15/11/01 07:07:26.49 KxTJyOv3.net
出題者の564さんも、
１．>>202「>>201を背理法（>>173）によらず、証明することができるか？」
２．>>233「１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？」
の二つを考えてみてください
元の問題>>92は、おっちゃんのお楽しみにとっておいてください（＾＾；
262:１３２人目の素数さん
15/11/01 09:36:41.38 9EkZMtUp.net
>>230
>>219の
>でも、答えを知った
>そして、それは、知っている人には常識のことなんだよ
直観の根拠や拠り所にしているのって、まさか平面を被覆するヒルベルトの曲線か？
これは、しっかりと答えるように。直観の拠り所があるなら、是か非か位は答えられるだろう。
あと、もし超越基底Sが零集合だったら、当然Sには超越数が含まれている。
仮に>>201の３のようなことをしたとしよう。Sは上や下に有界か
どうかも分からんし、ジョルダン可測かどうかも分からんぞ。
仮にジョルダン可測ではなかったとする。そうしたら、直線Rは
非可算な可測集合で、Sは非可算な零集合だから、Sに属する
超越数を直線Rに並べてR上でのジョルダン測度を考えたとき、
結果が異なって来る。だから、３のような操作が見事に結果に影響するぞ。
263:１３２人目の素数さん
15/11/01 09:41:46.89 9EkZMtUp.net
>>209の下のCase1の直前の
>そして、ベキ集合B(R)の定義から、Y⊂X である。
の部分の「B(R)」は「B(X)」の間違い。
264:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 10:03:42.25 KxTJyOv3.net
>>238-239
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃん、博識やねー（＾＾
ヒルベルトの曲線は、ペアノ曲線かもしれないけど
おっちゃん、”半径εのε近傍Uε(s)”を見落としているよ。これは重要キーワードだ
あと、話が長くなるので、つっこんで書いておくよ
前にも書いたけど、>>92の後半の証明部分はミスリード。ここに入ると、訳分からなくなるよ
それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
そのときは気付かなかったが、知ったあとで読み直すとそういうこと（＾＾；
265:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 10:38:24.61 KxTJyOv3.net
ペアノ曲線（まあご存知と思うが）
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
フラクタル図形とフラクタル次元とは 静岡大学 理学部 数学科 奥村 善英
（静岡大学 2005夏季オープンキャンパス 数学科ツアー 配布資料）
注意
・無限の操作を行ってペアノ曲線を作った．
・ペアノ曲線を実際には見ることが出来ない． しかし，ペアノ曲線は存在するのである
静岡大学 2005夏季オープンキャンパス 数学科ツアー 配布資料
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.sci.shizuoka.ac.jp)
266:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 10:4
267:7:48.19 ID:KxTJyOv3.net
268:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 11:12:31.77 KxTJyOv3.net
>>242
ペアノ曲線とどう違う？
URLﾘﾝｸ(ci.nii.ac.jp)
空間充填曲線と画像圧縮応用
鎌田 清一郎 KAMATA Sei-ichiro 九州大学大学院 システム情報科学
情報処理学会研究報告オーディオビジュアル複合情報処理（AVM） 1999
G.ペアノは，1890年『平面領域内の全ての点を通過するような曲線』を発見し，その存在を明らかにした．
現在，単位線分を単位超立方体全体へ移すこのような連続曲線は，空間充填曲線，あるいはペアノ曲線と呼ばれている．
この曲線の応用研究は，画像処理，情報検索，計算機ホログラム，リモートセンシングなど様々な分野に及ぶ．
空間充填曲線の中で応用研究の最も多い曲線は，ヒルベルト曲線である．ヒルベルト曲線に沿った画像走査により画像の1次元データが得られるが，この周波数スペクトルを見ると，ラスタ走査より低域にエネルギーがより集中することが確認される．
この近傍保存性の良さから画像圧縮に利用した研究が数多くなされている．本論文では，まず空間充填曲線についての定義といくつかの例を紹介し，次にその画像圧縮の応用研究について幾つかを概観する．
(引用おわり)
そういえば、URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org) ”Applications and mapping algorithms”があるね
269:１３２人目の素数さん
15/11/01 11:20:21.22 9EkZMtUp.net
>>240
>>92の
>２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
>３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
についても>>238の後半と同様なことがいえる。ちなみに、
超限帰納法や選択公理等の集合論による解答は当然あっていい。
その解答の方が一般的な議論になる。
ヒルベルトの曲線は、両端を固定して構成していく、正方形内の図形だろう。
範囲が複素平面Cだと、両端を固定することが出来なくなるから、
C内ではヒルベルトの曲線のような図形があるという保証はない。
270:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 11:29:06.13 KxTJyOv3.net
>>243 つづき
>ヒルベルト曲線に沿った画像走査により画像の1次元データが得られるが，この周波数スペクトルを見ると，ラスタ走査より低域にエネルギーがより集中することが確認される．
>この近傍保存性の良さから画像圧縮に利用した研究が数多くなされている．
ラスタ走査は分かると思うので説明省略（分からん人はぐぐれ）
この話は、>>240に通じる
「近傍保存性の良さ」というのは理解出来ないのでスルーだが、「近傍」というキーワードが出てくるでしょ（＾＾；
要は、２次元画像を1次元データにしたい
そのアルゴリズムってことだろう
デジタル時代で、「近傍」というキーワードが理解しやすくなったかも（＾＾；
２次元に非加算（連続）無限の点がある
現実そのままじゃ、デジタル処理できない。だから、ある半径のε近傍Uε(s)で処理しているわけよ
で、εが小さい方が、画質は良いけど、メモリー食う
で、メモリーは有限なんだ。実生活ではね
で、数学としては、アナロジーとして、εが理想的に小さいとき（メモリー無限大）を考えるとする分かり易いだろうね・・・。どう？（＾＾；
（有限のままで終わったら、算数だから・・・）
271:１３２人目の素数さん
15/11/01 11:39:44.43 9EkZMtUp.net
>>240
まあ、位相の問題なのだから、超越基底とかより、集合論がずっと身近になるな。
集合論の手法の方が信憑性は高くなるだろう。通常の感覚ではそうなる。
272:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 11:52:50.17 KxTJyOv3.net
>>244
おっちゃん、どうも。スレ主です。
１．率直に言って、>>92の後半で書いた、超越基底Sにはこだわらない方が良いと思う（おそらく使えない）
２．超越基底Sというのは、考えるとわけわらん集合だったから
３．関連する>>202の問題や>>237の問題１で書いておくと
１）あるs∈Sがあったとして、sを開区間（0,1）に入れることができる。超越基底Sの他の要素を変えずに。∵sの整数部分を0にしても、基底として性質は不変で、符合は正に揃えられる
２）同じことを、全てのSの要素について行える。だから、超越基底Sの一つの組みとして、全て（0,1）の数の組みが取れる
３）次に、原点0の周りでε近傍Uε(0)を考える。ε=1/n ( n>１の整数)とする。超越基底Sの要素全てに、1/nを乗じても、超越基底であることは変わらない
４）だから、超越基底Sの一つの組みとして、原点0の周りでε近傍Uε(0)に全て入る組みが取れる
これで、私が感じている超越基底Sのわけのわからさの一端が感じて貰えたろうか（＾＾；
273:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 11:54:33.91 KxTJyOv3.net
>>247 つづき
それでもなお、>>202の問題は、なかなか面白いんだ（＾＾；
274:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 11:55:07.95 KxTJyOv3.net
>>246
おっちゃん、どうも。スレ主です。
そっちの方向で考えてみて
275:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 12:26:35.89 KxTJyOv3.net
>>247 つづき
一題できた！
実数の超越基底Sの一つの組みとして、原点0の周りでε近傍Uε(0)に全て入る組みが取れる→うまく平行移動させれば、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる
だから
問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在定理」と名付けます！ （複素数でも同じ。ｎ次元ユークリッド空間でも同じでしょう。証明書いてないが）
これ、新作だと思うんだ（＾＾；
もし、ここに書いてあるよという方がいれば、教えて下さいm（＿ ＿）m
276:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 12:30:24.27 KxTJyOv3.net
>>250 つづき
全て入る組みを取ることとできる
↓
全て入る組みを取ることができる
かな。日本語としては
ところで、>>202の問題は、この逆みたいなことを考えているんだ（＾＾；
面白いだろ？
277:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 12:37:40.23 KxTJyOv3.net
>>250 訂正
「超越基底Sの局在定理」
↓
「超越基底Sの局在可能定理」
とします。こっちの方が、名は体を表すに近いから
278:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:08:17.00 9EkZMtUp.net
>>249
その集合論で考えた文章が昨日の書き込みで、その結果が2^cになる。
スレ主が考えているイメージのこと(ε近傍を重ならないように配置云々)は、
私にとっても直観的には正しい。というか、直観的には明らかである。
しかし、スレ主は証明のどこにも平面C上の閉集合がただ1点からなる集合に限る
ことを書いていない。そのため、この結果は使えないということになる。
むしろスレ主が書くべきことは、平面C上の閉集合がただ1点からなる集合に限る
ことの方である。しかし、空集合Φも閉集合にあたるので、このことの証明は書けないだろう。
279:１３２人目の素数さん
15/11/01 13:24:02.23 9EkZMtUp.net
>>249
>>253の平面Cは、直線Rに置き換えて読んでもいい。何れにしろ、見る限りでは、
直線R上の閉集合がただ1点からなる集合に限ることの証明は書いていないな。
なので、根本的な部分の解決はしていないことになる。
280:１３２人目の素数さん
15/11/01 14:29:09.65 9EkZMtUp.net
>>214の
>任意のx∈Xに対して、x∈Eのとき (f_E)(x)＝1、x∈R＼Eのとき (f_E)(x)＝0。
の「R＼E」は「X＼E」に訂正。
281:１３２人目の素数さん
15/11/01 16:08:51.53 9EkZMtUp.net
>>173
>>213は次のように訂正。間違いがあった。
[第４段]：包含関係に関するIの極大元XについてB(X)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xのベキ集合B(x)についてB(x)⊂Aなることを示す。
Iに属する、包含関係に関する、任意の全順序部分集合の上界xの全体をZとする。すると、Z≠Φ。
集合x∈Zを任意に取る。元xのベキ集合をB(x)とする。すると、card(B(x))≧2 から、card(x)≧1。また、
x∈Iから 2≦card(B(x))＜ℵ_0 だからcard(x)は有限な非負整数である。よって、r＝card(x) とおくと、0≦r＜ℵ_0となる。
(0)、r＝0のとき。このとき、card(x)＝0 から、x＝Φ。また、A⊂A。空集合Φの閉包はAに等しいから、
xの閉包はAに等しい。従って、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(1)、r＝1のとき。このとき、card(x)＝1 だから、集合xに対して或るただ1点y∈Rが存在して、x＝{y}となる。
従って、x⊂Rとなる。xは直線R上のただ1点yからなる集合だから、xの閉包はxに等しい。
xは直線Rの閉集合だから、閉集合の集合Aの定義から、x∈A。
(2)、2≦r＜ℵ_0 のとき。このとき、rは2以上の自然数だから、xに対して何れも或る y_1,…,y_r∈R が
存在して、x＝{y_1,…,y_r} となる。従って、x＝∪_{i＝1,…,r}({y_i})。ここで、i＝1,…,rを任意に取る。
すると、y_i∈Rから{y_i}⊂R。{y_i}は直線R上のただ1点y_iからなる集合だから、{y_i}の閉包は
{y_i}自身に等しい。{y_i}は直線Rの閉集合だから、Aの定義から、{y_i}∈A。1≦i≦rなる自然数iは
任意だから、自然数iを条件1≦i≦rの下で走らせると、直線R上の有限個の閉集合{y_1},…,{y_r}の
和集合xは直線Rの閉集合である。従って、x∈A。
(0)、(1)、(2)から、必ずx∈Aである。Zに属する集合xは任意だから、xをZにおいて走らせると、Z⊂Aを得る。
包含関係に関するIの極大元Xについて、任意のx∈Zに対して x⊂X から x∈B(X) だから Z⊂B(X)。
ここで、X⊂R。また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。
282:１３２人目の素数さん
15/11/01 16:30:07.59 9EkZMtUp.net
>>173
>>256の1番下の
>従って、Zに属する、包含関係に関する、Iにおける、
>各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、B(X)⊂A を得る。
は、
>従って、X∈Aから B(X)⊂A である。そして、Zに属する、包含関係に関する、
>Iにおける、 各全順序部分集合の上界に対して選択公理を適用すると、
>B(X)⊂A を得る。
に訂正。というか、Iの定義とB(R)の定義を見ると>>256の[第４段]は
>Xは包含関係に関するIの極大元だから、Iの定義とB(R)の定義から、X⊂R。
>また、Rは閉集合だから、Aの定義からR∈A。従って、X∈Aから B(X)⊂A である。
で終わっているな。選択公理とかは必要なさそうだ。まあ、昨日は[第３段]で疲れたしな。
283:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 16:37:01.47 KxTJyOv3.net
>>563-256
おっちゃん、どうも。スレ主です。
沢山書いてくれたので、そろそろ幕引きしますか
その前に、新作問題の補足を書きます
284:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 16:47:02.62 KxTJyOv3.net
>>233 つづき
新作問題の補足
問題再録
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）問題１）が零集合でないとき、ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは分かった。１）Yes、
２）は１）＝Yesで終わっているが、積分値はゼロだ
そこで、２）の問題を以下のように修正する
・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは、ゼロ。（証明せよ）
ディリクレの関数1Qについての説明は下記参照>>231
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
285:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 16:55:17.62 KxTJyOv3.net
>>258 リンク番号訂正 >>563-256→>>263-257
<前段>
１．まず、閉集合で考えるより、開集合で考える方が、頭が働くので、それで書きます
２．閉集合－開集合は、補集合を考えることで、お互いに移れる。高級に言えば、双対だと（ド・モルガン）
３．そこらは、位相の話でどこにでもあるけど、一応下記参照
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相空間
閉集合の補集合は開集合であり、開集合を定める三つの公理にド・モルガンの法則を適用することにより、閉集合の満たすべき性質が定まるが、逆にそれを閉集合の公理として開集合を定め、位相を決定することもできる。
286:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 16:59:07.49 KxTJyOv3.net
>>260 つづき
＜キーワード：位相 可算公理＞
約 6,570 件 （0.45 秒） 検索結果
第一可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、英: first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を ...
第二可算的空間 - Wikipedia
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)第二可算的空間
数学の位相空間論おける第二可算空間（だいにかさんくうかん、英: second-countable space）とは、第二可算公理を満たす位相空間のことである。空間が第二可算公理を満たすとは「その位相が可算な開基を持つ」ということを言う。つまり、位相空間 T が第二 ...
基本近傍系、可算公理、稠密 - nifty
homepage3.nifty.com/rikei-index01/syugou/kasankouri.html
任意の x∈X に対し、x の基本近傍系で、高々可算個の近傍から構成されるものが存在するとする。 このとき、「 X は第1可算公理を満たす 」 という。 定義 （ 第2可算公理 ） （X、O）を位相空間とする。 X の基底で、高々可算個の開集合から構成されるものが存在 ...
287:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 17:09:04.15 KxTJyOv3.net
>>261
おっちゃんには、キーワードだけの方が楽しいだろうが
まあ、ここは初学者もいるので下記テキス�
288:gでも ＜テキスト＞ 幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MB http://www.math.u-ryukyu.ac.jp/~tsukuda/lecturenotes/note_20140401.pdf
289:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 17:28:24.90 KxTJyOv3.net
>>262 つづき
これで、実質終わりだが
佃修一よりパクリ
＜補足＞
幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年
P166より
Denition 3.1.4. 位相空間は, 高々可算な基をもつとき, 第二可算公理(second axiom of countability) をみたすという.
Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.
Proof.
O を開集合, x ∈ O とする. このとき, あるε> 0 が存在して, Uε(x) ⊂ O となる.
0 < r < ε/2 となるようなr ∈ Q をひとつとる（Lem. 2.7.7 参照）.
Q^n はR^n で稠密であった（Ex. 2.10.8）から,
Ur(x)∩Q^n ≠ ?. x' ∈ Ur(x)∩Q^n をひとつとるとUr(x') ∈ Bである.
任意のy ∈ Ur(x') に対し,d(x , y) ? d(x , x') + d(x' , y) < r + r = 2r < ε
だからy ∈ Uε(x), すなわちUr(x') ⊂ Uε(x). またx' ∈ Ur(x) だからx ∈ Ur(x').
よってx ∈ Ur(x') ⊂ O となり, Thm. 3.1.3 から, B は開基である.
290:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 17:36:52.21 KxTJyOv3.net
>>263 つづき
おっちゃんには蛇足だが
B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0} とおくとB は可算基である！
＜補足＞
・B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0} は、要するに有理点xと有理数半径rから、開近傍を定めてるんだと
・それが、「 B は開基である」となるので、有理点xは可算、有理数半径rも可算。だから、その直積も可算
・B は可算基であると
細かい証明技巧は、本文PDF参照
291:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 17:41:57.99 KxTJyOv3.net
>>264 つづき
さらに補足
・n 次元ユークリッド空間R^n は、第二可算公理をみたし、可算基Bが存在する
・よって、任意の開集合は、可算基Bの組み合わせで尽くされる
・だから、その濃度は連続の非加算濃度を超えない
・あとは、下限評価として、実際に連続の非加算濃度の開集合族を構成すれば良い
292:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 17:51:25.80 KxTJyOv3.net
>>265 つづき
最後の"連続の非加算濃度の開集合族を構成"
これもパクリです
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp) polepoledefさん 2014/7/1213:22:17 - Yahoo!知恵袋:
ユークリッド空間R^Nの開集合全体からなる集合系の濃度が連続体濃度であることの証明を教えてください。
ベストアンサーに選ばれた回答 siolaglebaさん 2014/7/1406:53:58
次の定理を使う
(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
(2)可算集合の巾集合の濃度は、連続体濃度(実数の濃度)と一致する。
可算基底Ｕの巾集合をＰ(Ｕ)で、Ｏから空集合を除いた集合をＯ*で表す。
Ｐ(Ｕ)からＯ*への写像θを
A∈Ｐ(Ｕ)に対し、
θ:A→∪[X∈A]X
で定義すると
θは全射。
Ｐ(Ｕ)の濃度は、連続体濃度。
ＯとＯ*の濃度は、等しい。
が言えるから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以下｣
が言える。
ＲからＯへの写像λを
x∈Ｒに対し、
λ:x→(x,∞)×Ｒ^(N-1)
で定義すると
λは単射だから
｢Ｏの濃度は、連続体濃度以上｣が言える。
以上から、｢Ｒ^Nの位相Ｏの濃度は、連続体濃度と一致する｣ことが示された。
293:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 17:59:27.96 KxTJyOv3.net
>>266 つづき
１．ユークリッド空間R^N→複素平面（二次元）あるいは実数軸（一次元）は”自明”でいいでしょ
２．任意の開集合は連続の濃度が言えたから、その補集合の閉集合の濃度も連続の濃度が言える QED
追記
実際の順序は、 １）Yahoo!知恵袋、２）”可算基底”で検索、３）第一可算公理と第二可算公理を知る、４）幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年を見つける
なんだ （＾＾；
294:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 18:01:15.57 KxTJyOv3.net
>>267 つづき
キーワード”開集合”の方が、情報がヒットすると思ったんだ
それが正解だった
閉集合では、検索がうまく行かなかったかもしれないね
295:１３２人目の素数さん
15/11/01 18:34:34.37 OsRG9h/G.net
この間まで正規部分群かと思ったら、いつの間にか位相のお話まで進んでたんだ
表題通りなら、早めに準備するのも悪くないね
296:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 20:24:34.68 KxTJyOv3.net
どうも。スレ主です。
レスありがとう
位相の宿題を出す人>>7が出たんだよ（＾＾
いや、勉強になりました
297:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 20:34:27.68 KxTJyOv3.net
>>254 補足
>直線R上の閉集合がただ1点からなる集合に限ることの証明は書いていないな。
>なので、根本的な部分の解決はしていないことになる。
意味が取れないが、1点からなる集合については、下記集合と位相 山田光太郎 東京工業大学 抜粋をご参照
www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/lecture.pdf
集合と位相 第一（2011年度）山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 東京工業大学理学部2年次対象
(抜粋)
10 開集合・閉集合 P31
例10.3. ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は開集合でない．これを示すには，任意の正の数ε
に対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．実際，p = (p1 , . . . , pn) とするとき，与えられ
た正の数ε に対してq = (p1 + ε/2 , p2 , . . . , pn) とするとd(p , q) = ε/2 なのでq ∈ Bp(ε) であるが，p ≠ q なのでq ? {p}．
命題10.10. 距離空間(X; d) の1 点p ∈ X からなる集合{p} は閉集合である．
証明： U = X ＼ {p} とおき，q ∈ U をとりε = d(p , q) とおく．
q ≠ p だからε > 0 であって，p ? Bq(ε)．
したがってBq(ε) ⊂ U だからU は開集合．
注意10.11. 例10.3 と違い，命題10.10 は任意の距離空間に対して成立する．距離空間を一般化した"位相空間" の中には，1 点集合が閉集合でないものもある．
問題 10-3 集合X の任意の部分集合は離散距離d-disc に関する開集合であり，かつ閉集合でもある．P33
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.titech.ac.jp)
298:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 20:40:47.99 KxTJyOv3.net
表題の意図は、古典ガロア理論≒５次方程式論くらいなんだが
まあ、ここは２ちゃんねる
なんでもありの世界です
299:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 20:59:02.71 KxTJyOv3.net
>>265 補足
>・あとは、下限評価として、実際に連続の非加算濃度の開集合族を構成すれば良い
「ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は閉集合である」を使えば、数直線上の任意の点rから成る閉集合族が考えられるから、明らかに濃度は連続体の濃度
そして、閉集合の補集合として開集合を考えれば、これまた濃度は連続体の濃度になるのだった
可算公理を知る前は、これで連続のべきの濃度をが言えるかと思った時期もあった
つまり、「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言えるから
しかし、これはできない
閉集合では、有限なら、任意の組み合わせが閉集合であることが言えるが、無限はだめ
開集合では、有限無限ともOKなんだ （開集合では交叉が有限に限られる） URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
これは、公理がそうなっているんだが（＾＾；
なぜだろうか？
300:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 21:07:10.32 KxTJyOv3.net
>>273 つづき
なぜだろうか？
思うに、一つの答えてとして、「ユークリッド空間R^n の1 点からなる集合{p} は閉集合である」として
その無限の和集合が、閉集合になると不都合がおきる
例えば、ユークリッド空間においては、開集合といえども、点の集合なのだ
そう考えると、点の無限集合である開集合が、１点から成る閉集合の集まりだからと、閉集合に分類されると都合が悪い・・！
まあ、そういうことなのでしょう・・
301:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 21:33:30.34 KxTJyOv3.net
>>240 補足
>それより読み返すと、元の問題>>7の直後の>>8が正解に近い。結論は間違っている（>>11）が。
>>8より引用
有理点を中心とし有理数を半径とする円板の
可算個の和集合の可算減少列の極限として
表せる部分集合の全体の（無限）部分集合だから
可算濃度
（引用おわり）
これ、かなり正解に近い
可算公理あるいは可算基底というキーワードを使って、最後を、可算濃度→連続濃度（非加算）
としていれば、正解を貰えたろう（＾＾；
302:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/01 22:28:01.29 KxTJyOv3.net
１．余談だが、試験対策（院試とか）という意味では、期待されているキーワードをきちんと答案に書くということは大事だよ
もちろん、キーワードをきちんと理解しているということも示す必要があるが （というか、「分かってない」と思われたら意味がない）
２．結論が合ってないと、減点だな
３．そういう目で>>8を見ると、可算公理あるいは可算基底というキーワードおよび基本概念が分かっているというレベルには達していないという推定が働くね>>8は。発想は良い線は行っているが・・
余談がだ、頭が良すぎて試験に合格しないということがある
ガロアがその典型かも
試験で計ろうとしている力に対して、解答が独創的すぎるとか
自分で定義を全部作ったりして・・・、採点基準に合わない、あるいは理解されない・・・。まあ、>>8はそういう話じゃないが
303:１３２人目の素数さん
15/11/02 02:40:45.66 z9zAyjiR.net
>>260
何か私が考えたり書いたりしたことは、予想が真逆で結果的には無意味だったようだな。>>7には
>似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
とあったから、似た類の問題と捉え、超越基底の手法が通用しないから最初集合論だと思ったんだが。
位相の問題だったのか。>>266を見ると有名な問題のようだから、お久しぶりに現代数学概説Ⅰ、Ⅱの
位相の部分を見たが、その類の問題に関する定理とかは載っていない。
どうやらはじめて知ったことのようだ。
304:１３２人目の素数さん
15/11/02 02:46:36.42 z9zAyjiR.net
>>260
どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
305:１３２人目の素数さん
15/11/02 03:11:37.80 z9zAyjiR.net
>>260
まあ、距離空間RやR^nが可分であることや、それと>>266の
>(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。
とが同値であることは例に載っているが、その(1)の定理を最初から証明しようとすると、
全部導き出す形になって、単純に1行で済むようには書いていない。
(1)の結果を使っていいなら、それだけ書けば、それで済むとしかいいようがない。
306:１３２人目の素数さん
15/11/02 03:49:17.67 z9zAyjiR.net
>>260
位相空間が第2可算公理を満たせば可分であることとかも多分載っている。
何れにしろ、>>7の問題に関することは、明示されては載っていない。
>>7は、完全な院試対策みたいな問題だ。
307:１３２人目の素数さん
15/11/02 07:48:13.15 OhjoiJ06.net
誤答おじさんって本当にクソだな
＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
勝手に問題の性質を邪推しておいて、アテが外れたら「院試対策」かよ
てめーがバカなだけだろｗ
みっともない奴だな
濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
だいたいてめーは「院試対策」でない普通の問題ですらまともに解けたためしがないだろうが
＞(1)の結果を使っていいなら、それだけ書けば、それで済むとしかいいようがない。
そうだよ、この問題の本質は(1)であり、この問題はほとんど(1)そのものなんだ
となれば、この問題は事実上は「数学書に載っている」ことになる
院試どうこうの問題じゃなくて、単にお前が(1)の使い道に気づかなかっただけの話
お前がバカだっただけの話
なんなら(1)を懇切
308:丁寧に証明したっていいんだぞ？ なぜなら、そもそもお前のクソ長文スタイルは全く1行で終わってないからだｗ 言い訳にもならんわ ＞何れにしろ、>>7の問題に関することは、明示されては載っていない。 「数学書に明示されてない問題はクソ問題だから俺は悪くない」とでも言いたいのか？ てめーがクソなだけだろｗ 毎度毎度みっともない言い訳はやめろ お前の悪いクセだ
309:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 09:15:03.54 Ra+GZ3GJ.net
突然ですが、位相に関連して、ロケールが分からない
備忘録のメモを貼っておきます。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Complete Heyting algebra
Locales and frames form the foundation of pointless topology, which, instead of building on point-set topology, recasts the ideas of general topology in categorical terms, as statements on frames and locales.
Contents
1 Definition
2 Examples
3 Frames and locales
4 Literature
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Pointless topology
Contents
1 General concepts
2 Categories of frames and locales
3 Relation to point-set topology
4 See also
5 References
次は数学ではなく、人工知能の論文だが
URLﾘﾝｸ(kaigi.org)
因果的集合の中で・使用する・推論 含むロケール 郡司 神戸大 2013
[PDF]PDFファイル - kaigi.org
URLﾘﾝｸ(kaigi.org)
Vickers(1996)の提案した一般位相システ. ムは、集合 P、ロケール L、その間の二項関係 R によって構成. される三つ組<P, L, R>で定義されるが、
<P, ↑P, ∈>もその定義. を満たし、一般位相システムとなっている。Vickers(1996). は P と L の各々で論理操作 ...
310:１３２人目の素数さん
15/11/02 09:22:39.59 2ArDYFjY.net
たちの悪いお人でござるなﾆﾝﾆﾝ
311:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 09:31:49.63 Ra+GZ3GJ.net
>>277-281
どうも。スレ主です。
可算公理あるいは、可算基底というキーワードで、この問題の本質は終わっている
だから、キーワードを書いてしまったら、面白くもなんともない問題なんだ
>>7は、閉集合という言葉で、位相を思いつかないように隠蔽してあるんだ
まあ、すぐに開集合を使う方針を採用したが
流れから、超越基底Sを使えばできるように思ったんだよね。それが失敗だと気付くのに何日か掛かった
いま思っても、可算公理あるいは、可算基底というキーワードは、自力では無理だわ（＾＾；
時代の天才たちが、何人も何年も心血を注いで構築したトポロジーの基礎。そんなものを、自分が数年考えたところで到達できるはずもなく・・・
もちろん、検索しました。が、検索は、いかに、適切なキーワードを選ぶかだ。それが数学的センスでもあるんだ
Yahoo!知恵袋 >>>266 は、方針を切り替えたら、結構早くヒットした。
その前は、”「1 点からなる集合{p} は閉集合である」として、これら無限を含む任意の組み合わせが、閉集合であることが言えれば、連続のべきの濃度が言える”>>273という方針を立てていたときもあったけど
”(1)Ｒ^Nの位相Ｏには、可算基底Ｕがある。”というコンセプトに気付くか（調べることも含め）が、キーなんだ。気付かなければ解けないと思う（＾＾；
312:１３２人目の素数さん
15/11/02 09:35:51.32 z9zAyjiR.net
>>281
>＞どうやら、知名度といい、昔の本に載ってないあたりからすると、
>＞>>7は完全な院試対策のような問題だったんじゃないか。なんだよ。
>「なんだよ」ってなんだよ。なにが不満なんだよ
直観的に明らかなことを考えるだけだった、となると虚しくなるだろ。
>濃度が card(2^R) でないことはスレ主が散々言ってたことだし、スレ主からのヒントも出ていた
>それを全て無視して的外れなクソ長文を撒き散らして、最後の最後まで
>全く解答にカスリもしなかったクソザコが何いってるんだ
経験上、スレ主の主張は、信用しないことにしていた。
経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
そのうち書いてあげますよ。
313:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 09:44:58.44 Ra+GZ3GJ.net
>>284 つづき
この問題>>7は、収穫があった
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
314:１３２人目の素数さん
15/11/02 09:52:18.45 z9zAyjiR.net
>>284
>>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw
あと、イメージとしては、正確には、或る点x∈Cを含むε近傍ではなく、
xを含むコンパクトな領域や或いはコンパクトな領域とその境界との和からなる
図形Dと、そのDの補集合とかを考えるのが正しいイメージなのだ。
315:１３２人目の素数さん
15/11/02 09:55:44.48 z9zAyjiR.net
>>284
>>287のDのような図形からなる単調増加列を構成して
考えていくと、>>7はイメージとして自然に溶けるな。
316:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 09:58:08.11 Ra+GZ3GJ.net
>>286 つづき
いま見ると、>>173と>>202とは同じだから新作は３つだな
なので訂正
新作問題が四つできた。>>173と>>202と>>250-252と>>259と
↓
新作問題が三つできた。>>202と>>250-252と>>259と
317:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 10:04:41.32 Ra+GZ3GJ.net
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>>285
>>なんなら(1)を懇切丁寧に証明したっていいんだぞ？
>そのうち書いてあげますよ。
証明は、>>262の幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年4 月1 日 / 1.2MBの中にあるよ
つーか、>>263で終わっているだろ？（＾＾；
では
318:１３２人目の素数さん
15/11/02 10:10:07.41 z9zAyjiR.net
>>290
載っているのか。じゃ、書く必要ないな。
319:１３２人目の素数さん
15/11/02 11:17:18.02 z9zAyjiR.net
>>284
>>287-288でいわんとすること(コンパクトな領域云々の行のあたり)は
>点x∈Cを含むコンパクトな領域Dや、或いはDとその境界∂Dとの和∂D∪Dからなる図形Fからなる単調増加列を、
>xごとに構成してその各項を点ごとに走らせて、更にその後全平面C上で走らせる操作
な。開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
各穴の中心z∈Cを定めて、穴が大きく小さい浮き輪z_1から、穴が小さく大きい浮き輪z_mからなる
単調増加列{z_n}を任意に構成して、そのような単調増加列の全体を平面C上で走らせますみたいな感じ。
320:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 11:51:13.58 Ra+GZ3GJ.net
>>285-287
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>経験上、スレ主の主張の方を嘘っぱちだと思うことにしていた。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
">>7みたいな、直観的に明らかで虚しくなるような問題を人にやらすなw"
これ、実に良いこと、かつ大事なことを言った！（＾＾；
すぐ前に、真逆の直観を言っていた・・
例えば、>>112, >>182, あるいは>>218「そういうのが直観に反するってことなんだろ。
上からどころか下からもcard(B)をcard(B)≧2^cと評価出来るんだから、
あり得るのはcard(A)＝2^cだけ。」
しかし、可算公理あるいは、可算基底というキーワードを通してこの問題を見れば、直観的に見える風景が変わっているはずだ
これは、私が>>163で言いたいことの補足になっている。（＾＾；
”自分の直感と違うことも多いだろう。だからと言って、直感を捨ててはいけないんだ！
（一時、日本の数学教育界でδーε全盛時代があった。いわく直感に頼ってはいけない。δーεの理解こそが大学数学だと。が、今日ではそれは否定された。もっと自分の頭で考えることと、自分の直感を磨くことを強調しておきたい）”>>163
321:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 12:30:36.52 Ra+GZ3GJ.net
>>292
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんの参戦で、多大の恩恵を受けている当方としては、何も文句を言える筋合いではないですが・・（＾＾；
まあ、ここは初学者も来るので、細かいですが・・・、一言
>開集合や閉集合が角度や長さとかの計量を持った図形でない以上、半ば抽象的なイメージになる。
ここね、気になる
位相（トポロジー）が、角度や長さとかの計量忘れて図形を扱う技法で、抽象的な議論になるのはその通りだ
で、開集合や閉集合は、位相（トポロジー）の道具の一つで、基本的概念の一つ
が、元々の問題は、「複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする」>>7だから、距離がキーワードで、開集合や閉集合たちは、少なくとも距離の属性は持っている
その距離の属性を使うことで、>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.” by 幾何学序論講義ノート 佃修一 琉球大学 2014 年 P166 の論証が成り立っているんだ！
>>262-263は、スレ主の主張ではなく、佃修一先生の主張なんだから
そこはしっかり読んでほしいね（＾＾；
322:１３２人目の素数さん
15/11/02 13:55:32.52 z9zAyjiR.net
>>293-294
そもそも、位相の相異なる理論展開の方法は何通りもあるから、
位相をネット上のファイルやサイトで人に学習させんとする発想がおかしい。
>>262-263とは異なる理論展開の仕方で学んでいる人も当然いる筈。
こういう人には、異なる理論展開のファイルを見せても全く効果がない。
まあ、[第３段]では、選択公理やZornの補題の使用、超限帰納法の論法
の訓練にはなりましたけど。こういうことは、余りやりませんからね。
323:１３２人目の素数さん
15/11/02 14:04:06.99 z9zAyjiR.net
>>293-294
そういう訳(>>295のこと)で、位相の話はやめた方がいいね。
中には、閉包が満たす公理を出発点にして学習している人もいるだろうね。
324:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:15:53.70 OhjoiJ06.net
＞ [第３段]：包含関係に関するIの極大元Xが存在することを示す。
包含関係に関してIに極大元は存在しない
第３段は間違ってる
何の訓練のつもりだ？
バカじゃねーの
325:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:22:23.66 z9zAyjiR.net
>>297
フーン、超限帰納法がああいう論法でないことは分かった。
超限帰納法は余り見ないからね。
326:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:28:26.40 z9zAyjiR.net
>>297
ところでさ、私をバカにして楽しいか？
327:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:29:41.39 OhjoiJ06.net
>>298
フーンじゃねえよ
極大元が存在しないことくらい一目みて分かるだろ
Zornとか超限帰納法とか、それ以前の問題だよ
なんでお前はいつもいつもそうなんだよ
超限帰納法の使い方もおかしい
超限帰納法を使うには整列順序が予め入っていなければならないのに、
整列順序に関する言及が1つも無い時点で問題外
あと、Zornの補題は超限再帰＋選択公理で証明できるから、
Zornの補題と超限帰納法が同時に登場するのも不自然で、
同じ論法を二重にやっているような感じになる
ま、誤答おじさんは何も分かってないってことだわな
328:１３２人目の素数さん
15/11/02 15:41:04.71 z9zAyjiR.net
>>300
>極大元が存在しないことくらい一目みて分かるだろ
自然数の範囲で考えているから、そりゃそうだわな。
>ま、誤答おじさんは何も分かってないってことだわな
何も分かっていないって考えてくれた方が、こっちも気楽だ。
知識が豊富みたいに捉えられると、かえって重圧がかかる。
329:１３２人目の素数さん
15/11/02 18:46:19.00 +rBeHtf6.net
あの長文を読んでどこが間違いかをチェックする人がいることに感動したわ
330:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 19:29:22.33 Ra+GZ3GJ.net
>>295-296
おっちゃん、どうも。スレ主です。
まあ、ここは位相（トポロジー）のスレじゃないが
なんでもありで良いと思うんだ
331:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 19:56:04.72 Ra+GZ3GJ.net
数学は一つ
そういう言葉もある
いろんな分野で関連している部分がある
あるいは関連が発見されたところもある
あるいは関連を発見することもある
というか、そういうのも数学研究ネタじゃないのかね？
332:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 19:59:24.60 Ra+GZ3GJ.net
位相は、正直あまり勉強したことはないが、今時の数学科では基礎科目なんだろうね
ところで、
>>263の”Example 3.1.5. n 次元ユークリッド空間R^n において,B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}
とおくとB は可算基である. よってRn は第二可算公理をみたす.”というのは感動したよ
ちょっと書いてみようか
どこに感動したか
333:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 20:19:44.34 Ra+GZ3GJ.net
>>305
どこに感動したかというと
（この話はどこかで読んだが、どこにあったか思い出せないので記憶で書く）
１．例えば、複素平面で、実数√２の半径１の開近傍を考える
２．B = {Ur(x) x ∈ Qn , r ∈ Q , r > 0}をもって、可算基で被覆しようとすると、ここだけで、可算無限のBの要素が必要だ。∵√２が無理数だから、有限の有理数からなる開基で埋め尽くすことはできない
３．で、半径の方も、√３でもいいから、一つ無理数の要素を持つ近傍Uε(x) に対して、可算無限のBの要素が必要で、そういう無理数の要素を持つ近傍Uε(x) って、無限にあるじゃない？
４．それが、「可算基がある」という発想がねー、自分にはとても思いつかない。教えられたら、「ああ、そうか！」だがね。考えた人は、コロンブスなみに偉い！と思ったねー、天才の発想だろうね！（＾＾；
５．でこれが、開集合の公理で ”τ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の合併はふたたび τ に属す。”と決めてある意味だと気付いた URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
”任意個（無限濃度をも許す）の合併”、（無限濃度をも許す）の一つの意味は、これだったんだ！（＾＾；
334:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 23:49:33.03 Ra+GZ3GJ.net
面白いページがあった（＾＾；
URLﾘﾝｸ(eldesh.yukishigure.com)
数学の犬
位相幾何学（トポロジー）の基本的情報を掲載。PDFでも順次公開。犬か数学かと問われれば、明らかに数学のコンテンツですのでご注意を。
学術的なこともあれば、メモ程度に適当に書いたものもあります。間違いにご注意ください。現在、少しずつ修正中です。
ようこそ数学の犬のページへ
ここは代数的位相幾何学（Algebraic Topology）に関する情報を載せてあります。すべてを鵜呑みにせず、真偽は自らで判断してください。
このホームページの当初の目的は、Texの練習でゼミノートをTex化した際にネット上においておけば、どこからでも自分で見直せるから良いかなと作ったものです。
一応は大学の2,3年生程度で習う位相空間や代数学の知識があれば理解できるようにとは思っていました。目指すコンセプトとしては、日本語でわかりやすく丁寧な証明、参考文献付きの数学サイトです。
「このホームページに関する注意」
※ 本文中、ＰＤＦ内に間違いが多数あります。お気をつけて。
※ 参考文献として挙げてある本、論文の方が信憑性大です。
※ 学生の頃の練習ノートがそのままのものもありですので、Texの構成やフォントの稚拙さ、スペルミスはご愛嬌。
とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。
自分の手を動かして証明を後追いしてみる、あるいは自分でよりスマートな証明を考えてみることを強く推奨します。
335:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/02 23:50:47.52 Ra+GZ3GJ.net
>>307 つづき
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336:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
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>>308 つづき
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337: Eilenberg-Zilber 6/28 Cech複体 5/25 エタールホモトピー 4/21 微分空間 4/3 Leray-Serre 3/12 離散モース理論 2/21 Stack
338:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 00:03:55.20 E0ZOM897.net
>>303 補足
開集合と閉集合
普通は開集合が使いやすい。今回みたいなユークリッド空間では（と思う）
が、ザリスキ位相は、閉集合を使うという話があった。まあ、両方使い分けするんだろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ザリスキー位相
トポロジーは開集合というより、閉集合を特定することにより定義され・・・
339:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 07:46:15.16 E0ZOM897.net
>>293 関連
唐突ですが
”4.4 連続写像
関数f : R ! R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ－ε 論法」を用いて定義され
ていた. 距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考
えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開
集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開
集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）ってことかな
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学通論 II 位相空間 2007年度後期 田丸 博士 広島大
プリントは, 数学通論 I で配布したプリントの続きです. プリントの前半部分（距離空間を扱っています）が欲しい方は, 数学通論 I のページ から入手して下さい.
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
数学通論 II （2007年度後期）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp)
Tamaru's PROFILE
氏名: 田丸 博士（たまる ひろし）（某有名中国人数学者に名前を笑われたことがある）
職業: 広島大学 大学院理学研究科 数学専攻 教授
1989年（平成元年）3月 横浜市立金沢高等学校 卒業
1993年（平成5年）3月 上智大学理工学部数学科 卒業
1995年（平成7年）3月31日 上智大学大学院理工学研究科数学専攻博士前期課程 修了, 修士（理学）取得
修士論文の題目: 例外型単純リー環の新しい構成法 (Sophia-R)
指導教員: 長野正先生
1998年（平成10年）3月31日 上智大学大学院理工学研究科数学専攻博士後期課程 修了, 博士（理学）取得
学位論文の題目: The orbit types of symmetric spaces and their applications to generalized symmetric spaces (Sophia-R)
指導教員: 長野正先生
340:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 07:58:25.71 E0ZOM897.net
>>289 新作問題まとめ
>>173 ”実数の超越基底S（S⊂R）の全ての要素∀s∈Sを、s+iyのように+iy（iyはs毎に変えて良い）で虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、半径εのε近傍Uε(s)の外、つまり各ε近傍Uε(s+iy)が重ならないように、うまく配置することは出来ない”！
>>202 上記を、可算公理の背理法に寄らず証明せよ
>>250 問題：実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできるか
この結論を、「超越基底Sの局在可能定理」とします！
>>259
１）実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。Sは、零集合か？
２）・実数Rにおいて、実数の超越基底の集合をSとする。Sの濃度は非加算無限（連続の濃度）であることは、既知とする。
・ディリクレの関数1Q（有理数で１その他で0を取る関数）の類似で、超越基底で１それ以外で０の値を取る関数を1Tとする。
・関数1Tを実数軸そって、-∞から+∞まで積分したとき、値はいくらか？
答えは、ゼロ。（証明せよ）
ディリクレの関数1Qについての説明は下記参照>>231
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ルベーグ積分
例
有理数体 Q の定義関数 1Q（ディリクレの関数）を考える。この関数は至るところ不連続である。
・1Q は [0,1] 上でリーマン可積分ではない: [0,1] をどのように区間に分割しても、各区間には有理数と無理数の両方が少なくともひとつは入っている。よって、上積分は常に 1 であり、下積分は常に 0 になり、リーマン可積分ではない。
・1Q は [0,1] 上でルベーグ可積分である: 集合の定義関数の積分は定義より ０。
341:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 08:03:01.57 E0ZOM897.net
>>312 つづき
>>4 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
もとは、おっちゃんの作った問題があって、それを非加算濃度→連続濃度の”べきの濃度”にひねったんだ
新作問題が出来たのは、おっちゃんの貢献のお陰です。ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
342:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 08:54:27.08 E0ZOM897.net
そうそう、ここら>>312の問題は、564さんの>>7「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
から派生しているんだ
564さん、ｍ（＿ ＿）ｍ ありがとう！
343:１３２人目の素数さん
15/11/03 11:30:08.65 9FOIe7mq.net
＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること
スレ主さんは証明できるの？
344:１３２人目の素数さん
15/11/03 16:32:32.45 2jt6Fkhw.net
引用馬鹿
345:１３２人目の素数さん
15/11/03 16:51:09.21 yGWrQEj/.net
>>307
おもしろいなw
・このホームページに関する注意
「とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。」
意味ないホームページだから参考文献リストだけ載せればいいのではw → 「生兵法は大怪我のもと」と書いてリストでOKでは。
346:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 20:54:41.99 E0ZOM897.net
証明は、おっちゃんにでも頼みな
ここは、スレ主の備忘録だよ。ここに貼っておけば、世界のどこからでも検索できるし、世界一の検索ソフトの上位にヒットするよ（＾＾；
>>317
「とにかく信用してはいけません。数学は疑うことからスタートします。もう全部ウソだろという気概で臨んでいただいた方がいいかもしれません。」は、面白いだ？
ソフトの使用許諾で、よく見る文句だ。「このソフトを信用してはいけません。使って損害を被っても、自分の責任ですよ！」みたいな（＾＾；
次からテンプレに入れようか？
347:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/03 21:00:11.29 E0ZOM897.net
余談だが、最近、以前ヒットしたページを再検索すると、出ないことがある
多分、情報が増えて下積みとか、検索のロジック（重み付け）が変わったとかだろう
その点、２ちゃんねる情報は上位に来るから、ここに書いておいた情報は、検索の再現性の点では便利だね（＾＾；
348:１３２人目の素数さん
15/11/04 00:30:46.60 ih8jWl9M.net
>>318
わからないならそう言えばいいのに
349:１３２人目の素数さん
15/11/04 14:04:31.70 q8ep1UeB.net
>>318
やあ、おっちゃんです。
昨日、Σ_{k=0,1,…,∞}(1/(k!＋1)) は無理数だって確信出来たよ。
まあ、ど～せ証明されているだろうけど。
紙で計算していたら、何か必殺技を編み出すような出来事があった。
スレ主に証明しろっていわれた命題の証明は、少し手間がかかるね。
2、3行では終わらん。
350:１３２人目の素数さん
15/11/04 19:45:43.57 OHTkG94u.net
引用馬鹿
351:１３２人目の素数さん
15/11/05 06:50:58.44 LIXo9DMH.net
>>322
何だい？坊や。以下の証明が引用だというのか？
>>318
空間X、Y≠Φの各位相をO_X、O_Yとする。2つの位相空間(X,O_X)、(Y,O_Y)に対して、Xを定義域とする
一価の写像f:X→Yが連続なることを、任意のYの閉集合U∈O_Yに対してf^{-1}(U)∈O_X がXの閉集合なることと定義する。
この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。
(必要性)：空間Yの開集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの閉集合で、仮定からf：X→Yは連続だから、
連続性の定義から、f^{-1}(Y－B)∈O_X は空間Xの閉集合である。fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる
関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合であり、
f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合である。Yの開集合Bは任意だから、BをO_Y上で開集合なるように走らせれば、
空間Yの任意の開集合Bの、fによる逆像f^{-1}(B)は空間Xの開集合である。
(十分性)：空間Yの閉集合B∈O_Yを任意に取る。すると、Y－B∈O_Y は空間Yの開集合だから、仮定から、空間Yの開集合Y－Bの、
f：X→Y による逆像f^{-1}(Y－B)は空間Xの開集合である。つまり、f^{-1}(Y－B)∈O_X はXの開集合である。
仮定から、fはXからYへの一価の写像で定義域が Dom(f)＝X なる関数だから、B⊂Y から、f^{-1}(Y－B)＝X－f^{-1}(B)。
よって、X－f^{-1}(B)∈O_X はXの開集合であり、f^{-1}(B)∈O_X はXの閉集合である。Yの閉集合Bは任意だから、
BをO_Y上で閉集合なるように走らせれば、空間Yの任意の閉集合B∈O_Yに対して f^{-1}(B)∈O_X は空間Xの閉集合である。
よって、f:X→Yは、連続性の定義の条件を満たし、連続である。
352:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:13:44.87 unwmebU2.net
>>323
おっちゃん、どうも。スレ主です。
証明ありがとう
おっちゃんの証明パワーには、いつも圧倒されます！（＾＾；
353:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:19:24.84 unwmebU2.net
>>321
おっちゃん、どうも。スレ主です。
>昨日、Σ_{k=0,1,…,∞}(1/(k!＋1)) は無理数だって確信出来たよ。
超越数じゃないかな？ e^xのべき級数展開でx=1を少しひねった形に見えるから（＾＾；
>スレ主に証明しろっていわれた命題の証明は、少し手間がかかるね。
> 2、3行では終わらん。
おっちゃん！ エレガントな証明が見つかってからで良いよ。無理しないで
あれは、雑魚叩きの問題として良いなと思っているから
でも、エレガントな証明も見たい気がするので、それは可だな（＾＾；
354:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:25:28.69 unwmebU2.net
>>320
どうも。スレ主です。
”わからないならそう言えばいいのに”をそのままお返ししよう！（＾＾；
初学者か？（＾＾；
質問が幼いと思ったから>>315
質問がね、自分がよく分かってないことを質問したんだろうと
”＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること スレ主さんは証明できるの？”か・・
微笑ましいね（＾＾
355:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 21:28:51.97 unwmebU2.net
>>326 つづき
ID:ih8jWl9Mくんは、>>323のおっちゃんの証明をどう評価するんだ？
正しいと思うのか、間違っていると思うのかだよ！
いやいや、そもそも、ID:ih8jWl9Mくん、君にこの証明が読めるのかね？
初心者の君に・・・（＾＾；
356:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 23:44:50.09 unwmebU2.net
>>311 つづき
実は、”位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”の後があるのだった
「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）
であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」
つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！
この意味が分かるだろうか？
357:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 23:52:12.81 unwmebU2.net
さて
＜関数の極限と連続関数＞
ここでは，区間I ⊂ R で定義された実数値関数f : I → R を考える．
定義 関数f : I → R がa ∈ I で連続であるとは， lim (x→a) f(x) = f(a) が成り立つことである．
すなわち，
任意の正の数εに対して，次の条件をみたす正の数δが存在することである：
|x ? a| < δをみたす任意のx に対して|f(x) ? f(a)| < ε
関数f が定義域I で連続，とはI の各点で連続であることとする．
358:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/06 23:59:20.60 unwmebU2.net
さらにこれ分かりますか？
＜連続写像＞
ε-近傍
定義 距離空間(X, d) 上の点p と正の実数ε に対して，
Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
をp の(距離d に関する) ε-近傍という．
定義 距離空間(X, dX) から距離空間(Y, dY ) への写像f が連続�
359:ﾅあるとは，任意のa ∈ X と任意の正の数ε に対して，ある正の数 が存在して f(Ba(δ))⊂ e Bf(a)(ε) が成り立つことである． ここでBa(δ) は(X, dX) におけるa のδ-近傍， B~p(ε) は(Y, dY ) におけるp のε-近傍である．
360:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 00:04:19.62 ZDIzWQj1.net
いよいよ＜開集合と連続写像＞の登場です！ （＾＾；
定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^?1(U) がX の開集合となることである．
証明： 写像f が連続であるとする．開集合U ⊂ Y に対してp ∈ f^-1(U) とするとf(p) ∈ U であるから，
U が開集合であることより，ある正の数ε が存在してB~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
ただしB~q(ε) は(Y, dY ) におけるq のε-近傍である．
このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．すなわち
Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
となる．p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．
逆に，任意の開集合U ⊂ Y に対してf^-1(U) が開集合であったとする．
点p ∈ X を一つ固定し，正の数ε を任意にとると， B~f(p)(ε) はY の開集合であるからV := f^-1( B~f(p)(ε))はX の開集合．
とくにp ∈ V なので，ある正の数δが存在してBp(δ) ⊂ V ．このとき
f(Bp(δ))⊂ f(V ) = f(f^-1( B~f(p)(ε)))⊂ B~f(p)(ε).
したがってf はp で連続．p ∈ X は任意だったからf は連続写像である．
系 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意の
Y の閉集合V に対してf?1(V ) がX の閉集合となることである．
361:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 00:09:32.48 ZDIzWQj1.net
>>331 つづき
ここでは、定理 距離空間・・・となっている
で、>>328 の定義4.19.の規定ぶりと異なっていることに気付いてくれたかな？
わかりますか？ この違い
362:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 00:23:33.63 ZDIzWQj1.net
ところでな、>>329-331の記述が読みにくいだろ？
なんで、こんなアスキー限定の板で、まともに数学記号が書けない板で、読みにくい証明書いて、読みにくい証明を読む・・・
そんなばかげたことをする価値があるのかね？
証明証明か・・・。ああ、証明命なんだよね・・・
が、証明を書いたから、分かっている？ ２ちゃんねるに証明書くくらい、既存の定理や有名問題なら造作もないことだよ
証明を書いたから、分かっている？ 証明書くくらい、ID:ih8jWl9Mくん、君にも、ここは試験場じゃない、なんでもありなんだからさ！（＾＾
まともに数学記号が書けない板で、読みにくい証明を書くなら、その証明はここに落ちていますと、示した方がましだろうよ
その方が、よほど、普段読み慣れている記述に近いさ。自分で調べる力ないんだろうね・・・（＾＾；
だが、ID:ih8jWl9Mくん、君が要望するから、わざわざ読みにくく書いてあげたよ。さあ、読みなさいよ。そして、どこが分からないか
それを聞いてみてごらん
そしたら、また、だれか教えてくれるだろうさ
だれも教えてくれる人がなければ、私スレ主が教えてあげるよ！（＾＾； （まあ、思うにδ－εから分からないんだろうが・・・）
363:１３２人目の素数さん
15/11/07 01:16:48.49 diyZTPHE.net
嘘つきは土日の始まり
364:１３２人目の素数さん
15/11/07 01:46:35.11 JqFAljx8.net
検索バカ
365:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 06:36:58.22 ZDIzWQj1.net
>>334-335
どうも。スレ主です。
つまらん、つっこみで悪いが、数学的能力の低さが表れているんじゃないかねー（＾＾
「嘘つきは土日の始まり」の元は、「嘘つきは泥棒の始まり」。嘘つきと泥棒は、経験的因果関係があるというのが元だろう。対して、嘘つきと土日には必然的な因果関係がない
そもそも、金曜夜から始まっているから、Well-definedではない
よって、数学的能力の低さが表れている QED
366:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 06:46:32.34 ZDIzWQj1.net
>>336 つづき
「検索バカ」もなー。いまどき、検索をバカにしてどうする？ 「検索できないバカ」の方が正解だろう
例えば、検索すれば分かる既知のことを、１年考えて、自力で考えて、証明が出来たという。聞いてみれば、「そんなこと、検索すれば、すぐ分かったはず」と
岩波数学辞典がある。おれも昔の版は持っている。悪くないだろ？数学辞典で調べることは？
だが、いまどき、「岩波数学辞典を調べて終わり！」じゃねー、おかしいだろ？
もっとマジレスすれば、自分の疑問や検索したいことを咀嚼して、数学的なヒットしやすい検索キーワードの組み合わせを捻出する。それも数学的センスなんだと思うんだ
いまから、プロの数学者あるいは数学をメシの種にしようとする人たちにとって、「検索バカ」より「検索できないバカ」と言ってやる方が、適切じゃないか？ 検索には、数学的センスが必要なんだよ
そして、プロの数学者あるいは数学をメシの種にしようとする人たちにとって、アウトプット＝結果が全てなんだ。学生は、「自分で考えました」「えらい！」（教師）だが、学生卒業したら、”結果が全て”。検索９割＋自分１割で、先に結果を出して、投稿
それが、自力１０割で遅いやつより偉いってこと
367:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 08:37:16.46 ZDIzWQj1.net
「天才は1%のひらめきと99%の汗」（エジソン）
「独創は1%のひらめきと99%の既知（含む検索）」（スレ主）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
名言
エジソンのGenius is one percent inspiration, 99 percent perspiration. という発言がよく知られている。
一般に日本語では「天才は1%のひらめきと99%の汗」 と翻訳され、努力の重要性を物語る発言として広く知られている
エジソンは様々なインタビューにおいて努力こそがひらめきに必要なものであり、努力が最も重要であるという趣旨の発言を多くしている[10]。
また当の発言はエジソンの死後1932年に発表されたものであり、全く同じ発言をしたという明確な証拠はない[11]。現代アメリカでも「天才には努力が必要」の意味で用いられている。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
"Genius is one percent inspiration, ninety-nine percent perspiration."
? Thomas Alva Edison, Harper's Monthly (September 1932 edition)
368:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 09:03:27.42 ZDIzWQj1.net
>>338 つづき
>>312-314に、＜新作問題まとめ＞を書いておいた
1%のひらめきも無いかもしれないが、多少数学的に新しいことを書いたかなと
あるいは、１００年くらい前にだれかが、どこかで思いついて書いているかも知れないほど、素朴な思考。それが、現代数学が進歩して、遠くに忘れ去られたのかも・・
ともかく、 「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」>>313は、「連続濃度の”べきの濃度”＝濃度2^R」という陳述が、あまり見ないので新規かと
まあ、普通は、「非加算」で寸止めして、ここまで踏み込まないんだ（＾＾；
でも、これは前スレで564さん（>>7）が解いてくれたんだがね。超越基底Sを使って鮮やかに解いたので、超越基底Sを使う練習問題としては、意義があるだろうよ
かつ、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合」を考えることで、群や拡大体を考える練習問題にもなる
ここから派生して、問題>>7に関連して、超越基底Sを考えるはめになった
「実数の超越基底Sの一つの組みとして、任意の実数rの周りでε近傍Uε(r)に全て入る組みを取ることとできる」とか
「実数のどんな超越基底Sの組みも、各点∀s∈Sの周りの半径εのε近傍Uε(s)を考えると、虚数軸にそってずらすことで、複素平面に分散させて、全て重ならないように配置することはできない」とか
分かってしまえば、たわいもない話だ
が、0.1%くらいのinspirationは、認めて貰ってもいいかなと（＾＾；
もちろん、これが新規性のある話だとしてだが・・
369:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 09:41:52.04 ZDIzWQj1.net
学生時代の優劣は、主には、試験場という限られた、場所と時
370:間で勝負が決まる そこで、教えられたことを使って、既知の問題を解く（たまに新作があるかも知れないが） 優良可かのかABCなのか知らないが、成績がつく。院試なら、合格不合格 ”例えば、検索すれば分かる既知のことを、１年考えて、自力で考えて、証明が出来たという。聞いてみれば、「そんなこと、検索すれば、すぐ分かったはず」と”>>337書いた 学生の勉強としてはありだよ。答えを見ずに、自力で考えることで、力を付ける。将棋で言えば、詰め将棋を、自力で解くみたいな（＾＾； だけど、そういう思考を、このスレに持ち込んで貰ってもよ、スレ主からしてみれば、「おいおい」だ。ここは、教室じゃないよと（＾＾； 「証明かかないから分かってない」>>320と、ぼうや素朴で微笑ましいよね（＾＾； けどさ、どっかから証明ひろってきて、それを丸写しして、証明を書くことができるし、そうしたところで、「分かっている」という証拠にはならん。ここは試験場じゃないからね >>329-331に、書いてあげましたよ、証明を。ID:ih8jWl9Mくんが求めるからね お気づきのように、種本はあるよ。そして、種本を読んだ方が、このスレで読むより遙かに読みやすい。それをわざわざ、ここに写経する意義は薄いと思う （が、いまは、種本は明かさないよ） 私、スレ主が言いたいことは、それだよ そこは、おっちゃんとは哲学が違うところだ （が、おっちゃんのこのスレへの参加は、新作の創出も含めて、多大の恩恵を得ているので、おっちゃんの証明に文句をいうつもりは無いんだ（＾＾； )
371:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 10:10:42.80 ZDIzWQj1.net
こんな数学表現が困難な不自由な場所で、「証明、証明」とつまらないことを言わないでほしいよね
おい、おまえのことだ！ ID:ih8jWl9Mくんよ！>>320
>>323のおっちゃんの証明を読んで見ろ！
そして、私が書いた>>329-331を読んで見ろ！
全部理解できたのか？ 分からないなら、どこが分からないか、聞け！
一つこちらからの質問だ、おっちゃんの証明と私スレ主の>>329-331には決定的な違いがある、それが何か分かるかね？ それが分かったら書け！
372:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 10:21:04.08 ZDIzWQj1.net
「＞連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること
スレ主さんは証明できるの？」>>315
という陳述がさ、全然本質を理解していないだろ？
元は、「”4.4 連続写像
関数f : R → R の連続性は, まず最初の段階では所謂「δ－ε 論法」を用いて定義されていた.
距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
これらの定義は一見煩雑なものであったが, 「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は一気に簡潔な形になる: 連続で
あるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること. 位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. ”（下記より引用）」>>311だ
そして、この後、>>328「位相空間論では, 開集合が与えられたところから出発している. そこで, 次のように定義することは自然であろう.
定義4.19. 位相空間(X,Ox), (Y,Oy) に対して, 写像f : X → Y が連続（continuous）であるとは, 次が成り立つこと: ∀U ∈ Oy , f^-1(U) ∈ Ox.」
つまり、田丸 博士先生（ 広島大）の数学通論 II 位相空間テキストでは、連続は証明ではなく、「定義4.19.」なのだ！
ID:ih8jWl9Mくんよ！、おまえなー、全然、田丸 博士先生を読んでないじゃんか！
田丸 博士先生を読めば分かるだろ？ 田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！ 別のことなんだ！ それが何か分かるか？ 君に・・・
373:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 10:23:23.04 ZDIzWQj1.net
>>342 つづき
>田丸 博士先生を読めば分かるだろ？ 田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない！ 別のことなんだ！ それが何か分かるか？ 君に・・・
めんどくさいから、おれの理解を書くと、田丸 博士先生が言っていることは、証明じゃない、進化なんだ！
374:１３２人目の素数さん
15/11/07 10:41:22.76 lBRTnVcw.net
何だかんだ言って結局証明できなかったんでしょ？
証明できるの？
↓
おっちゃんに頼め
↓
おっちゃんが証明
↓
何故かスレ主がドヤ顔で連投（っぷｗ）
375:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:14:07.82 ZDIzWQj1.net
>>343 つづき
おれの理解を書くと
進化！＝“連続”という数学概念の進化！
つまり、田丸 博士先生がここで言いたかったこと
最初の段階では、関数f : R → R の連続性所謂「δ－ε 論法」で定義された
↓
次の段階：距離空間から距離空間への写像f : X → Y の連続性も, 実数の場合と同様の考えの下に（ε近傍を用いて）定義された.
↓
現代位相空間（学部レベル）：「開集合」という概念を導入することにより, 連続性の概念は簡潔な形で定義されるようになった
という進化！。田丸 博士先生は、これを言いたかったんだろうと>>342
これ、証明って話じゃないんだよね！
376:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:18:59.40 ZDIzWQj1.net
>>345 つづき
何が進化なのか？
最初の段階：ユークリッド距離（いわゆるアルキメデス）を使っている
↓
次の段階：ユークリッド距離を離れた距離空間の一般化（いわゆる非アルキメデス 例：p進数の距離）
↓
現代位相空間（学部レベル）：距離の入らない位相空間への一般化
と思うんだ
証明じゃないんだ！と
377:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:36:16.06 ZDIzWQj1.net
>>346 つづき
田丸 博士先生は、現代位相空間（学部レベル）で寸止めしているが、まだ先がある（下記）
繰り返すが、証明じゃない、（定義の）進化だ！ （学部レベルの先は、正直ついていけない
378:けどね（＾＾； ） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96 位相空間論 歴史 一般位相の研究はいくつかの流れを取りまとめる形で始まった。主なものは ・実数直線の部分集合についての詳細研究、かつて「点集合に関する位相幾何学」(topology of point sets) と呼ばれていたもの、 ・多様体概念の導入、 ・距離空間論、特にノルム線型空間の研究（後の函数解析学） などが挙げられる。分野としての位相空間論は1940年頃には成立しており、それにより例えば連続性に関する直観の殆どを、数学の各分野で応用することができるようなものとして、技術的にふさわしい形で捉えることができるようになった。 ・数列の収斂、有向点族（ネット）とフィルター、 ・種々の分離公理、 点集合位相幾何学の重要な変形版が非点集合的位相幾何学 (pointless topology, point-free topology) で、これは点集合を基礎とする点集合位相幾何学と異なり、束や特に枠と場所の圏論的研究を通じた位相的概念の構築を行うものである。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_%28%E6%95%B0%E5%AD%A6%29 フィルター (数学) 順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。 歴史 1936年9月のブルバキ会合ではアンドレ・ヴェイユによる数学原論の「位相」 [1]の草稿に関して議論がなされた。 その草稿でヴェイユは点列の収束を議論する上で空間に第二可算公理の成立を要求していたが （下の#位相幾何学におけるフィルターも参照）、 この制限を除くためにアンリ・カルタンが会合中に見つけた解決の糸口がフィルターである [2]。 フィルターの概念の初出として一般に言及されるのは、 ブルバキの他メンバーの勧めを基にカルタンが翌年に提出した2つの論文 [3] [4]である。
379:１３２人目の素数さん
15/11/07 11:38:10.92 f1VAy803.net
>>337
岩波数学事典第四版にはCD-ROMが付属していてPDFで全内容が入ってて簡単に全文検索ができるよ！。
それどころか第三版の内容のPDFまで入っているし。まぁこっちはベタ画像なので全文検索は不可だが。
380:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:40:34.66 ZDIzWQj1.net
>>344
微笑ましいね
ID:ih8jWl9Mくんか？
「おっちゃんが証明」って、納得してんのか？（＾＾；
ほんと君は、良いタイミングで、外れた発言してくれるね～
381:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 11:48:49.69 ZDIzWQj1.net
>>348
どうも。スレ主です。
>岩波数学事典第四版にはCD-ROMが付属していてPDFで全内容が入ってて簡単に全文検索ができるよ！。
>それどころか第三版の内容のPDFまで入っているし。
細かいけど、正式には「辞典」だったね
で、確かに、岩波数学辞典には、独特の楽しさがある
紙面が限られているから、記載がコンパクトで簡素だとか、後ろに公式集があってね
ぱらぱら見ると楽しいよ
が、紙面の制約から、記述が限定されるのと、アップデートでオンラインとハンディがあるし、URLリンクもないし。まあ、併用するのが良いだろうと・・。特に学生さんには・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩波書店の委託により、日本数学会が辞典の編集に着手し、1954年第1版が発行された。その後、1960年増訂版発行。1968年第2版発行。1985年第3版発行。2007年第4版発行。序文の署名者は、第1版、第1版増訂版、第2版は彌永昌吉、第
382:3版は伊藤清、第4版は服部晶夫である。 また、海外にも翻訳され、"Encyclopedic Dictionary of Mathematics" (Editor : The Mathematical Society of Japan) としてen:MIT Pressから発行された。これの第1版は日本語版の第2版からの翻訳で、1980年発行。第2版は日本語版第3版からの翻訳で、1993年発行。
383:１３２人目の素数さん
15/11/07 12:22:12.28 lBRTnVcw.net
>>331
＞このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
Bp(δ)⊂X である保証は？
その保証が無ければ f(Bp(δ)) なるものは何の意味も持たないんだが
384:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 12:47:39.49 ZDIzWQj1.net
>>349 つづき
>「おっちゃんが証明」って、納得してんのか？（＾＾；
>ほんと君は、良いタイミングで、外れた発言してくれるね～
まあ、君レベルでは、下記に答えられないだろう・・
「一つこちらからの質問だ、おっちゃんの証明と私スレ主の>>329-331には決定的な違いがある、それが何か分かるかね？ それが分かったら書け！」>>341
についてだ！
面倒だから、私の理解を以下に書いておく
１．私が書いた>>329-331は、距離空間という文脈の上で、実数の連続関数のδ－ε論法、一般の距離空間のε-近傍による定義がベース
それらを使って、一般の距離空間で
「定理 距離空間(X, dX) から(Y, dY ) への写像f : X → Y が連続であるための必要十分条件は，任意のY の開集合U に対してf^-1(U) がX の開集合となることである．」を証明したのだ
だから、キーワードは距離空間で、距離空間に限定されている
２．一方、おっちゃんの証明>>323は、距離空間ではなく、一般の位相空間で、閉集合で連続を定義し、
「この定義の下で、f：X→Yが連続なるための必要十分は、
空間Yの任意の開集合Bの逆像f^{-1}(B)が空間Xの開集合なることを示す。」なのだ
３．まあ、私見では、>>345-347の意味から、上記の１はおっちゃんの２とは違う観点での証明で、異なった意義があるんだと。１が、田丸 博士先生の>>311に沿うだろう
４．そして、距離空間を離れてしまったら、田丸 博士先生のいう「連続であるための必要十分条件は, 全ての開集合の逆像が開集合となること」>>311は、
定義であって、証明の対象とはなり得ない！ むしろ、問題は開集合という位相の取り方に移るのだ！
それが、私スレ主の理解だ！（＾＾；
385:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 13:00:42.96 ZDIzWQj1.net
>>351
どうも。スレ主です。
ID:lBRTnVcw さん、レスありがとう（＾＾
君は鋭いね～
本当は、レベル高かったんだ！
この読みにくい証明を、そこまで読み込むかね～。さすがだ！
えーと、ちょっと待ってね
386:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 13:26:22.17 ZDIzWQj1.net
>>351
>>>331
>＞このε に対して，f の連続性から，ある正の数δが存在してf(Bp(δ))⊂ B~f(p)(ε) ⊂ U が成り立つ．
>Bp(δ)⊂X である保証は？
>その保証が無ければ f(Bp(δ)) なるものは何の意味も持たないんだが
するどいね～！
この証明は、前にも書いたが種本があってね、>>331は>>330の続きだよ
だから、>>330にε-近傍の定義 Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X があって、ここから来ているんだ
Bp(δ)⊂X を定義に従って書き直せば、Bp(δ) := {q ∈ X | d(p, q) < δ} ⊂ X ってことで、定義そのものだよ
文字化けもあるし、２ちゃんねるにコピペして見にくくなった証明を苦労して読んでもらうのは心苦しい。なので、種本をばらしておくよ
>>271で既出の
www.math.titech.ac.jp/~kotaro/class/2011/set/lecture.pdf
集合と位相 第一（2011年度）山田光太郎 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 東京工業大学理学部2年次対象
>>331は、P32 定理10.17.
>>330は、P28 9.2 ε-近傍 定義9.5と定義9.6
>>299は、P28 9.1 関数の極限と連続関数(復習)、定義9.1
からだ
>>299-301の証明は、一応納得しているし、理解しているつもりだ
あなたのレベルなら読めば分かると思うが、分からないことがあったら質問してね。考えるから（＾＾；
387:１３２人目の素数さん
15/11/07 14:03:05.34 lBRTnVcw.net
>>354
Bp(δ)⊂X であることは了解。ではスレ主にとっての開集合の定義とは？
＞Bp(δ) ⊂ f^-1 (f(Bp(δ)))⊂ f^-1(U)
だと何故 f^-1(U) が開集合と言えるのか？
388:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:39:30.37 ZDIzWQj1.net
>>347 補足
蛇足だが、証明証明というけれど、現代数学において、well-difinedということばがある
以前、このスレで話題になり、教えて貰った
URLﾘﾝｸ(iky.no-ip.org)
「定義」を見たとき、その定義がwell-definedであるかどうかを気にできるようになったらかなりの上級者である。
（引用おわり）
ノルムだ、開集合だ、フィルターだと。well-difinedなこれらの数学的道具たち
証明と一体なんだよね、特に位相では。位相をどう定義するのか？ それによって証明できることが異なることになる
概念の定義があって、それを使って証明がある
が、数学的思考としては、well-difinedと証明は表裏一体かも。特に現代数学では
昔、連続はδ－εを使って証明すべきものだった
いま、連続は、扱う対象に応じて、開集合を適当に決めて、定義するべきもの。”適当に”が、広い意味でのwell-difinedに繋がっていると言えなくもない。そういう視点で位相を学んだ方が、高い視点に立てる気がする。「証明命」よりも
389:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:43:19.99 ZDIzWQj1.net
>>355
どうも。スレ主です。
君は、なかなかレベル高いね～（＾＾；
そこらは、>>354の山田光太郎先生の開集合の章があるだろ？
そこに何か書いてないかな？
ちょっと待ってね
考えるから
390:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:53:14.66 ZDIzWQj1.net
これだな
山田光太郎先生の開集合の章 P31
定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
君は、なかなか鋭いね～
391:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 14:56:12.79 ZDIzWQj1.net
P33の
「p はf^-1(U) から任意にとってきたのだからf^-1(U) は開集合である．」
も合わせて読んでね
392:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 15:01:55.32 ZDIzWQj1.net
>>358 補足
”山田光太郎先生の開集合の章 P31
定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．”
という規定ぶりは、おそらくε-近傍から、開集合の概念を思いっきり広げていると思うんだ。だから、分かったような分からないような書き方をしている
それは、あとの展開（距離という概念から離れて開集合をもっと一般的に定義すること）を考えてのことだろう
393:１３２人目の素数さん
15/11/07 15:48:43.01 lBRTnVcw.net
>>358
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
これらの定義によれば、[0,1]=U=X⊂R（Rは実数体）のとき、U=[0,1] は開集合であることになると思うが、異論は無いか？
394:１３２人目の素数さん
15/11/07 15:51:48.99 e1DD8W7u.net
であることにならないと思うよ
395:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 18:49:36.06 ZDIzWQj1.net
>>361-362
＞Bp(ε) := {q ∈ X | d(p, q) < ε} ⊂ X
＞定義10.1. 距離空間(X, d) の部分集合U ⊂ X が開集合open set である，とは，各x ∈ U に対して正の実
＞数ε でBx(ε) ⊂ U となるものが存在することである．
>これらの定義によれば、[0,1]=U=X⊂R（Rは実数体）のとき、U=[0,1] は開集合であることになると思うが、異論は無いか？
>であることにならないと思うよ
どうも。スレ主です。「であることにならないと思う」に一票！
この話は、”山田光太郎先生の開集合の章 P31
例10.3. ユークリッド空間Rn の1 点からなる集合{p} は開集合でない．
これを示すには，任意の正の数εに対してBp(ε) が{p} の部分集合でないことを示せば良い．
実際，p = (p1, . . . , pn) とするとき，与えられた正の数ε に対してq = (p1 + ε/2 , p2, . . . , pn) とするとd(p, q) = ε/2 なのでq ∈ Bp(ε) であるが，
p ≠ q なのでq ? {p}．”
が、参考になるだろう。
396:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:03:51.47 ZDIzWQj1.net
>>363 つづき
訂正 p ≠ q なのでq ? {p}→p ≠ q なのでq not ∈ {p}
not ∈の記号が文字化けか、不便なものだ
で、
[0,1]＝{0} +(0,1) +{1} と分解できる
1 点からなる集合{0} {1} は開集合でない。実は、閉集合であることは、>>271の命題10.10.にあるとおり
(0,1) は、開区間で開集合
つまり、[0,1]は、二つの境界の閉集合とその間の開区間（開集合）から成る
開集合にならないことは、>>363の例10.3.の証明にならえば、できるだろうよ
397:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:12:27.28 ZDIzWQj1.net
>>345 補足
「δ－ε 論法」について、補足しておく
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イプシロン-デルタ論法
関数値の収束
関数 f(x) に対して、極限の式 lim_{x → a}f(x) = b を ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∋ R, 0 < |x-a| < δ → |f(x)-b| < ε となる。
s.t. は such that の略で ∃ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。すなわち
任意の正の数 ε に対し、あ�
398:體K当な正の数 δ が存在して、 0 < |x ? a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) ? b| < ε が成り立つ という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。 この式が成り立っているとすると0< |x ? a| < δ の範囲で実数 x を動かしているうちは、どのように動かしても f(x) と b との差は高々 ε 程度でしかない。 x を a に近付けるという極限操作を行っている最中でもそうである。 ε は任意に選べるので好きなだけ小さくとっておき、それに応じて δ をちゃんと選べば x が0< |x ? a| < δ を満たす限り、 f(x) は b からせいぜい ε しか離れてない範囲に留まり続けなければならないのである。 （つづく）
399:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:13:08.83 ZDIzWQj1.net
>>365 つづき
ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。
世界中の人が選んだ ε の中で最も小さい数を ε1 としたとき、ε1 に対応する δ1 を選べば 0 < |x ? a| < δ1 ⇒ |f(x) ? b| < ε1 を成り立たせることができるが、
ε1 よりもさらに小さい ε2 = ε1/10 という数を考えても同様に対応する δ2 が存在し 0 < |x ? a| < δ2 ⇒ |f(x) ? b| < ε2 を成り立たせるようにできるということである。
ここで何故、小さい数ばかり考えているのかと言えば、今のように ε2 < ε1 という大小関係を満たす 2 つの 正の数があったときに、 ε2 に対して δ2 を選んでおけば
0 < |x-a| < δ _2 → |f(x)-b| < ε _2 < ε _1
より、δ2 は ε1 に対する δ としても使えるからである。
小さい ε で δ を与えられるなら、それより大きい ε に対しても δ を与えられる。
逆に 小さい ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。
関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim_{x → a}f(x) = f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。
これを ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
となる。
（おわり）
400:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:17:30.20 ZDIzWQj1.net
>>366 補足の補足
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
イプシロン-デルタ論法
歴史的背景
ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続を議論できるようになった[1]。
数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ 論法を用いて関数の連続性の基礎づけを行った。
しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。
脚注
1^ εは"error"、δは"distance"の頭文字であると理解するのが妥当である。実際、コーシーは彼の著作の中でεを"error"の省略として用いている。
401:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 19:26:58.58 ZDIzWQj1.net
>>364 補足
この話、命題10.10.の証明が参考になるかな？
命題10.10.の証明でやっていることは、距離空間(X; d) の1 点p ∈ X から、1 点pを除いた集合が、開集合ということを証明しているんだ
同じように、Rから[0,1]を除いた集合が、開集合ということは、同じ筋で簡単に証明できるだろう
どう？
402:１３２人目の素数さん
15/11/07 19:58:14.59 lBRTnVcw.net
>>363 >>364 >>368
講釈は結構。
距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
403:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:22:59.33 ZDIzWQj1.net
>>369
どうも。スレ主です。
>距離空間 ([0,1], d) の部分集合 [0,1] ⊂ [0,1] が開集合 open set でない，とは，ある x ∈ [0,1] が存在して、
>任意の正の実数 ε に対して Bx(ε) ⊂/ [0,1] を満たすことである．
>これに異存は無いか？無ければ、そのような x ∈ [0,1] の存在を示せ。
依存ありだよ
山田光太郎先生の開集合の章 P31
命題10.5 (開集合の性質). 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は開集合である．
閉集合の章 P32
命題10.12. 距離空間(X, d) に対して
(1) ?, X は閉集合である．
だから、X=[0,1]なら、全体集合Xは、閉集合でもあり、開集合でもあるよ
命題とあるから、証明できるんだろうね。山田光太郎先生が証明付けてないから、ほとんど自明なだろうが
つまり、全体集合Xと空集合?は、閉集合でもあり、開集合でもあるんだよ。そこを理解していないと、落とし穴にはまるよ（＾＾
404:１３２人目の素数さん
15/11/07 20:34:29.14 JqFAljx8.net
検索して
引用して
きょうも一日がおわる
405:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:44:46.51 ZDIzWQj1.net
>>370 訂正
(1) ?, X は開集合である．
↓
(1) φ, X は開集合である．
空集合の記号がばける。
406:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 20:50:34.40 ZDIzWQj1.net
>>371
ほほえましいね（＾＾；
学会か？ ここ？（＾＾
引用だぁ？ 新しい数学を書けとでも？（＾＾；
まあ、新作気取りは書いたけど。>>312-313だ
が、そうそう、新作問題は書けないぜ
おっと、>>312の問題をどれか解いてみないか？ 学会きどりくん
407:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:14:36.48 ZDIzWQj1.net
>>366 補足
関数の連続性
ε-δ 論法で書くと
∀ ε > 0, ∀ a ∈ I, ∃ δ > 0 s.t. ∀ x ∈ I, |x-a| < δ → |f(x)-f(a)| < ε
ここを少し具体例を考えてみた
１）f:x→y y=x(x<1のとき)、y=x+0.5(1=<xのとき)とする。 (つまり、1まではy=xで、x=1に不連続があって、1から大でy=x+0.5)
２）x=1で、0.5のギャップ（不連続）がある関数を考えるんだ
３）x=1で、δ近傍を考えると、|f(1-δ)-f(1)| < 0.5 とはできない。|f(1+δ)-f(1)| < ε なら可能なんだが。
４）だから、ε-δ 論法で、この関数fは、x=1で、不連続
５）これを、直観的に解説すると、写像されるyの方から見ていると考えることができる。yの方から見ると、0.5のギャップが見える。（x側からは見にくい）
６）それを、”∀ ε > 0 →|f(x)-f(a)| < ε”という物差しで、ギャップを調べる。ギャップをdとしてd=0.5だが、dはもっと小さく取れる。が、εをそれ(d)よりもっと小さく取れる。
これが、実数の１変数関数のε-δ 論法の分かり易い直観的な解説かな。おそらく、どこかに同じようなことがあって、読んだかも知れないが・・
408:１３２人目の素数さん
15/11/07 21:16:51.46 lBRTnVcw.net
>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
409:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:17:37.58 ZDIzWQj1.net
>>370 訂正
依存ありだよ
↓
異存ありだよ
410:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/11/07 21:28:24.31 ZDIzWQj1.net
>>375
>>>363 で開集合でないと言い、>>370 で開集合であると言う。
>スレ主のどこが誤りかを指摘してあげるつもりだったが、レス毎に180度翻されては私もお手上げだ。
おいおい、正気か？
山田光太郎先生のPDFに、何も足さない、何も引かない・・・わけでもないが、PDFからのコピペで崩れるところだけ、最小限手を加えた。ロジックは変えていない
”どこが誤りかを指摘してあげるつもり”？ 誤りがあったら、山田光太郎先生に言ってあげてね、学生さんなら喜ばれるよ、よく勉強しているとね！（＾＾；
が、私が見るところ、山田光太郎先生に誤りはないよ
勘違いしている、[0,1]が実数Rの一部であるとき>>363、[0,1]は閉区間であり当然閉集合さ
が、実数Rの一部でなく[0,1]を全体集合として扱うときは>>370、全体集合は閉集合でもあり開集合でもあるんだよ（位相の常識！）