15/11/01 16:08:51.53 9EkZMtUp.net
>>173
>>213は次のように訂正。間違いがあった。
[第４段]：包含関係に関するIの極大元XについてB(X)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xのベキ集合B(x)についてB(x)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xの全体をZとする。すると、Z≠Φ。
集合x∈Zを任意に取る。元xのベキ集合をB(x)とする。すると、card(B(x))≧2 から、card(x)≧1。また、
x∈Iから 2≦card(B(x))＜ℵ_0 だからcard(x)は有限な非負整数である。よって、r＝card(x) とおくと、0≦r＜ℵ_0となる。
(0)、r＝0のとき。このとき、card(x)＝0 から、x＝Φ。また、A⊂A。空集合Φの閉包はAに等しいから、
xの閉包はAに等しい。従って、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(1)、r＝1のとき。このとき、card(x)＝1 だから、集合xに対して或るただ1点y∈Rが存在して、x＝{y}となる。
従って、x⊂Rとなる。xは直線R上のただ1点yからなる集合だから、xの閉包はxに等しい。
xは直線Rの閉集合だから、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、xに対して何れも或る y_1,…,y_r∈R が
存在して、x＝{y_1,…,y_r} となる。従って、x＝∪_{i＝1,…,r}({y_i})。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、y_i∈Rから{y_i}⊂R。{y_i}は直線R上のただ1点y_iからなる集合だから、{y_i}の閉包は
{y_i}自身に等しい。{y_i}は直線Rの閉集合だから、Aの定義から、{y_i}∈A。1≦i≦rなる自然数iは
任意だから、自然数iを条件1≦i≦rの下で走らせると、直線R上の有限個の閉集合{y_1},…,{y_r}の
和集合xは直線Rの閉集合である。従って、x∈A。
(0)、(1)、(2)から、必ずx∈Aである。Zに属する集合xは任意だから、xをZにおいて走らせると、Z⊂Aを得る。
包含関係に関するIの極大元Xについて、任意のx∈Zに対して x⊂X から x∈B(X) だから Z⊂B(X)。
ここで、X⊂R。また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。