15/08/22 19:01:10.55 Bz9HH34r.net
>>78 訂正
間潔が言うように(
↓
岡潔が言うように(
83:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:08:43.39 Bz9HH34r.net
>>78 つづき
さらに抜粋
P101
岡潔が大きな不満を感じたことに疑いをはさむ余地はない。解明すべき論点は不満の理由である。
岡潔の第7報はフランス数学会雑誌78の冒頭に掲載されたが、この巻頭論
文にすぐ続いて、一頁の白紙(28頁目)をはさんで、カルタン自身の論文
「複素変数の解析関数のイデアルとモジューノレJ
(フランス数学会雑誌78、29'"'-'64頁)
が掲載されている。末尾に「このマニユスクリプトは1949年9月15日に受理
されたJという記載が見られるが、岡潔の第7報が受理された日付はi1948
年10月15日」であるから、きっかり11箇月後の出来事である。この問、カル
タンは岡潔の第7報を研究し、適宜書き直しを行ない、しかも同時に一篇の
論文を執筆して、二つの論文を同時に公表したのである。
カルタンの論文のテーマは、岡潔の第7報を層の理論の視点から見て解明
することで、第7報の書き換えも同じ視点から行なわれている。このような
形で紹介された結果、第7報のテーマである不定域イデアルの理論は層の理
論の萌芽として理解されるようになり、有限擬基底をもっ不定域イデアノレは、
解析的連接層として諒解されるようになった。すなわち、不定域イデアルの
理論は、「三十年来の同僚である」カルタンによって高い評価を受け、現代
数学の流れに受容されたとき、まさしくその瞬間にすでに歴史的遺産へと変
容しなければならない運命に置かれたのである。上記の梶原壌二の証言には、
このような趨勢を甘受しようとする岡潔の感慨がよく表われていると思う。
84:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:12:10.14 Bz9HH34r.net
>>80 つづき
さらに抜粋
P107
カルタンは論文「複素変数の解析関数のイデアルとモ
ジュールJの第II節「モジュールの層」の冒頭(第4小節から始まる)で、
層の概念を導入する理由を語っている。
岡潔とともに、モジュールの層の概念を導入しよう。我々は代数的位相
幾何学での「層Jという言葉を借用したいと思う。それは、代数的位相幾
何学で、J.ルレイJ)によってホモロジー論において導入されたものである。
我々がここで同じ言葉を使用するのは、ある類似の概念を記述するためで
ある。また、ここでは代数的位相幾何学におけるのと同様に、f局所的にj
与えられたものから出発して、「大域的なj 諸性質の研究へと移行するこ
とが問題になる。層の概念が導入されるのは、そのような理由があるから
である。
(フランス数学会雑誌7& 33頁参照。ゴシック体の一語fモジュールの層J
は、原文ではイタリック体で書かれて強調されている。)
1)ジャン・ルレイ。フランスの数学者。19偽年。ルレイに関しては、文献とし
て数学週報222、1946年、1366"'1368頁が指示されている。1946年という年数は注目
に値すると思う。なぜならこれによって、代数的位相幾何学でのルレイによる層の
理論の研究は、多変数解析関数論での岡潔による不定域イデ、アルの研究とほぼ同時
期に進行したことが諒解されるからである。
書き出しの一文には脚註が附されていて、層の概念と不定域イデ、アルの概
念は根本的に同一であると明記されている。
85:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:31:29.25 Bz9HH34r.net
>>81 つづき
おっちゃんのいう「2つのクザンの問題とかを解いた岡潔」>>67
についても記載があるね
P117の上空移行の原理かな
ところで、これらの問題の困難は、身を置いている空間を適切な次元に
高めることにより、しばしば緩和される?)様子が私の目には映じている。
この論文では、この一般理念をある特別の場合に対して実現に移すことに
より、私は(この論文の)標題の領域を、言わばいっそう高い次元の柱状
領域に帰着させる原理を示したいと思う。(具体的な形については、第1
節参照。)
このような次第であるから、私はこの論文では、有理関数に関して凸状
な領域9)の内側に身を置く。それは同時に、私にとって不可欠な補助的諸
命題の研究を、課される制限がよりいっそう少なくてすむ状態で実らせる
ためでもある。
(広島大学理科紀要6、245--246頁参照。)
86:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 19:33:39.13 Bz9HH34r.net
疲れたので、高瀬節の引用もこの程度で
しかし、高瀬先生は、よく調べているね～（＾＾；
87:１３２人目の素数さん
15/08/22 19:39:45.96 2gKhrdce.net
>>63
指数定理大好きなんだよな俺。
88:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:01:16.44 Bz9HH34r.net
>>84
どうも。スレ主です。
指数定理か～（＾＾；
89:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:06:36.04 Bz9HH34r.net
指数定理と言われても、ひらめくものがない～（＾＾；
むかし、リアプノフ指数とか聞いた記憶があるが
あれ、なんか指数定理と呼ばれるものがあるのでしょうかね？
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リアプノフ指数
90:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:24:58.78 Bz9HH34r.net
>>82 補足
そういえば、@Maleic1618さん>>62 Cousin I問題って、フラ語でクザンの問題か～！（＾＾；
手書き原稿だが、味があるね～！（＾＾；
URLﾘﾝｸ(maleic1618.hatenablog.jp)
メモ的ななにか @Maleic1618
2014-03-28 S2Sで発表しました
S2Sで「複素関数論とCousin I問題」と題して発表をしてきました．
発表用に作ったノートをこちらURLﾘﾝｸ(drive.google.com) に置いておきます．(Google Driveに飛びます)
参考になれば幸いです
参考にした本は次の4冊です．
神保 道夫著『複素関数入門』
野口 潤次郎著『複素解析概論』
若林 功著『数学のかんどころ21 多変数関数論』
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
ノートの7ページに"極が孤立するとは限らない"と書いていますが，実際には孤立しないことが分かります．(孤立した点があれば，Hartogs現象と同じように領域を取ってして拡張できるため)
91:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:38:37.28 Bz9HH34r.net
>>87 つづき
ついでに
URLﾘﾝｸ(maleic1618.hatenablog.jp)
2014-01-12 Sheafification
野口さんの本で層のテンソル積の例を計算していて，前層を層にするのは関数を局所的にみられるようにすることなんだと確信を持った．
計算していたのは次の例．
Rを実数体とし，定数層Z_R*1，イデアル層I<0,1>*2を考える．
S=Z_R/I<0,1>とするとS(R)はZ \oplus Zと同型．
※層S,Tに対して商層S/Tは{S(U)/T(U)}_{U⊂R:open}を層化して得られる層として定義される
実際に計算すると，
stalkについてはS_x = {Z_R}_x/I<0,1>_xだから，
S_xはx=0,1でZ，それ以外で0となってる．
で，f:R→
92:Sとして，f(0)=a, f(1)=b, f(x)=0 (x≠0,1)という関数が連続かどうかを確かめるわけなのだけど， これは0の近傍では「常にaを取る定数関数」と局所的に一致してるから0で連続 1の近傍でも「常にbを取る定数関数」と局所的に一致してるから1で連続 他の点では「常に0を取る定数関数」と局所的に一致してるから連続 となって，連続関数となっていることが分かります．よってS(R)がZ \oplus Zとなっているというわけです． 定数関数から定義した層なんだから，定数関数だけしか連続にならないんじゃないの？と最初勘違いしてたのですが，層化してるから局所的にみれるので大丈夫なんですね(多分)． *1:Z上に値を取る定数関数のなす層 *2:x=0およびx=1で0を取る定数関数からなる，Z_Rの部分層
93:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 20:40:17.09 Bz9HH34r.net
>>88 つづき
野口さんの本って、野口 潤次郎著『複素解析概論』>>87でしょうか？
94:１３２人目の素数さん
15/08/22 20:45:25.91 2gKhrdce.net
>>86
リャプーノフ指数は力学系の概念でそれらの指数とは違う。
95:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:01:02.44 Bz9HH34r.net
今週は、おっちゃんのおかげで、なかなか楽しい週末です
96:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:18:55.44 Bz9HH34r.net
>>90
どうも。スレ主です。
サーセンｗｗ（＾＾：
指数定理わかりません・・
検索しても、いろいろありすぎ。これでお茶を濁しますか
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
蟹江幸博
シャファレヴィッチ著の『代数学とは何か』シュプリンガー・フェアラーク東京(2001.7)に関するページです。
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
『代数学とは何か』目次
§22 K理論
A. 位相的K理論
ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．
97:１３２人目の素数さん
15/08/22 21:27:40.90 CD4JzK8F.net
ガウス・ボンネの定理と関係あるらしい
98:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:31:19.73 Bz9HH34r.net
>>92 ついで
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
TOSM三重の広場
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
TOSMグループ 文献
99:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:35:10.96 Bz9HH34r.net
>>94 つづき
ところで、蟹江先生の下記、笑えるね～（＾＾；
URLﾘﾝｸ(www.com.mie-u.ac.jp)
リーマン面(数学セミナー1993年1月号26-27ページ)
これでもまだ少し紙数を超えている。一段落位のことだった。なんとかこのまま載せてほしかったが、許して貰えず泣く泣くあっちこっちを削った。気に入っていた締めのフレーズも短くした。校正も編集に任せてしまった。何せ、書き直しで締め切りを過ぎていたのだ。
刷り上がりを見て、さすがにきちんと校正してあると思いながら、最後まで読んできて、愕然とした。
リーマン面で代表されるリーマンの業績には、才能や力強さという彼の魂が篭められているように感じられる。
違いが分かるだろうか。原稿はこのページも挙げてあるように、
リーマン面で代表されるリーマンの業績には、才能や力強さというより彼の魂が篭められているように感じられる。
だったのだ。２文字落ちている。「より」という２文字。
たった２文字で、壊れ物のように繊細なとリーマンの魂を形容した文章が、びくともしない強靱な精神の持ち主としてリーマンを讃えたことになっている。
自分で校正がしたかった。と、痛切に思った。しかし、依頼原稿を書くときは、プロとして振る舞うべきだったのだ。締切りを守れば良かったのだ。 ２度と締切りを押すことはするまいと思った。
それから今日まで、原稿の依頼はない。
上のコメントを書いてから2年半以上のときが流れ，略 数度数学セミナーにも原稿を依頼された．
略
僕としては，上のページをアップしたことで，一応のけじめがついていたのでさっぱりしたものであったが，担当者の方はひどく気にしておられるということを別の編集者から聞いた．
それで，この箇所を削除しようと思って，ファイルを見たのだが，消してしまうのは惜しい気がする． 非常に気の優しい方で，数学の世界のこともよくわかっておられ，個人的には，好意以外のものを持ってはいない．
実は今最終原稿読み直しても，誤植が見つかったので直したのだが，それほどに，原稿には意図せぬ誤りが入り込むものである．
編集者への悪意のために消さないのではなく，自戒をこめて，置くのである．心優しいYさんには，もう少し逞しくなってもらうことにして，容赦していただきたいと思う．
100:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:41:43.44 Bz9HH34r.net
>>93
どうも。スレ主です。
情報ありがとう
ガウス・ボンネね～。知っているといいた。が、聞いたこと、読んだことはあるが、詳しいことは思い出せない・・
で、検索・・・、ふんふん、思い出してきたよ～
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガウス・ボネの定理
（曲率の意味で）曲面の幾何学と（オイラー標数の意味での）曲面のトポロジーと結びつける重要な定理である。
命名はこの定理に最初に気づいたが出版しなかったカール・フリードリッヒ・ガウス(Carl Friedrich Gauss)と、1848年に特殊な場合について出版したピエール・オシアン・ボネ（英語版）(Pierre Ossian Bonnet)にちなんでいる。
解釈と重要さ
閉曲面の全ガウス曲率は曲面のオイラー標数の 2π 倍に等しいことを意味している。
境界を持たない向き付け可能なコンパクト曲面に対し、g を曲面の種数とするとオイラー標数は 2-2g であることに注意する。境界をもたない向き付け可能なコンパクトな曲面は、トポロジー的には g 個のハンドル体をつけた球面に同相となる。
曲面 M を折り曲げたり変形させたりしても、オイラー標数はトポロジー的には不変なので変わらないが、曲率はある点では変わる。
いくらか驚くかもしれないが、本定理のは、たとえ、どのように変形されようとも、すべての曲率の全積分は変化しないことを言っている。
従って、例えば、球にくぼみを作っても、くぼみの大きさや深さには関係なく、球の全曲率は 4π である（オイラー標数が 2 であるので）。
101:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:44:45.78 Bz9HH34r.net
>>96 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
一般化
ガウス・ボネの定理の n-次元リーマン多様体への一般化は、1940年代にカール・アレンドエルファー（英語版）(Carl Allendoerfer)とアンドレ・ヴェイユ(Andre Weil)とチャーン(Shiing-Shen Chern)により発見された。
一般化されたガウス・ボネの定理やチャーン・ヴェイユ準同型を参照。リーマン・ロッホの定理はガウス・ボネの定理の一般化とみなすことができる。
上記の定理の非常に深い一般化はアティヤ・シンガーの指数定理である。
102:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 21:48:26.40 Bz9HH34r.net
>>97 つづき
アティヤ＝シンガーの指数定理か。名前だけは聞いていたね～（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アティヤ＝シンガーの指数定理(Atiyah?Singer index
103: theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。 解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。 従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。 本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表[1]され、1968年に証明[2] [3]が刊行された。 指数定理の特別な場合として、以前から知られていたガウス・ボンネの定理やヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（ヒルツェブルフ（英語版）のリーマン・ロッホの定理）などが含まれていると理解できる。 さらに、1950年代の終わりに得られていたグロタンディ－ク・リーマン・ロッホの定理（英語版）（グロタンディークのリーマン・ロッホの定理）はこの定理の定式化に大きな影響を与えたとされ、 グロタンディークが代数多様体に対して用いたK理論の構成を微分多様体に対して実行することが指数定理の定式化・証明における重要なステップをなしている。 またアティヤ-シンガーによる枠組みの一般化として群が作用している場合や、楕円型微分作用素を持つ多様体が、ある多様体によってパラメーター付けされた族として与えられている場合、 葉層構造によってパラメーター付けが与えられている場合などに指数定理が一般化されている。 この定理の研究から、アティヤとシンガーは2004年にアーベル賞を受賞した。
104:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 22:23:44.16 Bz9HH34r.net
>>98 つづき
K-理論も有名で、名前だけは知っているんだが（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学における K-理論（Kりろん、英: K-theory）は、大まかには、大きな行列の不変量を研究することのひとつであり[1]、位相空間やスキーム上で定義されたベクトル束で生成される環の研究に端を発する。
代数トポロジーにおける K-理論は、位相的 K-理論と呼ばれる一種の超常コホモロジー論（英語版）である。代数学や代数幾何学における K-理論は代数的 K-理論と呼ばれる。また、K-理論は作用素環論においてもいくつかの応用を持つ。
K-理論は、位相空間やスキームから付帯する環への写像である K-函手の族を構成することを意味する。これらの環は、元の空間やスキームの構造のいくつかの側面を反映している。
代数トポロジーにおける群への函手のように、この函手的な写像の利点は、元の空間やスキームからよりも写像された環からのほうが位相的な性質を容易に計算することができることが多いことである。
K-理論のアプローチから得られる結果の例としては、ボットの周期性（英語版）(Bott periodicity)やアティヤ＝シンガーの指数定理やアダムズ作用素（英語版）(Adams operation)がある。
高エネルギー物理学では、K-理論、特にツイストした K-理論（英語版）(twisted K-theory)は、II-型弦理論に現れる。
そこでは、K-理論が、Dブレーンやラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field)の強さ、一般化された複素多様体上のスピノルを分類すると予想されている。
物性物理学では、K-理論は、トポロジカル絶縁体、超伝導や安定フェルミ面を分類することに使われる。詳細はK-理論 (物理学)（英語版）(K-theory (physics))の項を参照。
105:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 22:28:46.24 Bz9HH34r.net
>>99 つづき
”名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]”か・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
黎明期
この主要な問題は、アレクサンドル・グロタンディークがグロタンディーク-リーマンロッホの定理（英語版）(Grothendieck?Riemann?Roch theorem)を定式化することに、K-理論を用いた Grothendieck (1957) に始まる。
名称は「類」を意味するドイツ語 "Klasse" の頭文字をとった[2]。
グロタンディークは、代数多様体 X 上の連接層をうまく扱う必要とし、層自体を直接扱うのではなく、層の同型類（英語版）(isomorphism class)を群の生成系として、それらの和を備える二つの層の拡大を同一視することによる基本関係で一つの群を定義した。
局所自由層のみを用いて考えると、こうして得られた群は K(X) と書かれ、任意の連接層を用いるときは G(X) と書かれるのだが、いづれもグロタンディーク群と呼ばれる。K(X) はコホモロジー的であり、G(X) はホモロジー的に振る舞う。
X が滑らかな代数多様体のとき、この二つのグロタンディーク群は一致する。X が滑らかなアフィン代数多様体ならば、局所自由層の任意の拡大は分裂するので、別な方法でグロタンディーク群を定義することもできる。
トポロジーでは、ベクトル束に同じ構成を適用することにより、Atiyah & Hirzebruch (1959) は 位相空間 X に対する K(X) を定義し、
ボット周期性定理（英語版）(Bott periodicity theorem)用いてある超常コホモロジー論（英語版）(extraordinary cohomology theory)の基底を与えた。
これは指数定理の別証明 (circa 1962) において重要な役割を果たす。さらにこのアプローチはC*-環に対する非可換 K-理論を導く。
1955年にはすでにジャン＝ピエール・セールは、ベクトル束のアナロジーとして射影加群を用いて「多項式環上の任意の有限生成射影加群が自由加群である」ことを言うセール予想（英語版）(Serre's conjecture)を定式化していたが、
これが肯定的に解かれたのは20年を経た後のことであった（スワンの定理(Swan's theorem)はこのアナロジーのもうひとつの側面である）。
106:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 22:58:34.87 Bz9HH34r.net
>>100 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
理論の展開
代数的 K-理論のもうひとつの歴史的な起源は、ホワイトヘッドらによる業績で、後にホワイトヘッドねじれ（英語版）(Whitehead torsion)として知られていることに関することである。
その後「高次 K-理論函手」の部分的な定義がさまざまに提唱され、最終的にダニエル・キレンによって1969年と1972年にホモトピー論を用いた互いに同値な二つの有力な定義が与えられた。
また、擬イソトピー(pseudo-isotopy)の研究と関連する「空間の代数的 K-理論」を調べるため、K-理論の一変形がフリードヘルム・ヴァルトハウゼンによっても与えられた。より現代的な高次 K-理論の研究は、代数幾何学およびモチーフコホモロジー（英語版）と関連する。
付帯二次形式をもつ対応する構成は、一般にL-理論（英語版）と名付けられ、手術（英語版）(surgery)の主な道具立てとなっている。
弦理論において、ラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field)の強さや安定 Dブレーンのチャージの K-理論分類が、初めて提唱されたのは1997年のことであった[3]。
[3]^ by Ruben Minasian (URLﾘﾝｸ(string.lpthe.jussieu.fr)), and Gregory Moore (URLﾘﾝｸ(www.physics.rutgers.edu)) in K-theory and Ramond?Ramond Charge. URLﾘﾝｸ(xxx.lanl.gov)
^ Atiyah, Michael (2000), K-Theory Past and Present, v1, arXiv:math/0012213 URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
Max Karoubi (2006), "K-theory. An elementary introduction", arXiv:math/0602082 URLﾘﾝｸ(arxiv.org)
107:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 23:11:38.01 Bz9HH34r.net
>>88 補足
そうそう、ソウの説明、下記が分かり易いかも
URLﾘﾝｸ(www.encyclopediaofmath.org)
Sheaf theory - Encyclopedia of Mathematics:
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108:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 23:29:52.83 Bz9HH34r.net
>>102 ついで
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_T%C3%B4hoku_paper
The article Sur quelques points d'algebre homologique by Alexander Grothendieck,[1] now often referred to as the Tohoku paper,[2] was published in 1957 in the Tohoku Mathematical Journal.
It has revolutionised the subject of homological algebra, a purely algebraic aspect of algebraic topology.[3] It removed the need to distinguish the cases of modules over a ring and sheaves of abelian groups over a topological space.[4]
Contents
1 Background
2 Later developments
3 Notes
4 External links
Background
Material in the paper dates from Grothendieck's year at the University of Kansas in 1955?6. Research there allowed him to put homological algebra on an axiomatic basis, by introducing the abelian category concept.[5][6]
A textbook treatment of homological algebra, "Cartan?Eilenberg" after the authors Henri Cartan and Samuel Eilenberg, appeared in 1956. Grothendieck's work was largely independent of it.
His abelian category concept had at least partially been anticipated by others.[7]
David Buchsbaum in his doctoral thesis written under Eilenberg had introduced a notion of "exact category" close to the abelian category concept
(needing only direct sums to be identical); and had formulated the idea of "enough injectives".[8]
The Tohoku paper contains an argument to prove that a Grothendieck category (a particular type of abelian category, the name coming later) has enough injectives; the author indicated that the proof was of a standard type.[9]
In showing by this means that categories of sheaves of abelian groups admitted injective resolutions, Grothendieck went beyond the theory available in Cartan?Eilenberg, to prove the existence of a cohomology theory in generality.[10]
109:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/22 23:47:27.84 Bz9HH34r.net
>>103 つづき
英訳があるんだ・・（下記）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)'s_T%C3%B4hoku_paper
Later developments
After the Gabriel?Popescu theorem of 1964, it was known that every Grothendieck category is a quotient category of a module category.[11]
The Tohoku paper also introduced the Grothendieck spectral sequence associated to the composition of derived functors.[12]
In further reconsideration of the foundations of homological algebra, Grothendieck introduced and developed with Jean-Louis Verdier the derived category concept.[13]
The initial motivation, as announced by Grothendieck at the 1958 International Congress of Mathematicians, was to formulate results on coherent duality, now going under the name "Grothendieck duality".[14]
Notes
Grothendieck, A. (1957), "Sur quelques points d’algebre homologique", Tohoku Mathematical Journal, (2) 9: 119?221, doi:10.2748/tmj/1178244839, MR 0102537. English translation. URLﾘﾝｸ(www.math.mcgill.ca)
110:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 00:00:38.21 1K90ZkZY.net
>>104 つづき
なんでトウホク？
グロタン
111:先生は、仏国籍がないので、仏の大学で就職できないので、世界を転々としていた つぎは、日本と思って、日本の大学トウホクに投稿したと読んだことがある でも、IHESが出来て、仏へもどったという https://ja.wikipedia.org/wiki/IHES IHES 1958年にレオン・モチャーンにより設立された。同年にグロタンディークとデュドネが教授として選任された。
112:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:04:45.10 1K90ZkZY.net
突然ですが
affineの語原
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
幾何学におけるアフィン写像（アフィンしゃぞう、英語: affine map）はベクトル空間（厳密にはアフィン空間）の間で定義される、平行移動を伴う線型写像である。アフィン (affine) はラテン語で「類似・関連」を意味する affinis に由来する。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
In geometry, an affine transformation, affine map[1] or an affinity (from the Latin, affinis, "connected with") is a function between affine spaces which preserves points, straight lines and planes.
113:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:13:55.43 1K90ZkZY.net
>>100 戻る
英文読む方が、K-theory German Klasse, meaning "class"が見えるね（＾＾；
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
K-theory
Early history
The subject can be said to begin with Alexander Grothendieck (1957), who used it to formulate his Grothendieck?Riemann?Roch theorem.
It takes its name from the German Klasse, meaning "class".[2]
Grothendieck needed to work with coherent sheaves on an algebraic variety X.
Rather than working directly with the sheaves, he defined a group using isomorphism classes of sheaves as generators of the group, subject to a relation that identifies any extension of two sheaves with their sum.
114:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:27:09.69 1K90ZkZY.net
>>92 戻る
シャファレヴィッチ著の『代数学とは何か』>>92は、読んでないが、
"§22 K理論 A. 位相的K理論
ベクトル束と関手 ${\cal V}ec(X)$．周期性と $K_n(X)$．$K_1(X)$ と無限次元線形群．楕円型微分作用素のシンボル．指数定理．"（特に指数定理）
は、思うに
アティヤ＝シンガーの指数定理>>99、あるいはグロタンディーク-リーマンロッホの定理>>100のどちらか（両方）に関係しているんだろうね
そういう意味では、まったく外れではないか・・
115:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 07:39:56.27 1K90ZkZY.net
ついで
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
K-theory (physics)
In string theory, the K-theory classification refers to a conjectured application of K-theory (in abstract algebra and algebraic topology) to superstrings, to classify the allowed Ramond?Ramond field strengths as well as the charges of stable D-branes.
In condensed matter physics K-theory has also found important applications, specially in the topological classification of topological insulators, superconductors and stable Fermi surfaces (Kitaev (2009), Horava (2005)).
History
This conjecture, applied to D-brane charges, was first proposed by Minasian & Moore (1997).
It was popularized by Witten (1998) who demonstrated that in type IIB string theory arises naturally from Ashoke Sen's realization of arbitrary D-brane configurations as stacks of D9 and anti-D9-branes after tachyon condensation.
Such stacks of branes are inconsistent in a non-torsion Neveu?Schwarz (NS) 3-form background, which, as was highlighted by Kapustin (2000), complicates the extension of the K-theory classification to such cases.
Bouwknegt & Varghese (2000) suggested a solution to this problem: D-branes are in general classified by a twisted K-theory, that had earlier been defined by Rosenberg (1989).
Applications
The K-theory classification of D-branes has had numerous applications.
For example, Hanany & Kol (2000) used it to argue that there are eight species of orientifold one-plane. Uranga (2001) applied the K-theory classification to derive new consistency conditions for flux compactifications.
K-theory has also been used to conjecture a formula for the topologies of T-dual manifolds by Bouwknegt, Evslin & Varghese (2004). Recently K-theory has been conjectured to classify the spinors in compactifications on generalized complex manifolds.
つづく
116:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 08:14:53.65 1K90ZkZY.net
>>109 つづき
Open problems
Despite these successes, RR fluxes are not quite classified by K-theory.
Diaconescu, Moore & Witten (2003) argued that the K-theory classification is incompatible with S-duality in IIB string theory.
In addition, if one attempts to classify fluxes on a compact ten-dimensional spacetime, then a complication arises due to the self-duality of the RR fluxes.
The duality uses the Hodge star, which depends on the metric and so is continuously valued and in particular is generically irrational.
Thus not all of the RR fluxes, which are interpreted as the Chern characters in K-theory, can be rational.
However Chern characters are always rational, and so the K-theory classification must be replaced.
One needs to choose a half of the fluxes to quantize, or a polarization in the geometric quantization-inspired language of Diaconescu, Moore, and Witten and later of Varghese & Sati (2004).
Alternately one may use the K-theory of a 9-dimensional time slice as has been done by Maldacena, Moore & Seiberg (2001).
つづく
117:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:09:15.34 1K90ZkZY.net
>>110 つづき
K-theory classification of RR fluxes
In the classical limit of type II string theory, which is type II supergravity, the Ramond?Ramond field strengths are differential forms.
In the quantum theory the well-definedness of the partition functions of D-branes implies that the RR field strengths obey Dirac quantization conditions when spacetime is compact,
or when a spatial slice is compact and one considers only the (magnetic) components of the field strength which lie along the spatial directions.
This led twentieth century physicists to classify RR field strengths using cohomology with integral coefficients.
However some authors have argued that the cohomology of spacetime with integral coefficients is too big. For example, in the presence of Neveu?Schwarz H-flux or non-spin cycles some RR fluxes dictate the presence of D-branes.
In the former case this is a consequence of the supergravity equation of motion which states that the product of a RR flux with the NS 3-form is a D-brane charge density.
Thus the set of topologically distinct RR field strengths that can exist in brane-free configurations is only a subset of the cohomology with integral coefficients.
略
The Atiyah?Hirzebruch spectral sequence constructs twisted K-theory, with a twist given by the NS 3-form field strength, as a quotient of a subset of the cohomology with integral coefficients.
In the classical limit, which corresponds to working with rational coefficients, this is precisely the quotient of a subset described above in supergravity.
The quantum corrections come from torsion classes and contain mod 2 torsion corrections due to the Freed-Witten anomaly.
Thus twisted K-theory classifies the subset of RR field strengths that can exist in the absence of D-branes quotiented by large gauge transformations.
Daniel Freed has attempted to extend this classification to include also the RR potentials using differential K-theory.
つづく
118:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:16:18.83 1K90ZkZY.net
>>111 つづき
K-theory classification of D-branes
K-theory classifies D-branes in noncompact spacetimes, intuitively in spacetimes in which we are not concerned about the flux sourced by the brane having nowhere to go.
While the K-theory of a 10d spacetime classifies D-branes as subsets of that spacetime, if the spacetime is the product of time and a fixed 9-manifold then K-theory also classifies the conserved D-brane charges on each 9-dimensional spatial slice.
While we were required to forget about RR potentials to obtain the K-theory classification of RR field strengths, we are required to forget about RR field strengths to obtain the K-theory classification of D-branes.
K-theory charge versus BPS charge
略
K-theory from tachyon condensation
略
Twisted K-theory from MMS instantons
略
MMS[1] refer to this process as an instanton, although really it need not be instantonic.
The conserved charges are thus the nonanomolous subset quotiented by the unstable insertions. This is precisely the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence construction of twisted K-theory as a set.
引用おわり
119:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:27:24.73 1K90ZkZY.net
>>109 補足
Neveu－Schwarz (NS) 3-form
下記リンクなんだけど・・
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Kalb?Ramond field
In theoretical physics in general and string theory in particular, the Kalb?Ramond field, also known as the NS-NS B-field, is a quantum field that transforms as a two-form i.e. an antisymmetric tensor field with two indices.[1][2]
引用おわり
URLﾘﾝｸ(www.aei.mpg.de)
String Theory: An Overview Lect. Notes Phys. 721, 289?323 (2007)
P295
The fermions ψμ± on the world-sheet of the closed string can be periodic (Ramond) or anti-periodic (Neveu?Schwarz),
where the periodicity condition can be chosen independently for each chirality.
This leads to four different sectors of the closed string theory.3
Excitations in the (NS,NS) and the (R,R) sectors are space-time bosons while excitations in the two mixed sectors, (R,NS) and (NS,R), are space-time fermions.
引用おわり
120:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:43:26.59 1K90ZkZY.net
>>113 つづき
NS：Neveu－Schwarz, anti-periodic
3-form：３次元-（外）微分形式。 正式には、下記
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
For instance, the expression f(x) dx from one-variable calculus is called a 1-form
and similarly the expression: f(x,y,z) dx∧dy + g(x,y,z) dx∧dz + h(x,y,z) dy∧dz is a 2-form that has a surface integral over an oriented surface S:
Likewise, a 3-form f(x, y, z) dx∧dy∧dz represents a volume element that can be integrated over a region of space.
引用おわり
R：periodic (Ramond)
(R,R) ：ラモン-ラモン場（英語版）(Ramond?Ramond field) URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
121:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 09:48:25.98 1K90ZkZY.net
K-theory (physics)も、なかなかすごいことになってますな～（＾＾；
理論物理屋さんも、K-theory くらいやってないと、常識が無いと言われそうな時代かよ、おい（＾＾；
122:１３２人目の素数さん
15/08/23 09:59:57.98 nupX4GQB.net
ブルーバックスから出てる群論入門読みましたか？
123:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 10:02:19.35 1K90ZkZY.net
>>116
どうも。スレ主です。
多分読んでない
書店で見かけた
が、興味が湧かなかったので、手に取ってない
124:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 10:11:46.70 1K90ZkZY.net
環論（含むイデアル）の本は、ほとんど持ってない
が、群論はあるよ。大体ガロア理論の本には、導入部分に有限群論が付属しているし（付録にまわっている本も多い）
>>77-78の岡潔の講演を読むと
数のイデアルと
多項式環のイデアルと
解析関数のイデアルと
質が違うんだね。歴史的にも違うんだね
なるほど～（＾＾；
125:１３２人目の素数さん
15/08/23 11:02:22.21 nupX4GQB.net
シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？
126:１３２人目の素数さん
15/08/23 18:04:51.97 rhinu+IC.net
NGワード：岸部、伊東、マギー、つぶやき
127:１３２人目の素数さん
15/08/23 19:01:2
128:3.17 ID:pFXtvWCJ.net
129:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:06:42.68 1K90ZkZY.net
>>119
どうも。スレ主です。
良い質問だと思うのだが・・
君のレベルが分からないんだよね
130:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:08:37.53 1K90ZkZY.net
>>122
シローの定理ね
自分でも少しは調べているんだろ？ いまの時代、検索かければヒットする情報はあるから
だが、自分の求める情報をヒットさせるのはなかなか難しいのも事実だ
131:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:11:53.76 1K90ZkZY.net
>>123
シローの定理ね
なにが分からないのか分からないが
まあ、有限群論の基本定理だと。これが一つの切り口だ
こういう大きな定理は、いろんな切り口で考えるのが良いんだよ
132:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:18:16.53 1K90ZkZY.net
>>124
シローの定理ね
実は、こういう本がある。結構新しいし、コンパクトで分かり易いよ
URLﾘﾝｸ(www.amazon.co.jp)
シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ) 単行本 ? 2015/4/10
佐藤 隆夫
単行本: 155ページ
出版社: 近代科学社 (2015/4/10)
商品の説明
内容紹介
群論の古典!
本シリーズは,大学教育において扱われる数学の中から特に重要で興味深いと思われるテーマを抽出し,その基礎概念ならびに応用の点について様々な観点から掘り下げた解説を行う。A5判でありながら側注をもうけ、立体的に理解できる。
第1巻は、群論の古典ともいうべき「シローの定理」を取り上げる。群論は、抽象的概念の強い分野だが、その利用例は幅広く、情報科学はもとより、物理、化学などに幅広い分野に応用されている。
本書は、「シローの定理」にスポットをあて、より深い理解を目指して学ぶことができる。章末には、演習問題の詳細な解答をのせ、より具体的に理解出来るよう工夫してある。
授業で学んだが、今ひとつ理解出来かねている読者やより深く理解して研究に使えるようにしたい読者には最適の書である。
著者について
東京理科大学講師
133:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:21:15.17 1K90ZkZY.net
>>125
一度、書店か図書館で手に取ってみては？
実は、これ手元にある
アマゾンなどで買うのもありだろう。分かり易いよ
134:１３２人目の素数さん
15/08/23 19:31:23.44 ubTUdCwU.net
切り口というか、有限群で万能な定理ってこれくらいしかないんだよね
135:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:36:02.19 1K90ZkZY.net
>>126
この本にも書いてあるし、有限群論やった人なら常識なんだが
１．ラグランジュの定理というのがある。（下記）部分群の位数が、元の群の位数の約数だと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群論において、ラグランジュの定理（英語：Lagrange's theorem）とは、次のような定理である。
G を有限群とし、H を G の部分群とする。このとき、H の位数は、G の位数を割り切る。
２．では、この逆問題はどうなるか？ つまり、群Gの位数が分かったときに、その部分群はどこまで決まるのか？ 別の言い方をすれば、群Gの位数が分かったときに、その群の構造はどこまで決まるのか？
３．簡単な場合がある。群Gの位数が、素数pに等しい場合は、位数pの巡回群になるとか
４．一般の場合を考えたのが、シロー先生�
136:ﾁてわけ。これが結構早かったんだ。だから、名前が残っている。いずれは、だれかが考えたと思うんだよね、個人的には。何年後な何十年後か分からないが・・ https://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow Peter Ludwig Mejdell Sylow (IPA: [ ?sy?l?v]) (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian mathematician who proved foundational results in group theory. He was born and died in Christiania (now Oslo). Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898, and a substitute lecturer at Christiania University in 1862, covering Galois theory. It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups. Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel. He was appointed professor of Christiania University in 1898.
137:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:38:17.05 1K90ZkZY.net
>>128
あとは、上記の本を読むか、自分で調べてみて
それで、分からなければ、質問してくれ
なお、どこが分からないか具体的にね。それと、君のレベルが分かるように頼むよ
138:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 19:48:38.20 1K90ZkZY.net
>>127
どうも。スレ主です。
同意です。そうらしい。（専門的には、深くは知らないので）
あとは、大定理ですよね。トンプソンのodd order theorem
URLﾘﾝｸ(www.researchgate.net)
A new look at the Feit-Thompson odd order theorem
George Glauberman
Matematica Contemporanea 01/1999; 16.
あと、有限群の分類定理
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている(任意の有限群は組成列を持つ)。
あと、有限群に限らないが、表現論か
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
群の表現（ぐんのひょうげん、英: group representation）とは、抽象的な群 G の元に対して具体的な線形空間 V の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 G → GL(V) のことである。
実際には正則な線形変換としてではなく、より具体的な正則行列による実現を与える準同型写像を指すことも多い。
139:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/23 22:17:28.74 1K90ZkZY.net
高木 近世数学史談に出てくるアーベルのパリ論文について調べた
URLﾘﾝｸ(mathsoc.jp)
書評 高木貞治著「近世数学史談・数学雑談」（復刻版・合本）共立出版，1996年
500年分はおおげさすぎと思う
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
アーベル
1826年 パリ科学アカデミーへ提出した「超越関数の中の非常に拡張されたものの一般的な性質に関する論文」こそ､のちに“青銅よりも永続する記念碑”と謳われ､後代の数学者に500年分の仕事を残してくれたとまで言われた不滅の大論文だった。
URLﾘﾝｸ(reuler.blog108.fc2.com)
2012-04-08-Sun 回想のアーベル 6 加法定理と「パリの論文」 （高瀬）
アーベルの生前には日の目をみなかった「パリの論文」という大論文があります。
驚嘆に値するのはそのテーマなのですが、アーベルが取り上げたのは完全に一般的な代数関数の積分、すなわち今日のアーベル積分であり、「パリの論文」ではアーベル積分の加法定理が既述されました。
楕円関数の等分理論に先立って、アーベルはいきなりアーベル積分の高みに飛翔したことになります。地上から一歩ずつ階段をのぼっていくのではなく、まずはじめに頂上に身を移して世界全体を展望するという離れ業ですが、どうしてそんなことができたのでしょうか。
URLﾘﾝｸ(www.kurims.kyoto-u.ac.jp)
数理解析研究所講究録2006 数論と関数論- オイラーからヒルベルトヘー 高瀬正仁
URLﾘﾝｸ(www2.tsuda.ac.jp)
「ヤコヒの逆 問題 」小史 - 津田塾大学 高瀬正仁 平成12年(2000年)10月21日(土)
.この「パリの論文Jは公表されないまま行方不明になったが，後に発見され， 1841年，パリの学術誌「いろいろな学者によって学士院に提出された諸論文」第7巻， 176"'"'264頁に掲載された.
この論文において完全に一般的なアーベル積分を対象にして「アーベルの定理」と加法定理が表明され，アーベルの定理から加法定理が導かれた.アーベルの定理は加法定理の根底にある定理であり，それ自身もまた加法定理という名に相応しい性格を備えている.
140:１３２人目の素数さん
15/08/24 06:00:30.61 0sHbSGFU.net
>>87
おっちゃんです。昨日は書かなかったが、>>88の内容からして、
>野口 潤次郎著『複素解析概論』
ではなく
>野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』
を指している。
141:１３２人目の素数さん
15/08/24 06:36:59.88 0sHbSGFU.net
>>86
文脈上、アティヤ・ジンガーの指数定理のことだろうな。
偏微分方程式と微分幾何を結び付けたような定理だな。
応用範囲がとても広いんだわ。
142:１３２人目の素数さん
15/08/24 06:45:57.25 0sHbSGFU.net
スレ主が>>98で既にたどり着いていたから>>133を書いた意味がないな。
143:１３２人目の素数さん
15/08/24 22:06:47.45 qvYMk6yb.net
（
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144:１３２人目の素数さん
15/08/25 06:15
145::42.53 ID:mUFO6e9h.net
146:１３２人目の素数さん
15/08/25 14:43:09.81 2ALWEdmt.net
シローの定理は確かに重要だが、一つの定理を理解記憶したというのが
結構甘かったりする。
具体的には、
１．その主張そのもの
２．その意味するもの
３．その定理の証明方法
４．その定理の応用（例・問題）
をわかるまで繰り返したあと、いったん忘れるだけの時間をおいて
（たとえば３か月後に）再現してみる過程で、ふと”そういうことだったのか”
と腑に落ちる瞬間がくる。これで初めて理解できたと言える。
もし、数年後に、これらを再現しようとしてできない場合には、
表面的理解だけで、本質を把握していないということ。
147:１３２人目の素数さん
15/08/26 07:05:59.10 o6oQXrkO.net
>>137
4つの主張を1つにまとめて「シローの定理」というのが習慣で、
ただ単に「シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？」などという書き方では、
通常の解釈では、シローの定理の4つの主張全体について最初から解説しろという趣旨の文になる。
このような質問に対しては、シローの定理の本を薦めて、最初から学習させるのがよい対策になる。
それなので、>>136では本を挙げたまで。シローの定理の質問は一旦学習してから
するべき。「シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？」という文の書き方だと、
場合によっては、シローの定理の4つの主張全体の中の部分的な個々の主張について尋ねたとも解釈出来る。
そういうことから、それは漫然とした質問となる。代数の場合は、学習を進めていれば、
シローの定理の応用は自然に出て来る。定理だけの再現ではなく、本来は理論の再現が出来るようになるべき。
148:１３２人目の素数さん
15/08/26 07:32:57.64 o6oQXrkO.net
それにしても、
シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ)
なんていう本が出ているんだな。目次や索引を見る限りでは、
あたかもシローの定理の解説に焦点を当てたかのような本だ。これ読むなら、
岩波 現代数学 群論 上下
とかでも丁寧に読んだ方が(有限)群論を学習するにはいいと思うんだが。
上巻だけでも中身がかなり濃い。下巻の方は有限群論に興味なければ読む必要ない。
149:１３２人目の素数さん
15/08/26 07:41:46.19 o6oQXrkO.net
>>138のはじめの方の「習慣」はいい過ぎか。
それこそ、スレ主が挙げたサイトによると、
「習慣」ではなく「普通」と書くべきなのか。
150:１３２人目の素数さん
15/08/26 08:22:46.14 y9hNxORm.net
>「シローの定理をわかりやすく解説してくれませんか？」
に対するアドバイスとして、こんな本あるよ（読んでみれば）、という
のはわかる。
大事なのは、何をどれだけ読んだかではなく、そこに書かれている主張内容
を自分の言葉で（絵・イメージを併せて）再構成できるか、だと思う。
単に暗記している、とは異なる。
シローの定理を勉強する過程で、群論や数学全般のいろんな議論
を咀嚼し、何も見ずにそのまま再現するだけでもいい勉強になる。
何がわかってないか、がわかるきっかけになる。
151:１３２人目の素数さん
15/08/26 08:47:34.29 o6oQXrkO.net
>>141
それこそ、複素平面上の単位円がなす群の有限部分群全体の中で、
素数を約数に持つ位数の有限巡回部分群の部分群の構造に関する定理になるではないか。
152:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/28 22:14:31.99 2/a1AUdY.net
>>132
おっちゃん、どうも。スレ主です。
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』か・・・
おっちゃん、物知りやね～
ほんま、見直したわー（＾＾；
153:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/28 22:16:06.08 2/a1AUdY.net
>>133-134
アティヤ・ジンガーが、うかぶんか！
おっちゃん、ほんま、見かけによらんね～（＾＾；
154:１３２人目の素数さん
15/08/28 22:20:01.68 L6KZRi8B.net
土日が始まった
155:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/28 22:56:03.19 2/a1AUdY.net
>>431 補足
>野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』か・・・
序文ＰＤＦがある。名著の香りがする・・
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
PDF]多変数解析関数論
URLﾘﾝｸ(www.ms.u-tokyo.ac.jp)
野口潤次郎の電網掲示板
(Home Page of Noguchi, Junjiro)
156:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 06:53:38.17 eoE5GmxF.net
どうも。スレ主です。
>>136
>>シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ) でも読めば。
>で終わってる。私はその書籍は知らなかった。確かに>>119の問いは漫然としていて
いやはや、そうなんだ。読めばで終わっているんだが、果たして読めるかどうか
かつ、シローの定理の自分なりのイメージを参考に書いてみようと思ったんだ
>>137
>もし、数年後に、これらを再現しようとしてできない場合には、
>表面的理解だけで、本質を把握していないということ。
うんうん。そのときは、また勉強すれば良い。数年後のレベルアップした視点でもう一度見直せば
>>138
>シローの定理の応用は自然に出て来る。定理だけの再現ではなく、本来は理論の再現が出来るようになるべき。
群論の本では頻出ですね。だから行ったり来たりで良いと思う。応用場面とシローさんと
>>139
>シローの定理 (大学数学スポットライト・シリーズ)
>なんていう本が出ているんだな。
シローの定理で悩む人と需要が多いってことなんでしょう
つーか、あるいは教えていて、「おまいらシローの定理もっと勉強しろ！」ということか
>>140
>「習慣」ではなく「普通」と書くべきなのか。
そうそう。シロー p-部分群（あるいは p-シロー部分群）みたく書いて（下記）、あと必要な性質をちょっと引用して、先へ進むというのが普通だね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
157:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 07:32:54.22 eoE5GmxF.net
>>147 つづき
Sylow theoremsに証明があるね
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
>>141-142
どうも。スレ主です。
おっちゃん、ほんま勉強家やね～
複素平面上の単位円がなす群というのは、いろんな理論の出発点だよね
ガウス先生、クンマー・・、代数方程式のガロア理論も
べき根というのは結局は、巡回群ですから。べき根で解けるというのは、「結局、代数方程式のガロア群が、巡回群から構成できるか」という問題なんだと、そう見抜いたガロアだった
岩澤という有名な話もある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
岩澤理論
円分拡大の数論
最初の重要な例は、1 の原始 p 乗根 ζ を添加する拡大 K = Q(ζ) である。
Kn を 1 の原始 pn+1乗根の生成する K の（したがってとくに C 内の）部分体として、体の塔 Kn (n = 1, 2, ...) の和集合（合成体）を L と置く。
このとき、体の拡大 L/K のガロア群は Γ に同型である。これは、拡大 Kn/K のガロア群が Z/pnZ であることによる。
ここから、ガロア群 Γ 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は Kn のイデアル類群と、そのシロー p 部分群 In （p-部分）を考えた。このときノルム写像
Im → In
（ここで m > n）を考えれば逆系が得られ、その逆極限を I として Γ を I に作用させることができる。その作用を記述することに意味があるのである。
また、以下のような量的な記述ができる：
p を素数とし、Kn を塔とする K の Zp 拡大 L に対し、Kn のイデアル類群の p-部分 In（これは有限 p-群だから位数は p の冪である）の位数の p の冪指数を en とするとき、適当な正の数 μ, λ と実数 ν および十分�
158:蛯ｫな n をとれば e_n=μ p^n+λn+ν という形に表すことができる。 ここでの動機というのは、K のイデアル類群の p 部分こそがフェルマーの最終定理の直接証明における主要な障害となっている、ということがクンマーによって既に特定されていたということによるものである。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。
159:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 07:52:42.35 eoE5GmxF.net
>>139 もどる
>岩波 現代数学 群論 上下
鈴木道夫だったよね（下記）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板) 群論は一体何のためにあるのか
68 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 09:22:36.34
>>67 鈴木通夫「群論」上、下（現代数学叢書）岩波
は、それより新しくていい本だが、比べるのはよくないか
いまさら通読するのは苦痛だろうが、何かの話題で困った時相談に乗ってくれる
69 ：１３２人目の素数さん：2014/04/03(木) 09:45:02.01
>>68
上が1977年で下が1978年のやつ？
絶版みたいだけど
75 ：１３２人目の素数さん：2014/04/04(金) 09:49:29.19
鈴木通夫「群論」上、下（現代数学叢書の下巻の内容って有限群の表現論とか有限単純群だろ。
80 ：１３２人目の素数さん：2014/04/05(土) 16:45:45.21
>>77
昔の数学科3年前期の教科書だった浅野・永尾（おそらく阪大では
長く標準だったはず）に比べれば分量が多いが、わかりやすいテキスト。
ただ、こんどうむ()を読み通すのは大変だと思う。
正直、鈴木通夫「群論」上下は有限単純群の専門書過ぎる（むろん、
悪い本では決してない）。普通の学部生は手を出さないほうが良いが
辞書として持っておくなら良いかもしれない。
最近なら、寺田至＆原田耕一郎「群論」があると思ったら、こっちも
品切れか、やっぱり岩波。
今買えるのなら、雪江明彦「代数学1 群論入門」が標準的かな。
160:１３２人目の素数さん
15/08/29 07:58:47.03 86dDTELQ.net
>>146
おっちゃんです。>>136、>>137-138は私が書いた。
多変数複素解析の名著は西野氏の本、Theory of Stein Spaces、ヘルマンダーの3冊でしょう。
大沢氏の2冊、クランツも手元にあるが、これでもいい。
ただ、クランツだけは読むのに注意が必要なので、最初に読んではダメ。
大沢氏の複素解析幾何学とデイバー方程式は、読んでみると案外読み易くていい。
西野・Theory of Stein Spaces・大沢氏の多変数複素解析・複素解析幾何学とデイバー方程式
の組合せか、ヘルマンダー1本でしょう。その後、クランツかと。
西野氏の本は層やコホモロジーを使わず純解析的に説明しているから、
これを補う役割として、Theory of Stein Spaces、複素解析幾何学とデイバー方程式。
ヘルマンダーは偏微分方程式の楕円型境界値問題が或る程度分かれば読み進められるかと。
ヘルマンダーは複素(解析)幾何にも使える。
本当は一松本がすごい名著のようだから、こっちが復刊してほしかったんだが、
これが今では中々手に入らないのな。
161:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 08:10:05.23 eoE5GmxF.net
>>149 もどる
記憶では、鈴木道夫は教養としての読み物としては面白かったね。（書棚のスペースが無くなったので処分したが）
有限単純群の分類史。その時代を生きてきた鈴木道夫先生の生の声と視点は貴重だと
が、有限単純群の分類は、普通に勉強する数学とはちょっとズレている気がする
１．結局、コンピュータでやりま�
162:ｵたって部分が結構ある ２．本気で全文の証明を書くと、何万ページ。鈴木先生の本も結局「この定理は認めて先へ」という部分が多かった ３．有限単純群の分類に実は大穴が開いてましたという話がある。鈴木先生の本では「分類終わった！」と信じていたんだがね・・（下記） https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4 完全な分類は1962年/63年のフェイト・トンプソンの定理（英語版）から始まり、主に1983年まで続いたが,2004年に終了したばかりである、ということが一般的に受け入れられている。 1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。 これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。 このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。 単純群でないことの判定 Sylowの判定法: n を素数でない正の整数とし、 p を n の素因数とする。もし n の約数の中で p を法として1と合同なものが 1のみであれば、位数 n の単純群は存在しない。 証明: もし n が素数の冪であれば、位数 n bの群は自明でない中心をもつ[12]ので、単純群でない。 n が素数の冪でなければ、シロー部分群はすべて真部分群であり、シローの第三定理より、位数 n の群のシロー p-部分群の個数はpを法として1に合同でありnの約数である。 そのような数は1だけであるので、シロー p-部分群は一意であり、従って正規部分群である。真の、自明でない正規部分群が存在したので、この群は単純群ではない。 Burnsideの判定法: 非可換な有限単純群の位数は少なくとも3種類の相異なる素数で割り切れる。これはBurnside's p-q theoremから従う。
163:１３２人目の素数さん
15/08/29 08:11:43.45 86dDTELQ.net
>>148
お見通しだったか。
1のベキ根のお話で出て来る(係数体が複素数体の)円周等分多項式の根が
如何に円周上に分布しているかの構造調べにシローの定理は使える。
それなので、意味があるかどうかは分からんが、
正多角形の頂点の分布を調べるのにもシローの定理は使える。
164:１３２人目の素数さん
15/08/29 08:16:22.24 86dDTELQ.net
>>146
>>150の「>>137-138」は「>>138-140」の間違い。
ID見れば分かると思うが、>>137は別人。
165:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 08:19:52.15 eoE5GmxF.net
>>150
どうも。スレ主です。
おっちゃんって・・
本格的に勉強しているんやね・・
複素解析は。
昔、アルフォースと言われた時代があった。第1回目のフィールズ賞を受賞か・・
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
抜粋
ラース・ヴァレリアン・アールフォルス（Lars Valerian Ahlfors、1907年4月18日-1996年10月11日）はフィンランドの数学者。リーマン面の研究と複素解析の教科書を書いたことで知られる。
1936年、彼はジェス・ダグラスとともに第1回目のフィールズ賞を受賞した。
1953年に出版されたComplex Analysis (邦題：「複素解析」、訳者：笠原乾吉)は古典的な名著で、現在でも世界中の大学で複素解析の授業に用いられている。また1960年にはRiemann surfaces 、1973年にはConformal invariants など、他にも有名な本を書いている。
166:１３２人目の素数さん
15/08/29 08:24:29.44 86dDTELQ.net
>>151
>（書棚のスペースが無くなったので処分したが）
何かもったいないこと�
167:ｵたと思うぞ。 下巻の方の有限群論の内容は読む気失せるような内容だが、 上巻の方はマニアックなことまで書いてあって読む価値あると思う。
168:１３２人目の素数さん
15/08/29 08:35:50.14 86dDTELQ.net
>>155
岡潔はリーマン面をモデルに多変数複素変数での複素解析を展開しようとしたが、
1変数のときとは異なり、1変数では解析関数の解析接続が全平面まで拡張して
定義出来るが、多変数ではその解析接続による定義が全空間まで拡張して出来る
とは限らないので、1変数のときとはかなり様相が違う。
169:１３２人目の素数さん
15/08/29 08:41:49.10 86dDTELQ.net
>>154
>>156の「>>155」は「>>154」の間違い。
ちなみに、アールフォルスのComplex Analysisは1変数複素解析の本。
読んだことはないが、(1変数)楕円関数などまで丁寧に載っているようだ。
170:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 09:23:46.59 eoE5GmxF.net
どうも。スレ主です。
>>155
おっちゃん、ほんま、見かけによらず勉強家やね～
鈴木まで読んでいるのか
だいぶ記憶が薄れたが、読み物としては下巻の方が面白かったような・・
上巻もそれなりに
でも、代数方程式のガロア理論に限ると、ちょっと過剰なんだよね
それと、別の切り口の本もいずれ出るだろうしと思って（実際にはまだお目に掛からないけど）
>>156
岡潔先生は、大学を退官されてからは、文筆家になられた
多変数複素解析の話は有名ですね
>>157
アールフォルスのComplex Analysisは1変数複素解析の本はそうなんだけど
ＰＣの無い時代は、1変数複素解析の積分計算って、結構重要だったんだわ
ところで、>>151の「結局、コンピュータでやりましたって部分が結構ある」という話は、これからの人は意識しておいたほうが良いだろう
実際、「コンピュータでやりましたって部分」が表に出なくても、結構あるんじゃないかな？ 佐藤幹夫先生も結構やってたよね
171:１３２人目の素数さん
15/08/29 09:42:11.20 86dDTELQ.net
>>159
いや、鈴木は持ってはいるが、通読してはいない。
これまで通読しようとしたら大変だろう。普段は、せいぜい上巻は調べ物に使っている。
Tisz系とかアパートとか、代数群に関するようなことまでが上巻に載っている。
鈴木の群論の上巻の価値は、そのあたりにあるだろうな。
下巻はグラフだったかな。そういう言葉が出て来たな。
172:１３２人目の素数さん
15/08/29 09:49:52.40 86dDTELQ.net
>>158
「>>159」は「>>158」の間違い。
あと、訂正：Tisz系→Tits系
綴り間違えた。
173:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 10:20:55.07 eoE5GmxF.net
>>159
どうも。スレ主です。
おっちゃん、どうも。本格的やねー
ちょっと意味が違うが、鈴木が群論のバイブルかねー
もう記憶が薄れているが、鈴木の本は有限群論の分類を主眼に書かれていたような気がするんだ
が、有限単純群の分類が終わったいまでは、もう少し別の視点があっても良いような気がする
例えば、下記を総括するような、かつ群論といろんな分野（物理や計算）との関連を記述するような（売れるかどうかは別として）
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
174:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 10:30:49.26 eoE5GmxF.net
>>150
Stein Spacesか～
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
数学の多変数複素函数論および複素多様体論におけるシュタイン多様体（シュタインたようたい、英: Stein manifold）とは、複素 n 次元ベクトル空間のある複素部分多様体のことを言う。
考案者の Karl Stein (1951) の名にちなむ。
同様の概念にシュタイン空間（Stein space）があるが、こちらは特異性を持つことも許されている。
シュタイン空間は、代数幾何学におけるアフィン多様体、あるいはアフィンスキームと類似の概念である。
目次
1 定義
2 非コンパクトなリーマン面とシュタイン多様体
3 シュタイン多様体の性質と例
4 滑らかな多様体との関係
5 注釈
6 参考文献
このような多様体の更なる特徴付けは多く存在し、特に複素数に値を取る多くの正則函数を持つという性質が挙げられる。
例えば層コホモロジーに関連するカルタンの定理 A, Bを参照されたい。第一の動機は、解析函数の（極大）解析接続の定義域の性質を表現することであった。
類似の概念が多く存在する GAGA において、シュタイン多様体はアフィン多様体に対応する。
シュタイン多様体はある意味において、複素数からそれ自身への「多くの」正則函数を許すような複素解析学における楕円多様体（elliptic manifold）の対となるものである。
シュタイン多様体が楕円型であるための必要十分条件は、それがいわゆる正則ホモトピー論（holomorphic homotopy theory）の意味での fibrant であることであることが知られている。
175:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 11:04:05.48 eoE5GmxF.net
>>152 補足参考
www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1026-4.pdf
岩澤理論入門(代数的整数論とその周辺) 東京大学大学院数理科学研究科 中島匠 数理解析研究所講究録 1998年
抜粋
本稿では最新の成果について述べることは避けて, 岩澤理論の原点に帰り,「代数体の円分Zp 拡大」に絞って話をすることとした. また, その中でも代表的な成果である, 岩澤類数公式と岩澤主予想の解説を目標とした.
2 節では我々の扱う状況を設定して, 重要な環A を導入する. 3 節でA 加群の構造について概説した. 4 節で代表的成果である岩澤類数公式を解説し,7 節ではハイライトともいうべき岩澤主予想を扱った.
岩澤理論の進展の背後には, 代数体と代数関数体(代数曲線) との類似, という「動機」があると考えられるし, またその類似を知ることは読者の理解の助けにもなると思われるので, 5 節においてその類似について触れた.
6 節では主予想の片方の主役である$p$ 進$L$ 関数について必要な$$‘とをまとめてある.
A 加群の構造定理は代数体の岩澤理論に限らずその?般化に関しても不可欠の道具だと考えたので, 3 節がすこし長くなってしまった.
岩澤理論とはどんなものでそもそもどんな成果があるのか, ということをまず知りたい読者は, 2 節で状況を理解した後(3 節を飛ばして)4 節を読んで頂きたい.
Introduction の最後に, 文献について触れておきたい. 岩澤理論を本格的に学ぶためには, もちろん岩澤先生の原論文に接するのが最も望ましいであろう. 論文は数多くあるが, [Iw 2], [Iw 3] などを読むのが良いのではないかと思う.
その他に岩澤理論の教科書を挙げるとすれば, Lang の本[La] とWashington の本$1^{\mathrm{W}\mathrm{a}}$] が代表的なものといえよう. 本稿で述べた命題に関し
ては, 極力[Wa] での対応箇所を指摘するようにした. 岩澤理論の教科書といえるものが日本語で出版されていないのが(筆者には) 不満であったが, 最近-, 市村文男氏の講義録[Ichi] が出た.
この本は薄いものであり, 理論のす
べてをカバーしているわけではないが, 類体論の概要から始めて代数体の岩
澤理論のエッセンスがうまくまとめられている.
また, 岩澤理論の発生と進展, 代数体と代数関数体との類似に関する考
え方, について興味を持たれる読者には[Iw 1], [Iw 4] を読むことをお勧めする.
176:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 11:14:12.55 eoE5GmxF.net
>>163 つづき
URLﾘﾝｸ(web.math.princeton.edu)
I am a Veblen Research Instructor at the Institute for Advanced Study and Princeton
177: University. https://web.math.princeton.edu/~fsprung/kinosaki.pdf 楕円曲線の岩澤理論について シュプルング フローリアン(Florian Sprung) 東大数理 抜粋 岩澤理論は遠く離れているはずの（p 進）解析的対象と代数的な数論的対象との間を深く結びつける不思議な理論である。 そして、x3 では古典的な岩澤理論について説明します。 x4 では「御縁のある」楕円曲線という対象について簡単に説明します。 それをもとに，x5 とx6 では「通常」な素数における楕円曲線の岩澤理論、そして「超特異」な素数における 岩澤理論について説明しようと思います。（ある昔話とのたとえはここに含む。） 講演とこの報告集は主に加藤和也先生の2006 年の国際数学者会議での講演をもとにしました。実際，この講演をオンラインで見ました （http://www.icm2006.org/video/での“eighth session”をクリック）。後、同じ辻教室で研究されてる原さんの 素晴らしい原稿[原]（去年の第五回城崎新人セミナーの講義ノート）やCoates 先生の講義ノート[Coates] 等を 参考にしました。 7 おわりに 楕円曲線の岩澤理論には、不思議な現象がまだ沢山残ってます。Bertolini とDarmon[BD] による非円分岩 澤理論，Coates、深谷、加藤、Sujatha、Venjakob[C 深加SV] による（楕円曲線の）非可換岩澤理論等には触 れませんでした。あと、楕円曲線（言い換えればweight = 2 の保型形式）を越えた(weight > 2 の）保型形 式*15の岩澤理論は通常な素数の場合、定式化されてるが、超特異な場合はまだ未知の世界である。今年の４月 に李（Lei) さんによりap = 0 の場合が発見されました[Lei]。ap 6= 0 の場合について李さんと議論した結果、 かなり困難であれども面白そうなので、いくつかの論文が出来上がるかもしれません。興味／アイデア／手伝い たいという意志がある方は是非とも連絡をください。 最後に、第六回城崎新人セミナーに参加する機会をいただき誠にありがとうございました。運営委員、つたや 旅館晴嵐亭の皆様、参加者の皆様に感謝します。講演を聴いてくださり，さまざまな突っ込みと質問をされた方 等にも感謝します。
178:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 11:21:08.46 eoE5GmxF.net
>>164 つづき
URLﾘﾝｸ(detail.chiebukuro.yahoo.co.jp)
godfalkonさん 2009/8/1118:12:19
大フェルマーの定理を解いた、ワイルズ氏が参考にしたという岩沢理論と谷山予想とはどのようなものですか
ベストアンサーに選ばれた回答 sedrft1さん 2009/8/11 前に私が回答したものを引用します。
抜粋
はじめに岩澤理論について。
やや専門的な言葉を使ってしまい申し訳ないです。
ゼータ関数とイデアル類群との間にはクンマーの判定法をはじめ深い関係が知られていますが、ゼータ関数はp進数のもつ性質があり、p進L関数のようなp進解析的対象と、イデアル類群から得られる代数的対象との関係を明らかにしようというのが岩澤理論です。
URLﾘﾝｸ(www.mm.sophia.ac.jp)
岩澤理論はこのような代数的対象と解析的対象が完全に結びつくといった意味で、数論の中でも最も美しい理論の1つに数えられます。類体論もそうですが、日本人による整数論の貢献は大きく�
179:Aフェルマーの最終定理も日本人が活躍したことはよく知られています。 本格的に数論を勉強したければ、 『数論Ⅰ、Ⅱ』（黒川信重、栗原正人、斎藤毅、加藤和也）岩波書店 がいいと思います。 L.Washington Introduction to cyclotomic fields,Graduate Texts in Math.83, Springer-Verlag は標準的な教科書です。 加藤先生が東大に来た時に講義したものを載せておきます。 http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/index.html から、「講義・講演会」をクリックしてください。 現在は岩澤理論はもともとの円分体の理論からさらに発展し、楕円曲線やK3曲面への応用がされているようです。
180:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 12:20:29.12 eoE5GmxF.net
>>164 補足
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
第6回 城崎新人セミナー
日時 : 2009年2月16日(月)?2月20日(金)
場所 : 兵庫県豊岡市 城崎町大会議館
宿泊場所 : つたや旅館
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
Menu 城崎新人セミナー
第1回城崎新人セミナー/報告集
第2回城崎新人セミナー/報告集
第3回城崎新人セミナー/報告集
第4回城崎新人セミナー/報告集
第5回城崎新人セミナー/報告集
第6回城崎新人セミナー/報告集
第7回城崎新人セミナー/報告集
第8回城崎新人セミナー/報告集
第9回城崎新人セミナー
琵琶湖若手数学者勉強会
第1回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第2回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第3回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第4回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第5回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集
第6回琵琶湖若手数学者勉強会/報告集?
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
第6回城崎新人セミナー/報告集 セッション講演者（代数系） シュプルング フローリアン (東京大学 M2)
181:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 12:42:33.26 eoE5GmxF.net
>>164 つづき
フローリアン(Florian Sprung) 東大数理くん
加藤和也先生の「鶴の恩返し」にかぶれたか（＾＾；
でも理解しているんだね・・
原稿に出てくる、他の原さんの素晴らしい原稿[原]（去年の第五回城崎新人セミナーの講義ノート）や、伊東さんの稿などは、>>166で分かるだろう
182:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 12:54:06.44 eoE5GmxF.net
>>167
URLﾘﾝｸ(www.math.kyoto-u.ac.jp)
総実代数体の非可換岩澤理論の展開 原 隆 (Takashi Hara)? 東京大学大学院 数理科学研究科 2008
「岩澤理論とはどのような理論であるか」，「代数的K-理論によって可換な拡大に対する岩澤理論が非可換な拡大の場合に如何に“美しく”昇華するか」
といった，他分野の人でも興味を持てそうな事柄をなるべく重点的にお話しし，整数論のバック・グラウンドを持たな
い方にも非可換岩澤理論の「面白さ」が少しでも伝わるようにと色々工夫してみました．講演後ありがたくも
「何となく岩澤理論のイメージが掴めた」とか「面白かった」などという感想を何件かいただき，このささやか
な目論みはある程度は成功したのではないかと思っています．
しかし，時間の都合上「非可換岩澤主予想をどのようにして可換な場合に帰着するか(“Akashi”の思想)」
という一番重要かつ面白い部分を全くお話しすることが出来なかったことは痛恨の極みでありました．
183:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 13:11:22.01 eoE5GmxF.net
>>168 つづき
付録C ジョン・コーツ氏の“Akashi” の哲学
抜粋
コーツさんは自身の苦節の日々に，須磨で失意の日々を経て見事返り咲いた源氏の姿を重ね合わせ，
「非可換の理論を可換の理論に帰着する」ような手法や写像を，源氏が人生の再起のきっかけを掴んだ『明石』
の巻に因んで“Akashi” と呼ぶようになった，ということです*42．筆者が知る限りでは，
? バーンズの手法における「張り合わせ」写像(§4 参照)
? 局所化された岩澤代数のK1 群におけるevaluation map (§3 参照)
? 特性元とG-オイラー標数を繋ぐ架け橋となる重要な概念である「明石級�
184:煤v(Akashi series) ([CFKSV]) 等は，まさに「非可換の理論の困難を可換(円分体) の理論に帰着する」と言う“Akashi” の思想を実現した “Akashi map” に相違ないですが，論文などで公式に用いられているのは残念ながらAkashi series だけのよう です．ただ，今回の講演では，この“Akashi” という言葉に込められたコーツさんの想いと，日本で生まれた 「岩澤理論」という数学の理論が，コーツ先生の仲介によって今また日本の古典文学と再会を果たしたと言う奇 跡を色々な方に知っていただきたいと思い，「明石写像」という言葉を敢えて使わせていただきました*43．論文 に現れないところでも，コーツ先生の“Akashi” の哲学は至る所に息づいているのです． *42 ジョン・コーツ教授は，源氏物語を全巻読破するほどの日本通であることで有名です． *43 因みに，コーツ先生がK1(Λ(G)S) のevaluation map も§4 の写像も“Akashi map” と呼んでいるのは間違いがないようです．
185:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 13:12:54.81 eoE5GmxF.net
加藤和也といい、ジョン・コーツといい、おまいら・・・（＾＾；
186:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 13:19:59.75 eoE5GmxF.net
「フェルマーの最終定理を証明したアンドリュー・ワイルズはコーツの弟子である」か。そうだったね
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ジョン・コーツ (John Henry Coates, 1945年1月26日 - ) はイギリスの数学者。ケンブリッジ大学エマニュエルカレッジ教授。専門は数論、数論幾何学、岩澤理論。
オーストラリア国立大学を卒業後はフランスのエコール・ノルマル・シュペリウールに留学。 フランス留学を終えた後にイギリスのケンブリッジ大学でアラン・ベイカーのもとで博士号を取得。 その後ハーバード大学、スタンフォード大学、オーストラリア国立大学等を経て現職。
業績として ベイカーとともに代数的K-理論における貢献。楕円曲線のヴェイユ予想の特別な場合を解決した。
アンドリュー・ワイルズとともに岩澤理論をバーチ・スウィナートン=ダイヤー予想に応用し、虚数乗法を持つ楕円曲線について非常に大きな貢献をした。
岩澤理論とp-進 L関数との関係や、p-進 リー群の岩澤理論、岩澤理論のモチーフや変形理論、岩澤理論のデデキント ゼータ関数への応用、加藤和也とともに非可換岩澤理論の構築。
などなど数論 (特に岩澤理論) への貢献は非常に大きいもの。
岩澤理論と名づけたのはコーツ。 フェルマーの最終定理を証明したアンドリュー・ワイルズはコーツの弟子である。
187:１３２人目の素数さん
15/08/29 14:05:58.12 86dDTELQ.net
>>161
鈴木の 群論(上下) が有限群論のバイブルであることにはほぼ間違いないとは思う。
有限群は代数群の例になる。
単純に群論といっても、位相群論、リー群論、有限群論、代数群論、(無限)可換群論
と、これらの表現論などなど幾つにも分かれる。任意の群は位相を入れることで
位相群として扱うことが出来る。なので、総括的な視点となると、
位相群論やリー群、リー代数と、これらの表現論からの視点になる気はする。
これらは物理でも量子力学とかで使われている。位相群論の名著はポントリャーギン。
リー群論の名著はこれとシュヴァレーの1巻目。シュヴァレーの2巻以降は確か代数群の話になる。
強いて他に挙げれば、ワイルの古典群。単に位相群論といっても位相群上での
フーリエ解析による表現論もあったり、同じリー群論や位相群論の表現論といっても、
代数的手法と解析的手法に分かれたりして、位相群論やリー群、リー代数と、
これらの表現論だけでも、かなりの分量�
188:ﾉなる。
189:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 17:58:43.14 eoE5GmxF.net
>>172
どうも。スレ主です。
ほんと、おっちゃん博識やね～
190:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 18:32:43.02 eoE5GmxF.net
>>171 つづき
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学 Vol. 15 (1963-1964) No. 2 P 65-67
代数体と函数体とのある類似について 岩沢 健吉1)
191:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 19:18:54.96 eoE5GmxF.net
>>174 つづき
URLﾘﾝｸ(www.jstage.jst.go.jp)
数学 Vol. 45 (1993) No. 4 P 366-372 岩澤健吉先生のお話しを伺った120分
3月18日の午後2時,編集部の飯高と中島の二人で
目黒の閑静な住宅街にある岩澤先生のお宅をお訪ねし,
先生からいろいろなお話を伺いました.また藤崎源二郎
さんにも同席していただきました.
192:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 19:23:53.64 eoE5GmxF.net
>>175 つづき
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
2003年度整数論サマースクール 「岩澤理論」
函数体と代数体の類似（60分）八森祥隆（学習院大学）
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
函数体と代数体の類似、八森祥隆（学習院大学）
代数体と一変数代数函数体, 特に有限体上の函数体とは多くの類似点がある. 特に, イデアル類群の函数体における類似物は, 次数 0 の因子類群である. しかしながら, 函数体の理論にあって代数体にないものは次の事実であった:
(完全)体 $k$ 上の函数体は, $k$ 上射影非特異な代数曲線の函数体であり, そのヤコビ多様体の$k$-有理点が次数 0 の因子類群と同型になる.
この事実により, 代数幾何的手法によって因子類群の性質を明らかにすることが出来る.
岩澤は, 代数体の $Zp$-拡大体とその上のイデアル類群の構造の理論を建設していく中で, それが, 函数体において, ヤコビ多様体の類似物を考えていることに当たるということに気付いていったようである.
ヤコビ多様体の理論によって因子類群の構造が簡単になるのが,代数閉体上の函数体の場合であることから, 代数体の $Zp$-拡大と函数体の代数閉体への係数拡大が類似していると考えたのである.
さて, 函数体における著しい結果は Weil による次の結果であり, これには (代数体にない) 曲線とヤコビ多様体の理論が必要であった:
"函数体の合同ゼータ関数(の主要部)は行列式表示をもつ"
これの代数体における類似物は何であろうか. 実はそれが岩澤主予想なのである.
本講演では Weilの結果を説明しながら, 岩澤主予想がどのようにその類似と考えられるかを説明する. また, 他の類似についても触れたい.
193:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 20:25:01.28 eoE5GmxF.net
>>176 つづき
URLﾘﾝｸ(www.eco.wakayama-u.ac.jp)
和歌山大学生による書評誌 「リトルネロ」数学者の風景 藤永 博（経済学部教員）
フェルマーの最終定理 サイモン・シン（著）青木 薫（訳）新潮文庫 2008年
抜粋
ケンブリッジ大学で博士号を取得後、プリンストン大学に移ったワイルズは、フライが示した谷山?志村予想とフェルマーの最終定理の関係をリベットが証明した後、第 VI 章「秘密の計算」で語られる7年間の隠遁生活にはいる。
ワイルズの「秘密の計算」の最初のステップはガロアの研究の中にあった。
この章では数学と共和主義と恋愛にその身を捧げたガロアの20年余の短い生涯、特にそれによって命を落とすことになる決闘と、5次以上の方程式の解に関する定理などをすべて書き残そうとした悲壮感の漂う決闘前夜の物語にかなりの紙数を割いている。 <
194:br> ガロアのアイディアを応用して突破口を開いたワイルズであったが、次のステップで行きづまる。 岩澤理論を問題解決に資するように発展させることができず無力感を味わう。しかし、コリヴァギン?フラッハ法との出会いが次の大きなステップとなる。 この方法を拡張し、ワイルズは証明を完成させる。そして、1993年の世紀の講演。数学者の間で飛び交う短い電子メールの記録を挿入して、物語をスリリングに展開していく。 第 VII 章「小さな問題点」は講演後の展開で、第 I 章の続きである。ここでも電子メールの記録の挿入が効果的である。 「小さな問題点」を解消できず、ワイルズは苦境に立たされるが、彼を救ったのは、一度はその応用をあきらめた岩澤理論であった。 コリヴァギン?フラッハ法と岩澤理論は相互に補完する形で機能したのである。それまでのワイルズの努力がすべてフェルマーの最終定理の証明に収束することになった。 「小さな問題点」が解決する瞬間の描写は感動を誘う。 ラングランズ・プログラムが夢見る「数学の大統一」は第 V 章や「訳者あとがき」でも触れられているが、単に純粋数学だけではなく、物理学や工学、応用科学の分野にとっても大きな意味をもつ。 「訳者あとがき」で紹介されている「ゼータの統一」（底流にゼータ関数と呼ばれるものが流れる分野の統一）と物理学における「力の統一」の対応関係（『ゼータの世界』梅田亨著 日本評論社）は興味深い。
195:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 20:27:34.15 eoE5GmxF.net
岩澤理論－谷山 志村予想－ラングランズ・プログラム
関連しているんだ・・
196:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 20:31:47.00 eoE5GmxF.net
>>178 つづき
いまとなれば、２１世紀の常識ですが、一応書かせてもらった・・（＾＾；
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ラングランズプログラム（英: Langlands program）は、代数的整数論におけるガロワ群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。
同プログラムは Langlands (1967, 1970) により提唱された。
相互律
ラングランズプログラムの出発点は、二次の相互律を一般化したアルティンの相互律であると考えられる。
アルティンの相互律は、ガロワ群が可換であるような代数体のガロワ拡大に適用して、L-函数をガロワ群の一次元表現に対応させ、
さらにそれら L-函数がある種のディリクレ L-級数やヘッケ指標から構成されるより一般の級数（つまり、リーマンゼータ函数のある種の対応物）と同一視できることを主張するものである。
これら種々の異なる L-函数の間の具体的な対応が、アルティンの相互律を構成しているのである。
非可換なガロワ群やその高次元表現に対しても、L-函数は自然な方法で定義することができる（アルティン L-函数）。
ラングランズの考察は、アルティンの主張をより一般の仮定の下で定式化することを許すような、ディリクレ L-函数の真の一般化を求めることであった。
保型形式論
ヘッケ（英語版）は既に、ディリクレ L-函数を保型形式（C の上半平面上で定義される正則函数である種の函数等式を満たすもの）に関連付けていたが、
ラングランズはそれを（有理数体 Q のアデール環 A 上で定義される一般線型群 GL(n, A) の無限次元既約表現の一種である）保型尖点表現に対して一般化した。（Q のアデール環というのは、Q の任意の完備化を一斉に扱ったようなものである）。
ラングランズは、保型 L-函数をその保型表現に対応させ「任意のアルティンのL-函数が、代数体のガロワ群の有限次元表現から生じることと、保型尖点表現から生じることとは等しい」と予想した。
これをラングランズの「相互律予想」という。一口に言えば、相互律予想は簡約代数群の保型表現とラングランズ群から L-群への準同型との間の対応を与えるものである。
つづき
197:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 20:38:43.52 eoE5GmxF.net
>>179 つづき
幾何学的ラングランズ予想
ドリンフェルトのアイデアに従ってローモンの提唱した、いわゆる幾何学的ラングランズプログラムは、通常のラングランズプログラムを幾何学的に定式化しなおして、単に既約表現だけを考える以上のものを関連付けようとして生じたものである。
単純な場合だと、代数曲線のエタール基本群の l-進表現を、その曲線上のベクトル束のモジュライスタック上で定義された l-進層の導来圏の対象に関連付ける。
現在の状況
・GL(1, K) に対するラングランズ予想は類体論から従う（というよりは本質的には同じものである）。
・ラングランズ自身は、アルキメデス局所体（R および C）に対するラングランズ予想を、既約表現に対するラングランズ分類を与えて肯定的に解決している。
・ ルスティックによる、有限体上のリー型の群の既約表現の分類は、有限体に対するラングランズ予想に相当するものと考えられる。
・ワイルズによる、有理数体上の半安定楕円曲線のモジュラー性の証明は、ラングランズ予想の一部と見做すことができる[なぜ?]が、ワイルズの方法を任意の数体上に拡張することはできない。
・有理数体上の二次一般線型群 GL(2, Q) に対するラングランズ予想は未解決。
・ラフォルグは函数体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対するラングランズ予想を保証するラフォルグの定理（英語版）を示した。これは GL(2, K) の場合を示したウラジーミル・ドリンフェルトの先行研究に続くものである。
局所ラングランズ予想 詳細は「局所ラングランズ予想（英語版）」
Kutzko (1980) は、局所体上の二次一般線型群 GL(2, K) に対する局所ラングランズ予想（英語版）を証明した。
一般次元の場合には、 Laumon, Rapoport, and Stuhler (1993) が、大域理論を含む論法を以って正標数局所体 K 上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想を証明し、
標数 0 の局所体上の一般線型群 GL(n, K) に対する局所ラングランズ予想は Taylor and Harris (2001) の証明や、あるいは Henniart (2000) の証明などがある（何れも大域的な議論を用いるものである）。
基本補題
2008年にゴ・バオ・チャウは、所謂「基本補題（英語版）」と称される補助的だが非常に難しい主張を示した。基本補題はもともとラングランズ自身によって1983年に述べられたものである。
198:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 20:45:21.44 eoE5GmxF.net
>>180 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
谷山志村予想（たにやましむらよそう、Taniyama-Shimura conjecture）は、「すべての有理数体上に定義された楕円曲線はモジュラーであろう」という数学の予想。
証明されて定理となったので、モジュラー性定理またはモジュラリティ定理 (modularity theorem) と呼ばれることもある。
アンドリュー・ワイルズ (Andrew Wiles) は、半安定楕円曲線のモジュラリティ定理＝谷山志村予想を証明し、この証明はフェルマーの最終定理とも深く関連する。
後に、クリストフ・ブロイル（英語版）(Christophe Breuil)、ブライアン・コンラッド（英語版）(Brian Conrad)、フレッド・ダイアモンド（英語版）(Fred Diamond)、リチャード・テイラー(Richard Taylor)は、
ワイルズのテクニックを拡張し、2001年にモジュラリティ定理を完全に証明した。
モジュラリティ定理は、ロバート・ラングランズ(Robert Langlands)によるより一般的な予想の特別な場合である。
ラングランズ・プログラムは、保型形式、あるいは保型表現(automorphic representation)（適切なモジュラ形式の一般化）を、例えば数体上の任意の楕円曲線のような、より一般的な数論幾何の対象へ関連付ける方法を探している。
これらの拡張された予想の場合は、現在のところほぼ証明されていない。
^ 黒川重信・栗原将人・斎藤毅共著『数論Ⅱ：岩澤理論と保型形式』岩波書店、2005年、ISBN 4-00005528-3、pp. 589, 591.
199:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/29 20:49:41.36 eoE5GmxF.net
>>181 つづき
”Freitas, Hung & Siksek (2015) proved that elliptic curves defined over real quadratic fields are modular.”だとか
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Modularity theorem
The Langlands program seeks to attach an automorphic form or automorphic representation (a suitable generalization of a modular form) to more general objects of arithmetic algebraic geometry, such as to every elliptic curve over a number field.
Most cases of these extended conjectures have not yet been proved, however, Freitas, Hung & Siksek (2015) proved that elliptic curves defined over real quadratic fields are modular.
200:１３２人目の素数さん
15/08/30 08:39:46.62 pcS0NOon.net
>>173
いいえ、決して博識な訳ではございません。
>>174-182の内容は付いていけず、何といえばいいのか分からないが、いえることは、
WeilはSiegelが自分より上だと見ていて、Siegelは自身より岡潔が上だと思っていたようだ。
その岡潔を軸にGrauertやRemmertなどが参戦して多変数関数論は切り拓かれた。
多変数関数論の発展の結果、複素(代数)幾何や(可換環論を用いる)代数幾何が発達し、
数論幾何では後者の代数幾何の結果や手法は使っている。
なので、数論幾何は、多変数関数論のおかげで存在するような分野ということになる。
標数が素数のときの環や体で考えるより、標数が0のときの環や体で考える方が難しい。
標数が素数のときの環や体で考えるような数論幾何は、恐ろしい量の知識とアイディアがなきゃ出来ん。
それに比べて、標数が0のときの環や体で考えることは知識はそれ程要らず、
アイディアがあればいい。知識の量というより発想の問題になる。ただ、解析的なことは必要。
そのよい例が、ワイエルシュトラスがリンデマンの結果を拡張して
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を証明したことだろう。
これは、いつからかは知らないが、長い間問題になっていた円積問題に否定的解決を与えた。
201:１３２人目の素数さん
15/08/30 11:08:05.08 2xi6miSI.net
スレ主さん、そろそろネーター環について質問するから準備しといてね
202:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/30 11:32:42.35 kC2go6vW.net
>>183
どうも。スレ主です。
おっちゃん、やっぱり博識やで
>>174-182は、自分のメモとして貼ったんよ。このまえ、ラングランズ予想の本読んだからね。あの本が引用文献になっとるよ（英語版も同じ。というか英語版が元か）
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
注釈
^ Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. 邦訳『数学の大統一に挑む』青木薫訳、文藝春秋、2015年。ISBN 978-4-16-390280-7.
父はこれまでの話を読んで、「内容を詰め込みすぎだ」と言った。たしかに本章では、ヒッチン・モジュライ空間、ミラー対称性、Aブレーン、Bブレーン、保型層といった概念が登場した。
これらすべての名前を覚えようとするだけでも、頭が痛くなってくるかもしれない。しかし信じてほしいが、ここで話した構成法を隅々まで理解している人は、専門家の中にさえ、まずめったにいないのだ。
^ Frenkel, Edward (2013), Love and Math: The Heart of Hidden Reality, Basic Books, p. 77, ISBN 9780465069958
邦訳『数学の大統一に挑む』青木薫訳、文藝春秋、2015年。ISBN 978-4-16-390280-7.
ラングランズ・プログラムは、今や広大な研究分野となり、数論、調和解析、幾何学、表現論、数理物理学などさまざまな領域で、多くの数学者がこれに取り組んでいる。数学者たちは、相当異質な対象を調べているにもかかわらず、よく似た現象を見る。
URLﾘﾝｸ(en.wikipedia.org)
Frenkel, Edward (2013). Love & Math. ISBN 978-0-465-05074-1. "All this stuff, as my dad put it, is quite heavy: we've got Hitchin moduli spaces, mirror symmetry, A-branes, B-branes, automorphic sheaves...
One can get a headache just trying to keep track of them all. Believe me, even among specialists, very few people know the nuts and bolts of all elements of this construction."
203:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/30 11:34:21.57 kC2go6vW.net
>>184
ネーター環か
分からん。有限生成ということくらいしか浮かばん
まあ、私が答えられなくても、だれか答えてくれるよー（＾＾；
204:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/30 11:39:30.54 kC2go6vW.net
>>183 戻る
>なので、数論幾何は、多変数関数論のおかげで存在するような分野ということになる。
そう（層）なんや～！ だから、野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』>>146 を読んだ方が良いと思う
教養として。まあ、名著ですね。歴史的補足とか、ところどころに良い解説が入っているよね
205:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/08/30 12:13:48.45 kC2go6vW.net
>>187 つづき
野口 潤次郎著『多変数解析関数論 学部生におくる岡の連接定理』を読んだけど、結局難しいところは分からんかった（＾＾；
”そう（層）なんや～！”と言えるところまでは、行かなかった
けど、Ａ：そう（層）と、Ｂ：層係数コホモロジーとあって、ＡとＢが同時に分からんと、分かった気にならないということだけ分かった（＾＾；
日本の天才岡潔が７年、その論文を受けた仏の天才カルタンが、ルレイのアイデアを参考に読みこなすのに１年かかったという
そんなにすぐ分かるはずもないか～（＾＾；
だけど、例えばP91 注意3.7.7みたく、大事なのは１次コホモロジーが消えるかどうか
するとどうして一見より複雑な高次コホモロジーをまで考えるのかと
そういう気の利いた注意などが、至るところにあるんだよね。読みやすい。が、すぐ内容が頭に入るほどの実力はまだない・・（＾＾；