15/10/11 20:22:42.62 RDXEzJ3O.net
旧スレが500KBオーバーに近づいたので、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
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（古いものは、そのままクリックで過去ログが読める。また、ネットで検索すると、無料の過去ログ倉庫やキャッシュがヒットして過去ログ結構読めます。）
2:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:23:39.82 RDXEzJ3O.net
どうも。スレ主です。
新スレ立てたので、件数かせぎ
3:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:32:20.17 RDXEzJ3O.net
旧スレより転載
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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
407 返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/09/13(日) 23:17:25.69 ID:8lVD4F4L
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
564 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 07:34:36.14 ID:ikZEN+WS
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。
証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を
Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の
集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
617 返信：564[] 投稿日：2015/10/09(金) 09:57:44.27 ID:h0FUr9tN
>>597
じゃあ類題を出します。
問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
これは元の問題の理解度を示す良い試金石だと思います。
これを解いてくれませんか？
4:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:34:36.12 RDXEzJ3O.net
>>3 つづき
「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」
は、個人的には新作問題かなと
もとは、おっちゃんの作った問題があって、それを非加算濃度→連続濃度の”べきの濃度”にひねったんだ
5:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:35:49.81 RDXEzJ3O.net
この問題は、レベルとしては、学部３より上だろうね
6:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:37:37.94 RDXEzJ3O.net
>>3 つづき
ここで、564の解答があるから、>>617は別に難しくない
というか、・・・、まああんまり書くとネタばらしだから、控えておこう・・
7:564
15/10/11 21:06:49.09 7jDSbCoQ.net
>>6
617の問題は簡単過ぎましたか？
でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。
似たような問題でもう少し難しいものを出しておきます。
問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
8:１３２人目の素数さん
15/10/11 21:40:26.42 VK3wi8Gp.net
有理点を中心とし有理数を半径とする円板の
可算個の和集合の可算減少列の極限として
表せる部分集合の全体の（無限）部分集合だから
可算濃度
9:１３２人目の素数さん
15/10/12 05:54:37.29 ct7OOLyO.net
前スレで
連続体仮説はどうすんだ
と尋ねたが
返事が無かった。
10:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 06:46:39.29 bHE7evZI.net
>>9
どうも。スレ主です。
前スレ 655 で回答したが、リンク間違っていたから気付かなかった？ リンク訂正は>>657に入れた
もっとも、質問は出題者向けかも知れないけどね
だれへの質問かをはっきりした方が良いね
11:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 06:53:52.46 bHE7evZI.net
>>8
どうも。スレ主です。
スマホからかね？
あんまりへんなクセ付けない方が数学では良いとおもうけどね
インフォーマルな仲間での話は別として、学生時代の数学では、省略はおうおう減点対象になるよ
で>>7に対する回答なんだろうが
～だからの部分の主語がない
後半も主語がない
試験の答案なら大減点だろう
かつ、答えが間違っていると思うよ
12:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 07:41:37.01 bHE7evZI.net
>>7
どうも。スレ主です。
このスレの趣旨をご理解頂きありがとう
まあ、スレ主の勉強のためのスレではあるけれども、一方みなさまのためのスレでもなければならない
だから、みなさんにも楽しんで貰うことも重要なのだ
もちろん、全ての人を満足することは難しいとしても、多くの人に楽しんで貰うを目指したい
ところで、気がついて頂いたようだが、前スレで引用した角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生のPDFは解答の参考になると。それを見れば私がほぼ理解していると・・
もちろん、理解と証明を書くこととは別だ。とくに試験場ではね。が、まあ自宅で時間をかければ、理解がすすめば大概は
また、617の問題（>>3に引用）は、564の解答（>>3に引用）があれば、簡単でしょうよ。564の解答が無ければ、別だが
ところで、新主題に対して、過去スレで引用した下記がある
名無しさんになっているが、私だ。
このPDFが、問題>>7の参考になるだろう
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13
78 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/04/11(土) 23:10:01.30 ID:pLE9DoNh
URLﾘﾝｸ(www.juen.ac.jp)
数学基礎演習 – 集合と位相 – 2014 年度後期 中川仁（なかがわじん）上越教育大学
命題1.23. X, Y がともに可算集合ならば，直積集合X Y も可算集合である．
例1.18 と命題1.23 より，Z^2 は可算集合である．帰納的にZ^n は可算集合である．
命題1.24 と命題1.23 より，Q^2 は可算集合である．帰納的に，Q^n は可算集合である．
13:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 07:56:55.88 bHE7evZI.net
>>12 つづき
訂正：新主題→新出題
ところで>>7に戻るが「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
は、「問題:複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。
複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。」の方が流れが良いだろう
いわずもがなだが、閉集合は定義次第。先にユークリッド位相を宣言すべき。”但し・・”と後付けで書く流儀もあるが、それは”但し・・”の部分が軽いとき（例えばほぼ自明だが念のためとか）
この場合も閉集合は自明に近いが、先の方が流れが良いと思った
ところで、私スレ主が位相に弱いと思っての心遣いと思うが、今後はご無用に
位相に弱いは当たっているし、これはこれで良いが、このスレは単純に問題と解答というスレではないと
位相の勉強を、問題ー解答だけでやっているときりながないだろ？
出題に戻ると、「第一感、簡単じゃないか」と思ったが、結構難しかった。解けたけどね。が、解答を書くと、>>3の解答のネタばらしになるから後で
14:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 08:29:45.82 bHE7evZI.net
>>13 つづき
>>7の問題もちょっと考えさせる問題ではあるね。こういう形で、閉集合の濃度を聞いた問題は初見だから、新作かな？
まあ、閉集合の定義（下記）などを見ると、直感的には簡単そうだが、細かい議論では、落とし穴があるね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相空間
閉集合の補集合は開集合であり、開集合を定める三つの公理にド・モルガンの法則を適用することにより、閉集合の満たすべき性質が定まるが、逆にそれを閉集合の公理として開集合を定め、位相を決定することもできる。すなわち、X の部分集合族 σ が
１．空集合 φ および全体集合 X は σ に属す。
２．σ に属する集合の有限個の合併はふたたび σ に属す。
３．σ に属する集合の任意個（無限濃度をも許す）の交叉はふたたび σ に属す。
を満たすならば、X に σ の元を閉集合とする位相が定まるといい、σ を位相空間 (X, σ) の閉集合系と呼ぶ。
この開集合系による定義と閉集合系による定義は自然同値である
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
位相の特徴付け
数学において位相空間の位相は開集合系として定義することが多いが、
それと同値な位相の特徴付けがいくつも知られており、それらは同じ位相空間の圏を定める。どの定義からも位相的概念に対する新たな見方が提供され、多くの位相的概念について更なる事実や一般化の方向性が導き出される。
15:１３２人目の素数さん
15/10/12 08:35:01.76 Ieo7mfZp.net
位相変換
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ネーターの定理と位相変換
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ネーターの定理（ネーターのていり、英: Noether's theorem）は、
系に連続的な対称性がある場合はそれに対応する保存則が存在する、と述べる定理である。
ドイツの女性数学者エミー・ネーターによって1915年に証明され、1918年に公表された。
16:１３２人目の素数さん
15/10/12 08:36:22.36 epKn6sme.net
位相の意味も分かってないみたいだな。
17:１３２人目の素数さん
15/10/12 09:11:38.28 Ieo7mfZp.net
テンソル
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
テンソル（英: tensor, 独: Tensor）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので
、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。
しかし、テンソル自身は、特定の表示系によらないで定まる対象である。
個々のテンソルについて、対応する量を記述するのに必要な配列の添字の組の数は、そのテンソルの階数とよばれる。
連続体力学
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
アインシュタインの縮約記法
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
URLﾘﾝｸ(upload.wikimedia.org)
18:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 09:38:48.04 bHE7evZI.net
>>14 つづき
>でもちゃんとした証明を書くのはスレ主さんの良い勉強になるはずです。>>7
数学屋さんらしいね。が
カントールの集合論で、どこまで戻るか。
まあ、下記濃度の例などは認めないと、２ちゃんねるなんかには書ききれないだろう（＾＾
そもそも、２ちゃんねるなんかで、正面から「証明！」というのが、場違いな気がする（＾＾
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
連続体濃度
連続体濃度をもつ集合 例略
連続体濃度よりも大きな濃度 例略
19:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 10:02:33.44 bHE7evZI.net
>>15-16
どうも。スレ主です。誤爆？（＾＾；
ネーターの定理と位相変換での位相は、例えば交流�
20:d流の数式で表したときの、下記(ωt + α) のこと（下記） ひらたく言えば、波の変動部分 物理や工学で波を扱う場合の英語phaseの意味 数学の位相は、英語でtopologyかな？（下記） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8 位相 曖昧さ回避 この項目では、フェイズ (phase) ：波形などを特徴付ける量について説明しています。 トポロジー (topology) ：空間に定まる幾何学的性質については「位相空間」をご覧ください。 位相（いそう、英語: phase）は、波動などの周期的な現象において、ひとつの周期中の位置を示す無次元量で、通常は角度（単位は「度」または「ラジアン」）で表される。 たとえば、時間領域における正弦波を y(t) = A sin(ωt + α) とすると、(ωt + α) のことを位相と言う。特に t = 0 における位相 α は初期位相と呼ばれる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Topology Concepts Topologies on Sets Main article: Topological space The term topology also refers to a specific mathematical idea central to the area of mathematics called topology. Informally, a topology tells how elements of a set relate spatially to each other. The same set can have different topologies. For instance, the real line, the complex plane, and the Cantor set can be thought of as the same set with different topologies. Formally, let X be a set and let τ be a family of subsets of X. Then τ is called a topology on X if: １．Both the empty set and X are elements of τ ２．Any union of elements of τ is an element of τ ３．Any intersection of finitely many elements of τ is an element of τ If τ is a topology on X, then the pair (X, τ) is called a topological space. The notation Xτ may be used to denote a set X endowed with the particular topology τ.
21:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 11:02:12.62 bHE7evZI.net
>>5 訂正
学部３より上→学部３年より上
22:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 11:08:55.02 bHE7evZI.net
>>9-10 補足
旧スレ転載より
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
573 返信：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/10/03(土) 10:40:59.66 ID:ikZEN+WS [3/3]
抜粋
>「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
>Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
>の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
不要です。
理由:CはQ(S)の代数拡大となるのでCの濃度とQ(S)の濃度は等しい。それとQが可算であることからSの濃度は
Cの濃度に等しくなる。よってSは実数体の濃度を持つ。
655 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:21:01.68 ID:RDXEzJ3O [4/10]
抜粋
連続体仮説は、前提にする方が、なにかとすっきりするけどね。考える上で。
が、厳密には>>573の回答が正しいと思う
23:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 11:33:43.36 bHE7evZI.net
>>21 補足
Q(S)→Q~(S) or A(S) |Q~ or Aは、Q上の代数的数全体からなる集合は体、とした方が、理論的には綺麗かもね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
An algebraic number is a possibly complex number that is a root of a finite, non-zero polynomial in one variable with rational coefficients
(or equivalently ? by clearing denominators ? with integer coefficients). Numbers such as π that are not algebraic are said to be transcendental.
Properties
・The set of algebraic numbers is countable (enumerable).
・Hence, the set of algebraic numbers has Lebesgue measure zero (as a subset of the complex numbers), i.e. "almost all" complex numbers are not algebraic.
・Given an algebraic number, there is a unique monic polynomial (with rational coefficients) of least degree that has the number as a root.
This polynomial is called its minimal polynomial. If its minimal polynomial has degree n, then the algebraic number is said to be of degree n.
An algebraic number of degree 1 is a rational number. A real algebraic number of degree 2 is a quadratic irrational.
・The set of real algebraic numbers is linearly ordered, countable, densely ordered, and without first or last element, so is order-isomorphic to the set of rational numbers.
The field of algebraic numbers
The sum, difference, product and quotient of two algebraic numbers is again algebraic (this fact can be demonstrated using the resultant),
and the algebraic numbers therefore form a field Q~ (sometimes denoted by A, though this usually denotes the adele ring).
Every root of a polynomial equation whose coefficients are algebraic numbers is again algebraic. This can be rephrased by saying that the field of algebraic numbers is algebraically closed.
In fact, it is the smallest algebraically closed field containing the rationals, and is therefore called the algebraic closure of the rationals.
The set of real algebraic numbers itself forms a field.
24:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 11:37:06.87 bHE7evZI.net
>>22
Q(S)→Q~(S) or A(S) |Q~ or Aは、Q上の代数的数全体からなる集合は体、とした方が、理論的には綺麗かもね
↓
Q(S)→Q~(S) or A(S) |Q~ or Aは、Q上の代数的数全体からなる体、とした方が、理論的には綺麗かもね
まあ、要するに、Q~(S) or A(S) としておけば、これはCに一致する
そして、Q~ or Aは、countable (enumerable)で、Sに対して同じ論法が成り立つ
25:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 11:37:48.76 bHE7evZI.net
あっと、>>23は訂正と補足ね（＾＾
26:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:14:57.78 bHE7evZI.net
前スレ再録
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
652 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:09:06.87 ID:RDXEzJ3O
どうも。スレ主です。ノーベル賞ネタ投下
URLﾘﾝｸ(www.sankei.com)
2015.10.11 【ノーベル賞】今年は山梨に埼玉、いや徳島や長崎だって… 旧帝大には負けない地方大学の受賞ラッシュ 産経
（引用おわり）
まあ、３０まで埋めたいので（＾＾
”旧帝大には負けない地方大学の受賞ラッシュ”ね
今年は、確かにそういう年
27:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:24:40.21 bHE7evZI.net
人生至る所青山あり
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
大村智
生い立ち
山梨県北巨摩郡神山村（のちの韮崎市）にて生まれた[5][6]。1954年、山梨県立韮崎高等学校を卒業後[7]、山梨大学の学芸学部自然科学科へ進学した。
大学では丸田銓二朗に師事し、クロマトグラフィーを習得したものの、成績は不振だった[8]。1958年、山梨大学の学芸学部自然科学科を卒業した[9]。
大学卒業後は、理科の教諭として東京都立墨田工業高等学校の定時制に勤務した[8]。1960年、東京教育大学の研究生となった。
東京教育大学では、中西香爾に師事した[8]。1963年、東京理科大学の大学院にて、理学研究科の修士課程を修了した[9]。大学院においては、中西香爾の紹介で都築洋次郎の研究室に所属し、働きながら5年かけて修士号を取得した[10]。
なお、のちに複数の大学から博士号を取得しており、[1968年]]には「Leucomycinに関する研究」により東京大学から薬学博士の学位を授与されており、
1970年には「ロイコマイシン、スピラマイシン及びセルレニンの絶対構造」により東京理科大学から理学博士の学位を授与されている。
研究者として
1963年、文部教官として採用され、山梨大学の工学部発酵生産学科の助手となった。これは丸田銓二朗の紹介により採用に至ったものであり、加賀美元男の研究室でブランデーの製法の研究に従事した[11]。
1965年、山梨大学を退官し、社団法人である北里研究所にて技術補として採用された[9]。
1971年には、ウェズリアン大学の客員教授も兼任することになった[9]。カナダの国際会議で知り合ったアメリカ化学会会長のマックス・ティシュラーに対して留学を打診し、採用に至ったものである。
メルク・アンド・カンパニーからの研究費も獲得することに成功した[13]。
日本に帰国し、1973年に北里研究所にて抗生物質研究室の室長に就任した[14]。また、メルク・アンド・カンパニーとの共同研究を開始した[8]。
業績
45年余に亘り独創的な探索系を構築し、微生物の生産する有用な天然有機化合物の探索研究を続け、これまでに類のない450種を超える新規化合物を発見した。
28:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:26:46.02 bHE7evZI.net
人間到る処青山ありとも
URLﾘﾝｸ(kotowaza-allguide.com)
人間到る処青山あり - 故事ことわざ辞典
【読み】 にんげんいたるところせいざんあり
【意味】 人間到る処青山ありとは、世の中は広く、死んで骨を埋める場所ぐらいどこにでもあるのだから、大望を成し遂げるためにならどこにでも行って、大いに活躍するべきであるということ。
【人間到る処青山ありの解説】
【注釈】 「人間」は、人の住む世界・世の中という意味で、「じんかん」とも読む。
「青山」は、死んで骨を埋める地・墓地のこと。
幕末の僧、釈月性の詩「男児志を立てて郷関を出ず、学若し成る無くんば復還らず、骨を埋むる何ぞ墳墓の地を期せん、人間到る処青山あり」から。
29:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:31:53.80 bHE7evZI.net
いま数学で苦しんでいる君
大村智先生の例を覚えておくことだ
紆余曲折
人間到る処青山あり
30:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:36:21.66 bHE7evZI.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
梶田隆章
生い立ち
1959年3月9日、埼玉県東松山市に生まれる。幼少期から特に自然科学に興味があったわけではなかったが、暗記よりも考える勉強を好み、高校の授業で物理に興味を持ったことから埼玉大学で物理学を専攻した[5]。
自身について、真面目で楽観的な性格だから研究を続けられた、としている。
学歴
大学卒業後、東京大学大学院理学系研究科に進み、小柴昌俊研究室に入る[8]。研究室では小柴、戸塚洋二の下で宇宙線研究に従事した[9]。
素粒子に特に強い関心があったわけではなかったが、「何となく興味があった」という理由で研究室を選んだという[6]。
業績
ニュートリノ研究を始めたのは、東大理学部助手になって間もない1986年のことである。ニュートリノの観測数が理論的予測と比較して大幅に不足していることに気づき、それがニュートリノ振動によるものと推測した。
ニュートリノ振動とは、ニュートリノが途中で別種のニュートリノに変化するという現象であり、ニュートリノに質量があることを裏付けるものである。
これを明らかにするためには膨大な観測データが必要であり、岐阜県神岡町（現・飛騨市）にあるニュートリノの観測装置カミオカンデで観測を始めた。
転機となったのはカミオカンデより容積が15倍大きいスーパーカミオカンデが1996年に完成し、観測データが飛躍的に増大してからだった。
1996年よりスーパーカミオカンデで大気ニュートリノを観測、ニュートリノが質量を持つことを確認し、1998年ニュートリノ物理学・宇宙物理学国際会議で発表。1999年に第45回仁科記念賞を受賞した。
これらの成果はすべてグループによる研究の賜物であった[10][11][12]。
2015年のノーベル物理学賞をアーサー・B・マクドナルドと共に受賞[4]。受賞理由は「ニュートリノが質量をもつことを示すニュートリノ振動の発見[4]」である。
31:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:40:36.85 bHE7evZI.net
戸塚 洋二さん
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
戸塚 洋二 (とつか ようじ、1942年3月6日 - 2008年7月10日) は日本の物理学者。東京大学特別栄誉教授。静岡県富士市出身。富士市名誉市民(第1号)[1]。
1995年には神岡宇宙素粒子研究施設長に就任、1997年からは東京大学宇宙線研究所長。翌1998年、スーパーカミオカンデでニュートリノ振動を確認しニュートリノの質量がゼロでないことを世界で初めて示した。
2001年に起きたスーパーカミオカンデの光電子増倍管の70%を損失する大規模破損事故の責任をとり、東京大学を辞職した[要出典]。翌2002年には高エネルギー加速器研究機構素粒子原子核研究所教授となった。2003年より2006年まで同機構長。
2008年7月10日、直腸ガンのため死去 (66歳没) 。2002年のノーベル物理学賞受賞者・小柴昌俊の愛弟子の一人だった。
小柴は文藝春秋2008年9月号に寄稿した追悼文集「弟子の弔辞を読む痛恨」において、戸塚の告別式での弔辞で「あと十八ヶ月、君が長生きしていれば、国民みんなが喜んだでしょう」と、ノーベル賞受賞を期待されながらの死去を惜しんだことを明かしている。
没後の2009年に平成基礎科学財団が戸塚の功績を記念して「戸塚洋二賞」を創設した[2]。
なお、同じく小柴門下の一人にして戸塚から指導を受けた人物であり、第1回の「戸塚洋二賞」受賞者でもある梶田隆章が2015年にノーベル物理学賞を受賞し、戸塚が果たせなかった悲願を実現させる形となった[3]。
32:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:43:09.84 bHE7evZI.net
ご存命なら、同時にノーベル賞だったろうといわれる（ひょっとすると、梶田隆章さんより優先されかもしれない）
梶田隆章さん、運も実力のうち
埼玉大学からのノーベル賞は初だろう
33:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:49:57.92 bHE7evZI.net
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
太陽ニュートリノ問題
太陽ニュートリノ問題（たいよう～もんだい、英: Solar neutrino problem ）は、地球を貫通していくニュートリノの観測数が、太陽内部の理論的モデルから予測される値と一致しないという問題である。
1960年代半ばから続く問題とされてきたが、2002年に解決した。この不一致は素粒子標準模型を修正したニュートリノ物理の新しい解釈であるニュートリノ振動により解決された。
これは質量をもつ太陽内部で生成されたニュートリノが、伝搬の過程で存在確率が周期的に変化（振動）することにより検出器で同時には捉えられない別の2つのフレーバーのニュートリノに交換されるためと説明される。
初期の観測
1960年代後期、レイモンド・デイビスやジョン・バーコールらが、太陽からのニュートリノ線の予測値からの不足を最初に観測した。Homestakes の実験は塩素を使った検出器で行われたが、その後放射化学や水のチェレンコフ光を使った検出器でも確認された。
標準太陽モデル（英語版）によると、現在の太陽から輻射されるエネルギーが全て核融合から賄われるとすれば、観測されたニュートリノの値よりも大きくなければならず、理論を含めた検討がなされた。
つづく
34:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 14:55:24.99 bHE7evZI.net
つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ニュートリノ振動の発見による解決 詳細は「ニュートリノ振動」を参照
太陽ニュートリノ問題は改良されたニュートリノの特性についての理解によって解決された。素粒子物理学の標準理論によれば、三種類の異なるニュートリノがある。
・電子ニュートリノ (太陽で生み出されるもので、Homestake等の実験で観測されたもの),
・ミューニュートリノ
・タウニュートリノ
1968年にはブルーノ・ポンテコルボがもしニュートリノが質量を持つなら、その種類を別のものに変化させることができることを示した。[note 1]
したがって、太陽からの「失われた」電子ニュートリノは地球への道のりで他の種類に変化しため、電子ニュートリノしか検出できない Homestake 鉱山や同時代のニュートリノ観測所の検出器では見つけられなかった可能性が残った。
1987年、超新星 1987AからのニュートリノがカミオカンデとIMBで検出された。しかしながら、検出数が非常にわずかであったため、確実性を持って何らかの結論を導くのは困難だった。[note 2]
1998年、ニュートリノ振動の最初の強力な証拠が日本のスーパーカミオカンデの共同研究によってもたらされた。
ミューオンニュートリノ（宇宙線によって上層の大気で生成される）がタウニュートリノに変化すると考えれば矛盾しない観測結果が得られた。
そして、この観測では地球の大気と宇宙線の相互作用からくるミューオンニュートリノのみに着目していた。タウニュートリノはスーパーカミオカンデでは観測されない。
2001年になると、太陽ニュートリノ振動の説得力のある証拠がカナダのサドベリー・ニュートリノ天文台 (SNO)によってもたらされた。
SNOでは太陽から来るすべての種類のニュートリノを検出し、重水を検出媒体に用いることで電子ニュートリノと他の2つのフレーバーとを区別することができた（ミューとタウのフレーバーは区別できない）。
広範囲にわたる統計解析ののち、太陽から届くニュートリノの約35%が電子ニュートリノでその他がミューまたはタウニュートリノであることがわかった。
検出されたニュートリノの全数は、以前の太陽内部の核融合反応に基づく原子核物理学の予測と非常によく一致した。
35:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 15:01:38.34 bHE7evZI.net
>>31 補足
>梶田隆章さん、運も実力のうち
"1986年のことである。ニュートリノの観測数が理論的予測と比較して大幅に不足していることに気づき、それがニュートリノ振動によるものと推測した。">>29
"1968年にはブルーノ・ポンテコルボがもしニュートリノが質量を持つなら、その種類を別のものに変化させることができることを示した。">>33だから、梶田さんの推測は学術的には意味があまりない
やはり、”1998年、ニュートリノ振動の最初の強力な証拠が日本のスーパーカミオカンデの共同研究によってもたらされた。”が大きい
梶田さん自身が言っているように、あくまで共同研究で、自分一人ではないと
2015年代表してノーベル賞、それは運でもあり、もちろん実力でもある
36:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 15:05:26.37 bHE7evZI.net
>>33 補足
>1987年、超新星 1987AからのニュートリノがカミオカンデとIMBで検出された
これが小柴先生のノーベル賞受賞理由になった
５００年に一度という超新星を捉えた幸運
だが、２０１５年の受賞で、小柴先生はその実力を示した（最初にニュートリノ天文学のレールを引いたという意味で）
37:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 15:14:00.31 bHE7evZI.net
因みに
湯川先生のノーベル賞も、ニュートリノが絡んでいるのだった（下記）
URLﾘﾝｸ(wiki.yukawa100.org)
中間子とβ崩壊
「湯川論文の概要」の「β崩壊の説明（＝弱い相互作用）はニュートリノが関与」というのは、フェルミがすでに発表していた内容で、湯川は、β崩壊の際にも「中間子を媒介として」転換が起こるという説を提唱したのです。
これは正しくはありませんでしたが、後に弱い相互作用はWボソンによって媒介されるという理解へと発展する基礎を与えたという意義があるのです。
フェルミの理論は、ニュートンの運動方程式や、マックスウェル方程式の様に、現在でも通用する理論で、当時知られていたベータ崩壊をことごとく説明するものだったと聞いています。つまり、フェルミの理論は大成功だったわけです。
で、湯川は自分の理論からこのフェルミの理論を演繹することを企てました。フェルミ理論を自分の理論で説明しようと思ったわけで、フェルミ理論より自分の理論がより根源的なものであることを示そうとしたのです。
それが4章です。その後、湯川粒子が発見されて、その性質が知れるようになると、湯川の試みは実験事実と合わなくなり、今日に残っていないようです。
ただし、フェルミの理論をUで説明しようとした思想は、現在の標準理論では、Uの代わりにWボソンとして現実化していると言われることがあります。
38:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 15:25:58.28 bHE7evZI.net
そういえば、カナダにはCANDU炉という重水を使う原子力発電設備があったね（下記）
研究に使う多量の重水調達が容易だったかも知れないね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
CANDU炉（英語: CANDU reactor）とは、中性子の減速及び燃料の冷却に、共に重水を使用することを特徴とする原子炉のことである。
減速材に重水を使用することから重水炉に分類される。CANDUとはCanadian deuterium uraniumの略である。1960年代にカナダ政府と民間企業との合弁企業によって設計された。
特徴
・中性子の減速に重水を使用する
・天然ウランが使用できるため、ウラン濃縮の必要性がない
この点は、ウラン資源が豊富なカナダにおいては、特に利点となる
39:１３２人目の素数さん
15/10/12 15:51:24.51 WXWksHFO.net
>>6、>>12
お久しぶりです。おっちゃんです。
>ここで、564の解答があるから、617は別に難しくない
617を解くのに超越基底はいらない。それどころか、体も殆どいらない。
本当に簡単な複素解析、加法群の定義、集合論の知識があれば十分かな。
617を解くにあたっては、連続体仮説の問題も関係ない。
で、答えは、自然数全体からなる集合の濃度をℵ_0として、実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}。
何か凄いバトルやっていたようだな。
40:１３２人目の素数さん
15/10/12 16:21:40.27 WXWksHFO.net
>>6、>>12
例えば、617は
複素数体Cの「加法」部分群全体の集合をAとする。実数直線Rは複素平面Cの空でない真部分集合である。
また、通常の加減乗除の演算について、実数直線Rは加法群として扱うことが出来、同様に、複素平面C
は加法群として扱うことが出来る。従って、R、Cを両方共に、通常の加減乗除の演算について加法群と
見なすと、通常の加法+の演算について、Rは加法群Cの部分群である。
41:従って、A≠Φである。ここで、 Cの加法部分群G∈Aを任意に取る。すると、複素平面C上の点0は加法群Cの単位元であることに注意すると、 Gの単位元は点0である。G⊂Cなることに注意して、Gの各元zに対して、zの実部をRe(z)、zの虚部をIm(z) とする。すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。また、加法群Rは加法群Cの加法部分群である。複素 平面C上において実軸と虚軸は直交するから、Gは、或る1つの複素平面C上の点0を通る直線上の全体から なるような集合である。Cの加法部分群Gは任意であるから、GをAの中で走らせると、Aの濃度は、平面C上の 点0を中心とする、半径1の半円の、平面Cの実軸を含むような平面Cの上半分にあたる部分における点全体 からなるような、平面Cの部分集合における、半円の弧C'からC'の1つの端点-1を除いて出来る部分集合 C'-{-1}の濃度に等しい。つまり、Aの濃度は、平面Cの上半平面における点0を中心とする半径1の半円の弧の 部分集合に、平面Cの点1を加えた曲線C'-{-1}の濃度に等しい。ここで、偏角の不定性に注意すると、C'-{-1} は、C'-{-1}＝{e^{θi}∈C|0≦θ＜π}と表せる。また、区間[0,π)からC'-{-1}への全単射が存在する。従って、 C'-{-1}の濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。C'-{-1}の濃度はAの濃度に等しいから、Aの濃度は区間[0,π)の 濃度に等しい。区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、 区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。 というように解けますな。まあ、もしかしたら、解くにあたって細部の論理の飛躍があるかも知れんが、 大体の方針は上のようになる。
42:１３２人目の素数さん
15/10/12 16:29:45.53 WXWksHFO.net
>>6、>>12
>>39の
>すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。
の部分は、正確には
>すると、任意の「z∈G」に対してRe(z),Im(z)∈R。
だな。まあ、一般に任意の複素数zに対してRe(z),Im(z)∈Rで、
このあたりは何ともいえんが。
43:１３２人目の素数さん
15/10/12 16:40:08.16 ct7OOLyO.net
>>38
そうだろう？ だからこそ、
2^{自然数の濃度} が 連続体濃度 と同じか否か
が問題になる。最初から言っているじゃないか。
44:１３２人目の素数さん
15/10/12 16:52:16.48 WXWksHFO.net
>>6、>>12
あっ、あと>>39では問題を解くときに一応最後に肝心な？
>区間[0,π)は区間[0,1)を含み、区間[0,1)の濃度は実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}に等しいから、
>区間[0,π)の濃度は2^{ℵ_0}である。
のあとに
>従って、Aの濃度は2^{ℵ_0}である。
という文章を付け加えるのを忘れた。こういうのは、直前に
>Aの濃度は区間[0,π)の濃度に等しい。
と書いてあるから、文章の流れとしてはなくてもいいとは思うが。
45:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 17:57:35.27 bHE7evZI.net
>>38
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ご無沙汰です
>で、答えは、自然数全体からなる集合の濃度をℵ_0として、実数直線Rの濃度2^{ℵ_0}。
そこは、ちょっと意見が違う
>何か凄いバトルやっていたようだな。
この程度は、最初のおっちゃんの問題のときに比べればあれですよ
46:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 18:01:44.93 bHE7evZI.net
>>39
どうも。スレ主です。
またまた、おっちゃんらしい
がーーーと、見にくい証明書いて（＾＾；
正直読む気がしないけど
結論が違うというのは、>>43の通り
まあ、あんまり書くとネタばらしだから・・・
47:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 18:08:35.95 bHE7evZI.net
それはさておき、おっちゃんは
>>3に引用した旧スレ564の超越基底Sを使う証明は納得しているの？ それをちょっと確認しておきたかったんだ（＾＾
48:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 18:31:11.23 bHE7evZI.net
>>14 補足
閉集合の公理１～３で、閉集合が定まる
一見簡単そうだが・・・
任意の部分集合を取ったときに、開か閉かどちらでもないかの３種類
ここらをどう処理するか
まあ、皆さんも考えて下さい
49:564
15/10/12 19:26:37.06 towYU6hL.net
>>39
>ここで、
>Cの加法部分群G∈Aを任意に取る。すると、複素平面C上の点0は加法群Cの単位元であることに注意すると、
>Gの単位元は点0である。G⊂Cなることに注意して、Gの各元zに対して、zの実部をRe(z)、zの虚部をIm(z) >
>とする。すると、任意のzに対してRe(z),Im(z)∈R。また、加法群Rは加法群Cの加法部分群である。複素
>平面C上において実軸と虚軸は直交するから、Gは、或る1つの複素平面C上の点0を通る直線上の全体から
>なるような集合である。
これは間違いです。例えば実部と虚部がともに整数値の複素数全体のなす加法部分群LはAの元ですが、
もちろん点0を通る直線ではありません。
この証明は正しくありません。
>>41
連続体濃度が2^{自然数の濃度}として定義されるものなのでこの２つが等しいのは定義そのものです。
連続体仮説は自然数の濃度と2^{自然数の濃度}の間に他の濃度がないという
50:主張なのでこの話とは無関係です。
51:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 20:49:50.82 bHE7evZI.net
>>47
どうも。スレ主です。
564さん、レスありがとう。が、書いちゃったね・・（＾＾；
ぼかしてたんだよ、それ（前半部分）>>44
でも、これで分かったろう？ >>12に書いたこと
おれが全部解いたら、みなさんの勉強の機会をうばうことになると（＾＾；
52:１３２人目の素数さん
15/10/12 21:44:48.79 F9Nd69n1.net
と一番わかってないアホが言ってます
＞ぼかしてたんだよ、それ
後出しジャンケン乙
53:１３２人目の素数さん
15/10/12 21:55:49.06 ct7OOLyO.net
>>47
連続体濃度の定義は、実数の濃度だろ。
対角線論法から♯N＜♯R、実数の小数表記から♯R≦♯pow(N)
だから、連続体仮説から♯R＝♯pow(N)になる。
54:564
15/10/12 22:57:01.07 towYU6hL.net
>>50
連続体仮説が無くてもpow(N)からRへの単射は作れるので#pow(N)=#Rは成り立ちますよ。
55:１３２人目の素数さん
15/10/16 09:29:03.34 q0g452AG.net
>>45
おっちゃんです。
>>3の「Sの部分集合Tに対し、」の部分では「T≠Φ」を仮定していて、
超越基底の定義からS⊂Cなのだから、T⊂Cだな。そして、
>U={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の集合
では、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sとしていて、同様に定義から、C＝Q(S)から
C^*＝Q(S)^* だから、Uは「C^*の部分群(全体からなる集合)の(部分)集合」になる。
例えば、通常の乗法についてのC^*の部分群{1}は、体ではないから、集合Uには属さない。
このことからも、Uは、部分集合なることは分かる。後は、Sの濃度card(S)が2^{ℵ_0}＝c
に等しいから、Uの定義からcard(U)がSのべき集合の濃度2^cに等しいことがいえる。そして、
>T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。
では、(多分)Sの「部分集合T全体」のUにおける特性関数を考えて、card(U)＝2^c といっている。あとは、
>よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。
では、card(C^*)＝card(R^*)＝c を使って、(多分)R^*のベキ集合Bの濃度card(B)が＝2^c
なることをいって、同様に、C^*のベキ集合Aの濃度card(A)が＝2^cなることをいっている。
だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
56:１３２人目の素数さん
15/10/16 12:10:12.20 q0g452AG.net
>>43
>>47
確かに>>39などの文章「だけ」では間違いになるが、39の考え方は使える。
(1)：39では、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の1次元の連結な加法部分群の、全体の、場合になる。それだから、
(2)：今度は、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の直線上の不連結な加法部分群の、全体の、場合を考えればいい。
(2-1)：この場合は、はじめに、加法群R上の不連結な加法部分群全体A_1の濃度card(A_1)を、求めればいい。
濃度がcard(R)＝cなる加法群Rの不連結な加法部分群を考えているから、A_1の群Gを任意に取ると、
任意の点a∈G(,R)の閉包は1点aからなる空間{a}⊂Rになることに着目すると、加法群の定義とA_1の定義から、
card(A_1)＝c になる。これは、A_1からRへの全単射が存在すること、換言すれば、
任意の群G∈A_1が、G＝{na|n∈Z, aは直線R上の或る定まった1点} と表せることから分かる。
(2-2)：で、次に、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、場合、を考えればいいが、この場合の濃度は、39と同様に考えれば、
(2-1)から、Cの加法部分群全体の、或る、平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が存在する訳ではない
ような、不連結な加法部分群の、全体の、濃度は、(2^{ℵ_0})^2＝c^2＝c と分かる。
(3)：あとは、Cの加法部分群全体の、平面C上の、2次元の連結な加法部分群全体の場合は、平面Cに限られて、濃度は1。
従って、(1)～(3)から、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。
大雑把過ぎるだろうが、上のように考えればいい。
57:１３２人目の素数さん
15/10/16 14:29:37.63 q0g452AG.net
>>45
>>52の最後の
>実数体Rの濃度
58:はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。 の部分の「実数体Rの濃度」は「実数体Rのベキ集合の濃度」の間違いな。 このことは、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。 まあ、今度は18日の日曜に来るわ。
59:１３２人目の素数さん
15/10/16 14:41:50.26 q0g452AG.net
>>45
あ～、>>54の訂正については取り消しで、正しくは、>>52の最後の
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、実数体Rの濃度
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(R) といっている。
の部分は、
>だから、最後は、card(U)＝2^c、card(B)＝2^c から card(U)＝card(B) が従い、「実数体Rのベキ集合の濃度」
>はcard(B)に等しいことから、card(U)＝card(「Rのベキ集合」) といっている。
と訂正な。何れにしろ、card(R^*)＝card(R)＝c なのだから、すぐ分かるな。
まあ、今度は18日な。
60:１３２人目の素数さん
15/10/16 15:45:19.93 q0g452AG.net
>>45
まあ、正確には「card(U)＝card(「Rのベキ集合」) 」は「card(「乗法群C^*の部分群全体」)＝card(「Rのベキ集合」) 」だな。
U⊂乗法群C^*の部分群全体⊂C^*のベキ集合A で、card(U)≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦card(A) だから、
card(A)＝card(U)＝2^c から 2^c≦card(乗法群C^*の部分群全体)≦2^c で、ベルンシュタインの定理から
card(乗法群C^*の部分群全体)＝2^c が従うと。まあ、>>3では、暗にそういうことをいっている。日曜まで、そんじゃね。
61:１３２人目の素数さん
15/10/16 21:58:06.91 L+oJ2zpg.net
なんだ、もう１８日が二回来たのか。
あと何回来るんだかな。
62:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/16 22:27:36.47 gHCHyb0v.net
どうも。スレ主です。
おっちゃん、564さん、乙です
ところで、「後出しジャンケン乙」と宣うID:F9Nd69n1くんに問う
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ
63:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/16 22:36:49.88 gHCHyb0v.net
前スレの下記は、まだかね？
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:646番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15
646 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/10/09(金) 23:59:09.55 ID:vh5z+a2B
あーあ、もったいねえな。せっかくのスレ主のための問題だったのに。
564の意向により、>>631が有効になったので、スレ主の勝負、受けて立つ。
ルールどおり、10/23(金)になったら、オレはこのスレに解答を書く。
では、10/23(金)になったらまた会おう、クソッタレ。
64:１３２人目の素数さん
15/10/16 23:23:27.14 pAg1QvVK.net
>>59
自分が指定した日程すら理解してないアホ発見ｗ
お前が指定した曜日まで、まだ一週間もあるわけだが？
お前の方から
＞１．いまから、２週間10/23（金）以降10/30（金）で、おまえの解答を書いて見ろ（２週間は皆様のお楽しみ期間とする）
と言い出したから「10/23(金)」ていう日程に合わせてやってるのに、
何が不満なんだよクソッタレ
せっかくだから、今ここでスレ主に聞いておく
オレは2種類の解答を用意した。
1つ目の方法は、ハメル基を使う方法。実は連続体仮説は必要ない。
2つ目の方法は、既に証明された定理
「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」
に帰着させるという方針を取る。この定理に帰着させた時点で瞬時に証明が完了するので、
あとは「いかにして帰着させるか」に議論の大半を割くことになる。
どちらの方法で解答してほしいか、お前が選べ。お前が選んだ方で解答してやる
解答日時は、お前が指定した「10/23(金)」だが、すぐに書いてほしいならすぐに書いても構わん
既に解答は用意してあるからな
(とはいっても、今日はもう寝るから明日以降だ)
ちなみに、どちらの解答も正しいので、お前の敗北は既に決定している
今から謝罪の準備をしておくように
65:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 06:37:35.92 ZRSuwEga.net
>>60
どうも。スレ主です。
ID:pAg1QvVKさん、ありがとう
おっちゃんが乱入してきて、無茶苦茶になりそうなので、日曜の前に決着させたいと
つい期日を勘違いしてしまいました
間違った証明が投下
66:されても、お楽しみにはほど遠いので、期間短縮しましょう で、ハメル基を使う方法でお願いします。 ハメル基がいまいち分かってないので勉強になります。楽しみです 証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。 一つは、どちらの方法とも違う解答 もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます >今から謝罪の準備をしておくように はい、挑戦受諾のお礼と、下記敗北宣言再アップと、ごめんなさいの謝罪を先にしておきますｍ（＿＿）ｍ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む15 [転載禁止](c)2ch.net http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/653 653 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2015/10/11(日) 18:12:06.91 ID:RDXEzJ3O [2/10] どうも。スレ主です。 ああ、勝負受けたのか！ なら、おそらく君（ID:vh5z+a2B ）の勝ちだよ
67:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 06:49:05.79 ZRSuwEga.net
語原
URLﾘﾝｸ(gogen-allguide.com)
御免（ごめん） - 語源由来辞典:
【意味】 ごめんとは、自分の失礼に対して許しを請うたり、謝罪の意思を表すときに言う言葉。他家を訪問した際の挨拶の言葉。拒絶の意を表す言葉。ご免。ゴメン。
【ごめんの語源・由来】
許す意味の「免」に尊敬の接頭語「御」がついた言葉で、鎌倉時代から見られる。
本来は、許す人を敬う言い方として用いられたが、室町前期には許しを求める言い方で、相手の寛容を望んだり自分の無礼を詫びる表現になっていった。
「ごめんあれ」「ごめん候へ」などの形で初めは使われていたが、「ごめんくだされ」や、その省略の「ごめん」が多く用いられるようになった。
ごめんなさいの「なさい」は、動詞「なさる」の命令形で、「御免なすって」の「なすって」と同じ用法である。
挨拶で用いる「ごめんください」は、許しを請う「御免させてください」の意味が挨拶として使われるようになったもの。
「それは御免だ」などの拒絶・断わりは、比較的新しい用法で江戸時代から見られる。
68:１３２人目の素数さん
15/10/17 09:49:46.18 wNioddJ2.net
>>58
図星か
69:１３２人目の素数さん
15/10/17 16:35:24.86 CYyREJhG.net
>【意味】 ごめんとは、自分の失礼に対して許しを請うたり、
辞典のくせに「対して」の使い方がでたらめすぐるw
70:１３２人目の素数さん
15/10/17 18:57:25.87 a5sAw5TA.net
＞おっちゃんが乱入してきて、無茶苦茶になりそうなので、日曜の前に決着させたいと
スレ主からも煙たがられる誤答おじさんワロタｗｗｗｗ
では、予定を繰り上げて、今から解答を書く
71:１３２人目の素数さん
15/10/17 19:01:25.53 a5sAw5TA.net
実数体Rを有理数体Q上のベクトル空間と見たときの基底を1つとってHとする(ハメル基底)。
以降、このHは常に固定する。以下、4個の補題と4個の定理を証明し、そのあとで問題の解答を与える。
連続体仮説を仮定する場合には、「4個の補題」は全く必要ないので、読み飛ばしてよい。
補題1：集合Aは無限集合とする。このとき、任意の正整数nに対して、card(A^n)＝card(A)である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理だが非常に面倒くさい。集合論もしくは数学基礎論の本に証明が載っている。■
補題2：集合Aは無限集合とする。Nは自然数全体の集合とする。このとき、card(A×N)＝card(A)である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であり、集合論もしくは数学基礎論の本に証明が載っている。■
(文字数制限につき、次のレスへ)
72:１３２人目の素数さん
15/10/17 19:02:28.36 a5sAw5TA.net
補題3：Aが無限集合なら、Aの空でない「有限」部分集合全体の集合族をBとするとき card(B)＝card(A) である。
証明：集合論もしくは数学基礎論の本に証明が載っているが、ここでは補題1と補題2を使って証明する。
Aの一元集合全体を考えれば、明らかに card(A)≦card(B) が成り立つ。あとは card(B)≦card(A) を示せばよい。
まず、Aには全順序が存在することに注意する(たとえば、整列可能定理で得られる整列順序を採用すればよい)。
以下、A上の全順序を1つ取って
73:固定する。さて、写像 f：B → ∪[n＝1～∞]A^n を以下のように作る：まず、 S∈B に対して、Sの元の個数をmと置く。Sの元をAの全順序≦で小さい方から順番に並べて s_1＜s_2＜…＜s_m と 番号づける。そして、f(S)：＝(s_1,s_2,…,s_m) ∈ ∪[n＝1～∞]A^n と定義する。このように定義した f は 単射であることが証明できる。よって、card(B)≦card(∪[n＝1～∞]A^n)である。次に、補題1から card(A^n)＝card(A) なので、 各nに対して、全単射 f_n：A^n → A が取れる。そこで、写像 g：∪[n＝1～∞]A^n → N×A を以下のように作る：まず、 x∈∪[n＝1～∞]A^n に対して、x∈A^n なるnがただ1つ取れる。特に、f_n(x)が定義できて、しかもf_n(x)∈Aである。 そこで、g(x)：＝(n, f_n(x))∈N×A としてgを定義する。このとき、gは単射であることが示せる。よって、 card(∪[n＝1～∞]A^n)≦card(N×A)となる。補題2からcard(N×A)＝card(A)だから、 以上を繋げて、card(B)≦card(A)となる。以上より、card(B)＝card(A) である。■ 補題4：∪[n＝1～∞]Q^n は可算無限集合である。 証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であるから、証明は省略する。■ (文字数制限につき、次のレスへ)
74:１３２人目の素数さん
15/10/17 19:03:40.57 a5sAw5TA.net
定理1：A＝{ q∈Q^N｜有限個のiを除いてq_i＝0 } と置くと、Aは可算無限集合である。すなわち、card(A)＝card(N)である。
証明：ZFCの範囲で証明できる。基本的な定理であるから、証明は省略する。■
定理2：Hは非可算無限集合である。
証明：Hが高々可算無限集合だとして矛盾を導けばよい。まず、Hが可算無限集合の場合に矛盾を導く。
H＝{ t_i｜i＝1,2,… } と番号づけて表示しておく。定理1のAを取り、写像 f：R → A を以下のように作る：
まず、任意の x∈R に対して、
x＝Σ[i＝1～∞] q_i * t_i (q_i∈Q, 有限個のiを除いてq_i＝0)
という表示が一意的に取れる。そこで、f(x)：＝(q_1, q_2, …) ∈ A として f(x) を定義する。
この f は単射であることが簡単に示せる。よって、card(R)≦card(A)＝card(N) となり、矛盾する。
以下、Hは有限集合だとしてよいが、この場合も同じような議論で矛盾が出る。以上より、Hは非可算無限集合である。■
定理3：card(H)＝card(R)である。
証明：定理2と連続体仮説を使えば即座に従うので、連続体仮説を仮定する場合は証明が終わっている。
以下では、連続体仮説を使わずZFCの範囲で証明する。
Hの空でない有限部分集合全体の集合族を I と置く。定理2により、Hは無限集合であるから、Iも無限集合である。
写像 f：R－{0} → I×∪[n＝1～∞]Q^n を以下のように作る：まず、任意のx∈R－{0}に対して、
有限個のHの元 h_1＜h_2＜…＜h_m と、同じ個数の q_1,q_2,…,q_m∈Q－{0} が存在して
x＝Σ[i＝1～m] q_i * h_i と表せる。また、このときの「 m 」と「h_1＜h_2＜…＜h_m」と「q_1,q_2,…,q_m」は
xごとに一意的に決まる。そこで、f(x)：＝( { h_i｜1≦i≦m }, (q_1, q_2, …, q_m) ) ∈ I×∪[n＝1～∞]Q^n と定義する。
こうして定義した f は単射であることが言える。よって、card(R)＝card(R－{0})≦card(I×∪[n＝1～∞]Q^n) となる。
ここで、補題4により card(I×∪[n＝1～∞]Q^n)＝card(I×N) となる。また、補題2により card(I×N)＝card(I) となる。
さらに、補題3により card(I)＝card(H) となる。以上を繋げて、card(R)≦card(H) となる。
一方で、H⊂R よりcard(H)≦card(R)である。以上より、card(H)＝card(R)である。■
(文字数制限につき、次のレスへ)
75:１３２人目の素数さん
15/10/17 19:05:29.50 a5sAw5TA.net
定理4：H_1, H_2⊂H は、どちらも空でないとする。また、span_Q(H_1)＝span_Q(H_2) が成り立つとする。このとき、H_1＝H_2 である。
証明：まず、H_1⊂H_2 を示す。h∈H_1 を任意に取る。H_1⊂span_Q(H_1)＝span_Q(H_2)に注意して、h∈span_Q(H_2) である。
また、ハメル基 H の定義から、h≠0である。よって
h＝Σ[i＝1～n] q_i*h_i (q_i∈Q－{0}, h_i∈H_2, h_i は全て異なる)
という形に表せる。特に Σ[i＝1～n] q_i*h_i＋(－1)h＝0 … (1) である。もし h≠h_i (∀i) が成り立つならば、
h_1,h_2,…,h_n,h は全て異なることになる。また、これらは全てHの元である。Hの定義から、これらはQ上一次独立となるので、
(1)から q_i＝0 (∀i) かつ (－1)＝0 でなければならない。しかし、(－1)＝0 は矛盾である(q_i＝0 の方も矛盾だが)。
よって、h＝h_i となる i が存在する。h_i∈H_2だったから、h∈H_2となる。以上より、H_1⊂H_2 となる。
H_2⊂H_1 も全く同様にして示せる。よって、H_1＝H_2 である。■
問題：複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
解答：その濃度は card(2^R) である。以下でこのことを証明する。
加法群Cの部分群全体の集合を M_+ と置く。card(M_+)＝card(2^R) �
76:ｦせばよい。 J＝power(H)－{φ} と置く。写像 f：J → M_+ を f(S)：＝ span_Q(S) (S∈J) で定義する。 定理4により、f は単射である。よって、card(J)≦card(M_+) となる。 card(J)＝card(power(H)－{φ})＝card(power(H))＝card(2^H)＝card(2^R)であるから、card(2^R)≦card(M_+) となる。 一方で、M_+ ⊂ power(C) より card(M_+)≦card(power(C))＝card(2^C)＝card(2^R)である。 以上より、card(M_+)＝card(2^R) となる。■ (終了)
77:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 19:26:36.66 ZRSuwEga.net
>>58
どうも。スレ主です。
で、
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ！
についてのおぬしの解答なないのか？
なら、私スレ主が時間つぶしに解答を書くか。
＜方針＞
１．複素数体のユークリッド位相だから、まず開集合として、開球を考える
２．複素数体のユークリッド位相だから、ハウスドルフがキーワード
３．開集合定義と、ドモルガンの定理から、開集合の補集合が閉集合だから、開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい
78:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 19:36:47.17 ZRSuwEga.net
>>65-69
ID:a5sAw5TA さん、どうも。スレ主です。
いやー、レベル高いね
本格的な証明ですな～
私らには、こういうのは書けない
完敗！ 脱帽です！（＾＾；
79:１３２人目の素数さん
15/10/17 20:21:20.91 MoaMy0B0.net
>>70
中途半端な言いっぱなしだが、この時点で既に
開かつ閉は無いことへの言及が落ちてる。
80:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 20:25:38.31 ZRSuwEga.net
>>71 つづき
では、私から >>3「問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。」を
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>
１．まず、実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える
２．超越基底Sは、全て正に取ることができる。（∵もしs1∈Sで、s1＜0なら、-s1に基底を取り直すことで、正の超越基底Sに直すことができるから）
３．ここで、実数体Rで、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群を考え、G(+R)と表す
４．有理数体Qの正の部分と超越基底Sとの組み合わせから成る群を考える。これをG(S,+Q)とする。明らかに、G(S,+Q)⊆G(+R)である
５．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
５．４と同じように、超越基底Sの部分集合S1,S2による正の乗法群を考える。明らかにG(S1,+Q)≠G(S2,+Q)である。（∵超越基底の定義から、s1'はG(S2,+Q)に含まれないから）
６．よって、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群G(+R)の部分群の集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度に等しい
７．超越基底Sは、連続無限の濃度を有する（証明略。>>3参照）から、その部分集合からなる集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を持つ。
８．さて、0より大の実数（+Rと表す）の成す乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる。
９．G(S1,+Q)≠G(S2,+Q)であれば、この二つの群を対数関数logによって、加法群に変換した群も異なる。（証明略。背理法によって証明できる。）
１０．従って、加法群から成る群の集合も実数体のべき集合の濃度を持つ。
１１．蛇足だが、複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になるから、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度も同様である。
81:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 20:28:52.35 ZRSuwEga.net
>>73 訂正
（>>61が抜けていた)
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>
↓
”もう一つは、「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させるんだが、簡単な方法を見つけたので、それを書きます”>>61
82:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 20:35:52.17 ZRSuwEga.net
>>72
どうも。スレ主です。
さすがのご指摘だが、多分「開かつ閉は無いことへの言及」は不要だと思うよ
ドモルガンの定理：開集合の補集合が閉集合
を認めてしまえば
そして、空集合と全体集合は、開かつ閉だよ
また、空集合と全体集合とは、互いに補集合の関係にある
83:１３２人目の素数さん
15/10/17 20:36:29.07 wNioddJ2.net
>>71
叩き甲斐の無いサンドバックだな
84:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 20:59:42.91 ZRSuwEga.net
>>74 つづき
では、>>61"証明を書いて頂いた後で、私なりの解答を書きます。
一つは、どちらの方法とも違う解答"へ
おそらく、こちらが出題意図だと思う
ハメル基のかわりに、超越基底をそのまま使う方法
85:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 21:24:01.65 ZRSuwEga.net
>>77 つづき
で
86: １．まず、>>3の564さんの証明にならって、複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。 ２．あとは、>>73と類似 ３．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから） ４．有理数体Qに対し、部分集合S1,S2による拡大体を考える。これをF(S1),F(S2)とする。明らかにF(S1)≠F(S2)である。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)に含まれないから） ５．F(S1),F(S2)からゼロを除いた乗法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る群に含まれないから） ６．これによって、”C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ”が従う。（証明略。>>3参照） ７．同様に、F(S1),F(S2)から加法群を考えると、明らかにこの二つの群は異なる。（∵超越基底の定義から、s1'はF(S2)から成る加法群に含まれないから） ８．６と同様に、複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。 この証明は、一見「 C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ 」に帰着させているように見えるかも知れない が、本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる つまり、これ超越基底Sの本質（定義）そのもの もっと言えば、超越基底Sを個別の要素として見るのではなく、超越基底Sを全体（集合）として見るってところが、ポイントだと思うんだ まあ、おそらくこれが出題意図だろう（＾＾
87:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 21:35:57.33 ZRSuwEga.net
>>73 補足
”乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる”ってところ
複素数の場合には、log(z)は、偏角2πiの不定性があるので、この処理が少々やっかい
多少手間をかければ、可能だが
ややこしいので、まず実数 log(x) | x >0 に限定した
88:１３２人目の素数さん
15/10/17 22:03:48.10 XV/iC39q.net
ガロア理論が存在する必然性は何か？
それと同等の機能を果たし得るパターン、機能、構造が存在するのかな。
89:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 22:22:36.21 ZRSuwEga.net
>>70 もどる
まず、基礎知識を準備
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ユークリッド空間
位相構造
ユークリッド空間は距離空間であるから、距離から誘導される自然な位相を持った位相空間でもある。En 上の距離位相は、ユークリッド位相あるいは通常の位相と呼ばれる。
すなわち、ユークリッド空間の部分集合が開集合であるための必要十分条件は、その部分集合に属する各点に対して、それを中心とする適当な大きさの開球体をその部分集合が必ず含むことである。
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ハウスドルフ空間
ハウスドルフ空間（- くうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。
位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。
ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。
ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。
例
実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている。
さらに、幾何学などで扱われる位相多様体や距離空間、あるいは解析学などで扱われるノルム空間やその上で弱位相を考えた空間など様々な空間がハウスドルフ空間になる。
一方で、代数学におけるザリスキ位相を考えた代数多様体や、可換環のスペクトルなどの位相空間はしばしばハウスドルフ空間にならない。
つづく
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 22:25:11.95 ZRSuwEga.net
>>81 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
開集合（かいしゅうごう、英: open set）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。
最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含ま�
91:ﾈいような集合）として定義できる。 性質 必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である。 有限個の開集合の共通部分はまた開集合である。無限個の場合はその限りではない。 距離空間 (X, d) において x を中心とする半径 ε の開球体 B(x; ε) は開集合であり、任意の開集合 A はある x ∈ A を中心とする十分小さな半径 ε の球体 B(x; ε) を含む。 開集合の補集合は閉集合である。
92:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 23:11:26.59 ZRSuwEga.net
>>82 つづき
１．さて、>>78のように、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。一般性を失わずに、集合S2に含まれないs1'∈S1が存在するとできる。（∵もしs1'∈S2にそのような要素があればS1,S2の番号付けを変えれば良いから）
２．複素平面が、ハウスドルフ空間であることを認めるものとする。
３．とすると、部分集合S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、s1'∈S1を含まないようにできる。
４．同様に、和集合S1∪S2の各要素の周囲に十分小さな開球を取ることができ、ハウスドルフ空間であるから、各開球は分離できる
５．よって、蛇足だが、結局S1,S2に対し、各要素の周囲に十分小さな開球を取ることで、S1に属する開球の集合とS2に属する開球の集合は、異なるように取れる
６．ユークリッド位相を仮定しているから、開球は開集合でもある
７．開集合の性質より、「必ずしも有限個でない開集合の族の和集合はまた開集合である」>>82から、S1及びS2に属する開球の集合（和集合）は開集合であり、この二つの開集合は異なる
８．よって、超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2から、異なる二つの開集合を作ることができる
９．よって、開集合の濃度は、超越基底Sの部分集合からなる集合の濃度以上である。つまり、実数体のべき集合の濃度以上。（証明略。>>3参照）
１０．一方、任意の開集合は、複素平面に含まれる。つまり、複素数体の部分集合でもある。だから、開集合の濃度は、複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。
１１．９及び１０より、開集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
１２．閉集合を、開集合の補集合とする。開集合と閉集合とは一対一対応がつく。つまり濃度は等しい。
（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）
93:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 23:18:03.59 ZRSuwEga.net
>>83 補足
１３．従って、複素数体の閉集合全体の集合の濃度は、実数体のべき集合の濃度に等しい。
追伸
１３（つまり結論）を書いておかないと、試験答案なら減点される可能性ありだろう。自明だが省略はしない方が良い
”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾
94:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 23:46:24.51 ZRSuwEga.net
>>73 補足
”実数体Rに対する有理数体Qからの超越基底Sによる体の拡大を考える”のところ
超越基底Sは、連続無限の濃度を有するの証明は、>>66-68の証明を見ると、アナロジーとして
実数体Rを有理数体Q上のベクトル空間と見たときの基底を1つとってHとする(ハメル基底)。
↓
実数体Rを、有理数体Q上の代数拡大体Ａのベクトル空間と見たときの超越基底を1つとってＳとする(超越基底)
が、本当かもね
代数拡大体Ａなら、超越基底による拡大体がＲになるけど
有理数体Q上の超越基底による拡大体には、代数的数は含まれないから
まあ、「超越基底Sは、連続無限の濃度を有する」を基礎論として認めてしまえば、有理数体Qで考えても同じだが
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/17 23:56:29.81 ZRSuwEga.net
>>53
で、結局、おっちゃんの結論
「複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度は、2^{ℵ_0}つまりcになる。」が、違っていると思うんだ
理由は、
>>73の”乗法群は、対数関数logによって、加法群に変換できる”とか
>>78"本質は”超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2なら、F(S1)≠F(S2)”ってこと。これから、乗法群も加法群も異なることが導かれる"とか
これを見て、ご納得頂ければ幸いです（＾＾
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 00:07:50.80 AbOcHf9K.net
>>76＆>>63
どうも。スレ主です。
ID:wNioddJ2 くんか
>>58を見てくれたか？
>>70は、ID:wNioddJ2 くんを叩くつもりで書いた。サンドバッグ。>>81-84のパンチはどうかね？
564さんの>>7の問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」を、私スレ主より先出しジャンケンできるかな？ やれるものならやってみろ。出来ないなら大口叩くなってことよ>>58って
97:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 00:12:08.06 AbOcHf9K.net
>>80
誤爆？ 本気？
>ガロア理論が存在する必然性は何か？
>それと同等の機能を果たし得るパターン、機能、構造が存在するのかな。
その答えは圏論にありと思うんだ
禅問答だが（＾＾；
では
98:564
15/10/18 00:28:04.19 kDiNTmvJ.net
>>83
3から5の議論がおかしいです。
ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。
ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。
99:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 08:07:27.42 AbOcHf9K.net
>>
100:89 564さん、どうも。スレ主です。 >3から5の議論がおかしいです。 >ハウスドルフ性からそのようなことは従いません。 >ハウスドルフ性は「有限個の」点を開近傍で分離できるというものですので。 君はいつも鋭いね。レベル高い。おそらく私よりも が、（３～５は、ハウスドルフ空間であることを認めた時点で自明で、もっと簡潔な記述が可能と思うが、かみ砕いて書いた。）>>83 と注釈を付けたろう？ >>81に引用したように、「実数の集合は、その上に通常定義される位相構造によってハウスドルフ空間になっている」 というより、実数の集合の性質から、ハウスドルフという性質が抽出され抽象化されたんだ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%80%A7 実数の完備性: 実数の完備性は実数を公理的に定義する際に必要とされる性質の一つ。この場合の完備性は、実数全体の成す集合 R を距離空間と見た場合の完備性、あるいは R を半順序集合と見た場合の完備性の何れの意味とも取ることができる。 つづく
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 08:25:43.32 AbOcHf9K.net
>>90 つづき
実数の集合の性質から抽出された、ハウスドルフという性質（下記）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ハウスドルフ空間
定義
相異なる2点を分離するそれぞれの開近傍
Xを位相空間とする。X上の任意の相違なる2点 x, y に対して、U ∩ V = O であるような x の開近傍 U および y の開近傍 V が必ず存在するとき、Xはハウスドルフ空間であるといわれる。
（引用おわり）
これは、”任意の相違なる2点”なのだ
だから、もちろん「有限個の」点を開近傍で分離できる
しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
ここらは、基礎論的かつ厳密には、選択公理と超限帰納法を使うのだろうが
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
つづく
102:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 09:12:37.75 AbOcHf9K.net
>>91 つづき
ここらを、基礎論的かつ厳密に証明するのは、スレ主の能力を超えている
なので、問題を実数にして簡単化しよう
>>70より
問題「問題:複素数体の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし複素数体にはユークリッド位相が入っているものとする。」
↓
簡易化
問題「問題:実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、>>83と同様の議論を行うものとする。重複する部分は省略する
（選択公理と超限帰納法を認める）
１．実数体R内の有理数体Qに対する超越基底Sが存在する（証明略）
２．超越基底Sの任意の二つの部分集合S1,S2でS1≠S2を考える。
３．和集合S1∪S2の各要素を、数直線上に並べることができる。（選択公理より）
４．並べた要素で、任意の隣接する３点を考える。s1<s2<s3とする。
５．超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる
６．普通の距離を考えて、d ＜ min(s2-r1,r2-s2) (minは、最小値を取る関数)として、s2から、間の有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる
７．同じことを、全ての隣接する和集合S1∪S2の各要素について行い、各間にある有理数r1,r2を含まない半径dの開球を設定できる（記述が厳密でないがご容赦）
８．選択公理と超限帰納法を認めるならば、和集合S1∪S2が無限集合であっても、１～７は成り立つ。
（注：これはハウスドルフというより、実数の定義と完備性から従う>>90）
よって、>>83の議論は、実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度に対して、同様に成り立つ
但し、３～５に対する注釈を再度強調しておく（ここは結構いい加減だという自覚はあります（＾＾； ）
では、上記を、元の問題の複素数体にバージョンアップするにはどうするか？
いろいろ考えられるが、>>73に書いたように、「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体だから、加法としては単純で、R+Riの形になる」としてうまく処理するのかね？
簡易化版を補題として、使えそうに思うが・・・
直感的には自明なんだが、数学の答案としてどうまとめるか。すぐ浮かばないので、スルーします（＾＾；
103:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 09:17:04.58 AbOcHf9K.net
>>92 つづき
おそらく、多くの方はお気づきだと思うが
「超越基底の性質から、s1<s2<s3の間に有理数r1,r2を取って、s1<r1<s2<r2<s3とすることができる」は、数学的には冗長なんだ
でも、初心者向けテキストとしてはありだろう
以上です
では（＾＾；
104:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 09:22:21.92 AbOcHf9K.net
>>84 補足
>”複素数体の部分集合から成る集合の濃度以下。つまり、実数体のべき集合の濃度以下（この証明略 ）。”も、証明略でなく、簡単な理由付けを書きたいところだが、浮かばなかった（＾＾
いま思うと、>>73に書いた「複素数体Cは、実数体Rに虚数iを添加した体で、R+Riの形になるから」くらい書いておけば良いかも
105:１３２人目の素数さん
15/10/18 11:03:52.49 kDiNTmvJ.net
>>91
＞しかし、例え無限個の点の集合であっても、それら無限個の点の集合が、分離的であれば、ハウスドルフの性質は使える
「点の集合が分離的でれば」というのは意味が分かりませんが、ハウスドルフの性質が使えるというのは間違いです。
たとえば複素数体上で有理点全体の集合を考えます。各有理点にどのような開近傍
を対応させても、これらの開近傍が互いに交わらないようには出来ません。なぜなら
任意の空でない開集合は無限個の有理点を含むからです。
106:１３２人目の素数さん
15/10/18 11:43:01.31 9oIIz4Cl.net
とりあえず、スレ主がまったくわかってないことはわかりました
107:１３２人目の素数さん
15/10/18 15:35:11.66 G7yxHfLZ.net
>>86
おっちゃんです。>>53では説明不足の部分があったから、補足する。
(1)と(3)は大体の方針では問題ないな。問題は>>53の(2)だな。
はじめに、次のような概念の定義をしよう。実数直線Rの部分集合Bで、Bが有理整数環Z上一次独立な、
即ち、任意の有限個のx_1,…,x_n∈Bと同n個のa_1,…,a_n∈Zに対し、
a_1・x_1＋…＋a_n・x_n＝0 ならば、a_1＝…＝a_n＝0。
となるモノは存在する。このとき、Bを「離散基底」と呼ぶことにする。
線型代数の話と同様に、x_1,…,x_nをZ上「線型独立」ということにする。
そして、0でない自然数nを同様に「(線型空間)Rの階数」ということにする。
Bの存在性は、ハメル基底Hの存在性と、有理数体QとZとの包含関係Z⊂Qから直ちに従う。
そして、実数体Rにおける有理数体Q上の超越基底をAとすれば、包含関係はA⊂B⊂H⊂Rになる。
B⊂H⊂Rは、ハメル基底の定義から、すぐ分かる。そして、Rの階数n∈N＼{0}を任意に取る。
x_1,…,x_n∈AがQ上代数的独立となるように、(x_1,…,x_n)∈A^nを任意に取る。
すると、x_1,…,x_n∈A。超越基底の定義から、x_1,…,x_nはZ上線型独立だから、
Z⊂Qに注意すれば、x_1,…,x_n∈B で、(x_1,…,x_n)∈B^n。A^nの点(x_1,…,x_n)は
x_1,…,x_n∈AがQ上代数的独立という条件の下で任意だから、(x_1,……,x_n)を同条件を満たすように、
A^n上で走らせると、Q上代数的独立なx_1,…,x_n∈Aは、Z上線型独立で、x_1,…,x_n∈Bになる。
Rの階数nは任意だから、A,B⊂Rと、A、Bの各定義から、A⊂B が従う。
108:１３２人目の素数さん
15/10/18 15:36:49.82 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>97の続き)
そして、card(A)≦card(B)≦card(R) で、card(A)＝card(R)＝c だから、ベルンシュタインの定理から、
card(B)＝c。以下、Rの階数nが、ℵ_0、c、もし連続体仮説が真なら、このとき存在する濃度の、
ときも含めて、各Rの階数nに対して、Bのn個の点によって張られるような、
加法群R上の不連結な加法部分群全体の集合をG(n)とする。
そして、Rの階数nがℵ_0、c、もし連続体仮説が真なら、このとき存在する濃度のときも含めて、
各Rの階数nに対して、加法部分群Gを張るような、n個のBの点からなる、
線型空間の意味での基底の全体の集合をB(n)とする。
109:１３２人目の素数さん
15/10/18 15:43:18.18 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>98の続き)
(1)：n＝1のとき。このときは、G(1)に属する群は非可算個あって、
任意のG∈G(1)に対してG⊂Rであり、card(B)＝card(R)＝cに着目すると、
G(1)からRへの全単射は存在するから、濃度card(G(1))は、card(G(1))＝c。
このときの話が>>53の2(-1)にあたる。
(2)：2≦n＜ℵ_0のとき。
Rの階数n≧2を任意に取る。すると、n＜ℵ_0から、nは2以上の自然数になる。
そして、階数nの基底全体の集合B(n)が定まる。集合G(n)を考える。
つまり、G(n)の濃度を考える。G_1≠G_2なる2つの群G_1、G_2∈G(n)を任意に取る。
すると、G_1に対して或るS_1∈B(n)が存在して、何れも或るx_1,…,x_n∈Bによって、
G_1の基底S_1は、S_1＝{x_1,…,x_n}と表わされ、G_1は、
G_1＝{a_1・x_1＋…＋a_n・x_n∈R|a_1,…,a_n∈Z} と表わせる。同様に、
G_2に対して或るS_2∈B(n)が存在して、何れも或るy_1,…,y_n∈Bによって、
G_2の基底S_2は、S_2＝{y_1,…,y_n}と表わされ、G_2は、
G_2＝{b_1・y_1＋…＋b_n・y_n∈R|
110:b_1,…,b_n∈Z} と表わせる。
111:１３２人目の素数さん
15/10/18 15:44:45.90 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>99の続き)
ここで、S_1＝S_2 とすると、G_1＝G_2で矛盾が生じるから、S_1≠S_2になる。
G_1≠G_2なる2つの群G_1、G_2∈G(n)は任意だから、G(n)からB(n)への単射が存在する。
逆に、S∈B(n)によって張られる加法部分群G∈G(n)は確かに存在するから、
G(n)からB(n)への全射も存在する。従って、B(n)とG(n)との間には、全単射が存在する。
そして、card(B(n))＝card(G(n)) になる。しかし、Zornの補題から、
各B(n)の基底を取るにあたり、通常の大小関係について、Bのn個の点を小さい方から
順に並べて取ることが出来る。任意の基底 {x_1,…,x_n}∈B(n)に対して、
x_1,…,x_nはZ上線型独立になる。だから、card(B)＝cから、card(B(n))は、
Bの相異なるn個の点を並べたときの順列 c^n＝c に等しい。
つまり、card(B(n))＝cになる。card(B(n))＝card(G(n)) だから、
集合G(n)の濃度はcard(G(n))＝cになる。2≦n＜ℵ_0なる自然数nは
任意に取っていたから、点nををN＼{0,1}上で走らせれば、
card(N＼{0.1})＝ℵ_0から、Bに属するZ上線型独立な、1つの、
2個以上の有限個の点から構成されるBの基底によって張られる、
Rの加法部分群の、全体の、集合 X＝∪_{n＝2,3,…,∞}G(n) の濃度は、
card(X)＝cℵ_0＝c になる。
(1),(2)から、有限次元の場合は解決されて、このときの
Rの加法部分群全体の濃度はc+c+1＝cになる。(1は自明な部分群{0}の個数)
112:１３２人目の素数さん
15/10/18 15:59:05.07 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>100の続き)
(3)：n＝ℵ_0のとき。このときは、集合G(ℵ_0)の濃度card(G(ℵ_0))を求めればいい。
だが、本来card(G(ℵ_0))を単純に求めてはいけない。もしcard(G(ℵ_0))を求めるなら、
実数直線には大小関係が定まっているから、G(ℵ_0)＝Φからcard(G(ℵ_0))＝0。
仮にG(ℵ_0)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(ℵ_0)が存在して、Gは、
濃度ℵ_0を次元とするような、Z上の可算無限個の点からなる或るB(ℵ_0)の基底によって
張られる線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝ℵ_0なる添数集合として、任意の点x∈Gは、
x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(ℵ_0)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方では、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) つまり
μx＝μΣ_{n＝1,…,∞}(a_n・x_n)＝Σ_{n＝1,…,∞}(μ・a_n・x_n) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(ℵ_0)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(ℵ_0))＝0。
113:１３２人目の素数さん
15/10/18 16:01:57.28 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>101の続き)
(4)：(連続体仮説の問題にかかわらず)n＝cのとき。このときは、集合G(c)の濃度card(G(c))を求めればいい。
だが、本来card(G(c))を単純に求めてはいけない。もしcard(G(c))を求めるなら、ℵ_0＜cで、
実数直線には大小関係が定まっているから、G(c)＝Φからcard(G(c))＝0になる。
仮にG(c)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(c)が存在して、
Gは、実数体の濃度cを次元とするような、Z上の非可算(c)個の点からなる
或るB(c)の基底によって張られる線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝cなる添数集合として、
任意の点x∈Gは、x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(n)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方に倣えば、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(c)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(c))＝0。
114:１３２人目の素数さん
15/10/18 16:05:18.49 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>102の続き)
(5)：連続体仮説が真か偽かについて場合分けをする。
(5-1)：連続体仮説が真とする。すると、ℵ_0＜m＜c なる濃度mが存在する。
そして、集合G(m)の濃度card(G(m))を求めればいい。だが、本来card(G(c))を単純に求めてはいけない。
もしcard(G(c))を求めるなら、ℵ_0＜cで、実数直線には大小関係が定まっているから、
G(c)＝Φからcard(G(c))＝0。仮にG(m)≠Φだったとしよう。すると、或る加法群G∈G(m)が存在して、
Gは、濃度mを次元とするような、Z上の非可算(m)個の点からなる或るB(m)の基底によって張られる
線型空間となる。そして、Λをcard(Λ)＝mなる添数集合として、任意の点x∈Gは、
x＝Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈B(m)
の形に表せることになる。だが、このとき、任意のμ∈Zに対してZ⊂Rからμ∈Rで、通常の考え方に倣えば、
μx＝μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)＝Σ_{λ∈Λ}(μ・a_λ・x_λ) が成り立つから、
実数体Rにおける代数系に矛盾が生じて来る。だから、G(m)＝Φになる。なので、濃度はcard(G(m))＝0。
(5-2)：連続体仮説が偽とする。このときは、濃度は求めようがない。
5-1、5-2から、濃度が存在すると仮定すれば、card(Φ)＝0になる。 ((5)終わり)
115:１３２人目の素数さん
15/10/18 16:19:42.81 G7yxHfLZ.net
>>86
(>>103の続き)
本来は、連続体仮説にかかわらず、(非)可算無限個の線型独立なBの点からなる基底に
よって張られるようなRの加法部分群Gの濃度を上のようにして単純に求めてはいけない。
Λを濃度が(非)可算無限濃度の添数集合として、
Σ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ) 任意のλ∈Λに対して a_λ∈Z, x_λ∈Bについて、μ∈Zとして、
μΣ_{λ∈Λ}(a_λ・x_λ)を考えたとき、μとΣの間の積μΣとΣ内の和とのどちらを優先させるか
の決め方で、濃度が異なって来る。通常の考え方に倣えば、濃度は(3)や(4)、(5-1)のようになる。
なのだから、(1)～(5)から、加法群Rの不連結な加法部分群全体の集合の濃度は、c+c＝cになる。
(6)：今度は、Cの加法部分群全体の、或る、複素平面C上の、如何なる直線上にもすべての点が
存在する訳ではないような、不連結な加法部分群の、全体の、濃度を求めればいい。
このときは、複素平面C上において実軸と虚軸は直交するから、(1)～(5)の議論から、
その濃度は通常の考え方に倣えば、c^2＝cになる。
(1)～(6)までが、>>53の(2)で書こうとしていたことの大体の話。
116:564
15/10/18 18:17:44.14 kDiNTmvJ.net
>>104
とりあえず答えだけ言うと、スレ主さんの通りで実数体のべき集合の濃度が正解です。
117:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 20:29:37.62 AbOcHf9K.net
>>95
564さん、どうも。スレ主です。
君は本当にレベル高いね
すぐ反例を思いつくんだ
その反例には納得だ
とすると、別の筋を使うしかないね
>>96
ID:9oIIz4Cl くんか。君は、レベルが高そうに見えない。そのレベルで、このスレ主に刃向かうつもりなのか？
その意気やよし！ 挑戦を受けよう！ （＾＾；
では、君が>>92記載の564さんの出題そのものか、あるいは簡易化版でも良いから、解答を書いてみなさい。
期日は、来週金曜までだ
私は、金曜以降に自分の解答を書こう
私スレ主より先に正解すれば、君の勝ち
遅ければ、君の負け（＾＾；
私には、ある解答の筋が浮かんだ
君は、よほど頑張らないと勝てないだろうね（＾＾；
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/18 20:39:39.50 AbOcHf9K.net
>>97-104
おっちゃん、どうも。スレ主です。
８連投ありがとうございます
まあ、しかし、こんな２ちゃんねるの制約のある板で
まともに証明を書こうという根性がすごいね
私ら、>>78みたくだらだら、文章で書き流してしまった
手書きだと逆で、きっと数学記号を多用する
が、多くの数学記号がキーボードから入力しにくい
だから、つい書きやすい文章にして、書き流してしまうんだ
119:１３２人目の素数さん
15/10/18 21:31:44.05 OUm9X15c.net
>>106
たぶん、その人は数学者か、数学者になり得る候補者だと思われます。
120:１３２人目の素数さん
15/10/18 21:38:45.90 Sj+lQR5o.net
ガロアごっこの果たし状スレ
121:１３２人目の素数さん
15/10/19 16:50:32.19 IygwR3FN.net
おっちゃんはこれらの証明を記述できるまで一日何時間くらい勉強してました？
122:１３２人目の素数さん
15/10/20 14:23:15.46 uHJfL3Em.net
>>107
おっちゃんです。>>97の包含関係「A⊂B⊂H⊂R」は、正しくは「包含関係はA⊂H⊂B⊂R」だった。
この間違いは議論には余り影響しない。>>99-100には見落としがあった。
nを1≦n＜ℵ_0なる自然数としたとき、任意の加法部分群G∈G(n)⊂C
に対して、次のように特性関数fを定義する：
Gに平面Cの加法部分群G＋iRを対応させるとき、f(G)＝1、
mを1≦m＜ℵ_0なる任意の自然数として、或る加法部分群H∈G(m)⊂Cを
任意に取って、GにG＋iHを対応させるとき、f(G)＝0。
そうすると、集合G(n)の濃度をcard(G(n))＝cと求めた後に、今度は
実部の加法部分群がG(n)のGであるような、平面Cの加法部分群の濃度が2^cと求まると。
尚、こういう特性関数の定め方は一意には決まらない。他のやり方でもいい。
だから、本当は、実部の加法部分群(Z上の有限次元の線型空間)を御丁寧に求めてなんていうことせずに、
実部の加法部分群がZ上の有限次元の線型空間であるような、平面Cの加法部分群の濃度を、
一気に2^cと求めなければならなかったと。こういう操作は実部と虚部を入れ替えても同様。
123:１３２人目の素数さん
15/10/20 14:26:32.58 uHJfL3Em.net
>>107
(>>111の続き)
しかし直観に反するな。実軸方向への幾何ベクトルと虚部方向への幾何ベクトルは
直交するから、直観的には日曜に書いたような方針で濃度が自然に求まる筈なんだが。
直線R上に、何らかの、局所的に1点の閉包がその点だけからなったり
或るε-近傍に含まれたりするような加法部分群が、個数としては、
2^cの濃度に等しくなるように存在するということだろうな。
純代数的に無限次元のときをことを考えることは出来ないわな。無限級数を考えたとき、
e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^0 (π)は超越数だが、
e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^0 (log(2)は超越数)
は有理数2に等しく、そんな方針通用しない。
124:１３２人目の素数さん
15/10/20 14:31:10.89 uHJfL3Em.net
>>107
まあ、今書いたのは気楽に書いた文章だから、気軽に読んで下さいな。
125:１３２人目の素数さん
15/10/20 14:55:51.13 uHJfL3Em.net
>>107
>>112の
>e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^0
>e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^0
は
>e^π＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(π)^n
>e^{log(2)}＝Σ_{n=0,1,…,∞}(1/(n！))(log(2))^n
の間違い。
126:１３２人目の素数さん
15/10/20 20:16:12.04 1Ysi0L/2.net
良スレあげ
127:１３２人目の素数さん
15/10/21 14:06:19.27 vSvYhfyL.net
>>107
おっちゃんです。よく考えたら、私の方法では扱えない致命的な場合があった。
eやπを超越数として、超越拡大体Q(e)やQ(π)などの場合がそれにあたる。
Q(e)は、任意のn∈Zに対してe^n∈Q(e)を満たし、1,e,…,e^nはQ上(従ってZ上)線型独立だから、
基底{1,e,…,e^n}を取り出したと同時に、その基底によって張られるZ上の線型空間の階数がn+1と定まる。
だが、整数n∈Zは上下に有界でなく、Q(e)は1変数有理関数体Q(X)に同型で、Q(e)やQ(e)＋iQ(π)自体が
既に複素平面C(直線R)の加法部分群だから、それに属する点を取り出さないと
Rの階数(例としては、先のn+1な)が定まらないような、加法部分群の構造
を持つ対象に対しては、私の方針では無力だったと。そういうことだ。
Z上の線型空間だけを扱っていて、超越拡大体の構造自体は扱ってなかったから、そうなるわな。
以上、反省会でした。
128:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 21:22:54.32 Zuo6CnAJ.net
>>108
どうも。スレ主です。
ID:OUm9X15cさん、「たぶん、その人は数学者か、数学者になり得る候補者」に賛成だね（＾＾
129:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 21:34:20.23 Zuo6CnAJ.net
>>111-116
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ありがとう
証明は良く分からないが
>>86には、ご納得頂けましたか？
130:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 21:43:06.82 Zuo6CnAJ.net
>>106
どうも。スレ主です。
ID:9oIIz4Cl くんか、君の解答はどうだ？ 進んでいるか？ あと約２時間
いま、白紙ということか・・・
君にはレベルが高すぎる問題なんだろうね（＾＾；
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 21:57:16.47 Zuo6CnAJ.net
>>106
どうも。スレ主です。
>私には、ある解答の筋が浮かんだ
>君は、よほど頑張らないと勝てないだろうね（＾＾；
正直に言えば、浮かんだ筋は、だめだった
簡易化で
問題「実数体Rによる数直線上の閉集合全体の集合の濃度を求めよ。
ただし実数体Rにはユークリッド位相が入っているものとする。」
で、数直線上の実数から成る超越基底Sを、虚数軸方向にランダムにばらせば、半径dの開球（近傍）をばらばらに出来るだろうと
しかし、ある一つの要素s∈Sなら、簡単に重ならないように出来るけど、それが超越基底S全体（連続の濃度）になると、簡単じゃない（おそらく無理（証明出来てないが））
結局自力では解けなかった。が、解答は得た。
いま思えば、自力では百年経っても無理だわ
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 22:01:31.76 Zuo6CnAJ.net
>>120 つづき
解答は得たが、暫く書かない
ID:9oIIz4Cl くんか、こいつのレベルでは、解けないんだろうな（＾＾
が、皆さんなら解けるでしょ？
皆さん、一緒に問題を楽しんで下さい
なかなか深く考えさせる問題ですよ・・
133:１３２人目の素数さん
15/10/23 22:16:19.86 l4DBaxJ3.net
スレ主は頭だけじゃなく性格も悪いね
134:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 22:21:30.84 Zuo6CnAJ.net
>>122
どうも。スレ主です。
>スレ主は頭だけじゃなく性格も悪いね
いやー、分かってしまえば、なーんだと
が、君を叩くネタには使えるんだよね（＾＾
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/23 23:50:24.26 Zuo6CnAJ.net
>>123 つづき
>いやー、分かってしまえば、なーんだと
まあ、こう書けば、出題者には分かるだろう。「ああ、解けたんだ」と
おーい、ID:9oIIz4Cl くんよ、間違っていてもいいから、何か書いてみなさいよ（＾＾；
あーあ、なんにも書けないのかよ、おい
へたれの根性無しかよ、おい（＾＾；
136:１３２人目の素数さん
15/10/24 00:20:20.32 KMhP4hYZ.net
嘘つきは土日の始まり
137:１３２人目の素数さん
15/10/24 01:15:41.03 wq5GidlR.net
おっちゃん研究忙しいのか？
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
2015/10/2
139:4(土) 10:03:02.79 ID:cms+vzq2.net
140:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/24 11:36:09.88 cms+vzq2.net
これだけネタばらし書いたら、もう気付いた人も多いだろうね
141:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/24 13:38:44.64 cms+vzq2.net
>>120 補足
後の参考になるので、失敗した考えだが、以下書いてみる
>で、数直線上の実数から成る超越基底Sを、虚数軸方向にランダムにばらせば、半径dの開球（近傍）をばらばらに出来るだろうと
>しかし、ある一つの要素s∈Sなら、簡単に重ならないように出来るけど、それが超越基底S全体（連続の濃度）になると、簡単じゃない
まず、準備として、衝突断面積という考えを紹介する。散乱断面積ともいう
詳しくは、下記PDFのFig6を見て欲しい
統計物理ではよく使う図だが、気体の原子や分子を剛体の球と考えたとき、半径ｒの二つの球がぶつかるのは、お互いが距離2r以内に近づいたとき
つまり、一つの球の中心から半径2rの円の面積を、衝突断面積と呼ぶ。これは、高校物理でも出てくると思うが、これを最初に聞いたときは「おお！」と思った
二つの球を動かすと考えるのが難しい。一つは止まっていることにして、もう一つを動かす
URLﾘﾝｸ(www.mssj.jp)
「衝突論（早川滋雄） 日本質量分析学会2009」
つまり、数直線上の実数から成る超越基底Sで、∃s1∈Sで、s1→s1+iyとsを虚数軸方向に動かして、他のs2・・・などを、s1+iyを中心とする半径2rの外に配置すれば良い
虚数軸は、上下に、無限に広がっているから、これだけなら楽勝なんだ
そして、これができれば、s1+iyを中心とする半径rの開球（近傍）を、複素平面内に重ならないように配置できる
だから、重ならない開球が構成できれば、それらの任意の組み合わせは、全て異なることが言えて・・・、命題が証明できる
しかし、他のs2・・・などを同じように出来るのか？
半径2rの円を考えると、（s1-2r, s1+2r）の区間に入る全ての超越基底Sを、同じように半径2rの外に配置しなければ行けない
（s1-2r, s1+2r）の区間内には、連続無限の濃度の超越基底Sの要素があるんだよね・・・
そう考えて行くと、この筋で証明するのは、難しいと気付いた
そこで、方向転換したんだ（＾＾；