15/10/18 15:59:05.07 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>100の続き)
(3)：n＝ℵ_0のとき。このときは、集合G(ℵ_0)の濃度card(G(ℵ_0))を求めればいい。
だが、本来card(G(ℵ_0))を単純に求めてはいけない。もしcard(G(ℵ_0))を求めるなら、
実数直線には大小関係が定まっているから、G(ℵ_0)＝Φからcard(G(ℵ_0))＝0。
仮にG(ℵ_0)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(ℵ_0)が存在して、Gは、
濃度ℵ_0を次元とするような、Z上の可算無限個の点からなる或るB(ℵ_0)の基底によって
張られる線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝ℵ_0なる添数集合として、任意の点x∈Gは、
x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(ℵ_0)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方では、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) つまり
μx＝μΣ_{n＝1,…,∞}(a_n・x_n)＝Σ_{n＝1,…,∞}(μ・a_n・x_n) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(ℵ_0)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(ℵ_0))＝0。