'の点xは任意故、R'は非可算零集合。
[第３段](Sが零集合だと矛盾)：非可算零集合R'から零集合でない非可算集合Rへの単調増加関数fは存在せず矛盾
(∵存在したら、その逆関数 f^{-1}：R→R' は単調増加)。
543:１３２人目の素数さん
15/11/21 15:54:35.01 37vYGmnI.net
>>500
Sがカントール集合でも同じ矛盾が出て、カントール集合は存在しないことになる。
よって、その証明は間違い。
>>498に書いたとおり、誤答おじさんのその方針は最初から無意味なので、
どんなに弄り倒しても何も出てこない。
一体なんなんだこいつは。
544:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:02:52.39 B11xvmN/.net
へえ、ハメル基が非可算なのは分かるが
連続濃度なことまで言えるんか
545:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:06:50.11 7xkHllqS.net
>>481
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、Qは可算零集合、Sは非可算零集合である。Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
Rは非可算零集合である。しかし、これはRが零集合でないことに反し、矛盾する。
546:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:18:14.39 37vYGmnI.net
>>503
それも間違い。
＞Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
ここが間違い。どこが可算無限集合なんだよ。
Q(S)の任意の代数拡大体Lに対して、S⊂Q(S)⊂Lが成り立っている。
Sは非可算でS⊂Lだから、Lも非可算。
547:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:20:09.03 3tQ50uM3.net
>RはQ(S)上代数拡大体である。
>Q(S)の代数拡大体は可算無限集合だから、
Rは非可算零集合である
Rは可算だからRは非可算？
頭オカシイだろおまえw
548:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:29:58.59 7xkHllqS.net
>>481
ちょっと、「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合」でないことは、
すぐには証明出来ないですな。単なるR上への埋め込みがダメとなると、
代数的手法と測度論か何かを使うことになるんだろうが、方針が分からない。
しかし、メンター君は、よく正しい証明かどうかすぐ分かりますな。
549:１３２人目の素数さん
15/11/21 16:32:53.35 7xkHllqS.net
>>504-505
ここが間違いなことはすぐ分かったよ。>>503については何もしなかっただけ。
550:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/21 17:08:44.88 hTfxcEIP.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、お疲れさま
>>495 やっと気付いてくれましたか？ 「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合」が正だよ
>>506 「実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合」でないことは→であることは
だよね（＾＾；
>すぐには証明出来ないですな。単なるR上への埋め込みがダメとなると、
>代数的手法と測度論か何かを使うことになるんだろうが、方針が分からない。
私が、「自力で終わらせるか・・」と考えたら、一応証明らしきものは浮かんだ（＾＾；
が、雑魚叩きに使えるので、書かずに温存しておくよ（＾＾；
問題再録（>>312に書いてある）
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）
551:*)の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。 ・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？ *) ディリクレの関数1Q説明 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%BC%E3%82%B0%E7%A9%8D%E5%88%86 答えは、１）零集合、２） ゼロ。 では
552:１３２人目の素数さん
15/11/21 17:17:10.81 7xkHllqS.net
>>481
結果だけ使えば、次のようになるようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、Sは非可算零集合である。
また、Sの任意の超越数はU数である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
リウヴィル数はU数であり、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で
表せる。従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。しかし、これは矛盾する。
553:１３２人目の素数さん
15/11/21 17:29:15.91 7xkHllqS.net
>>481
>>509の
>Sの任意の超越数はU数である。
は多分間違いだから、>>509は取り下げとく。
554:１３２人目の素数さん
15/11/22 10:46:43.47 G4dpeoO2.net
>>508
おっちゃんです。まあ、結果だけ使えば、次のようになるようだ。
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
A数、T数、U数の全体からなる集合である。また、リュ―ビル数全体の集合は
非可算集合であり、リウヴィル数はU数である(Wikiのリウビル数のサイト参照)。
従って、Sは非可算零集合である。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
また、0でない任意の実数は、2つのリウヴィル数の和、及び積で表せる
から(Wikiのリウビル数のサイト参照)、任意の実数はQ(S)上代数的である。
従って、R＝Q(S) から、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは矛盾する。
まあ、S数全体の1次元ルベーグ測度は1だから、RがQ(S)上代数拡大体になるには、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底SはS数を元に持っていることになる。だから、
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合ということはあり得ない。
555:１３２人目の素数さん
15/11/22 10:53:24.69 G4dpeoO2.net
>>508
(>>511の補足)
Q(S)上超越的な実数は、必ず存在する。もし存在しなかったら、
Q(S)上超越的な複素数は存在しなくなる。しかし、RがQ(S)上代数拡大体だから、
複素数体CもQ(S)上代数拡大体である。複素数がQ(S)上代数的独立か代数的従属か
についても同様になる。従って、定義上は、Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sになる。
だから、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底S
でもある。これは、そもそも、Sを考えたときの体の拡大R/Qの扱いに反し矛盾する。
R＝C として実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
2つの体の拡大R/Q、C/Qを同一視して有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
これは R≠C に反し、矛盾する。そういうことだ。
556:１３２人目の素数さん
15/11/22 11:32:15.11 Sfjos7ec.net
>>511
>超越基底Sが零集合とする。すると、S数全体の
>1次元ルベーグ測度は1(Wikiの超越数のサイト参照)だから、Sは
>A数、T数、U数の全体からなる集合である。
どうしてA,T,U数をすべて含むと言えるんだ？
超越基底の性質からそれが言えるというなら説明してくれ。
557:１３２人目の素数さん
15/11/22 11:46:32.27 G4dpeoO2.net
>>513
これ、間違い。
どういう基準でルベーグ測度を取ったのかまでは分からない。
>>508
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。
従って、任意の実数はQ(S)上代数的である。従って、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
しかし、これは、Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾。
(もし存在しなかったら、 Q(S)上超越的な複素数は存在しなくなる。
しかし、RがQ(S)上代数拡大体だから、 複素数体CもQ(S)上代数拡大体である。
複素数がQ(S)上代数的独立か代数的従属か についても同様になる。
従って、定義上は、Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sになる。
だから、実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは複素数体Cの有理数体Q上の超越基底S
でもある。これは、そもそも、Sを考えたときの体の拡大R/Qの扱いに反し矛盾する。
R＝C として実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
2つの体の拡大R/Q、C/Qを同一視して有理数体Q上の超越基底Sを考えていたことになる。
これは R≠C に反し、矛盾する。)
に訂正。
558:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:17:54.90 Sfjos7ec.net
> Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾
存在しないでしょ。どんな実数？
ゼロ集合はどこで使ってるんだ？
559:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:20:25.02 lmw0xI33.net
この人は自分で自分の論証の正しさを確かめられない人なんだね。
こういうタイプの人は他にも見たことがある。
560:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:53:29.37 G4dpeoO2.net
>>515
いや、代数的に考える以上、Q(S)上代数的な数を考えるときは、
せいぜい、可算無限な対象(今回は実数)を考えることになる。
代数で非可算な対象を考えることは出来ない。
実数体Rは非可算。だから、Q(S)上超越的な実数は存在するのではないかと。
そう思った。
561:１３２人目の素数さん
15/11/22 12:58:53.68 G4dpeoO2.net
>>517
悪かったな。豪語するなら、
超越基底Sが零集合かの判定をしてみてくれ。
562:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:03:28.97 Sfjos7ec.net
>>517
> 代数で非可算な対象を考えることは出来ない
言っていることが分からない。
RはQ(S)上代数的で、そうなるように超越基底Sを取ったんでしょ？
Q(S)上超越的な実数なるものが存在したとしても、実数全体がRなんだから、当然Rに含まれるでしょ。
563:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:05:33.03 G4dpeoO2.net
>>516
「>>518」は、本来「>>517」ではなく、「>>516」宛てな。
豪語するなら、超越基底と零集合をウマく組合せた論証をしてみてくれ。
564:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:07:03.84 Sfjos7ec.net
本当に言っていいのか？
みなさんが楽しんでいるようだが。
少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
565:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:09:10.76 IkwVB7jN.net
>>521
脳足りんやなあ爺
566:521
15/11/22 13:09:17.26 Sfjos7ec.net
> 悪かったな。豪語するなら、
> 超越基底Sが零集合かの判定をしてみてくれ。
ってのは>>516 宛だったのか。失礼した。
567:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:16:46.12 G4dpeoO2.net
>>519
いや、ちょっと、Q(e)とかQ(π)の点を係数に持つ多項式の根について、
有理係数多項式のときと同様に、ディオファンタス近似の理論を
再構築したことがあるんですわ。Q(S)-係数多項式の根が全部Q(S)上代数的となると、
Q(e))-係数多項式の根に対するディオファンタス近似の理論の類似が無効になるかも知れない。
意味がなくなるかも知れないと。まあ、大雑把にいえばそんな感じです。大雑把過ぎるでしょうけど。
568:１３２人目の素数さん
15/11/22 13:27:33.18 G4dpeoO2.net
>>519
>>524の訂正：
「Q(e))-係数多項式」→「Q(e)-係数多項式」
569:521
15/11/22 13:39:44.66 Sfjos7ec.net
>>525
> Q(S)-係数多項式の根が全部Q(S)上代数的となると、
ここに記述ミスはない？確認してもらえるでしょうか。
（おっさん、敬語は使わないでくれ。やりづらい・・。）
ある数がQ(S)係数多項式の根となるとき、その数をQ(S)上代数的と呼ぶんだったよね。
だからQ(S)係数多項式の根はすべてQ(S)上代数的だよ（当たり前だが）。
少し混乱していないだろうか。
570:521
15/11/22 14:38:01.69 Sfjos7ec.net
>>少なくともスレ主、>>510 メンター、おっさんの3人がよいと言うまでは黙っておくよ。
よく見たら>>510 はメンターじゃないな。どうりで変だと思った。
571:１３２人目の素数さん
15/11/22 16:39:06.05 G4dpeoO2.net
>>526
論理的には間違いが生じないから、一応は、Q(S)係数多項式の根に対しても、
ディオファンタス近似の理論の類似を再構築出来る仕組みになっているにもかかわらず、
定義に反するから、実際は再構築しようがないのか。
Q(S)係数多項式の根の場合は、数学的には何の意味もないから、再構築してはいけなかったのか。
572:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 17:59:07.98 7nuHUSiY.net
>>521
どうも。スレ主です。
メンターさんかと思っていたが、別の方ですか？
どうも、フォローありがとうございます。
私の意見としては、おっちゃんが、「超越基底Sが零集合である」ということを納得してもらって、その証明を少しだけ見てみたい気がする
おっちゃんは、「濃度が非加算の零集合が存在する」ということを、カントール集合という例を示されても、心底納得できていないみたいだ
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
だから、「超越基底Sが零集合である」を否定的に解こうとして、脱線している点もある
それと、”超越基底S”を全然理解できていないかな？ ”Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾”>>515？ 面白い発想だね（＾＾；
ということで、しばしお待ちを。まず、”Q(S)上超越的な実数が存在しない”を処理して、「超越基底Sが零集合である」を、もし可能なら納得してもらいましょう
そして、一度、おっちゃんの証明を見てからということでお願いできればと思いますｍ（＿ ＿）ｍ
573:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 18:11:03.03 7nuHUSiY.net
>>515
おっちゃん、どうも。スレ主です。
> Q(S)上超越的な実数が存在することに反し矛盾
まず、”Q(S)上超越的な実数が存在しない”を処理します
証明
１．ご自分で書いた通り、>>514の実数体Rの有理数体Q上の超越基底をSとする。定義から、RはQ(S)上代数拡大体である。従って、任意の実数はQ(S)上代数的である。従って、Q(S)上超越的な実数は存在しない。
２．これ、正解です。もし、Q(S)上超越的な実数s' ∈/Sが存在したとする。Sを拡張して、Ｓ’＝{s'}+Sとすべきであるから。（蛇足だが、取りこぼした超越数があれば、それは本来超越基底をSに取り込まれているべき数だから）
証明おわり
超越基底に加えて、「基底とは何か？」をもう一度考えてください
574:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/22 18:24:28.11 7nuHUSiY.net
>>511
>実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合とする。すると・・・これは矛盾する。
次のブログでも見て下さい。それで、「点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、
575:カントールの零集合という反例がある。」を納得してください。 ”実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sは零集合です”。これが、正解ですよ http://commutative.world.coocan.jp/blog2/2010/11/post-859.html 零集合 あやたろう (2010年11月 8日 01:22) （抜粋） 零集合というは、ルベーグ積分のところで述べた測度論で定義される集合であって、m(A) = 0である集合である。 例えば、１つだけの点からなる点集合Aを考えると、当然にm(A) = 0である。これは、次のような積分に対応して考えられる。 0でない積分結果をもたらすためには、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが、少なくともある区間で、非加算濃度をもたなくてはならない、ということになる。 すなわち、積分される関数f(x)に対応する点集合Aが非加算濃度をもつことは、0でない積分結果を与えるための必要条件であるが、 点集合Aが非加算濃度をもてば、点集合Aは零集合でないといえるか、というと、一見それは正しそうであるが、カントールの零集合という反例がある。 ・・・・ （証明があるが省略） すると、対角線論法が適用できて、除去された結果の点の非加算性が証明される。すなわち、非加算濃度をもつ零集合が存在する。 零集合の隠微な世界を垣間見た次第である。