現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16

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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16 - 暇つぶし2ch■コピペモード
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350:１３２人目の素数さん
 15/11/04 19:45:43.57 OHTkG94u.net
引用馬鹿

351:１３２人目の素数さん
 15/11/05 06:50:58.44 LIXo9DMH.net
>>322 
何だい？坊や。以下の証明が引用だというのか？ 
>>318 
空間X、Y≠Φの各位相をO_X、O_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする 
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_X がXの閉集合なることと定義する。 
この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、 
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。 
(必要性)：空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：X→Yは連続だから、 
連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_X は空間Xの閉集合である。fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる 
関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合であり、 
f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合である。Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、 
空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合である。 
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、 
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。 
仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。 
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、 
BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。 
よって、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。

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