15/11/02 09:35:51.32 z9zAyjiR.net
>>281
>＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
>「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
直観的に明らかなことを考えるだけだった、となると虚しくなるだろ。
>濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
>それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
>全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
経験上、スレ主の主張は、信用しないことにしていた。
経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
そのうち書いてあげますよ。
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 09:44:58.44 Ra+GZ3GJ.net
>>284 つづき
この問題>>7は、収穫があった
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
314:１３２人目の素数さん
15/11/02 09:52:18.45 z9zAyjiR.net
>>284
>>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw
あと、イメージとしては、正確には、或る点x∈Cを含むε近傍ではなく、
xを含むコンパクトな領域や或いはコンパクトな領域とその境界との和からなる
図形Dと、そのDの補集合とかを考えるのが正しいイメージなのだ。
315:１３２人目の素数さん
15/11/02 09:55:44.48 z9zAyjiR.net
>>284
>>287のDのような図形からなる単調増加列を構成して
考えていくと、>>7はイメージとして自然に溶けるな。
316:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 09:58:08.11 Ra+GZ3GJ.net
>>286 つづき
いま見ると、>>173と>>202とは同じだから新作は３つだな
なので訂正
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
↓
新作問題が三つできた。>>202と>>250-252と>>259と
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 10:04:41.32 Ra+GZ3GJ.net
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>>285
>>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
>そのうち書いてあげますよ。
証明は、>>262の幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MBの中にあるよ
つーか、>>263で終わっているだろ？（＾＾；
では
318:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:10:07.41 z9zAyjiR.net
>>290
載っているのか。じゃ、書く必要ないな。
319:１３２人目の素数さん
15/11/02 11:17:18.02 z9zAyjiR.net
>>284
>>287-288でいわんとすること(コンパクトな領域云々の行のあたり)は
>点x∈Cを含むコンパクトな領域Dや、或いはDとその境界∂Dとの和∂D∪Dからなる図形Fからなる単調増加列を、
>xごとに構成してその各項を点ごとに走らせて、更にその後全平面C上で走らせる操作
な。開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
各穴の中心z∈Cを定めて、穴が大きく小さい浮き輪z_1から、穴が小さく大きい浮き輪z_mからなる
単調増加列{z_n}を任意に構成して、そのような単調増加列の全体を平面C上で走らせますみたいな感じ。
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 11:51:13.58 Ra+GZ3GJ.net
>>285-287
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
">>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw"
これ、実に良いこと、かつ大事なことを言った！（＾＾；
すぐ前に、真逆の直観を言っていた・・
例えば、>>112, >>182, あるいは>>218「そういうのが直観に反するってことなんだろ。
上からどころか下からもcard(B)をcard(B)≧2^cと評価出来るんだから、
あり得るのはcard(A)＝2^cだけ。」
しかし、可算公理あるいは、可算基底というキーワードを通してこの問題を見れば、直観的に見える風景が変わっているはずだ
これは、私が>>163で言いたいことの補足になっている。（＾＾；
”自分の直感と違うことも多いだろう。だからと言って、直感を捨ててはいけないんだ！
（一時、日本の数学教育界でδーε全盛時代があった。いわく直感に頼ってはいけない。δーεの理解こそが大学数学だと。が、今日ではそれは否定された。もっと自分の頭で考えることと、自分の直感を磨くことを強調しておきたい）”>>163
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 12:30:36.52 Ra+GZ3GJ.net
>>292
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
まあ、ここは初学者も来るので、細かいですが・・・、一言
>開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
ここね、気になる
位相（トポロジー）が、角度や長さとかの計量忘れて図形を扱う技法で、抽象的な議論になるのはその通りだ
で、開集合や閉集合は、位相（トポロジー）の道具の一つで、基本的概念の一つ
が、元々の問題は、「複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする」>>7だから、距離がキーワードで、開集合や閉集合たちは、少なくとも距離の属性は持っている
その距離の属性を使うことで、>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.” by 幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年 P166 の論証が成り立っているんだ！
>>262-263は、スレ主の主張ではなく、佃修一先生の主張なんだから
そこはしっかり読んでほしいね（＾＾；
322:１３２人目の素数さん
15/11/02 13:55:32.52 z9zAyjiR.net
>>293-294
そもそも、位相の相異なる理論展開の方法は何通りもあるから、
位相をネット上のファイルやサイトで人に学習させんとする発想がおかしい。
>>262-263とは異なる理論展開の仕方で学んでいる人も当然いる筈。
こういう人には、異なる理論展開のファイルを見せても全く効果がない。
まあ、[第３段]では、選択公理やZornの補題の使用、超限帰納法の論法
の訓練にはなりましたけど。こういうことは、余りやりませんからね。
323:１３２人目の素数さん
15/11/02 14:04:06.99 z9zAyjiR.net
>>293-294
そういう訳(>>295のこと)で、位相の話はやめた方がいいね。
中には、閉包が満たす公理を出発点にして学習している人もいるだろうね。
324:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:15:53.70 OhjoiJ06.net
＞ [第３段]：包含関係に関するIの極大元Xが存在することを示す。
包含関係に関してIに極大元は存在しない
第３段は間違ってる
何の訓練のつもりだ？
バカじゃねーの
325:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:22:23.66 z9zAyjiR.net
>>297
フーン、超限帰納法がああいう論法でないことは分かった。
超限帰納法は余り見ないからね。
326:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:28:26.40 z9zAyjiR.net
>>297
ところでさ、私をバカにして楽しいか？
327:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:29:41.39 OhjoiJ06.net
>>298
フーンじゃねえよ
極大元が存在しないことくらい一目みて分かるだろ
Zornとか超限帰納法とか、それ以前の問題だよ
なんでお前はいつもいつもそうなんだよ
超限帰納法の使い方もおかしい
超限帰納法を使うには整列順序が予め入っていなければならないのに、
整列順序に関する言及が1つも無い時点で問題外
あと、Zornの補題は超限再帰＋選択公理で証明できるから、
Zornの補題と超限帰納法が同時に登場するのも不自然で、
同じ論法を二重にやっているような感じになる
ま、誤答おじさんは何も分かってないってことだわな
328:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:41:04.71 z9zAyjiR.net
>>300
>極大元が存在しないことくらい一目みて分かるだろ
自然数の範囲で考えているから、そりゃそうだわな。
>ま、誤答おじさんは何も分かってないってことだわな
何も分かっていないって考えてくれた方が、こっちも気楽だ。
知識が豊富みたいに捉えられると、かえって重圧がかかる。
329:１３２人目の素数さん
15/11/02 18:46:19.00 +rBeHtf6.net
あの長文を読んでどこが間違いかをチェックする人がいることに感動したわ
330:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 19:29:22.33 Ra+GZ3GJ.net
>>295-296
おっちゃん、どうも。スレ主です。
まあ、ここは位相（トポロジー）のスレじゃないが
なんでもありで良いと思うんだ
331:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 19:56:04.72 Ra+GZ3GJ.net
数学は一つ
そういう言葉もある
いろんな分野で関連している部分がある
あるいは関連が発見されたところもある
あるいは関連を発見することもある
というか、そういうのも数学研究ネタじゃないのかね？
332:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 19:59:24.60 Ra+GZ3GJ.net
位相は、正直あまり勉強したことはないが、今時の数学科では基礎科目なんだろうね
ところで、
>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.”というのは感動したよ
ちょっと書いてみようか
どこに感動したか
333:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 20:19:44.34 Ra+GZ3GJ.net
>>305
どこに感動したかというと
（この話はどこかで読んだが、どこにあったか思い出せないので記憶で書く）
１．例えば、複素平面で、実数√２の半径１の開近傍を考える
２．B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}をもって、可算基で被覆しようとすると、ここだけで、可算無限のBの要素が必要だ。∵√２が無理数だから、有限の有理数からなる開基で埋め尽くすことはできない
３．で、半径の方も、√３でもいいから、一つ無理数の要素を持つ近傍Uε(x) に対して、可算無限のBの要素が必要で、そういう無理数の要素を持つ近傍Uε(x) って、無限にあるじゃない？
４．それが、「可算基がある」という発想がねー、自分にはとても思いつかない。教えられたら、「ああ、そうか！」だがね。考えた人は、コロンブスなみに偉い！と思ったねー、天才の発想だろうね！（＾＾；
５．でこれが、開集合の公理で ”τ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の合併はふたたび τ に属す。”と決めてある意味だと気付いた URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
”任意個（無限濃度をも許す）の合併”、（無限濃度をも許す）の一つの意味は、これだったんだ！（＾＾；
334:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 23:49:33.03 Ra+GZ3GJ.net
面白いページがあった（＾＾；
URLﾘﾝｸ(eldesh.yukishigure.com)
数学の犬
位相幾何学（トポロジー）の基本的情報を掲載。PDFでも順次公開。犬か数学かと問われれば、明らかに数学のコンテンツですのでご注意を。
学術的なこともあれば、メモ程度に適当に書いたものもあります。間違いにご注意ください。現在、少しずつ修正中です。
ようこそ数学の犬のページへ
ここは代数的位相幾何学（Algebraic Topology）に関する情報を載せてあります。すべてを鵜呑みにせず、真偽は自らで判断してください。
このホームページの当初の目的は、Texの練習でゼミノートをTex化した際にネット上においておけば、どこからでも自分で見直せるから良いかなと作ったものです。
一応は大学の2,3年生程度で習う位相空間や代数学の知識があれば理解できるようにとは思っていました。目指すコンセプトとしては、日本語でわかりやすく丁寧な証明、参考文献付きの数学サイトです。
「このホームページに関する注意」
※ 本文中、ＰＤＦ内に間違いが多数あります。お気をつけて。
※ 参考文献として挙げてある本、論文の方が信憑性大です。
※ 学生の頃の練習ノートがそのままのものもありですので、Texの構成やフォントの稚拙さ、スペルミスはご愛嬌。
とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。
自分の手を動かして証明を後追いしてみる、あるいは自分でよりスマートな証明を考えてみることを強く推奨します。
335:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 23:50:47.52 Ra+GZ3GJ.net
>>307 つづき
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336:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 23:54:54.28 Ra+GZ3GJ.net
>>308 つづき
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8/25 多様体
8/16 Brown表現定理
8/5 Dold-Thomの定理
7/30 モデル圏
7/25 離散モース理論
7/11 Kunnethの公式
7/4
337: Eilenberg-Zilber 6/28 Cech複体 5/25 エタールホモトピー 4/21 微分空間 4/3 Leray-Serre 3/12 離散モース理論 2/21 Stack
338:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 00:03:55.20 E0ZOM897.net
>>303 補足
開集合と閉集合
普通は開集合が使いやすい。今回みたいなユークリッド空間では（と思う）
が、ザリスキ位相は、閉集合を使うという話があった。まあ、両方使い分けするんだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ザリスキー位相
トポロジーは開集合というより、閉集合を特定することにより定義され・・・
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 07:46:15.16 E0ZOM897.net
>>293 関連
唐突ですが
”4.4 連続写像
関数f : R ! R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ－ε 論法」を用いて定義され
ていた. 距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考
えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開
集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開
集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）ってことかな
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学通論 II 位相空間 2007年度後期 田丸 博士 広島大
プリントは, 数学通論 I で配布したプリントの続きです. プリントの前半部分（距離空間を扱っています）が欲しい方は, 数学通論 I のページ から入手して下さい.
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学通論 II （2007年度後期）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
Tamaru's PROFILE
氏名: 田丸 博士（たまる ひろし）（某有名中国人数学者に名前を笑われたことがある）
職業: 広島大学 大学院理学研究科 数学専攻 教授
1989年（平成元年）3月 横浜市立金沢高等学校 卒業
1993年（平成5年）3月 上智大学理工学部数学科 卒業
1995年（平成7年）3月31日 上智大学大学院理工学研究科数学専攻博士前期課程 修了, 修士（理学）取得
修士論文の題目: 例外型単純リー環の新しい構成法 (Sophia-R)
指導教員: 長野正先生
1998年（平成10年）3月31日 上智大学大学院理工学研究科数学専攻博士後期課程 修了, 博士（理学）取得
学位論文の題目: The orbit types of symmetric spaces and their applications to generalized symmetric spaces (Sophia-R)
指導教員: 長野正先生
340:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 07:58:25.71 E0ZOM897.net
>>289 新作問題まとめ
>>173 ”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>>202 上記を、可算公理の背理法に寄らず証明せよ
>>250 問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在可能定理」とします！
>>259
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは、ゼロ。（証明せよ）
ディリクレの関数1Qについての説明は下記参照>>231
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
341:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 08:03:01.57 E0ZOM897.net
>>312 つづき
>>4 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
もとは、おっちゃんの作った問題があって、それを非加算濃度→連続濃度の”べきの濃度”にひねったんだ
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
342:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 08:54:27.08 E0ZOM897.net
そうそう、ここら>>312の問題は、564さんの>>7「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
から派生しているんだ
564さん、ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
343:１３２人目の素数さん
15/11/03 11:30:08.65 9FOIe7mq.net
＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること
スレ主さんは証明できるの？
344:１３２人目の素数さん
15/11/03 16:32:32.45 2jt6Fkhw.net
引用馬鹿
345:１３２人目の素数さん
15/11/03 16:51:09.21 yGWrQEj/.net
>>307
おもしろいなw
・このホームページに関する注意
「とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。」
意味ないホームページだから参考文献リストだけ載せればいいのではw → 「生兵法は大怪我のもと」と書いてリストでOKでは。
346:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 20:54:41.99 E0ZOM897.net
証明は、おっちゃんにでも頼みな
ここは、スレ主の備忘録だよ。ここに貼っておけば、世界のどこからでも検索できるし、世界一の検索ソフトの上位にヒットするよ（＾＾；
>>317
「とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。」は、面白いだ？
ソフトの使用許諾で、よく見る文句だ。「このソフトを信用してはいけません。使って損害を被っても、自分の責任ですよ！」みたいな（＾＾；
次からテンプレに入れようか？
347:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 21:00:11.29 E0ZOM897.net
余談だが、最近、以前ヒットしたページを再検索すると、出ないことがある
多分、情報が増えて下積みとか、検索のロジック（重み付け）が変わったとかだろう
その点、２ちゃんねる情報は上位に来るから、ここに書いておいた情報は、検索の再現性の点では便利だね（＾＾；
348:１３２人目の素数さん
15/11/04 00:30:46.60 ih8jWl9M.net
>>318
わからないならそう言えばいいのに
349:１３２人目の素数さん
15/11/04 14:04:31.70 q8ep1UeB.net
>>318
やあ、おっちゃんです。
昨日、Σ_{k=0,1,…,∞}(1/(k!＋1)) は無理数だって確信出来たよ。
まあ、ど～せ証明されているだろうけど。
紙で計算していたら、何か必殺技を編み出すような出来事があった。
スレ主に証明しろっていわれた命題の証明は、少し手間がかかるね。
2、3行では終わらん。
350:１３２人目の素数さん
15/11/04 19:45:43.57 OHTkG94u.net
引用馬鹿
351:１３２人目の素数さん
15/11/05 06:50:58.44 LIXo9DMH.net
>>322
何だい？坊や。以下の証明が引用だというのか？
>>318
空間X、Y≠Φの各位相をO_X、O_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_X がXの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。
(必要性)：空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：X→Yは連続だから、
連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_X は空間Xの閉集合である。fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる
関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合である。Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、
空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合である。
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。
仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、
BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
よって、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。
352:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:13:44.87 unwmebU2.net
>>323
おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明ありがとう
おっちゃんの証明パワーには、いつも圧倒されます！（＾＾；
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:19:24.84 unwmebU2.net
>>321
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>昨日、Σ_{k=0,1,…,∞}(1/(k!＋1)) は無理数だって確信出来たよ。
超越数じゃないかな？ e^xのべき級数展開でx=1を少しひねった形に見えるから（＾＾；
>スレ主に証明しろっていわれた命題の証明は、少し手間がかかるね。
> 2、3行では終わらん。
おっちゃん！ エレガントな証明が見つかってからで良いよ。無理しないで
あれは、雑魚叩きの問題として良いなと思っているから
でも、エレガントな証明も見たい気がするので、それは可だな（＾＾；
354:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:25:28.69 unwmebU2.net
>>320
どうも。スレ主です。
”わからないならそう言えばいいのに”をそのままお返ししよう！（＾＾；
初学者か？（＾＾；
質問が幼いと思ったから>>315
質問がね、自分がよく分かってないことを質問したんだろうと
”＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること スレ主さんは証明できるの？”か・・
微笑ましいね（＾＾
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:28:51.97 unwmebU2.net
>>326 つづき
ID:ih8jWl9Mくんは、>>323のおっちゃんの証明をどう評価するんだ？
正しいと思うのか、間違っていると思うのかだよ！
いやいや、そもそも、ID:ih8jWl9Mくん、君にこの証明が読めるのかね？
初心者の君に・・・（＾＾；
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 23:44:50.09 unwmebU2.net
>>311 つづき
実は、”位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”の後があるのだった
「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）
であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」
つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！
この意味が分かるだろうか？
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 23:52:12.81 unwmebU2.net
さて
＜関数の極限と連続関数＞
ここでは，区間I ⊂ R で定義された実数値関数f : I → R を考える．
定義 関数f : I → R がa ∈ I で連続であるとは， lim (x→a) f(x) = f(a) が成り立つことである．
すなわち，
任意の正の数εに対して，次の条件をみたす正の数δが存在することである：
|x ? a| < δをみたす任意のx に対して|f(x) ? f(a)| < ε
関数f が定義域I で連続，とはI の各点で連続であることとする．
358:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 23:59:20.60 unwmebU2.net
さらにこれ分かりますか？
＜連続写像＞
ε-近傍
定義 距離空間(X, d) 上の点p と正の実数ε に対して，
Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
をp の(距離d に関する) ε-近傍という．
定義 距離空間(X, dX) から距離空間(Y, dY ) への写像f が連続�
359:ﾅあるとは，任意のa ∈ X と任意の正の数ε に対して，ある正の数 が存在して f(Ba(δ))⊂ e Bf(a)(ε) が成り立つことである． ここでBa(δ) は(X, dX) におけるa のδ-近傍， B~p(ε) は(Y, dY ) におけるp のε-近傍である．
360:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 00:04:19.62 ZDIzWQj1.net
いよいよ＜開集合と連続写像＞の登場です！ （＾＾；
定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^?1(U) がX の開集合となることである．
証明： 写像f が連続であるとする．開集合U ⊂ Y に対してp ∈ f^-1(U) とするとf(p) ∈ U であるから，
U が開集合であることより，ある正の数ε が存在してB~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
ただしB~q(ε) は(Y, dY ) におけるq のε-近傍である．
このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．すなわち
Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
となる．p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．
逆に，任意の開集合U ⊂ Y に対してf^-1(U) が開集合であったとする．
点p ∈ X を一つ固定し，正の数ε を任意にとると， B~f(p)(ε) はY の開集合であるからV := f^-1( B~f(p)(ε))はX の開集合．
とくにp ∈ V なので，ある正の数δが存在してBp(δ) ⊂ V ．このとき
f(Bp(δ))⊂ f(V ) = f(f^-1( B~f(p)(ε)))⊂ B~f(p)(ε).
したがってf はp で連続．p ∈ X は任意だったからf は連続写像である．
系 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意の
Y の閉集合V に対してf?1(V ) がX の閉集合となることである．
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 00:09:32.48 ZDIzWQj1.net
>>331 つづき
ここでは、定理 距離空間・・・となっている
で、>>328 の定義4.19.の規定ぶりと異なっていることに気付いてくれたかな？
わかりますか？ この違い
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 00:23:33.63 ZDIzWQj1.net
ところでな、>>329-331の記述が読みにくいだろ？
なんで、こんなアスキー限定の板で、まともに数学記号が書けない板で、読みにくい証明書いて、読みにくい証明を読む・・・
そんなばかげたことをする価値があるのかね？
証明証明か・・・。ああ、証明命なんだよね・・・
が、証明を書いたから、分かっている？ ２ちゃんねるに証明書くくらい、既存の定理や有名問題なら造作もないことだよ
証明を書いたから、分かっている？ 証明書くくらい、ID:ih8jWl9Mくん、君にも、ここは試験場じゃない、なんでもありなんだからさ！（＾＾
まともに数学記号が書けない板で、読みにくい証明を書くなら、その証明はここに落ちていますと、示した方がましだろうよ
その方が、よほど、普段読み慣れている記述に近いさ。自分で調べる力ないんだろうね・・・（＾＾；
だが、ID:ih8jWl9Mくん、君が要望するから、わざわざ読みにくく書いてあげたよ。さあ、読みなさいよ。そして、どこが分からないか
それを聞いてみてごらん
そしたら、また、だれか教えてくれるだろうさ
だれも教えてくれる人がなければ、私スレ主が教えてあげるよ！（＾＾； （まあ、思うにδ－εから分からないんだろうが・・・）
363:１３２人目の素数さん
15/11/07 01:16:48.49 diyZTPHE.net
嘘つきは土日の始まり
364:１３２人目の素数さん
15/11/07 01:46:35.11 JqFAljx8.net
検索バカ
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 06:36:58.22 ZDIzWQj1.net
>>334-335
どうも。スレ主です。
つまらん、つっこみで悪いが、数学的能力の低さが表れているんじゃないかねー（＾＾
「嘘つきは土日の始まり」の元は、「嘘つきは泥棒の始まり」。嘘つきと泥棒は、経験的因果関係があるというのが元だろう。対して、嘘つきと土日には必然的な因果関係がない
そもそも、金曜夜から始まっているから、Well-definedではない
よって、数学的能力の低さが表れている QED
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 06:46:32.34 ZDIzWQj1.net
>>336 つづき
「検索バカ」もなー。いまどき、検索をバカにしてどうする？ 「検索できないバカ」の方が正解だろう
例えば、検索すれば分かる既知のことを、１年考えて、自力で考えて、証明が出来たという。聞いてみれば、「そんなこと、検索すれば、すぐ分かったはず」と
岩波数学辞典がある。おれも昔の版は持っている。悪くないだろ？数学辞典で調べることは？
だが、いまどき、「岩波数学辞典を調べて終わり！」じゃねー、おかしいだろ？
もっとマジレスすれば、自分の疑問や検索したいことを咀嚼して、数学的なヒットしやすい検索キーワードの組み合わせを捻出する。それも数学的センスなんだと思うんだ
いまから、プロの数学者あるいは数学をメシの種にしようとする人たちにとって、「検索バカ」より「検索できないバカ」と言ってやる方が、適切じゃないか？ 検索には、数学的センスが必要なんだよ
そして、プロの数学者あるいは数学をメシの種にしようとする人たちにとって、アウトプット＝結果が全てなんだ。学生は、「自分で考えました」「えらい！」（教師）だが、学生卒業したら、”結果が全て”。検索９割＋自分１割で、先に結果を出して、投稿
それが、自力１０割で遅いやつより偉いってこと
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 08:37:16.46 ZDIzWQj1.net
「天才は1%のひらめきと99%の汗」（エジソン）
「独創は1%のひらめきと99%の既知（含む検索）」（スレ主）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
名言
エジソンのGenius is one percent inspiration, 99 percent perspiration. という発言がよく知られている。
一般に日本語では「天才は1%のひらめきと99%の汗」 と翻訳され、努力の重要性を物語る発言として広く知られている
エジソンは様々なインタビューにおいて努力こそがひらめきに必要なものであり、努力が最も重要であるという趣旨の発言を多くしている[10]。
また当の発言はエジソンの死後1932年に発表されたものであり、全く同じ発言をしたという明確な証拠はない[11]。現代アメリカでも「天才には努力が必要」の意味で用いられている。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
"Genius is one percent inspiration, ninety-nine percent perspiration."
? Thomas Alva Edison, Harper's Monthly (September 1932 edition)
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 09:03:27.42 ZDIzWQj1.net
>>338 つづき
>>312-314に、＜新作問題まとめ＞を書いておいた
1%のひらめきも無いかもしれないが、多少数学的に新しいことを書いたかなと
あるいは、１００年くらい前にだれかが、どこかで思いついて書いているかも知れないほど、素朴な思考。それが、現代数学が進歩して、遠くに忘れ去られたのかも・・
ともかく、 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」>>313は、「連続濃度の”べきの濃度”＝濃度2^R」という陳述が、あまり見ないので新規かと
まあ、普通は、「非加算」で寸止めして、ここまで踏み込まないんだ（＾＾；
でも、これは前スレで564さん（>>7）が解いてくれたんだがね。超越基底Sを使って鮮やかに解いたので、超越基底Sを使う練習問題としては、意義があるだろうよ
かつ、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合」を考えることで、群や拡大体を考える練習問題にもなる
ここから派生して、問題>>7に関連して、超越基底Sを考えるはめになった
「実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる」とか
「実数のどんな超越基底Sの組みも、各点∀s∈Sの周りの半径εのε近傍Uε(s)を考えると、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、全て重ならないように配置することはできない」とか
分かってしまえば、たわいもない話だ
が、0.1%くらいのinspirationは、認めて貰ってもいいかなと（＾＾；
もちろん、これが新規性のある話だとしてだが・・
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 09:41:52.04 ZDIzWQj1.net
学生時代の優劣は、主には、試験場という限られた、場所と時
370:間で勝負が決まる そこで、教えられたことを使って、既知の問題を解く（たまに新作があるかも知れないが） 優良可かのかABCなのか知らないが、成績がつく。院試なら、合格不合格 ”例えば、検索すれば分かる既知のことを、１年考えて、自力で考えて、証明が出来たという。聞いてみれば、「そんなこと、検索すれば、すぐ分かったはず」と”>>337書いた 学生の勉強としてはありだよ。答えを見ずに、自力で考えることで、力を付ける。将棋で言えば、詰め将棋を、自力で解くみたいな（＾＾； だけど、そういう思考を、このスレに持ち込んで貰ってもよ、スレ主からしてみれば、「おいおい」だ。ここは、教室じゃないよと（＾＾； 「証明かかないから分かってない」>>320と、ぼうや素朴で微笑ましいよね（＾＾； けどさ、どっかから証明ひろってきて、それを丸写しして、証明を書くことができるし、そうしたところで、「分かっている」という証拠にはならん。ここは試験場じゃないからね >>329-331に、書いてあげましたよ、証明を。ID:ih8jWl9Mくんが求めるからね お気づきのように、種本はあるよ。そして、種本を読んだ方が、このスレで読むより遙かに読みやすい。それをわざわざ、ここに写経する意義は薄いと思う （が、いまは、種本は明かさないよ） 私、スレ主が言いたいことは、それだよ そこは、おっちゃんとは哲学が違うところだ （が、おっちゃんのこのスレへの参加は、新作の創出も含めて、多大の恩恵を得ているので、おっちゃんの証明に文句をいうつもりは無いんだ（＾＾； )
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 10:10:42.80 ZDIzWQj1.net
こんな数学表現が困難な不自由な場所で、「証明、証明」とつまらないことを言わないでほしいよね
おい、おまえのことだ！ ID:ih8jWl9Mくんよ！>>320
>>323のおっちゃんの証明を読んで見ろ！
そして、私が書いた>>329-331を読んで見ろ！
全部理解できたのか？ 分からないなら、どこが分からないか、聞け！
一つこちらからの質問だ、おっちゃんの証明と私スレ主の>>329-331には決定的な違いがある、それが何か分かるかね？ それが分かったら書け！
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 10:21:04.08 ZDIzWQj1.net
「＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること
スレ主さんは証明できるの？」>>315
という陳述がさ、全然本質を理解していないだろ？
元は、「”4.4 連続写像
関数f : R → R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ－ε 論法」を用いて定義されていた.
距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）」>>311だ
そして、この後、>>328「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」
つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！
ID:ih8jWl9Mくんよ！、おまえなー、全然、田丸 博士先生を読んでないじゃんか！
田丸 博士先生を読めば分かるだろ？ 田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！ 別のことなんだ！ それが何か分かるか？ 君に・・・
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 10:23:23.04 ZDIzWQj1.net
>>342 つづき
>田丸 博士先生を読めば分かるだろ？ 田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！ 別のことなんだ！ それが何か分かるか？ 君に・・・
めんどくさいから、おれの理解を書くと、田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない、進化なんだ！
374:１３２人目の素数さん
15/11/07 10:41:22.76 lBRTnVcw.net
何だかんだ言って結局証明できなかったんでしょ？
証明できるの？
↓
おっちゃんに頼め
↓
おっちゃんが証明
↓
何故かスレ主がドヤ顔で連投（っぷｗ）
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:14:07.82 ZDIzWQj1.net
>>343 つづき
おれの理解を書くと
進化！＝“連続”という数学概念の進化！
つまり、田丸 博士先生がここで言いたかったこと
最初の段階では、関数f : R → R の連続性所謂「δ－ε 論法」で定義された
↓
次の段階：距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
↓
現代位相空間（学部レベル）：「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった
という進化！。田丸 博士先生は、これを言いたかったんだろうと>>342
これ、証明って話じゃないんだよね！
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:18:59.40 ZDIzWQj1.net
>>345 つづき
何が進化なのか？
最初の段階：ユークリッド距離（いわゆるアルキメデス）を使っている
↓
次の段階：ユークリッド距離を離れた距離空間の一般化（いわゆる非アルキメデス 例：p進数の距離）
↓
現代位相空間（学部レベル）：距離の入らない位相空間への一般化
と思うんだ
証明じゃないんだ！と
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:36:16.06 ZDIzWQj1.net
>>346 つづき
田丸 博士先生は、現代位相空間（学部レベル）で寸止めしているが、まだ先がある（下記）
繰り返すが、証明じゃない、（定義の）進化だ！ （学部レベルの先は、正直ついていけない
378:けどね（＾＾； ） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96 位相空間論 歴史 一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは ・実数直線の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」(topology of point sets) と呼ばれていたもの、 ・多様体概念の導入、 ・距離空間論、特にノルム線型空間の研究（後の函数解析学） などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば連続性に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。 ・数列の収斂、有向点族（ネット）とフィルター、 ・種々の分離公理、 点集合位相幾何学の重要な変形版が非点集合的位相幾何学 (pointless topology, point-free topology) で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、束や特に枠と場所の圏論的研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29 フィルター (数学) 順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。 歴史 1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」 [1]の草稿に関して議論がなされた。 その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが （下の#位相幾何学におけるフィルターも参照）、 この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである [2]。 フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、 ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文 [3] [4]である。
379:１３２人目の素数さん
15/11/07 11:38:10.92 f1VAy803.net
>>337
岩波数学事典第四版にはCD-ROMが付属していてPDFで全内容が入ってて簡単に全文検索ができるよ！。
それどころか第三版の内容のPDFまで入っているし。まぁこっちはベタ画像なので全文検索は不可だが。
380:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:40:34.66 ZDIzWQj1.net
>>344
微笑ましいね
ID:ih8jWl9Mくんか？
「おっちゃんが証明」って、納得してんのか？（＾＾；
ほんと君は、良いタイミングで、外れた発言してくれるね～
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:48:49.69 ZDIzWQj1.net
>>348
どうも。スレ主です。
>岩波数学事典第四版にはCD-ROMが付属していてPDFで全内容が入ってて簡単に全文検索ができるよ！。
>それどころか第三版の内容のPDFまで入っているし。
細かいけど、正式には「辞典」だったね
で、確かに、岩波数学辞典には、独特の楽しさがある
紙面が限られているから、記載がコンパクトで簡素だとか、後ろに公式集があってね
ぱらぱら見ると楽しいよ
が、紙面の制約から、記述が限定されるのと、アップデートでオンラインとハンディがあるし、URLリンクもないし。まあ、併用するのが良いだろうと・・。特に学生さんには・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波書店の委託により、日本数学会が辞典の編集に着手し、1954年第1版が発行された。その後、1960年増訂版発行。1968年第2版発行。1985年第3版発行。2007年第4版発行。序文の署名者は、第1版、第1版増訂版、第2版は彌永昌吉、第
382:3版は伊藤清、第4版は服部晶夫である。 また、海外にも翻訳され、"Encyclopedic Dictionary of Mathematics" (Editor : The Mathematical Society of Japan) としてen:MIT Pressから発行された。これの第1版は日本語版の第2版からの翻訳で、1980年発行。第2版は日本語版第3版からの翻訳で、1993年発行。
383:１３２人目の素数さん
15/11/07 12:22:12.28 lBRTnVcw.net
>>331
＞このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
Bp(δ)⊂X である保証は？
その保証が無ければ f(Bp(δ)) なるものは何の意味も持たないんだが
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 12:47:39.49 ZDIzWQj1.net
>>349 つづき
>「おっちゃんが証明」って、納得してんのか？（＾＾；
>ほんと君は、良いタイミングで、外れた発言してくれるね～
まあ、君レベルでは、下記に答えられないだろう・・
「一つこちらからの質問だ、おっちゃんの証明と私スレ主の>>329-331には決定的な違いがある、それが何か分かるかね？ それが分かったら書け！」>>341
についてだ！
面倒だから、私の理解を以下に書いておく
１．私が書いた>>329-331は、距離空間という文脈の上で、実数の連続関数のδ－ε論法、一般の距離空間のε-近傍による定義がベース
それらを使って、一般の距離空間で
「定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」を証明したのだ
だから、キーワードは距離空間で、距離空間に限定されている
２．一方、おっちゃんの証明>>323は、距離空間ではなく、一般の位相空間で、閉集合で連続を定義し、
「この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。」なのだ
３．まあ、私見では、>>345-347の意味から、上記の１はおっちゃんの２とは違う観点での証明で、異なった意義があるんだと。１が、田丸 博士先生の>>311に沿うだろう
４．そして、距離空間を離れてしまったら、田丸 博士先生のいう「連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること」>>311は、
定義であって、証明の対象とはなり得ない！ むしろ、問題は開集合という位相の取り方に移るのだ！
それが、私スレ主の理解だ！（＾＾；
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 13:00:42.96 ZDIzWQj1.net
>>351
どうも。スレ主です。
ID:lBRTnVcw さん、レスありがとう（＾＾
君は鋭いね～
本当は、レベル高かったんだ！
この読みにくい証明を、そこまで読み込むかね～。さすがだ！
えーと、ちょっと待ってね
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 13:26:22.17 ZDIzWQj1.net
>>351
>>>331
>＞このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
>Bp(δ)⊂X である保証は？
>その保証が無ければ f(Bp(δ)) なるものは何の意味も持たないんだが
するどいね～！
この証明は、前にも書いたが種本があってね、>>331は>>330の続きだよ
だから、>>330にε-近傍の定義 Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X があって、ここから来ているんだ
Bp(δ)⊂X を定義に従って書き直せば、Bp(δ) := {q ∈ X | d(p, q) < δ} ⊂ X ってことで、定義そのものだよ
文字化けもあるし、２ちゃんねるにコピペして見にくくなった証明を苦労して読んでもらうのは心苦しい。なので、種本をばらしておくよ
>>271で既出の
www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/lecture.pdf
集合と位相 第一（2011年度）山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 東京工業大学理学部2年次対象
>>331は、P32 定理10.17.
>>330は、P28 9.2 ε-近傍 定義9.5と定義9.6
>>299は、P28 9.1 関数の極限と連続関数(復習)、定義9.1
からだ
>>299-301の証明は、一応納得しているし、理解しているつもりだ
あなたのレベルなら読めば分かると思うが、分からないことがあったら質問してね。考えるから（＾＾；
387:１３２人目の素数さん
15/11/07 14:03:05.34 lBRTnVcw.net
>>354
Bp(δ)⊂X であることは了解。ではスレ主にとっての開集合の定義とは？
＞Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
だと何故 f^-1(U) が開集合と言えるのか？
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:39:30.37 ZDIzWQj1.net
>>347 補足
蛇足だが、証明証明というけれど、現代数学において、well-difinedということばがある
以前、このスレで話題になり、教えて貰った
URLﾘﾝｸ(iky.no-ip.org)
「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。
（引用おわり）
ノルムだ、開集合だ、フィルターだと。well-difinedなこれらの数学的道具たち
証明と一体なんだよね、特に位相では。位相をどう定義するのか？ それによって証明できることが異なることになる
概念の定義があって、それを使って証明がある
が、数学的思考としては、well-difinedと証明は表裏一体かも。特に現代数学では
昔、連続はδ－εを使って証明すべきものだった
いま、連続は、扱う対象に応じて、開集合を適当に決めて、定義するべきもの。”適当に”が、広い意味でのwell-difinedに繋がっていると言えなくもない。そういう視点で位相を学んだ方が、高い視点に立てる気がする。「証明命」よりも
389:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:43:19.99 ZDIzWQj1.net
>>355
どうも。スレ主です。
君は、なかなかレベル高いね～（＾＾；
そこらは、>>354の山田光太郎先生の開集合の章があるだろ？
そこに何か書いてないかな？
ちょっと待ってね
考えるから
390:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:53:14.66 ZDIzWQj1.net
これだな
山田光太郎先生の開集合の章 P31
定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
君は、なかなか鋭いね～
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:56:12.79 ZDIzWQj1.net
P33の
「p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．」
も合わせて読んでね
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 15:01:55.32 ZDIzWQj1.net
>>358 補足
”山田光太郎先生の開集合の章 P31
定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．”
という規定ぶりは、おそらくε-近傍から、開集合の概念を思いっきり広げていると思うんだ。だから、分かったような分からないような書き方をしている
それは、あとの展開（距離という概念から離れて開集合をもっと一般的に定義すること）を考えてのことだろう
393:１３２人目の素数さん
15/11/07 15:48:43.01 lBRTnVcw.net
>>358
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
これらの定義によれば、[0,1]=U=X⊂R（Rは実数体）のとき、U=[0,1] は開集合であることになると思うが、異論は無いか？
394:１３２人目の素数さん
15/11/07 15:51:48.99 e1DD8W7u.net
であることにならないと思うよ
395:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 18:49:36.06 ZDIzWQj1.net
>>361-362
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
>これらの定義によれば、[0,1]=U=X⊂R（Rは実数体）のとき、U=[0,1] は開集合であることになると思うが、異論は無いか？
>であることにならないと思うよ
どうも。スレ主です。「であることにならないと思う」に一票！
この話は、”山田光太郎先生の開集合の章 P31
例10.3. ユークリッド空間Rn の1 点からなる集合{p} は開集合でない．
これを示すには，任意の正の数εに対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．
実際，p = (p1, . . . , pn) とするとき，与えられた正の数ε に対してq = (p1 + ε/2 , p2, . . . , pn) とするとd(p, q) = ε/2 なのでq ∈ Bp(ε) であるが，
p ≠ q なのでq ? {p}．”
が、参考になるだろう。
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:03:51.47 ZDIzWQj1.net
>>363 つづき
訂正 p ≠ q なのでq ? {p}→p ≠ q なのでq not ∈ {p}
not ∈の記号が文字化けか、不便なものだ
で、
[0,1]＝{0} +(0,1) +{1} と分解できる
1 点からなる集合{0} {1} は開集合でない。実は、閉集合であることは、>>271の命題10.10.にあるとおり
(0,1) は、開区間で開集合
つまり、[0,1]は、二つの境界の閉集合とその間の開区間（開集合）から成る
開集合にならないことは、>>363の例10.3.の証明にならえば、できるだろうよ
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:12:27.28 ZDIzWQj1.net
>>345 補足
「δ－ε 論法」について、補足しておく
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イプシロン-デルタ論法
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式 lim_{x → a}f(x) = b を ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∋ R, 0 < |x-a| < δ → |f(x)-b| < ε となる。
s.t. は such that の略で ∃ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。すなわち
任意の正の数 ε に対し、あ�
398:體K当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。 この式が成り立っているとすると0< |x ? a| < δ の範囲で実数 x を動かしているうちは、どのように動かしても f(x) と b との差は高々 ε 程度でしかない。 x を a に近付けるという極限操作を行っている最中でもそうである。 ε は任意に選べるので好きなだけ小さくとっておき、それに応じて δ をちゃんと選べば x が0< |x ? a| < δ を満たす限り、 f(x) は b からせいぜい ε しか離れてない範囲に留まり続けなければならないのである。 （つづく）
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:13:08.83 ZDIzWQj1.net
>>365 つづき
ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。
世界中の人が選んだ ε の中で最も小さい数を ε1 としたとき、ε1 に対応する δ1 を選べば 0 < |x ? a| < δ1 ⇒ |f(x) ? b| < ε1 を成り立たせることができるが、
ε1 よりもさらに小さい ε2 = ε1/10 という数を考えても同様に対応する δ2 が存在し 0 < |x ? a| < δ2 ⇒ |f(x) ? b| < ε2 を成り立たせるようにできるということである。
ここで何故、小さい数ばかり考えているのかと言えば、今のように ε2 < ε1 という大小関係を満たす 2 つの 正の数があったときに、 ε2 に対して δ2 を選んでおけば
0 < |x-a| < δ _2 → |f(x)-b| < ε _2 < ε _1
より、δ2 は ε1 に対する δ としても使えるからである。
小さい ε で δ を与えられるなら、それより大きい ε に対しても δ を与えられる。
逆に 小さい ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。
関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim_{x → a}f(x) = f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。
これを ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
となる。
（おわり）
400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:17:30.20 ZDIzWQj1.net
>>366 補足の補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イプシロン-デルタ論法
歴史的背景
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
脚注
1^ εは"error"、δは"distance"の頭文字であると理解するのが妥当である。実際、コーシーは彼の著作の中でεを"error"の省略として用いている。
401:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:26:58.58 ZDIzWQj1.net
>>364 補足
この話、命題10.10.の証明が参考になるかな？
命題10.10.の証明でやっていることは、距離空間(X; d) の1 点p ∈ X から、1 点pを除いた集合が、開集合ということを証明しているんだ
同じように、Rから[0,1]を除いた集合が、開集合ということは、同じ筋で簡単に証明できるだろう
どう？
402:１３２人目の素数さん
15/11/07 19:58:14.59 lBRTnVcw.net
>>363 >>364 >>368
講釈は結構。
距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:22:59.33 ZDIzWQj1.net
>>369
どうも。スレ主です。
>距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
>任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
>これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
依存ありだよ
山田光太郎先生の開集合の章 P31
命題10.5 (開集合の性質). 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は開集合である．
閉集合の章 P32
命題10.12. 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は閉集合である．
だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
つまり、全体集合Xと空集合?は、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
404:１３２人目の素数さん
15/11/07 20:34:29.14 JqFAljx8.net
検索して
引用して
きょうも一日がおわる
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:44:46.51 ZDIzWQj1.net
>>370 訂正
(1) ?, X は開集合である．
↓
(1) φ, X は開集合である．
空集合の記号がばける。
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:50:34.40 ZDIzWQj1.net
>>371
ほほえましいね（＾＾；
学会か？ ここ？（＾＾
引用だぁ？ 新しい数学を書けとでも？（＾＾；
まあ、新作気取りは書いたけど。>>312-313だ
が、そうそう、新作問題は書けないぜ
おっと、>>312の問題をどれか解いてみないか？ 学会きどりくん
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:14:36.48 ZDIzWQj1.net
>>366 補足
関数の連続性
ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
ここを少し具体例を考えてみた
１）f:x→y y=x(x<1のとき)、y=x+0.5(1=<xのとき)とする。 (つまり、1まではy=xで、x=1に不連続があって、1から大でy=x+0.5)
２）x=1で、0.5のギャップ（不連続）がある関数を考えるんだ
３）x=1で、δ近傍を考えると、|f(1-δ)-f(1)| < 0.5 とはできない。|f(1+δ)-f(1)| < ε なら可能なんだが。
４）だから、ε-δ 論法で、この関数fは、x=1で、不連続
５）これを、直観的に解説すると、写像されるyの方から見ていると考えることができる。yの方から見ると、0.5のギャップが見える。（x側からは見にくい）
６）それを、”∀ ε > 0 →|f(x)-f(a)| < ε”という物差しで、ギャップを調べる。ギャップをdとしてd=0.5だが、dはもっと小さく取れる。が、εをそれ(d)よりもっと小さく取れる。
これが、実数の１変数関数のε-δ 論法の分かり易い直観的な解説かな。おそらく、どこかに同じようなことがあって、読んだかも知れないが・・
408:１３２人目の素数さん
15/11/07 21:16:51.46 lBRTnVcw.net
>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:17:37.58 ZDIzWQj1.net
>>370 訂正
依存ありだよ
↓
異存ありだよ
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:28:24.31 ZDIzWQj1.net
>>375
>>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
>スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
おいおい、正気か？
山田光太郎先生のPDFに、何も足さない、何も引かない・・・わけでもないが、PDFからのコピペで崩れるところだけ、最小限手を加えた。ロジックは変えていない
”どこが誤りかを指摘してあげるつもり”？ 誤りがあったら、山田光太郎先生に言ってあげてね、学生さんなら喜ばれるよ、よく勉強しているとね！（＾＾；
が、私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）
411:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 22:39:11.09 ZDIzWQj1.net
突然ですが、下記のf(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続である関数が面白いね
ε-δの練習問題として秀逸だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続 (数学)
不連続関数
・関数 f を、x が無理数の場合は f(x) = 0 と定義し、有理数の場合は x=p/q（p は整数、qは正の整数でこれらは互いに素）と表し、このqを使って f(x) = 1/q と定義すると、f は無理数では連続、有理数では不連続となる。
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
kessyoutouさん 2009/6/22 関数の連続性
f(x)=0 (xが無理数αの時)
f(x)=1/q （xがp/qつまり有理数の時）
とした時、f(x)が無理数の時は連続で、有理数の時は不連続であることを証明せよ。ただし、稠密性(?)は用いてよいこととする。つまり、Rの中にはある有理数について十分に近い無理数が存在しているということである。
ベストアンサーに選ばれた回答 hsmtmk_tさん 2009/6/24
（抜粋）
ε-δの練習問題ですが、この問題は大学一年生が解くには割と難しい部類に入ると思います。
さて、それでは証明です。
連続であることの定義ですが、任意のε>0に対し、あるδ>0が存在して ｜x-a｜<δ ならば｜f(x)-f(a)｜<εが成り立つ時、fはaにおいて連続であるといいます。
（略）
さて、|x-α|＜δ となるようなxについて考えます。
x=p/q（有理数）だとすると、δの作り方より、この範囲に入っている有理数はすべて分母がq_εより大きいはずなので（そうでないとδの最小性に矛盾します）
f(x) ＝ 1/q < 1/q_ε ＜ ε
が成り立ちます。
また、xが無理数ならば、もちろんf(x) ＝ ０です。
よって、以上を合わせると、xが有理数であろうと無理数であろうと、|x-α|＜δならば、|f(x)-f(α)| = |f(x)| < 1/q_ε < εとなります。
ε>0は任意で良かったので、これはfがαにおいて連続であることを示しています。
以上で証明終わりです。
412:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:06:20.62 tRoEVVUJ.net
>>377 補足
>勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
>が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）
今回の連続の発端になった>>311で
「数学通論 II 位相空間 2007年度後期 田丸 博士 広島大
プリントは, 数学通論 I で配布したプリントの続きです. プリントの前半部分（距離空間を扱っています）が欲しい方は, 数学通論 I のページ から入手して下さい.」
で、URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp) 数学通論 I 田丸博士 広島大2007
これは、おそらく大学１年か２年前期だろうが、実数から丁寧に位相としての近傍や開集合を説いている。
分かり易いよ。これを参照すれば、良いだろう。開集合は、P3で、命題1.10.辺りからじっくり読んでいけば理解できるだろうよ
413:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:27:21.87 tRoEVVUJ.net
>>370 補足
>だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
>命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
>つまり、全体集合Xと空集合φは、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
今見ると、山田光太郎先生のP33で、問題としているね。問題10-4だ
これを、おれが解いたら学生さんの勉強にならんだろう（＾＾
まあ、ヒントを出すと、全体集合X=[0,1]としたんだろ？
で、山田光太郎先生のP31
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
だ。ここで、X=[0,1]をもう一度思い出してみな。蛇足だが、X=[0,1]が全体集合なんだから、x<0と1<xの範囲は、この証明からは除外される
そこを混同して、X=Rのイメージを引きずると、わけわからんぜ（＾＾；
414:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:35:31.74 tRoEVVUJ.net
>>377
>私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
位相は、枯れた技術なんだよね。私の理解は・・
URLﾘﾝｸ(www.keyman.or.jp)
枯れたとは IT単語帳 【キーマンズネット】
コンピュータの世界では「枯れたシステム」「枯れた機能」「枯れたソフトウェア」などの表現を使う。
これは言い換えると「安定稼働しているシステム」「使い込まれてトラブルも少ない機能」「ほとんどバグ出しが終わっているソフトウェア」という意味になる。
つまり、必ずしも最新ではないが、今まで時間をかけて改善されてきたので、信頼性が高く、品質も安定している状態を指す。
415:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 07:49:41.02 tRoEVVUJ.net
>>381 つづき
山田光太郎先生だって、あのPDFテキストを１から作ったはずもなく、どこか種本があるはず
というか、少なくとも自分が学生時代に勉強したテキストとか
あるいは、海外も含めて名著と言われるものを参考にしているだろうさ
そして、位相（トポロジー）がどれだけの歳月をかけて練り上げられてきたか、詳しくはないが
まあ、遡るとおそらく、ブルバキのテキスト辺りまで行くんだろうよ
そして、位相（トポロジー）の現代数学での広がり（ここも詳しくないけど）を垣間見ると、「枯れた技術」と思って良いだろう
で、>>354で種本が山田光太郎からだと明かしたんだから、その時点で悟れよ、ここは枯れた話だと
自分で検証して、「スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだった」>>375？？ 種本が山田光太郎からだと明かしたのにか？・・、その発想が理解できん（＾＾；
（まあ、本当に位相（トポロジー）に無知だったんだねとしか、理解のしようがないね・・・・）
416:１３２人目の素数さん
15/11/08 10:36:49.75 avzOXqjC.net
スレ主さんなら次の問題を解けるよね
命題 距離空間(X, dX)の部分集合 A⊂X から(Y, dY ) への写像f : A → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．
に対する証明または反例を書け
417:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/08 20:54:35.57 tRoEVVUJ.net
>>168
>URLﾘﾝｸ(choreographlife.jp)
>森田真生公式ウェブサイト - Choreograph Life
>『数学する身体』ついに発売です。
>多くの人にとって、数学と新たに出会うきっかけになればと願っています。ぜひよろしくお願いします。
今朝の読売書評に、『数学する身体』が出ていた
下記アマゾンの5件のカスタマーレビューも好意的だね
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
数学する身体 単行本 ? 2015/10/19 森田 真生 (著)
418:１３２人目の素数さん
15/11/08 20:57:48.92 M6qlJxyz.net
つまんねー問題ばかり出すな
419:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 20:31:43.77 ODyDobQE.net
>>383>>385
どうも。スレ主です。
>スレ主さんなら次の問題を解けるよね
問題は解けた
>つまんねー問題ばかり出すな
つまんねー問題と言えなくもないが、
結構考えさせられたよ。「つまんねー問題」というためには、いろいろ考える必要があった
そういう意味では面白かった
なので、すぐには答えを書かないことにするよ
皆様、特に位相学習の初期段階の人には、「考えることに意義がある」と言えるだろうね（＾＾
420:１３２人目の素数さん
15/11/13 21:20:28.81 NZQzH36s.net
>>386
＞すぐには答えを書かないことにするよ
いつ書くの？
421:１３２人目の素数さん
15/11/13 21:21:59.30 Wiz3AI8s.net
そんなことより雪江代数２の輪読やってくれませんか？
422:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:32:25.91 ODyDobQE.net
>>325
おっちゃん、どうも。スレ主です。
例の新作問題のなかで
>>312「実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？」
だけは、証明頼む
零集合を言い出したのはおっちゃんだし（＾＾；
423:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:33:40.02 ODyDobQE.net
>>387
他の人が書いてからさ（＾＾；
424:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:35:11.26 ODyDobQE.net
>>388
雪江代数２が、読めないとか難しいとか言っていた人？
そういう、自分のレベルに合わない本にはこだわらない方が良いよ（＾＾
もう少し易しい本を探しなさい！
425:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/13 21:35:44.31 ODyDobQE.net
今週は土日は始まらないよ
では
426:１３２人目の素数さん
15/11/13 21:39:30.38 Wiz3AI8s.net
じゃあ雪江代数２よりやさしいガロア理論の本おしえてくださいよ
427:１３２人目の素数さん
15/11/13 22:12:14.74 NZQzH36s.net
>>393
URLﾘﾝｸ(www.hyuki.com)
428:１３２人目の素数さん
15/11/13 22:37:39.6
429:8 ID:i4rL+bTL.net
430:１３２人目の素数さん
15/11/13 22:56:56.16 Kjphug6D.net
嘘つきは土日の始まり
431:１３２人目の素数さん
15/11/14 08:58:25.99 VGfgFTqg.net
>>390
わからないならそう言えばいいのに
432:１３２人目の素数さん
15/11/14 10:40:18.26 zLqA8LhM.net
>>387
スレ主に代わりお答えします。
「距離空間(X, dX)の部分集合A⊂X」は「距離空間(X, dX)の「或る」部分集合A⊂X」と解釈します。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
[第１段](与えられた命題の一般化)：この定義の下で、空間Xの或る部分空間Aが存在して、
f：A→Yが連続なるための必要十分は、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。
(必要性)：(A,O_A)を位相空間(X,O_X)の部分位相空間とする。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、
Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_A は
Xの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、
f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。
Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、
fによる逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。
433:１３２人目の素数さん
15/11/14 10:42:58.36 zLqA8LhM.net
>>387
(>>398の続き)
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、
仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。
つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Y
に対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、
連続である。空間XはX自身の部分空間だから、空間Xの或る部分空間Aを A＝X とおけば、
f:A→Yは連続となる。即ち、空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続である。
[第２段]：距離空間(X,dX)、(Y,dY)は両方共に位相空間だから、(X,dX)の或る部分集合A⊂Xから
(Y,dY)への写像f:A→Yが連続であるための必要十分条件は、任意のYの開集合Uに対してf^{-1}(U)が
Xの開集合となることである。
434:１３２人目の素数さん
15/11/14 11:01:47.99 zLqA8LhM.net
>>389
やあ、おっちゃんです。超越基底Sが零集合かどうか？
実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sが零集合だったとする。S⊂Rの濃度はcard(S)＝c。また、
card(R)＝c。従って、Sは非可算な零集合である。実数直線Rは零集合ではないような非可算集合である。
[第１段](Sから構成される非可算集合からRへの全単射の存在性)：選択公理により、超越基底Sの元全体を
直線R上に通常の順序関係を保ちつつ、実数の順序に関して上下両方共に非有界なるように埋め込む。
このような埋め込みの操作によって、各超越数x∈Sが埋め込みの操作後に取る実数値としての直線R上
の点の全体からなる集合をR'とする。すると、Sは非可算集合だったから、R'⊂R は直線R上の非可算集合であり、
card(R')＝card(R)＝c。従って、R'からRへの全単射が存在する。R'、Rは両方共に実数の大小の順序関係に
関して全順序集合だから、或るR'からRへの全単射なる一価の関数fが存在する。
[第２段](R'が非可算な零集合なること)：直線Rの上下に両方共に有界な右半開区間の有限個の和集合として
表すことが出来るRの部分集合の全体をR_(R)で表わす。点x∈R'を任意に取る。すると、R'⊂R であり、
集合{x}はR上の1点xからなる集合だから、任意に ε＞0 を取ると {x}⊂[x-ε,x+ε) と被覆出来る。
ここで、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。また、外測度の定義から、集合{x}の外測度m({x})は
m({x})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R
435:_(R)、かつ {x}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)} と表わせて、0≦m({x})≦+∞ を満たす。R'と零集合なる超越基底 S⊂R の各濃度について、 card(R')＝card(S)＝c だから、R'とSの間には全単射が存在する。従って、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、 m({x})＝0 を得る。R'の点xは任意だから、xをR'上で走らせると、R'は非可算な零集合である。
436:１３２人目の素数さん
15/11/14 11:04:29.39 zLqA8LhM.net
>>389
(>>400の続き)
[第３段](Sが零集合になると矛盾が生じる)：fは、定義域を Dom(f)＝R'とし、値域を Im(f)＝R とする、
全単射なる一価の関数である。従って、fのグラフGは G＝{(x,f(x))∈R^2|x∈R'} と表わせる。点y∈Rを任意に取る。
すると、yに対して或る点x∈R'が一意に存在して、y＝f(x) となり、(x,f(x))∈G。また、一価の関数f：R'→Rは全単射だから、
card(R')＝card(S)＝c から、card(R)＝card(S)＝c であり、RとSの間には全単射が存在する。集合{y}はR上の1点yからなる
集合だから、任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。外測度の定義
から、集合{y}つまり{f(x)}の外測度m({f(x)})は
m({f(x)})＝inf{Σ_{i=1,…,∞}(m(E_i))|各i=1,2,…に対して E_i∈R_(R)、かつ {f(x)}⊂∪_{i=1,…,∞}(E_i)}
と表わせて、0≦m({f(x)})≦+∞ を満たす。fの定義域R'は非可算な零集合だから、(+∞)・0＝0 なることに着目すると、
m({f(x)})＝0 を得る。従って、y＝f(x) から m({y})＝0。Rの点yは任意だから、yをR上で走らせると、Rは非可算な
零集合である。しかし、これは直線Rが、完備であって、零集合ではないことに反し、矛盾する。
437:１３２人目の素数さん
15/11/14 11:13:24.65 zLqA8LhM.net
>>389
>>400の第２段の
>ここで、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。
は不要だから省略。あと、>>401の上から5行目の
>任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来て、ε→+0 とすれば、{y}＝[y,y) となる。
の部分は
>任意にε＞0を取ると {y}⊂[y-ε,y+ε) と被覆出来る。
に訂正。
438:１３２人目の素数さん
15/11/14 12:57:17.47 VGfgFTqg.net
>>390
他の人は書いたよ
439:１３２人目の素数さん
15/11/14 15:57:00.61 n42/B/E0.net
反例）
X, Yを実数全体とする。
Xの部分集合Aを-1以上1以下の閉区間、f:A→Yをf(x)=xで定義する。
fは明らかに連続。ここでYの開集合Bとしてf(A)を真に含むYの開区間、
たとえばB={b|-2<b<2}をとればBの逆像はAとなり、Xの開集合ではない。
440:１３２人目の素数さん
15/11/14 16:21:48.23 n42/B/E0.net
>>398
> 空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は
> Xの部分位相空間A⊂Xの開集合である。
"Yの開集合の逆像がAの開集合"を長々と示しているが、
そんなのは連続の定義そのものだろうが。
示すべきは"Xの開集合"となることなんだよ。
そしてそれは必要条件ではない、というのが上の反例だ。
これが必要条件ではないことくらい直感で分かるだろふつう。
だからつまんねー問題だと言ってるんだよ。
441:１３２人目の素数さん
15/11/14 16:45:05.47 VGfgFTqg.net
>>383 はスレ主さんの理解度を見るための問題だったんだが、
スレ主さんが逃げてる間に正解が出ちゃったよ。(>>404)
これでは不本意だろうから挽回のチャンスを上げよう。
問題
>>383の命題を修正して真の命題を作り証明せよ。
但し
・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
442:１３２人目の素数さん
15/11/15 07:10:18.34 bkoysFnn.net
>>405
>示すべきは"Xの開集合"となることなんだよ。
あ～、そうだったな。>>398で
>空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yが連続なるための必要十分は、
>空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なること
と書いてたな。勢いで書いて間違えたなw
まあ、下らない問題というなら、誤答が相応しいんじゃないですか。
>>407
勢いで解答を書いて間違え申し訳ありませんね。
不甲斐ないので、私に名誉挽回の回答をさせて下さい。
443:１３２人目の素数さん
15/11/15 07:34:20.03 bkoysFnn.net
>>406
>>407の後半は、「>>407」ではなく「>>406」宛てです。
例えば、以下の命題なんかはどうです？
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
[命題]：(X,O_X)、(Y,O_Y)を両方共に位相空間とする。(A,O_A)を空間Xの任意の部分位相空間とする。
fを、A⊂X からYへの一価の写像とする。任意のYの閉集合Uに対してf^-1(U)がXの閉集合となるとする。
このとき、2つの空間 (X,O_X) と (A,O_A) は等しくなる。
[証明]：空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合である。従って、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：A→Y による逆像 f^{-1}(Y－B)∈O_A はAの開集合である。仮定から、fはAからYへの一価の写像で
定義域が Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。
従って、A－f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの閉集合である。
Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに
対してf^{-1}(B)∈O_A は空間Xの部分位相空間Aの閉集合である。従って、A⊂X からYへの
一価の写像fは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。ここで、f：A→Y の定義域は、
Dom(f)＝A。また、仮定から、任意のYの閉集合Uに対してf^-1(U)がXの閉集合だから、
連続性の定義から、f：X→Y は連続であり、fは一価の写像である。従って、Dom(f)＝X＝A
であり、(X,O_X) と (A,O_A) は等しくなる。
444:405
15/11/15 10:09:37.20 KVrCJID+.net
>>406
今度はあんたの番だなｗ
408の命題の真偽を述べろ。真なら自作の証明を。偽なら反例を出せ。
445:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:02:28.99 mBRpszVo.net
X,Yは実数全体の集合、A=[0,1]、f(x)=0 が反例。
証明
Y の閉集合 U を任意に一つ取る。0∈U または 0∈/U のどちらか一方が成り立つ。
0∈U のとき、f^-1(U)=A は X の閉集合
0∈/U のとき、f^-1(U)={} は X の閉集合
ゆえに、任意の Y の閉集合 U に対して f^-1(U) は X の閉集合であるが、X≠A であるから、命題は偽。
446:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:33:41.83 bkoysFnn.net
>>410
申し訳ない。一価の写像fを f：A→Y と書くと、定義上は Dom(f)＝A になる。
同様に一価の写像 f：X→Y についても、Dom(f)＝X になる。
だから、論理的には一般に X＝A が導ける。恥ずかしくて聞くのもなんだけど、
>>408の証明のどこが間違いか分からないので、間違いの箇所を指摘して頂けます？
447:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:43:07.96 wrmMx9Jf.net
たとえば、実数体を R, 複素数体を C と書くとして、
「f:R → Y を一価の写像、
同様に f:C → Y を一価の写像」
と記述するだけで、論理的には R=C が導かれるとでもいうんですか？
448:１３２人目の素数さん
15/11/15 14:51:06.33 bkoysFnn.net
>>412
あ、具体例(ここでは距離空間)を無視し過ぎた結果、
生じた間違いだったんですね。どうも指摘ありがとうございます。
449:１３２人目の素数さん
15/11/16 00:12:35.66 h519nNxP.net
何言ってるんだこいつ。
具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
こんな間違いは出てこないだろ。
今まで一体なにを勉強してきたんだ？
やることなすこと全て間違い。名誉挽回どころか、恥の上塗りじゃねーか。
その間違え方にしても、「初学者が陥りがちな、よくある勘違い」ではなく、
極めて質の悪い間違え方で、まるで人工知能が意味を理解せずに
機械的に生成したかのような、ありえない間違え方のオンパレード。
なんで誤答おじさんはいつもこうなんだ？
450:１３２人目の素数さん
15/11/16 05:52:40.84 ndck2vlW.net
>>414
>具体例を一切考えずに抽象的にやったって、
>こんな間違いは出てこないだろ。
そういう意味で書いたのではない。>>408を書くにあたり、はじめは、位相空間の連続性の定義のあたりで
一般的で抽象的にいえる何か新しく面白いことを編み出そうと考えたのだが、それが出来ず失敗だったのだ。
>>406
では、取り敢えず、単純にこんなお品書きでどうです？
[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
但し、距離関数dはユークリッド距離とする。
証明]：ε＞0を任意に取る。A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおく。以下、A(ε)をAで略記する。すると、
Aは距離空間Rの部分空間である。xを区間A上の変数とする。A⊂Rから(R,d)への写像f_εを
(f_ε)(0)＝0、 (f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4) x∈A－{0} と定義する。
以下、f_εをfで略記する。すると、開区間(-ε/2,0)でfは単調増加な連続関数になる。
ここで、x→-ε/2 とすると、f(x)→-∞ であり、x→-0 とすると、f(x)→-0 である。従って、
f(0)＝0 から、左半開区間(-ε/2,0]でfは連続写像である。同様に、開区間(0,ε/2)で
fは単調増加な連続関数になる。ここで、x→ε/2 とすると、f(x)→+∞ であり、x→+0 とすると、
f(x)→+0 である。従って、f(0)＝0 から、右半開区間[0,ε/2)でfは連続写像である。
従って、
451:fは区間A上で連続写像である。つまり、f_ε：A(ε)→R は連続写像である。 ε＞0は任意だから、εを開区間(0,+∞)上で走らせると、任意の ε＞0 に対して、 A(ε)＝(-ε/2,ε/2) とおき、 (f_ε)(0)＝0, (f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4) x∈A(ε)－{0} と定義した写像 f_ε：A(ε)→R は連続である。相異なるε_1、ε_2＞0を任意に取り、各i＝1,2に対して、 A(ε_i)、f_{ε_i} を、それぞれ上と同様に定義すると、2つの連続写像 f_{ε_1}：A(ε_1)→R、f_{ε_2}：A(ε_2)→Rの各グラフは異なるから、f_{ε_1}≠f_{ε_2}。 従って、距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rは非可算個存在する。
452:１３２人目の素数さん
15/11/16 06:17:14.68 ndck2vlW.net
>>406
>>415の2つの
>(f_ε)(x)＝tan(1/x)・(πε)/4)
は「(f_ε)(x)＝tan((1/x)・(πε)/4)」です。「(」が1つ足りませんでした。あと、
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが非可算個存在する。
は
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが「、」非可算個存在する。
と句読点「、」を付けて区切ると意味が通じ易くなると思いますね。
命題の文のどこに「、」を付けて区切るかで意味が異なる書き方になったので。
453:１３２人目の素数さん
15/11/17 20:04:25.62 5y06QjV9.net
>>415
まずは自分の書いた命題を自分自身で理解しろ。
証明を書いたらまずはその結論を見直せ。
自分はこの証明でいったい何を示したのか。
454:１３２人目の素数さん
15/11/18 03:32:13.72 2R/754aF.net
>>417
415について訂正した後の>>416の2つの「(f_ε)(x)＝tan((1/x)・(πε)/4)」は間違っており、
本当は「(f_ε)(x)＝tan(x・(π/ε))」と訂正するのが正しい。そう訂正すれば、概ね415は通用する。
お互い様かも知れんが、もしこの訂正が出来なかったなら
>まずは自分の書いた命題を自分自身で理解しろ。
という読んで眠くなるようなツッコミはいらん。この場合の連続写像 f：A→R は関数にあたり、
415で証明したつもりの命題自体は明らかで非常に下らん。だが、何らかの条件を付け加えると、
面白い命題を証明出来る手法になる筈である。紙に書いておらず、そのあたりの真偽は正確にはまだ分からん。
直観的には「tan(x)」は、高校レベルの関数のグラフの傾きで、415で「tan(1/x)・(πε)/4) x∈A－{0}」と
定義した関数f(x)自体については、f(x)はx→+0のときf(x)→+0で、正負の符号を入れ替ても正しくなるだろうな。
正負の符号が入れ替わる点のx座標は x＝0 だしな。そのあたりについても、真偽判定がもし出来るなら、その判定は不要。
ちなみに、415の論法を使えば、区間[0,1)の濃度が連続体濃度cに等しくなることは示せるな。
455:１３２人目の素数さん
15/11/18 04:35:26.52 pd/NU2mx.net
>>404
逆像になるか？
456:１３２人目の素数さん
15/11/18 20:28:20.04 FVRAue9U.net
これは酷い
457:１３２人目の素数さん
15/11/18 20:49:25.35 CbyMgyfg.net
>>418
お前本当に反省しないな。
tanの中身がどうのこうの、そんな瑣末なことはどうでもいいんだよ。
458:１３２人目の素数さん
15/11/19 04:32:04.57 SBGHEmO+.net
>>421
結論の趣旨にあたる部分は
>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
お小言いわれる程意識していない訳ないだろ。連続関数は連続写像で、
(0,+∞)は非可算なんだから、これを示したことから直ちにといっていい位に例の
>[命題]：距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続写像f：A→Rが、非可算個存在する。
が従うじゃないか。これに何か文句あんのか。>>406には
>但し
>・X の部分集合 A についての命題であることは変えてはならない。
>・修正が小さいほど（出題者の主観で判断する）良い解答とする。
と書いてあるんだぞ。
459:１３２人目の素数さん
15/11/19 05:40:00.25 SBGHEmO+.net
>>421
>>422の
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなる空間と開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
については
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射であるような単調増加な
＞>連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
＞Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する ことだろ。
に訂正な。全単射にするにはそうすべきだ。どこに重点をおいて捉えるかは人により
異なるから、同じ文章でも、人により結論の捉え方も異なるとしかいいようがない。
国語のテストの答えは、必ずしも全員が全員同じ答えになって一致する訳ではないだろ。
460:１３２人目の素数さん
15/11/19 05:49:21.07 SBGHEmO+.net
>>421
>>422の
>全単射であるような単調増加な連続関数f：A→Rの全体からなるような或る空間Sが存在して、
の部分は
>全単射となる単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
か。これは国語として少しおかしかったな。
461:１３２人目の素数さん
15/11/19 06:06:29.44 SBGHEmO+.net
>>421
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への、全単射となる
＞>単調増加な連続関数f：A→Rを点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
はより一般化して単純に
＞結論の趣旨にあたる部分は
＞>距離空間(R,d)の部分空間A⊂Rから(R,d)への連続関数f：A→Rを
＞>点全体に持つような或る空間Sが存在して、
＞>Sと開区間(0,+∞)との間には全単射が存在する こと
とした方がいいか。こういうことも人により分野により、結論の与え方は
異なるとしかいいようがない。こんなことに正解なんてない。
正解があると思う方が大間違いだ。
462:１３２人目の素数さん
15/11/19 13:32:52.57 l13bSWxv.net
脳味噌腐ってるなぁ
463:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:11:53.69 SBGHEmO+.net
>>419が>>398-399を見直すきっかけになって気付いたわ。
空間X≠Φの位相をO_Xとする。空間XがXの或る部分空間Aに引き起こす位相をO_Aとする。
空間Y≠Φの位相をO_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_Xが
Xの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。
このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
[第１段](空間Xの或る部分空間Aが存在して、f：A→Yは連続なること)：空間Yの閉集合B∈O_Yを
任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X は
Xの開集合である。仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、
B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、BをO_Y上で閉集合なるように
走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
従って、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。空間XはX自身の部分空間だから、
A＝Xとおけば、A⊂Xであり、f:A→Yは連続となる。
464:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:13:05.68 SBGHEmO+.net
(>>427の続き)
[第２段](位相空間(X,O_X)の任意の部分位相空間(A,O_A)に対して、
f：A→Yが連続なるとき空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合なること)：
位相空間(X,O_X)の部分位相空間(A,O_A)を任意に取る。空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。
すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：A→Yは連続だから、連続性の定義から、
f^{-1}(Y－B)∈O_A はXの部分空間Aの閉集合である。fはAからYへの一価の写像で定義域が
Dom(f)＝A なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝A－f^{-1}(B)。よって、
A－f^{-1}(B)∈O_AはAの閉集合であり、f^{-1}(B)∈O_A はAの開集合である。Yの開集合Bは
任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、空間Yの任意の開集合Bの、fによる
逆像f^{-1}(B)はXの部分位相空間A⊂Xの開集合である。Xの部分位相空間Aは任意だから、
AをXの中で走らせればよい。
[第３段](空間Xの如何なる真部分空間Aに対しても、f：A→Yが連続なることはあり得ないこと)：
或るXの真部分集合Aが存在して、f：A→Yが連続なることがあったとする。すると、f：A→Yが
連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Aの開集合なること
である。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は空間Aの開集合である。同様に、
f：X→Yが連続なるための必要十分は空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの
開集合なることである。仮定から、f：X→Yは連続写像だから、確かに空間Yの任意の開集合Bの
逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合となる。従って、空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)は、
空間Xの開集合であって空間Aの開集合でもある。しかし、AはXの真部分集合だから、
これはあり得ず矛盾する。
465:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:16:48.90 SBGHEmO+.net
(>>428の続き)
[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：Xの如何なる真部分集合Aを
取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、連続写像f：X→Yが存在するとき、
fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) は
どちらも形を変えない。
466:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:24:32.50 A0y/VA5V.net
>>429
>>Xの如何なる真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから
これは正しく無い。
Aが空集合の場合を忘れている。
467:１３２人目の素数さん
15/11/19 15:54:13.52 SBGHEmO+.net
条件が必要か。fの定義域Xについて「X≠Φ」が必要か。では示すべき命題は
>この定義の下で、f：X→Yを連続写像とする。X≠Φとする。
>このとき、fの定義域Xとfの値域Im(f)はどちらも形を変えないことを示す。
では、>>429の第４段は
>[第４段](fの定義域とfの値域はどちらも形を変えないこと)：仮定からX≠Φであり、
>Xの如何なる空でない真部分集合Aを取ろうとも、f：A→Yが連続なることはないから、
>連続写像f：X→Yが存在するとき、fはf：X→Yであり、かつf：X→Yに限る。従って、
>f：X→Yについて、Dom(f)＝X、Im(f) はどちらも形を変えない。
に訂正。