632:１３２人目の素数さん
15/10/02 00:42:22.15 EgGrspfD.net
797 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/09/30(水) 23:03:20.60 ID:uPVcxvdI
区間[0,1]の実数集合の濃度と実数全体集合の濃度は等しい。
このことは、「選択公理が正しい」というのと等価なのか？
バナッハ＝タルスキーのパラドックス
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
というパラドックスと同じ話か？
798 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/30(水) 23:30:27.18 ID:vgvFGA4E
>>797
月とすっぽん
799 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/09/30(水) 23:33:40.12 ID:iWUT1FfZ
どっかのアホのスレ主と同じ勘違いしてる…
800 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/10/01(木) 00:20:54.55 ID:OrTFDs5M
どっかのアホのスレ主だから 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:405b7f1af0f5a85b432d79fa769e9aeb)
633:１３２人目の素数さん
15/10/02 19:29:42.93 pSG9KaNK.net
定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。
とのことですが…。わからない…
634:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/02 21:58:16.44 NcyDDzi0.net
>>556
どうも。スレ主です。
>一応スレ主さんに聞いておきたいんですが、スレ主さんは
>この問題を解けているんですか？
ああ、一応自分なりにはね。が、自分が先に解答を書くつもりはないよ
だれか、ほぼ正解に近いことを書いたあとでないと、解答は書かない
そうしないと面白くないだろ？（＾＾
なお、自分の解答をあらためて思い出すと、選択公理と（一般）連続体仮説を使っているね（この二つを仮定しないと、えらくややこしいことになりそう・・）
なので、選択公理と（一般）連続体仮説の二つを前提でどうぞ
強制ではないので、不要という解き方も可です
635:１３２人目の素数さん
15/10/02 22:07:22.24 MlbHRD0C.net
>>560
この問題に連続体仮説は無関係でしょ。選択公理は必要かと思いますが。
636:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 06:56:43.85 /7z3oMVs.net
>>561
どうも。スレ主です。
>この問題に連続体仮説は無関係でしょ。選択公理は必要かと思いますが。
詳しく書くと、解答のねたばらしになるので、書きたくないが
おそらく本質は、ご指摘の通りかも知れない
しかし、（一般）連続体仮説を置く方が、問題は簡単になると思う
それで解答を考えたから
637:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 07:04:39.15 /7z3oMVs.net
>>559
どうも。スレ主です。
人に教えるレベルではないのですが
まあ、せっかくこのスレに迷い込んできたので
Q：定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。
A：正直、初見です。LMという書き方も昔どこかで見たような。テキストだと、きちんと定義が書いてあるのでしょうが
定理→問題の流れからいうと、「K(a,b)がLM」を示せって誘導だと思う。が、LMの正確な定義も不明だし、まあ分かっても、まともにここで証明を書く気もないし
そこで、旧スレで紹介した雪本義人の講義ノートをカンニング
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:52番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む10
52 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2014/09/27(土) 21:15:34.50
大阪教育大学 数学教育講座
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
雪本義人の講義ノート
URLﾘﾝｸ(www.osaka-kyoiku.ac.jp)
ガロア理論入門ノート（詳細） 体論(ガロア理論) 雪本義人
638:１３２人目の素数さん
15/10/03 07:34:36.14 ikZEN+WS.net
>>562
では私の解答を書いておきます。
命題:C^*を0でない複素数全体のなす乗法群とする。
639:C^*の部分群全体の集合は実数体のべき集合の濃度を持つ。 証明:複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから Sの濃度は実数体の濃度に等しい。Sの部分集合Tに対し、Q(T)をQにTを付加して得られる体、そしてQ(T)^*を Q(T)の0でない元全体のなす乗法群とする。するとU={Q(T)^* :TはSの任意の部分集合}という集合はC^*の部分群の 集合であり、T_1とT_2が相異なっていればQ(T_1)^*とQ(T_2)^*も相異なるのでUは実数体のべき集合の濃度を持つ。 よってC^*の部分群全体の集合の濃度は実数体のべき集合の濃度を下回らない。 このことと、C^*のべき集合の濃度が実数のべき集合の濃度に等しいことから命題が従う。(証明終わり)
640:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 07:50:56.47 /7z3oMVs.net
>>563 つづき
雪本義人
「1.3. 拡大次数.」”L がK ベクトル空間として有限次元であるときL はK の有限次拡大であるという．”
”定理1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする．
(1) {α1, α2, . . . , αm} がM のK 基底，{β1, β2, . . . , βn} がL のM 基底ならば，
{αiβj j 1 ・ i ・ m, 1 ・ j ・ n}はL のK 基底である．
(2) (連鎖律) L/M とM/K が有限次拡大ならL/K も有限次拡大であって[L : K] = [L : M][M : K]”
あたりがご参考になるだろう
以下は、いわずもがな
「1.4. 代数的元，代数的拡大体.」”Iα を生成する多項式で最高次の係数が1 のものをα のK 上の最小多項式といいIrr(α,K,X)で表す．”
「1.5. 体の同型写像，自己同型写像.」
「6. ガロア拡大」
”定義6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡
大であるときG(L/K) をL/K のガロア群という．”
”問6.1. 拡大L ⊇ M ⊇ K においてL/K がガロア拡大ならばL/M はガロア拡大であることを示せ．”
”定理6.1. L/K を有限次ガロア拡大，G をそのガロア群とするとき次がなりたつ：
(1) L はある既約な分離的多項式の最小分解体である．
(2) [L : K] = |G|
(3) F(G) = K”
あと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。
ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。
ガロア拡大が可解 (solvable) とは、ガロア群が可解群、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
つづく
641:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 08:24:00.92 /7z3oMVs.net
>>565 つづき
>>563の問題に戻ると”有限次アーベル拡大”という記述から
”L がK ベクトル空間として有限次元であるときL はK の有限次拡大であるという．”
””定理1.1. K ⊆ M ⊆ L 体の包含関係とする．
(1) {α1, α2, . . . , αm} がM のK 基底，{β1, β2, . . . , βn} がL のM 基底ならば，
{αiβj j 1 ・ i ・ m, 1 ・ j ・ n}はL のK 基底である．”
”α のK 上の最小多項式といいIrr(α,K,X)”
”定義6.1. 分離的かつ正規な代数的拡大をガロア拡大という．L/K がガロア拡
大であるときG(L/K) をL/K のガロア群という．”
”ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。”
このあたり
ちらちらと浮かんでこないかな？（ここらの問題文にはない基礎的事項が浮かぶことが、解答への手がかりだと）
”Q：定理 L，MがKの有限次アーベル拡大なら、LMもKの有限次アーベル拡大である。
問題 L=K(a)，M＝K(b) ともに、Kの有限次アーベル拡大。このとき、K(a,b)はKの有限次
アーベル拡大であることを証明せよ。”だった
で、アーベル拡大→ガロア群がアーベル群＆分離的かつ正規な代数的拡大
最小多項式といいIrr(a,K,X)の次数m, Irr(b,K,X)の次数nとして
ベクトル空間をイメージする
そのイメージをベースに、K→K(a,b)の拡大を考える
有限次アーベル拡大：有限次＋アーベル拡大と分解する（ここは数学の常套手段。問題文の分解）
「有限次」は、すぐできそうだろ？
あとは
アーベル拡大：ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大＝ガロア群＋アーベル群＋ガロア拡大と分解する
多分、ガロア拡大＝分離的＋正規な代数的拡大と分解して、ここから証明していくんだろう
途中、「自明」とか「明らか」とか許される範囲で記述を短くする（減点されないかの判断要。但し、減点覚悟で走る選択肢もありだろう）
もし試験なら、ポイントは「こいつは分かっている」と採点者に理解されるように、かなり基礎まで戻って記述�
642:ｷることかな （どこまで戻るか、試験のレベル、中間、期末、院試など、与えられている時間とコンテキストに依存）
643:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 08:31:54.11 /7z3oMVs.net
>>564
どうも。スレ主です。
おそらく正解と思う
私の解答よりレベル高いね（筋は同じだが）
但し、どこかで（一般）連続体仮説を使っているように思うが、いかが
644:１３２人目の素数さん
15/10/03 08:48:35.66 ikZEN+WS.net
>>567
連続体仮説は使っていません。そうおっしゃるなら具体的に私の証明の
どこで連続体仮説を使ったのか指摘するか、もしくは連続体仮説を使った
スレ主さんの解答を出してもらえませんか？
645:１３２人目の素数さん
15/10/03 09:26:44.47 8Qqw52e3.net
>>566
>途中、「自明」とか「明らか」とか許される範囲で記述を短くする
>（減点されないかの判断要。但し、減点覚悟で走る選択肢もありだろう）
通常、その手法は通用しない。「自明」とか「明らか」という言葉は、
書いた側にとっての「自明」であったり「明らか」ということで、
書いた側から見たときの表現になる。一般には、伝えんとすることが
伝える相手にとってそうかどうかは試してみるまで分からないので、
そういう書き方をすると、×をくらう。本に書いてある「自明」や「明らか」な
ことの証明を書き下すと、場合によっては、長くなることもある。
試験内容の用意段階でこういう状態なのだから、な、分かるだろ？、ってことだ。
646:１３２人目の素数さん
15/10/03 09:42:05.56 aVddQCNg.net
>>566
長々と講釈たれながら、結局何一答えてないレス乙
647:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 09:54:24.55 /7z3oMVs.net
>>544
どうも。スレ主です。あまり理解できなかったが、乙です！（＾＾
>>547-548＆>>553-554
おっちゃん、どうも。ID:EnwaIxfnさんどうも。コメントありがとう
648:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/03 10:03:24.29 /7z3oMVs.net
>>568
どうも。スレ主です。
「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
>>569
まあ、ご指摘の通りだろう
が、試験対策として、途中でつまって、あと白紙が良いのか、あるいは、つまったがその後は書けるので書くのがいいのかという選択
部分点がどこまでもらえるか
スルーして他の問題に時間を使うのが良いかの選択と思う
もちろん、自習の問題解きの場合はきっちりしておくべき
>>570
どうも。スレ主です。ご指摘の通りです（＾＾；
649:１３２人目の素数さん
15/10/03 10:40:59.66 ikZEN+WS.net
>>572
>「このときSは非可算濃度を持つ。また、SはCの部分集合であることから
>Sの濃度は実数体の濃度に等しい。」>>564
>の部分はどうなの？連続体仮説不要ですか？
不要です。
理由:CはQ(S)の代数拡大となるのでCの濃度とQ(S)の濃度は等しい。それとQが可算であることからSの濃度は
Cの濃度に等しくなる。よってSは実数体の濃度を持つ。
私のほうは解答を提示したわけですが、スレ主さんのほうも解答を出していただけませんか？
お待ちしています。
650:１３２人目の素数さん
15/10/03 11:28:33.79 8Qqw52e3.net
>>572
>>569では毎度のように「おっちゃんです。」とか断っていないが、その>>569がおっちゃんだよw
>>569で書いたことは、試験に関わらず、本を読んで学習するときの基本姿勢だよ。
通常は、マトモな本なら、その本に書いてある演習の方が試験問題より難しいと思う。
定理の証明が「明らか。」の一言で終わっていることが少なくない位だしな。
そのマトモな本には、180分そこそこで解答を書ける問題ではないような類の問題が、
少なからずあると思う。180分で5、6題を解くとなると、合格点を取るには1題あたり4、50分位で
要領よく4題位？の解答を書く必要があるが、この対策をすることは、むしろ受験勉強の考え方に近いだろうな。
ちなみに、受験対策についてはよく分からんが、ペーパーテストでの
>選択 部分点がどこまでもらえるか
は余り期待しない方がいいと思うぞ。
651:１３２人目の素数さん
15/10/03 11:34:26.66 QaghnfbP.net
どうも、おっちゃんです
652:１３２人目の素数さん
15/10/03 19:16:20.68 KmzJUgXa.net
おっちゃんが例に挙げた本をやれば数学科でも胸を張ってやっていけますよね？
653:１３２人目の素数さん
15/10/03 20:14:52.45 1STOGKW3.net
>>571
自分の書き込みに対して補足しておくと
>>539
> ４．問題は、群が一致する場合が生じるときをどう処理するか。
> （例えば、一つの数２から生成される群と二つの数２と４から生成される群は一致する）
に対して
> 最短は「3<4」の3文字かな
3<4 = 2^2なので非可算無限集合である区間(2, 3)から数の組を選ぶようにすればよい
654:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 09:53:33.96 MnTM7Vmd.net
>>573
どうも。スレ主です。
一晩考えたが、見事な解答ですね>>564（＾＾；
ハメル基はそうやって使うのか・・
連続体仮説不要も納得です
655:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 10:14:36.50 MnTM7Vmd.net
>>578 つづき
即私の解答と行きたいが、その前に少し経緯を
１．問題は、このスレの>>407にあるが、”「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」は正しいか否か
理由を付して述べよ
だから証明は求めていない”
だった
２．起源は、おっちゃんの出題
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:498番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
498 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt
次の問題はどう？ スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。
３．で私の解答は
508 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/02/01(日) 20:32:19.43 ID:3tUKswY5
>>503 補正
超越数に限定しても、”c0≠c1ならG0≠G1”の証明には、あまり関係ない（ここを証明しておかないと単射性がゆらぐ）
証明には、c0とc1が、代数的に無関係である（もっと言えばべき乗での関係が付かない）という二つの数の間の関係がポイントだから
１．なので、こうしよう。一般性を失わずc0≠c1かつ1＜|c0|＜|c1|とする（|c0|、|c1|などは複素数の絶対値を表す記号）
２．c1から生成される任意の元 （c1）^n (c1のn乗でnは任意の整数) に対し、容易に分かるように|(c1）^n|≦１（nが負または0のとき）または|c0|＜|(c1）^n|（nが正のとき）
３．従って、c0 ∉ G1 が言えるので、c0≠c1 かつ 1＜|c0|＜|c1| のとき G0≠G1 が言える
４．よって、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを考えると、複素数C→部分群Bの単射が定義できる。
５．つまり、1＜|c|である任意の複素数cから生成される部分群Bを要素とする集合をB’とすると、B’は複素平面1＜|c|の部分と同じく非可算無限集合である
６．そこで複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群の集合をUとすると、明らかにB’⊂Uであるから、Uは非可算無限集合である
７．なお、乗法は可換でアーベルだから、部分群が即正規部分群であることは先に述べた通り
８．また、複素平面 1＜|c| の部分が非可算無限集合であることを証明していないが、それは集合論にゆずる
（c0から構成される乗法群の詳細は>>501に記した通り）
656:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:34:51.11 uCW4EUSk.net
>>556
おっちゃんです。「例に挙げた本」が少し多くて具体的にどういう本を指しているのか分かりかねるが、
「数学科でも胸を張ってやっていけますよね？」の部分から察するに、それこそ、>>374や>>387の工学部君だろう。
勝手ながら、一応そう仮定する。最初に、>>194や>>338-339、>>442で挙げた本には一長一短があり、必ずしも
私がそれらのレスで挙げた本が絶対的で完全に学習に相応しい本とはいい切れないことは断っておく。人によっては、
それらのレスで挙げた本が向かないということもある。そして、挙げた本の内容だけで十分とはいえないと思う。
>>374の内容からしてないとは思うが、もし、工学部君が線型代数や微分積分、集合・位相の本について聞いているとき。
そちらを聞いているなら、>>553-554の方の、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 については、
線形代数や微分積分「だけ」を学習するなら、間違いなくいいとは思う。
ついでに、線形代数や微分積分の他
657:の分野も或る程度学習することになって、力が付くんで。 集合・位相の現代数学概説Ⅰ、Ⅱの方は、何といえませんな。現代数学概説Ⅰの 群・環・体の代数系の部分や、Ⅱの測度論の部分については、現代数学概説Ⅰ、Ⅱより 内容的にもっと詳しくていい本があるんで。 何れにしても、肝心なのは読み方でどれだけ丁寧に深く(場合によっては広く)読んだか ということでしょうな。まあ、参考にでもして下さいな。
658:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:37:59.56 uCW4EUSk.net
あ、レス番号間違えた。>>580は>>576へのレス。
659:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:39:49.25 uCW4EUSk.net
>>576
おっちゃんです。「例に挙げた本」が少し多くて具体的にどういう本を指しているのか分かりかねるが、
「数学科でも胸を張ってやっていけますよね？」の部分から察するに、それこそ、>>374や>>387の工学部君だろう。
勝手ながら、一応そう仮定する。最初に、>>194や>>338-339、>>442で挙げた本には一長一短があり、必ずしも
私がそれらのレスで挙げた本が絶対的で完全に学習に相応しい本とはいい切れないことは断っておく。人によっては、
それらのレスで挙げた本が向かないということもある。そして、挙げた本の内容だけで十分とはいえないと思う。
>>374の内容からしてないとは思うが、もし、工学部君が線型代数や微分積分、集合・位相の本について聞いているとき。
そちらを聞いているなら、>>553-554の方の、岩波講座基礎数学(1976年刊行スタート) 解析入門、線型代数 については、
線形代数や微分積分「だけ」を学習するなら、間違いなくいいとは思う。
ついでに、線形代数や微分積分の他の分野も或る程度学習することになって、力が付くんで。
集合・位相の現代数学概説Ⅰ、Ⅱの方は、何といえませんな。現代数学概説Ⅰの
群・環・体の代数系の部分や、Ⅱの測度論の部分については、現代数学概説Ⅰ、Ⅱより
内容的にもっと詳しくていい本があるんで。
何れにしても、肝心なのは読み方でどれだけ丁寧に深く(場合によっては広く)読んだか
ということでしょうな。まあ、参考にでもして下さいな。
>>580でレス相手間違えたから、書き直した。
660:１３２人目の素数さん
15/10/04 10:48:21.30 uCW4EUSk.net
>>576
あと、>>582には書かなかったが、>>340で書いたポントリャーギン上下は、
今は和書としては売っていないが、これは読み易くていいでしょうね。
661:１３２人目の素数さん
15/10/04 11:13:26.54 uCW4EUSk.net
>>578
>ハメル基はそうやって使うのか・・
>>564では
>複素数体Cの有理数体Q上の超越基底Sをとる。
と書いてあるから、ハメル基底は使っていない。超越基底の定義から、
Sは、1)：Sに属する点の代数的独立性、2)：複素数体Cが体Q(S)の代数拡大体である
ことを両方満たす必要があるが、ハメル基底をHとすると、その定義からは、
H≠Φは実数体Rの部分集合で、Hは複素数体Cが体Q(H)の代数拡大体であることを
満たす必要はない。Hが満たす条件は、Hに属する点がQ上線型独立で、
任意の実数が、Hに属する有限個の点を使って、有理数係数の一次結合として表されていればよい。
662:１３２人目の素数さん
15/10/04 11:22:58.71 uCW4EUSk.net
>>584
例えば、超越数eについて、eと√eは有理数体Q上線型独立だから、
ハメル基底の定義から、e,√e∈H だが、eと√eはQ上代数的従属だから、
超越基底の定義から、e,√e∈S は満たさない。そのあたりが違うんですな。
663:１３２人目の素数さん
15/10/04 11:27:46.99 uCW4EUSk.net
また>>585ではレス相手間違えた(相手はスレ主だった)から、以下のように書き直し。
>>578
例えば、超越数eについて、eと√eは有理数体Q上線型独立だから、
ハメル基底の定義から、e,√e∈H だが、eと√eはQ上代数的従属だから、
超越基底の定義から、e,√e∈S は満たさない。そのあたりが違うんですな。
664:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 13:36:32.65 MnTM7Vmd.net
>>579 つづき
１．で３の解答は、一つの複素数から成る群Gを考察して、それが1＜|c0|＜|c1|の場合に、G0≠G1 を示した。そして、それだけで、非可算無限が言えた
２．そこで、二つ以上の複素数から成る群Gを考えれば、連続濃度の”べきの濃度”を持つが言えるんじゃないかと、考えた
３．私の解答は、この問題を作る過程そのものだよ
４．二つ以上の複素数から成る群Gを考えると、群Gが一致する場合が出てくる。特に、連続する区間を含む場合が、大きな問題になる
５．>>597で示した解答は、実は実数Rで考えて、それを複素数1＜|c0|＜|c1|したんだ。そこで、任意の実数の組みで、群Gを考えた。しかし、連続する区間を含む場合、すぐ分かるが実数R全体に広がるんだ
６．そこで、実数x∈Rを偏角πθ（θは超越数）に写せば、x→xe^iπθみたいな形で、複素数の群G’は異なるんじゃないかと。しかし、偏角πθが一定だとうまく行かない＊）。x毎に変えた方が良いと
＊）偏角πθが一定だと、逆数との組み合わせで、実軸上の１の近くに連続する区間が演算の結果生じる。そうなると、群が肥大して一致する
７．そこで、θ＝tan^-1(x)（アークタンジェント）みたいなことを考えた
８．なお、後の視覚的説明のために、x→xe^iπθ|θ＝(1/(2π))tan^-1(x)とする。xが大きくなると、tan^-1(x) は1/2πに近づく。θは1/4に近づく。xe^iπθは、xe^iπ1/4（即ち複素平面上の実数軸に対し45度の直線）に漸近する。
逆数1/( xe^iπθ)は当然ながら、偏角はマイナスになる。
９．そこで、例えば、xを連続区間[2,3]で考えると、θ＝(1/(2π))tan^-1(2)～ (1/(2π))tan^-1(3)の区間になる。この区間に存在する数は、超越数が殆どであるとかんがえることができる。言い換えると、θはほぼ超越数と考えて良い＊）。
（注＊）議論を単純化するために、連続区間から有理数を除いて、全て無理数から成ると考えても良い）。
１０．そうすると、任意の実数の連続区間を上記のように、複素平面の曲線に移して、複素数からなる数で構成される群Gを考えると、群Gは連続区間を含む任意の実数の部分集合に対して、部分集合が異なれば、Gは異なることが期待できる。
（少数の例外がありそうだが、おそらく可算か連続非加算レベルに留まるので、連続のべき集合の濃度には影響しない。）
１１．私の考察は、ここまでだった。
665:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 13:59:50.04 MnTM7Vmd.net
>>587 つづき
１．>>587の過程で、選択公理と連続体仮説を置いた方が、議論がすっきりしてくるだろう
２．いま、>>564を読むと、超越基底を使って、上記の考察を整理できるように思えるね（まだうまく整理できないが）
３．なお、一度:実数R^*を0でない実数全体として、そこで実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sをとって、そこで同じようにして、その後結果をC^*に拡張するのがきれいかも知れないね
４．半年以上解答者が現れなかったが、すっきり解決で良かったよ（＾＾
666:564
15/10/04 14:32:24.15 H61OoTNS.net
>>587
>１０．そうすると、任意の実数の連続区間を上記のように、複素平面の曲線に移して、複素数からなる数で構成される群Gを考えると、群Gは連続区間を含む任意の実数の部分集合に対して、部分集合が異なれば、Gは異なることが期待できる。
> （少数の例外がありそうだが、おそらく可算か連続非加算レベルに留まるので、連続のべき集合の濃度には影響しない。）
この問題の難しい部分は相異なる生成系から同じ部分群が生成されてしまう可能性を考慮しないといけない点です。
なのでそこがクリアできていないスレ主さんの考察は解答には遠いものであると思います。
というか、そもそも実数の区間全体のなす集合は実数体の濃度を超えないものなのでこの路線では証明になりません。
>>588
>２．いま、>>564を読むと、超越基底を使って、上記の考察を整理できるように思えるね（まだうまく整理できないが）
>３．なお、一度:実数R^*を0でない実数全体として、そこで実数体Rの有理数体Q上の超越基底Sをとって、そこで同じようにして、その後結果をC^*に拡張するのがきれいかも知れないね
この問題を解くには超越基底のようなものを選択公理を使って作り出すことが不可欠であると思います。
スレ主さんのように素朴に部分集合をとってきてそれが生成する部分群を考えるというやり方では証明はできないのではないでしょうか。
667:１３２人目の素数さん
15/10/04 14:49:02.86 Fwg656DQ.net
＞４．半年以上解答者が現れなかったが、すっきり解決で良かったよ（＾＾
その大部分は問題自体が不明確で誰も見向きもしなかっただけなんだが
668:１３２人目の素数さん
15/10/04 14:58:40.67 Fwg656DQ.net
スレ主がわからなくて誰かに教えてもらおうとしていたのかとも思ってたが
どうやらしょーもない自分の答えが正しいと本気で信じ込んでいたようだ
669:１３２人目の素数さん
15/10/04 14:59:37.51 +NFJdZgv.net
あれだけ大声で
「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」
と言っていたスレ主が、まさかそのスレ主自身が、
「実は解けてなかった」
という大失態ｗｗｗｗｗｗ
670:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:17:49.78 MnTM7Vmd.net
>>584-586
おっちゃん、どうも。スレ主です。
ハメル基底と超越基底のフォローありがとう
ハメル基底と超越基底とは、違うが、数体を線形空間と考えたときの基底であることは同じなんだね
ところで、おっちゃんの問題は解かれてしまったので、またなにか考えてよ
雑魚つぶしの問題を（＾＾
671:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:21:14.73 MnTM7Vmd.net
>>590-592
人が解いたあとに、おれもか
まあ、だれでも言えるよ
悔し紛れは（＾＾
もともと問題設定で、理由を付して述べよ
だから証明は求めていない”
だった（＾＾
672:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:24:49.65 Fwg656DQ.net
何の言い訳にもなってないｗ
673:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:26:19.97 +NFJdZgv.net
>>594
苦し紛れは解けてなかったお前の方であるｗｗ
お前の論法を認めてしまうと、自分が解けてなくても「解けたフリ」をして
何でもかんでも他人に押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と
威張り腐ることが出来てしまう。お前がやってるのはそういうこと。
詭弁もいいところだなクソッタレｗ
674:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:48:04.67 MnTM7Vmd.net
>>589
どうも。スレ主です。
564さんか。レベル高いね
>この問題の難しい部分は相異なる生成系から同じ部分群が生成されてしまう可能性を考慮しないといけない点です。
そうそう。だから、半年以上だれも、実質的な質
675:問もコメントも無かった。難しいことが分かったからだろう >というか、そもそも実数の区間全体のなす集合は実数体の濃度を超えないものなのでこの路線では証明になりません。 いや、任意の実数の部分集合を考えたときに、その集合の中に連続区間を含む場合の処理が一番難しい そこをどう処理するかだ >この問題を解くには超越基底のようなものを選択公理を使って作り出すことが不可欠であると思います。 >スレ主さんのように素朴に部分集合をとってきてそれが生成する部分群を考えるというやり方では証明はできないのではないでしょうか。 そうかも知れない。超越基底は全く浮かばなかった というか、旧スレでおっちゃんが、証明しようとしたのが、それだったような気がする・・（下記） 当時、なにをしているのか読む気がしなかったがね。 話は戻るが、「連続濃度の”べきの濃度”」はそうそう実現できるものではない。いろんな例外事象が、連続濃度以下に留まるという評価ができれば、最初の線でも可能だと今でも思っているけどね。但し、場合分けが煩わしいことは確かだし、,議論が複雑になる なお、大体どの時代でも、最初の証明は苦心惨憺してできて、その後他人がもっと簡単にできると別証明を出すパターンが多いよ 記 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/ 571 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/04(水) 08:35:35.49 ID:hajkjFF/ [第3段]：任意の1＜a＜bなるa、b∈Aに対してH(a)≠H(b)なることを示す。 は、通常の加減乗除が定義される位相についてのQ上の線型位相空間R の基底が非可算無限個存在することを示せば終了している。 ・・・ 以下略
676:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:50:17.03 MnTM7Vmd.net
>>596
笑える（＾＾
おまえが、この問題が解かれる以前に、この問題に関してこのスレに書いたことを提示してみろよ、おい
677:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 15:51:11.99 MnTM7Vmd.net
なんにもなし
それで大口を叩く暇人
数学レベルが分かるね（低）
678:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:51:24.27 +NFJdZgv.net
ちなみに、せっかく「連続体仮説」「ハメル基底」というキーワードが出てるのに、
なおも正解に辿り着かないスレ主はいよいよ おバカであるｗｗ
超越基底を使わずとも、連続体仮説とハメル基底があればこの問題は簡単に解ける。
超越基底を使った証明は既にやられてしまっているので、
今度は連続体仮説とハメル基底を使った証明を「スレ主が」やるべきであるｗｗ
でなければ格好がつかないｗｗｗ
今のままでは、自分が解けてなかった問題を他人に押し付けて
威張り腐っていたことになってしまうからなｗｗ
679:１３２人目の素数さん
15/10/04 15:54:31.26 +NFJdZgv.net
>>598
その言い分は、「お前が解けていた問題」でなければ通用しないｗｗ
お前自身が全く解けてなかった問題に対して、
他人がその問題にどのような興味を示そうが何の関係もないのであるｗｗｗ
重要なことはただ1つ。お前は、自分が解けてなかった問題を
他人に押し付けて威張り腐っていたということであるｗｗｗ
お前の論法を認めてしまうと、自分が解けてなくても「解けたフリ」をして
何でもかんでも他人に押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と
威張り腐ることが出来てしまう。お前がやってるのはそういうこと。
詭弁もいいところだなクソッタレｗ
680:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/04 16:03:53.84 MnTM7Vmd.net
昔、数学の黎明期にフェルマーという人がいた
かれは、結構問題や定理を証明なしに手紙に書いたという
亡くなってから、遺稿の中に見つかったのが、フェルマーの最終定理とよばれるものだった
ところで、問題であれ、予想であれ、それを表明することはなんの問題もないはずだ
>>579の冒頭に記した問題は、>>596のような雑魚を蹴散らし、悔しがらせる便利な道具として、存分に使わせもらった。その意味で、私にとって非常に有益だった（答えを書かないことがキモだよ（＾＾；）
この問題がかなり難しいとは感じていた。何か書かせりゃ、そいつのレベルが分かる。だから、解答が得られるまで、だれも何も書けなかったんだろう・・
さらには、>>564のようなすばらしい解答が得られて、非常に勉強になりました。ありがとうございました（超越基底Sやハメル基底の使い方よくわかりました）m（＿ ＿）m
681:１３２人目の素数さん
15/10/04 16:13:24.96 +NFJdZgv.net
>>602
＞ところで、問題であれ、予想であれ、それを表明することはなんの問題もないはずだ
詭弁であるｗｗ
お前は問題を表明したのではない。お前は、さも自分がその問題を「解決済み」であるかのように扱い、
さらには他人にその問題を押し付けて「どうだ、オマエラにこの問題が解けるか！」と威張り腐ったのであるｗｗ
自分が解けてなかった問題を他人に押し付けて「この問題が解けるか！」と
威張り腐る行為は、「
682:問題を表明した」とは言わないｗｗ ところで、スレ主は意図的に>>600を避けてこの話題を終わらせようとしているように見えるが、 ここまで来てそのような態度は許されないｗｗｗ 以下、スレ主には>>600に答えてもらう。そう、スレ主が他人に対して 「オマエラにこの問題が解けるか！」と言っていたの同じ構図であるｗｗｗ 今度はスレ主の番というわけだｗｗｗ まあ、>>600くらいヒントがあれば、さすがにスレ主にも解けるだろうｗ
683:１３２人目の素数さん
15/10/04 16:21:44.72 Fwg656DQ.net
＞答えを書かないことがキモだよ（＾＾；）
書かないも何も、スレ主の答えは大間違い
684:１３２人目の素数さん
15/10/04 16:22:21.17 +NFJdZgv.net
一応、おバカのスレ主に、何が詭弁なのかを詳しく説明しておくとしようｗｗｗｗ
ただ単に「問題を表明した」だけであれば、その問題に対して他人が
どのように反応しようが、何の問題もないはずである。たとえ他人が
その問題に対して無反応であろうが、何の問題もないはずである。
なぜなら、問題を表明するとは、そういうことだからだｗｗｗ
一方で、>>598を見れば一目瞭然だが、スレ主はこの問題に対して明らかに
「何らかの反応」を求めており、反応が無い人間に対しては、
なぜか批判的な態度に出ている(威張り腐っている)。
したがって、スレ主は、口では「問題を表明しただけ」と言っておきながら、
実際にはそれ以上のものをこの問題に込めているのであり、そこが詭弁なのであるｗｗｗ
そして、スレ主がこの問題に何を込めているのかは明らかである。
一言で言えば「バカ避け」である。すなわち、
「オマエラにこの問題が解けるか？解けないならバカと見なすぞ」
というわけである。
ならば、少なくともスレ主はこの問題が解けていなければならぬｗｗｗｗ
さあスレ主よ、>>600のヒントに基づいて、この問題をキチンと解きなさいｗｗｗｗｗ
685:１３２人目の素数さん
15/10/04 17:22:33.35 m1C1Yr3b.net
>>593
とりあえず、超越基底は線形空間としての基底ではない
686:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/08 21:23:28.62 bfTtX3it.net
どうも。スレ主です。
今日は変則です
ところで、皆さんは、ポーカーというゲームを、ご存知だろう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
ポーカーの特徴
ポーカーは、ハンドの強さを競うゲームである。相手をフォールドさせれば（ゲームから降りさせれば）、ハンドの強さに関わらず勝つことが出来る
687:１３２人目の素数さん
15/10/08 21:28:32.39 aJ3QIvey.net
土日はまだだよ
688:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/08 21:31:30.92 bfTtX3it.net
普通は、自分の手の内隠して、ゲームは進む
みんなべた下りしてたんだ
下りたやつは負けたんだよ、何をいっても負け犬
689:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/08 21:43:06.85 bfTtX3it.net
ところで、「ゼロを除く複素数の成す乗法群の集合は、連続濃度の”べきの濃度”を持つ」>>380
は、新作問題かなと予想しているんだ
理由は、群という抽象代数を対象に、連続濃度の”べきの濃度”を扱うことは、あまりないと思うから
まあ、和書では見たこと無いから
もし、ここに出ているということがあれば教えて下さい。それまでは、新作予想を信じているよ
ともかく、>>564 ID:ikZEN+WSの解答は見事だね
690:１３２人目の素数さん
15/10/08 21:48:03.04 Ty6UpwaX.net
>>609
お前が言うなよ不正解君ｗ
そもそもこっちは問題にすらなってない代物端から眼中にねーし
降りたとか勝手に言われてもなあ
691:１３２人目の素数さん
15/10/08 23:12:47.78 hfwG7BP+.net
>>609
ただ単に「問題を表明した」だけであれば、
その問題に乗っただの下りただのといった、余計なイチャモンが発生する余地はない。
となれば、お前はこの問題に「表明した」ということ以上のものを求めていることになる。
端的に言って、お前はバカ避けとしてこの問題を使っていたのである。
「オマエラにこの問題が解けるか？解けないならバカと見なすぞ」
というわけである。
ならば、少なくともお前はこの問題が解けていなければならぬｗｗｗｗ
さあスレ主よ、>>600のヒントに基づいて、この問題をキチンと解きなさいｗｗｗｗｗ
692:１３２人目の素数さん
15/10/08 23:27:13.73 hfwG7BP+.net
スレ主が未だに強気なのは、
「オレの方針だって、頑張って場合分けすれば解答に辿り着くさ」
という希望的観測があってのものである。
しかし、スレ主の方針では根本的に「高々連続濃度」までしか到達できない�
693:ﾆいうことに、 スレ主は全く気づいていないｗｗｗｗｗ スレ主の希望的観測は、ここに打ち砕かれるのであるｗｗｗｗ まず、C内の連続曲線は、全て集めても連続濃度にしかならないという事実に気づこう。 「そんなバカな、連続濃度のべき濃度まであるだろ！」と思うかもしれないが、 そんなことはなく、連続濃度にしかならないｗｗｗｗ 連続曲線は非常に少ないのであるｗｗｗ もうこの時点で、スレ主が作ろうとしているGの個数(というか濃度)は高々連続濃度にしかならんのだが、 スレ主の方針はさらに致命的な欠陥を抱えているのであるｗｗｗ
694:１３２人目の素数さん
15/10/08 23:35:51.26 hfwG7BP+.net
定義
あるr＞0とθ∈Rに対して { r^te^{iθt}｜t∈R } と表される集合のことを「渦巻き」と呼ぶことにする。
定理1
C^*の部分群Gが、C内のある連続曲線γに対してγ⊂Gを満たすならば、
G＝C^*であるか、もしくはある渦巻きΓが存在してγ⊂Γ⊂G が成り立つ。
定理2
C^*の部分群Gが、2つの異なる渦巻きΓ,Γ'をともに包含するならば、G＝C^*である。
定理1により、異なるGを作るために使える連続曲線は「渦巻きの一部分」しか無いことが分かるｗｗｗ
もうこの時点で、スレ主の方針では「高々連続濃度」までしか到達できないことが完全に確定するｗｗｗｗｗｗ
余談だが、定理1と定理2により、「ある渦巻きの一部分」「別の渦巻きの一部分」をともに含むGは
G＝C^*になってしまうことが分かり、いよいよスレ主の方針はナンセンスだということが分かるｗｗｗｗ
こうなったら、「不連続な曲線」まで考慮に入れるしかないわけだが、その不連続な曲線のごく一部分でも
連続だったら定理1に帰着されてしまうｗ
よって、考えるべき「不連続な曲線」は「いたるところ不連続」でなければならず、極めて病的ｗｗ
もはや「曲線」ではなく、単なる「写像」ｗｗ
いよいよ選択公理のニオイがするｗｗ
こうして、スレ主がこの問題が解ける余地など、最初から微塵もなかったということが確定するのだったｗｗｗｗ
695:１３２人目の素数さん
15/10/09 00:27:28.37 phvvXNko.net
希望的観測じゃなくてキチンと解けよ
↓
２ちゃんで証明は書きたくない
で逃げまくるんだろうなあ（遠い目）
696:１３２人目の素数さん
15/10/09 00:44:55.82 vh5z+a2B.net
スレ主が数学徒としてやるべきこと：
・ 解答にカスリもしてなかったのに解けたと勘違いしていた無能な自分を責め、厳密に問題を解きなおす
スレ主が人間としてやるべきこと：
・ 解答にカスリもしてなかったのに「バカ避け」に使って威張り腐ってしまった愚かな自分を責め、周囲に謝罪する
1つ目は数学徒として必須事項。くだらない言い逃れに時間を使ってるヒマがあったら
きちんと解けやクソッタレ。それでも数学徒かテメーは。
既に書いたとおり、お前のクソみてーな方針じゃ解答にカスリもしねえから>>600を使え。
2つ目は人間として必須事項。もはや数学以前に道徳・倫理の問題。
ここまでやっておいてポーカーなんぞを引き合いに出して
幼稚な言い逃れをするなど言語道断。ハッキリ言うが、お前は人間ではない。
周囲に謝罪するか、もしくはこれ以上の言い逃れをせずに完全に口を閉じろ。
697:564
15/10/09 09:57:44.27 h0FUr9tN.net
>>597
じゃあ類題を出します。
問題:複素数体Cの「加法」部分群全体の集合の濃度を求めよ。
これは元の問題の理解度を示す良い試金石だと思います。
これを解いてくれませんか？
698:１３２人目の素数さん
15/10/09 16:38:27.73 lxU3tk2H.net
>>616
人を人とも思わないような奴に道徳を語る資格は無い。
人格に優劣を見出し、それを語るのに能力の優劣を持ち出すというのはまさに誤謬を招くための手段でしかない。
699:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:34:32.49 dUxA1EKK.net
どうも。スレ主です。
いやー盛り上がっていますね
雑魚は無�
700:汲ｵて >>617の”564”さん、どうも。面白い問題ありがとう 秒殺とは行かないが、面白そうだよね ちょっと、考えると、”実数体のべき集合の濃度”かな いくつか、解答への筋は浮かぶが、まあ、私がすぐ答えを書ける訳も無く また、すぐ書くと、皆様の問題を解く楽しみを奪うので、しばし問題を晒すことにしましょう（おそらく１ヶ月くらいは） 皆さん、一緒に考えましょう！（＾＾
701:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:45:36.25 dUxA1EKK.net
せっかくなので、>>564の復習から
>>606
どうも。スレ主です。
するどいご指摘ありがとう
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
超越次数（ちょうえつじすう、英: transcendence degree）は抽象代数学において、体の拡大 L /K の「大きさ」のある種のかなり粗いはかり方である。きちんと言えば、K 上代数的に独立な L の部分集合の最も大きい濃度として定義される。
L の部分集合 S は、次のときに L /K の超越基底（transcendence basis）であると言う。S は K 上代数的に独立で、さらに L が体 K(S)（K に S の元を添加して得られる体）の代数拡大である。
すべての体拡大は超越基底をもち、すべての超越基底は同じ濃度をもつことを証明できる。この濃度は拡大の超越次数に等しく、trdegK L や trans. degK L, trdeg(L /K) などと表記される。
ベクトル空間の次元とのアナロジー
ベクトル空間の次元の理論との類似がある。
代数的に独立な集合は線型独立な集合と対応し、L が K(S) 上代数的であるような集合 S は spanning sets と対応し、超越基底は基底と対応し、そして超越次数は次元と対応する。
超越基底が常に存在するという事実（これは線形代数学において基底が常に存在するという事実との類似である）は選択公理を要求する。任意の2つの基底が同じ濃度をもつことの証明は、各設定において、exchange lemma（英語版） に依存する[1]。
このアナロジーは次のことを観察することによってより形式的にできる。
ベクトル空間における一次独立と体の拡大における代数的独立はともにマトロイドの例であり、それぞれ線型マトロイドと代数的マトロイドと呼ばれる。
したがって、超越次数は代数的マトロイドのランク関数（英語版）である。すべての線型マトロイドは代数的マトロイドに同型であるが、逆は成り立たない[2]。
事実
M/L が体の拡大で L /K がもう1つの体の拡大であれば、M/K の超越次数は M/L と L/K の超越次数の和に等しい。
これは次のことを示すことによって証明される。M/K の超越基底は M/L の超越基底と L /K の超越基底の和集合をとることによって得られる。
702:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:47:50.16 dUxA1EKK.net
>>620 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
応用
超越基底は体準同型についての様々な存在定理を証明するためのツールとして役に立つ。例を挙げよう。
代数的閉体 L と部分体 K と K の体自己同型 f が与えられると、f を拡張した L の体自己同型（すなわちその K への制限が f）が存在する。
証明のために、まず L/K の超越基底 S をとる。K(S) の元は K に係数をもつ S の元の多項式の商である。
したがって自己同型 f は S のすべての元をそれ自身に送ることによって K(S) の自己同型に拡張できる。
体 L は K(S) の代数的閉包であり、代数的閉包は同型を除いて一意的である。このことは自己同型がさらに K(S) から L に拡張できることを意味している。
別の応用として、複素数体 C の部分体で（体として）C と同型であるような真の部分体が（たくさん）存在することを示す。証明のために、C/Q の超越基底 S をとる。
S は無限（非可算）集合であるので、単射だが全射でないような写像 f: S → S が（たくさん）存在する。任意のそのような写像は全射でない体準同型 Q(S) → Q(S) に拡張できる。
そのような体準同型はそれぞれ代数的閉包 C に拡張することができ、得られる体準同型 C → C は全射でない。
超越次数によって体の大きさを直�
703:ｴ的に理解することができる。 例えば、ジーゲルによる定理によると、X がコンパクトで連結な n 次元複素多様体であり、 K(X) がその上の（大域的に定義された）有理型関数の体を表していれば、trdegC (K(X)) ? n である。
704:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 17:53:05.32 dUxA1EKK.net
>>620 つづき
ベクトル空間の基底のアナロジーとして、理解すれば良いと
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
マトロイド
マトロイド(matroid)はある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。
歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。
特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。
ベクトルマトロイド (vector matroid)
Eは体上の行列Cの列集合で、Fの元に含まれる列集合はその体上で線形独立である。
体を理解しなくても、その部分を実数と読み替えれば線形代数でよく知られた事実よりマトロイドであることが分かる。
本項ではベクトルマトロイドと捉えて解説することはないが、マトロイドという名前が行列(matrix)によるという事実を見ても分かるとおり、歴史上は行列の線形独立性から発展した概念である。
705:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:13:06.41 dUxA1EKK.net
>>622 つづき
「双対」へのリンクがあった。関連抜粋
アーベル群の双対の記事が、今回の問題の関連かな
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
双対
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で "元に戻る"）。
また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。
アーベル群の双対
アーベル群 G から、0 を除く複素数全体のなす乗法群 C× への準同型（これは（1 次の）指標 (character) と呼ばれる）全体のなす群 G^ を双対群（または 指標群）という。指標の間の演算は、写像の値の複素数としての積によって入れる。
アーベル群 G が有限のときには、双対群はもとの群と同型になり、双対群の双対群 G^^ には元の群との間に自然な同型がある。
アーベル群とその指標群との双対性はポントリャーギン双対の一種である。なおポントリャーギン双対は、一般には局所コンパクト位相群で考えられる双対性であり、有限アーベル群は離散位相を入れてコンパクト群（したがって局所コンパクト）である。
さらに、有限アーベル群 G の部分群 H に対し、G^ の部分群 H* を、
H* := {χ ∈ G~ | χ(h)=1 for all h ∈ H} : 全ての H の元を 1 に写す指標全体
で定義し、G^ の部分群 Φ に対して G の部分群 Φ* を
Φ* := { g∈ G | Φ(g)=1 for all Φ ∈ Φ } : Φ の任意の指標によって 1 に移されるような G の元全体
と定義すると、自然な同型
H* ≒ (G / H)^, Φ* ≒ (G~ / Φ)^
が成立する。さらにまた H を H* に対応させるような G の部分群全体から G^ の部分群全体への写像は全単射で、(H*)* = H が成り立つ（Φ* に関しても同様）。
そして有限性や可換性の条件をゆるめると問題は急速に難しくなる。
706:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:16:27.82 dUxA1EKK.net
>>623
蛇足だが、ここでは、「0 を除く複素数全体のなす乗法群 C×」としているね
*を、H*などで使いたかったんだろう
707:
708:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:24:19.10 dUxA1EKK.net
>>621 つづき
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
超越次数
の外部リンクで
1^ J. S. Milne, Fields and Galois Theory, pp. 100-101.
URLﾘﾝｸ(www.jmilne.org)
これ、いま v4.51 (August 31, 2015). Minor corrections; 138 pages. に成長してP109～になっている
709:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 18:52:11.84 dUxA1EKK.net
>>625 つづき
リューローの定理を念のため。Milneにある
URLﾘﾝｸ(ja.wikipedia.org)
リューローの定理
数学において、リューローの定理 (Luroth's theorem) は、Jacob Luroth にちなんで名づけられているが、体論の結果であって、有理多様体と関係がある。定理が述べているのは、K(X) の部分体でもある体 K のすべての体拡大は単拡大であるというものである。
定理のステートメント
K を体とし M を K と不定元 X に対して K(X) の間の中間体とする。するとある有理関数 f(X)∈ K(X) が存在して M=K(f(X)) である。換言すれば、K と K(X) の間のすべての中間拡大は単拡大である。
リューローの定理の証明は有理曲線の理論から容易に種数の幾何学的概念を用いて得られる。
リューローの定理は一般に初等的でないと考えられているにも関わらず、体論の基本だけを使ったいくつかの短い証明が長い間見つかってきた。
実質的にはすべてのこれらの単純な証明は原始多項式に関するガウスの補題を主要なステップとして使う（例えば [1] を見よ）。
710:１３２人目の素数さん
15/10/09 18:56:18.92 vh5z+a2B.net
>>618
バカかてめーは。
まさに能力の優劣を持ち出して威張り腐ってたのがクソッタレのスレ主だろうが。
実際には解答にカスリもしてなかったくせになｗｗ
＞人格に優劣を見出し、
バカかてめーは。
人格の優劣を語らずに道徳・倫理を語ることはできないだろｗｗ
「こういう人格の人間になると周囲の迷惑だから、こういう人格はダメなんだよ」
と人格に優劣をつけるのが道徳であり、倫理だろｗｗｗ
人格に優劣が無いなら、道徳も倫理も必要ないだろｗｗｗ
711:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 19:03:50.91 dUxA1EKK.net
>>626
Milneより、下記も関連だな
Separating transcendence bases
THEOREM 9.27 If F is perfect, then every finitely generated extension E of F admits a separating transcendence basis over F .
Transcendental Galois theory
THEOREM 9.29 Let Ω be an algebraically closed field and let F be a perfect subfield of Ω
.
If α ∈ Ω
is fixed by all F -automorphisms of Ω
, then α ∈ F, i.e., Ω^(Aut(Ω/F)
=F.
712:１３２人目の素数さん
15/10/09 19:26:32.94 vh5z+a2B.net
564よ、どうやらスレ主は、あんたが出した類題すら「悪用」しようとしているようだ。
あんたの口から、スレ主にハッキリ言ってやれ。
「この類題はスレ主専用の問題であって、他人は全く関係がない。むしろ他人は口出しするな」
と、スレ主にハッキリ言ってやれ。スレ主が書いた
＞また、すぐ書くと、皆様の問題を解く楽しみを奪うので、しばし問題を晒すことにしましょう（おそらく１ヶ月くらいは）
＞皆さん、一緒に考えましょう！（＾＾
この言葉から察するに、スレ主はこの類題を「スレ全体に向かって提示された、共有された問題」
という位置づけにすり替えようとしている。それは564の本意ではないだろう？
この程度の類題に即答できない時点で問題外なのだが、それをスレ主は1ヶ月も晒し続けると言っている。
スレ主は、それで一体なにをするつもりなのか？―明らかである。どうせまた「バカ避け」に使うつもりなのだ。
一ヵ月後、スレ主は次のような発言をするのである。
「オマエラはこの類題に対してどんな意見
713:を書き込んだのだ？ノータッチだっただろ？そういう雑魚は引っ込んでろ」 と、このような態度に出るつもりなのであるｗｗｗ スレ主は>>593で「雑魚つぶしの問題」とやらを欲しがっていた。 そこへ564の類題が登場した。これを悪用するつもりでいるのだ。 564はスレ主の理解度を測るために類題を出してるんだから、スレ主が解かなくちゃ意味がない。 この類題は「スレ主のためだけの問題」であり、他人が口出しする問題ではない。 にも関わらず、スレ主はこの問題を悪用しようとしている。それは564の本意では無いだろう。 だから、あんたの口からスレ主に向かってハッキリと言ってやれ。「お前が解け」とな。
714:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 19:28:26.11 dUxA1EKK.net
>>628
Transcendental Galois theory
落合 理先生のＰＤＦがあるね（ひょっとすると、過去ログでも紹介しているかも・・）
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
落合 理 の ホームページ
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
2005年度整数論概論/代数学5 (数学4年/大学院共通) 講義録pdf
(局所体, 基本群とガロア群の類似などの基本的な考え方)
・・・と、読んだが、無限次ガロア拡大を扱っているが、超越拡大はほとんど記述がないね～（＾＾
まあ、結構内容は面白いけど
715:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:05:27.07 dUxA1EKK.net
>>629
ざこが・・
頭の弱い犬ほどよく吠えるという典型か・・
差しで勝負する勇気はあるのか？
ではこうしよう
１．いまから、２週間10/23（金）以降10/30（金）で、おまえの解答を書いて見ろ（２週間は皆様のお楽しみ期間とする）
２．それが一発正解なら、無条件でおまえの勝ち
３．おれは、ほぼ解けたが、先には書かない。
４．おまえが解答するか、あるいは10/30（金）以降気が向いたときに解答しよう
５．もし、おれの正解が早ければ、おれの勝ちだ
どうだい
716:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:19:05.39 dUxA1EKK.net
>>630
そうか、下記のように永田雅宜『可換体論』が、超越拡大を扱っているという話（えらく難しい）を聞いたことがあったね・・（＾＾；
まあ、いまさら永田を買う気もしない。無しでも解けるんだろう。まあ、龍孫江の数学日誌くらい読みますか・・
URLﾘﾝｸ(blog.livedoor.jp)
龍孫江の数学日誌 現在はぼやいたりため息をついたりしながら 永田雅宜先生の名著『可換体論』を読んでいます.
純超越拡大 2015年04月01日 §3.1 超越基 (その１)
第３章以降は, 有限次とは限らない体拡大にガロアの理論を拡張することを目標としています.
とはいえ, 有限という仮定をひとたび外したならばそれは未開の荒野を行くようなものでありまして, 体拡大にも, 群にも, それぞれに有限の場合とは段違いの知見を必要とします.
一口に無限次拡大といっても, 有限次拡大の延長に過ぎない場合と, そもそも本質的に有限にはなりえない場合とがあります.
第２章で定義したように, 体 K 上代数的でない元を超越元といい, 超越元を含む体拡大を超越拡大と言うのでした.
体 L が体 K の純超越拡大体であるとは, L が K の上に代数的に独立な集合 S で生成されるときにいう.
またこのとき, L は (K の上の) S の有理関数体であるともいう. L は, S の元についての K の上の多項式環 (無限変数かも知れない) の商体である.
すべての体は整域の商体として表されます. L/K �
717:ｪ代数拡大の場合には, L を商体とする K 代数は L 自身しかありません. これに対して, 超越拡大の場合には L を商体とする K 代数で整域でないものが存在します [例えば, 純超越拡大 L=K(S) は多項式環 K[S] の商体]. 代数拡大を扱っているうちは体しか出てこなかったので, 体のカテゴリーの中だけで話が進みましたが, 第３章以降で体以外の環を考察する理由はここにあります. 整域自身を調べればその商体のことは自ずからわかりますから, 超越拡大体の考察には積極的に環論の技法が用いられます. 体は環なのに今さらなぜ環論を, と思われるかもしれません. 体は確かに環の一種なのですが, その特殊性故に一般的な環の理論が適用しにくいところがあります. 良し悪しではなく, 環論と体論の志向性と踏み込みの違いです. （以下略）
718:１３２人目の素数さん
15/10/09 20:21:08.57 vh5z+a2B.net
>>631
ほらね、オレの言ったとおりだｗｗｗ
お前のその行為はまさに
・ 564 の類題を「悪用」して、「バカ避け」として使う
という行為そのものである。「それは564の本意ではないだろう」と
言っているにも関わらず、お前は なおも悪用し、バカ避けとして使おうとしている。
オレに釘をさされてしまって、よほど悔しかったんだなｗｗｗ
この問題は、他人との知恵比べのために提示されたのではない。
あくまでも、お前の理解度を測るために提示された問題である。
従って、お前が解かなければ意味が無く、他人が口出しするのはむしろ564の意図に反する。
そんなに勝負したけりゃ、まずは提示元である564に聞きな。
「 564様、あなたはこの問題を私専用の問題として提示されましたが、当の私は、
他人との知恵比べのためにこの問題を「悪用」したく思います。よろしいでしょうか？」
と、まずは564に聞きな。それが先であり、それが筋ってもんだろ。
564が「YES」と返事をしたなら、お前の勝負に乗ってやる。
564が「NO」と返事をしたなら、564から "具体的な指示" (他人は口出しするな、とか)
があるはずだから、その指示どおりにする。
719:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:23:00.35 dUxA1EKK.net
>>631 補足
ここまでヒント書いてやったんだから、ID:vh5z+a2Bさんよ、おまでも解けるだろうさ
せいぜい、赤っ恥かかないように、がんばれよ
720:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:26:23.43 dUxA1EKK.net
>>633
おまえは勘違いしている
ここをどこだと思っている
私スレ主の張った結界の中だ
私がルールブックだ
いやなら、どこでも好きなところへ行け
・・・・
・・・・
・・・・
おまえ、本当は勝負を怖がっているのか？ ＨａＨａＨａ！ そうだったのか！ （＾＾
721:１３２人目の素数さん
15/10/09 20:27:38.44 phvvXNko.net
スレ主はそろそろ自分のバカさ加減に本気で気付いた方がいい
722:１３２人目の素数さん
15/10/09 20:34:59.16 NVl1WCN3.net
荒らしは止めて、どっかいってホスィ
723:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 20:40:44.61 dUxA1EKK.net
ところで、>>617の問題をすらっと出すところなんぞ、"564"さんの数学的センスを感じるね
このスレは、私スレ主の天下の雑記帳ではあるけれど
読んで役に立ったねという情報を上げるようにしている
自分が役に立ちそうと思う情報は、だれか他の人にも役立つだろうと
そういう意味で、"564"さんや、おっちゃんみたいな人が居てくれるとスレが引き締まって良いね（＾＾
724:１３２人目の素数さん
15/10/09 20:47:46.81 CG1B3L0A.net
どうも、おっちゃんです
725:１３２人目の素数さん
15/10/09 21:17:35.42 vh5z+a2B.net
>>635
ワロタｗｗｗｗｗ
オレの正論に いつもの「いいわけ」で対抗するどころか、もはや なりふり構わず
「私がルールブックだ」
というジャイアンのような暴論ｗｗｗｗｗｗ
頭が悪すぎるｗｗｗｗｗｗｗ
とても数学やってる人間とは思えないｗｗｗｗｗ
小学生かよコイツｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
＞おまえ、本当は勝負を怖がっているのか？ ＨａＨａＨａ！ そうだったのか！ （＾＾
小学生のようなくだらない挑発は不要
726:。 >>633の繰り返しになるが、オレと勝負したけりゃ、まずは提示元である564に "お伺い" を立てろ。 それが筋ってもんであり、それが正論。「私がルールブックだ」なんて頭の悪い発言は通用しない。 大前提として、564の類題は「お前の理解度を測るために提示された問題」なのである。 それを捻じ曲げて、「知恵比べ」に悪用しようとしてるんだから、 まずは564に "お伺い" を立てるのが先であり、それが筋ってもんだ。 564が「YES」と返事をしたなら、お前の勝負に乗ってやる。 564が「NO」と返事をしたなら、564から "具体的な指示" (他人は口出しするな、とか) があるはずだから、その指示どおりにする。 以降、オレは 564 からの返答を待つ。 スレ主はオレのこのレスに返答する必要はない。 これ以上のやり取りは水掛け論にしかならん。 全ては 564 次第だ。
727:１３２人目の素数さん
15/10/09 21:45:08.67 phvvXNko.net
＞私がルールブックだ
アホが自尊心保つための手段
728:564
15/10/09 21:46:14.58 h0FUr9tN.net
確かに617の問題はスレ主さんの理解を助けるために用意した問題です。
他の人が先に答えてからスレ主さんがそれに乗っかるという形では
スレ主さんの勉強にはならないと思うので是非スレ主さんが独力で解答してください。
729:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 22:05:33.57 dUxA1EKK.net
注意深く読むと、ID:vh5z+a2B とID:phvvXNko の二人とも、「私も解けていました」と言っていない
正直でいいね
ところで、「私がルールブックだ」というのは、客観的事実だよ
過去から（下記）
ｽﾚﾘﾝｸ(math板:117番)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
117 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2015/01/11(日) 13:55:05.61 ID:4wiPSWZ6
ここはスレ主の張った結界の中
スレ主は、だれの指図も受けない。なので、君は還った方が良いだろう
730:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/09 22:07:38.99 dUxA1EKK.net
>>642 >>643が私の答えだよ つまり>>631以外に私の答えは無いよ それが嫌なら好きにしな
731:564
15/10/09 22:20:24.71 h0FUr9tN.net
>>644
それならスレ主さんの言うようにすればいいと思います。
ただこの手の問題は完全な証明を与えるのが難しい部分なのであって、
発想とか方針だけ述べても大した意味はないということは注意しておきます。
732:１３２人目の素数さん
15/10/09 23:59:09.55 vh5z+a2B.net
あーあ、もったいねえな。せっかくのスレ主のための問題だったのに。
564の意向により、>>631が有効になったので、スレ主の勝負、受けて立つ。
ルールどおり、10/23(金)になったら、オレはこのスレに解答を書く。
では、10/23(金)になったらまた会おう、クソッタレ。
733:１３２人目の素数さん
15/10/10 00:44:27.44 XHmWOSP1.net
決闘みたいだな
734:１３２人目の素数さん
15/10/10 01:08:12.88 Uzke+66q.net
なぜか単調な荒らしはこのスレ爆撃しないよなｗ不思議だなぁwwww
735:１３２人目の素数さん
15/10/10 02:09:41.31 4lTUF4Dc.net
スレ主が問題ちゃんと解いたの一度でもあったっけ？
自分じゃ解けないから答え教えてもらうために煽ってるんだと思う
736:１３２人目の素数さん
15/10/10 08:42:27.72 dENICt4a.net
これ、連続体仮説はどうするの？
737:１３２人目の素数さん
15/10/10 12:51:31.13 5R/IBR18.net
ちんこ
738:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 18:09:06.87 RDXEzJ3O.net
どうも。スレ主です。ノーベル賞ネタ投下
URLﾘﾝｸ(www.sankei.com)
2015.10.11 【ノーベル賞】今年は山梨に埼玉、いや徳島や長崎だって… 旧帝大には負けない地方大学の受賞ラッシュ 産経
今年は自然科学系のノーベル賞で、医学・生理学賞を北里大特別栄誉教授の大村智さん（８０）、物理学賞を東京大宇宙線研究所長の梶田隆章さん（５６）がそれぞれ受賞した。
２人に共通するのは、大村さんが山梨大、梶田さんは埼玉大と、地方大学の出身ということだ。
ノーベル賞といえば、これまでは湯川秀樹さんをはじめ、京都大や東京大など研究費と伝統で勝る旧帝大が受賞者を輩出。しかし、今世紀に入ってからは地方大学出身者の健闘が目立ち、“地方の時代”をリードしている。
「地方大学は運営にも苦労している。若い研究者や学生のはげみになる」。
大村さんの受賞が決まった５日、母校の山梨大の島田真路学長は、そう喜びを語った。大村さんは昭和３３年に山梨大学芸学部（当時）を卒業し、３８年から助手を務めた。学生からも「びっくりした。研究者を目指す身として勇気づけられた」との声が上がる。
６日に受賞が発表された梶田さんは埼玉大理学部の卒業生。昨年の物理学賞に輝いた中村修二さん（６０）も徳島大工学部の出身だ。
ほかに、２００８年に化学賞を受賞した下村脩さん（８７）が長崎大薬学部の前身である長崎医科大付属薬学専門部を卒業している。
日本のノーベル賞受賞２４人のうち旧帝大出身者は１８人を占めるが、今世紀に入ってからは１５人中５人が地方大学の出身者だ。
科学研究の現場に詳しいサイエンス作家の竹内薫さんは「地方大学にも優れた先生はたくさんいる。東大や京大のように大学受験で燃え尽きることもなく、じっくり学問と向き合えるのでは」と指摘する。
そのうえで、埼玉大を卒業後に東京大大学院に進んだ梶田さんのケースを挙げ、「地方大学で基本を学び、世界レベルの大学院に進むというコースもある。これからは、そうした研究者の活躍が増えるだろう」としている。
739:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 18:12:06.91 RDXEzJ3O.net
>>645-646
どうも。スレ主です。
ああ、勝負受けたのか！ なら、おそらく君（ID:vh5z+a2B ）の勝ちだよ
完全な証明？ そんなものが、私スレ主に出来るわけがないだろう（＾＾；
740:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 18:15:16.58 RDXEzJ3O.net
>>653 つづき
でも、まあ、証明は考えたよ
一つは、>>654と同じ方針
一つは、>>654が正しいことを前提として（数学的には、補題として使うような）、証明する方針と
まあ、書いたら、皆様のお楽しみを奪うから書かないけどね
741:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 18:21:01.68 RDXEzJ3O.net
>>647
まとめレスご容赦
”スレ主が問題ちゃんと解いたの一度でもあったっけ？” ・・？ スレ主が問題をすらすら解いたら、スレが盛り上がらないだろ？（＾＾；
自分じゃ解けないかも知れないが、考えるのが勉強だよ
連続体仮説は、前提にする方が、なにかとすっきりするけどね。考える上で。
が、厳密には>>573の回答が正しいと思う
742:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 18:38:58.85 RDXEzJ3O.net
>>564の理解の補足として。また、問題>>617への手がかりとして
角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生 上智
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
2008年度の講義概要
URLﾘﾝｸ(pweb.cc.sophia.ac.jp)
代数学IIe
・超越拡大・代数的独立性 代数学IIe page 17
・体の作り方・拡大 代数学IIe page 3
この二つのPDFが役に立つだろう
特にP17に
27. 演習(11)
問27-7. Q上の有理関数体Q(x) は可算濃度。一般に、体K が可算ならK(x) も可算。
問27-8. R のQ 上の超越次元は有限でない。(実は可算ですらない。)
がある
まあ、皆さんも一緒に勉強してください
743:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 19:10:51.55 RDXEzJ3O.net
>>566 訂正 >>647 → >>647-650
>>656 つづき
角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生、おそらく早稲田出身かな。で、上智の数学科へ
https://
744:kaken.nii.ac.jp/d/r/20267412.ja.html 角皆 宏 ツノガイ ヒロシ ? Tsunogai, Hiroshi 研究者番号：20267412 研究者リゾルバーID：1000020267412 所属 2013年度～2014年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 教授 2007年度～2013年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 准教授 2006年度～2007年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 助教授 2001年度～2006年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 講師 2003年度～2005年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 専任講師 1997年度～2001年度 ： 上智大学 / 理工学部 / 助手 1995年度 ： 早稲田大学 / 理工学部 / 助手 http://researchmap.jp/read0050222/ 学位 博士（理学）(早稲田大学) プロフィール 1993年頃～ : 代数多様体の基本群に付随するGalois表現について研究を始める 1995年頃～ : 特に外Galois表現の次数Lie環化について、計算機による具体的な計算のためのプログラムの開発や、実際に計算を行なって現象を観察することを始める 1997年頃～ : 点配置空間やその上の群作用を利用したGrothendieck-Teichmueller群内でのGalois像の性質の研究や、dessin d'enfantsにも関心を拡げる 2000年頃～ : 多重ゼータ値やそれらが成す環にも関心を拡げる 2002年頃～ : Galois群の構成問題(特に生成的多項式の構成)やNoether問題にも関心を拡げる
745:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 19:20:51.75 RDXEzJ3O.net
角皆 宏 （ツノガイ ヒロシ）先生、こんなのも
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
岩澤理論 整数論サマースクール 仙台 角皆宏 上智2003
URLﾘﾝｸ(www.sci.u-toyama.ac.jp)
基本群に付随するGalois 表現（入門まで）岩澤理論
746:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:13:19.61 RDXEzJ3O.net
いつもご登場頂いている落合理先生。下記例1.3.の１などが、関連事項ですね
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
授業ノートや教育的講演の原稿などの教育的資料
URLﾘﾝｸ(www.math.sci.osaka-u.ac.jp)
2005年度整数論概論/代数学5 (数学4年/大学院共通) 講義録pdf
(局所体, 基本群とガロア群の類似などの基本的な考え方)
幾何的なガロア理論の入門的な紹介(2005 年度夏学期)
例1.3.
1. 代数拡大でない拡大の例は有理関数体L = K(X) などがある(X は不定元). K(X)/K は代数拡大ではない.
他に身近な例ではR/QやC/Q はe, π ∈ R などの超越数が含まれているので代数拡大ではない.
集合論的にはQ は可算無限濃度であり, R やC は連続濃度をもつ. Q の代数拡大である体は可算無限濃度をもたなければいけない(←考えてみてください) のでR やC は代数拡大でないことがわかる.
2. 代数拡大の例としては例えばC/Rがある. C = R(√?1) である.
また, Cの代数拡大K/Cがあったとしてx ∈ K とするとき代数学の基本定理によりf(x) = 0となる式f(X) = X^m+a1X^m?1+a2X^m?2+・ ・ ・ am?1X+am1 次式の積に分解することが知られている(例えば複素函数論を使っても示すことができる). したがってK = C である.
3. もっとも手近なQ の代数拡大としては, d が平方数ではない整数とする
ときQ(√d) はQ の代数拡大であり, [Q(√d) : Q] = 2 である.
環とイデアルの言葉をつかえばQ(√d) ?=Q[X]/(X2 ? d) である.
4. 一般にK を体, K[X] を1 変数多項式環とする. f(X) ∈ K[X] をd 次既約多項式とする.
このとき, 剰余体K[X]/(f(X)) はK の有限次拡大となる(← 多項式環, 素イデアル, 極大イデアルなど復習のこと).
747:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:17:41.79 RDXEzJ3O.net
>>659 つづき
>集合論的にはQ は可算無限濃度であり, R やC は連続濃度をもつ. Q の代数拡大である体は可算無限濃度をもたなければいけない(←考えてみてください) のでR やC は代数拡大でないことがわかる.
これ、過去スレでやった気もするし、どこかに証明が落ちていたような気がします
で、そろそろ500KBに近づいたので、新スレを
748:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/11 20:25:38.28 RDXEzJ3O.net
新スレ立てた
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む16
ｽﾚﾘﾝｸ(math板)
749:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
15/10/12 10:07:04.14 bHE7evZI.net
>>648
どうも。スレ主です。
>なぜか単調な荒らしはこのスレ爆撃しないよなｗ不思議だなぁwwww
初代スレで猫さんとは仲良くなったからね
あと最近「運営乙」という人も来なくなったね
余談でした
750:過去ログ ★
[過去ログ]
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