15/09/16 19:48:22.25 X8IcXNKw.net
>>469
定義域にx＝aが入ってないのに「点aでは不連続」と書かれている場合には、
それは著者が間違っているか、もしくは次のような意味である。
・点aでの値をどのように定義しても、その定義における関数は点aで連続にならない。
たとえば、f：R－{0} → R を f(x)＝1/x として定義する。
次に、別の関数 g：R → R を g(x)＝f(x) (x≠0), α (x＝0) として定義する。
このとき、実数αを「どのように選んでも」、g は点0で連続にならない。
このことを以って、「 1/x は点0では不連続 」と書くケースが、あるといえばある。
さて、話は変わるが、ついでなので、実数αを「適切に選べば」、g が連続になるような例を挙げる。
f：R－{0} → R を f(x)＝(sin x) / x として定義する。
(sin x)/x そのものは x＝0 では定義できないが、
しかしlim[x→0] (sin x)/x ＝1 が成り立っている。そこで、
別の関数 g：R → R を g(x)＝f(x) (x≠0), 1 (x＝0) として定義する。
すると、この g は点0で連続になることが分かる。
一応付け加えておくと、1以外のαを持ってきてg(x)＝f(x) (x≠0), α (x＝0) と定義すると、
このgは点0では連続にならない。