15/10/11 20:13:19.61 RDXEzJ3O.net
いつもご登場頂いている落合理先生。下記例1.3.の１などが、関連事項ですね
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授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
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2005年度整数論概論/代数学5 (数学4年/大学院共通) 講義録pdf
(局所体, 基本群とガロア群の類似などの基本的な考え方)
幾何的なガロア理論の入門的な紹介(2005 年度夏学期)
例1.3.
1. 代数拡大でない拡大の例は有理関数体L = K(X) などがある(X は不定元). K(X)/K は代数拡大ではない.
他に身近な例ではR/QやC/Q はe, π ∈ R などの超越数が含まれているので代数拡大ではない.
集合論的にはQ は可算無限濃度であり, R やC は連続濃度をもつ. Q の代数拡大である体は可算無限濃度をもたなければいけない(←考えてみてください) のでR やC は代数拡大でないことがわかる.
2. 代数拡大の例としては例えばC/Rがある. C = R(√?1) である.
また, Cの代数拡大K/Cがあったとしてx ∈ K とするとき代数学の基本定理によりf(x) = 0となる式f(X) = X^m+a1X^m?1+a2X^m?2+・ ・ ・ am?1X+am1 次式の積に分解することが知られている(例えば複素函数論を使っても示すことができる). したがってK = C である.
3. もっとも手近なQ の代数拡大としては, d が平方数ではない整数とする
ときQ(√d) はQ の代数拡大であり, [Q(√d) : Q] = 2 である.
環とイデアルの言葉をつかえばQ(√d) ?=Q[X]/(X2 ? d) である.
4. 一般にK を体, K[X] を1 変数多項式環とする. f(X) ∈ K[X] をd 次既約多項式とする.
このとき, 剰余体K[X]/(f(X)) はK の有限次拡大となる(← 多項式環, 素イデアル, 極大イデアルなど復習のこと).
747:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:17:41.79 RDXEzJ3O.net
>>659 つづき
>集合論的にはQ は可算無限濃度であり, R やC は連続濃度をもつ. Q の代数拡大である体は可算無限濃度をもたなければいけない(←考えてみてください) のでR やC は代数拡大でないことがわかる.
これ、過去スレでやった気もするし、どこかに証明が落ちていたような気がします
で、そろそろ500KBに近づいたので、新スレを
748:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:25:38.28 RDXEzJ3O.net
新スレ立てた
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
749:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 10:07:04.14 bHE7evZI.net
>>648
どうも。スレ主です。
>なぜか単調な荒らしはこのスレ爆撃しないよなｗ不思議だなぁwwww
初代スレで猫さんとは仲良くなったからね
あと最近「運営乙」という人も来なくなったね
余談でした
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